考研数学一(线性代数)模拟试卷113
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考研数学一（线性代数）模拟试卷113
(总分：62.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：8，分数：16.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
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解析：
2.设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．
（分数：2.00）
A.24
B.一24
C.48
D.一48 √
解析：解析： ×2 4 ×6=一48，选(D)．
3.n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．
（分数：2.00）
A.｜A｜=｜B｜
B.｜A｜≠｜B｜
C.若｜A｜=0则｜B｜=0 √
D.若｜A｜＞0则｜B｜＞0
解析：解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P 1 ，…，P S ，Q 1 ，…，Q T ，使得B=P S …P 1 AQ 1 …Q t ，而P 1 ，…，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．
4.设，则( )．
（分数：2.00）
A.B=P 1 AP 2
B.B=P 2 AP 1
C.B=P 2 －1 AP 1
D.B=P 1 －1 AP 2 －1 √
解析：解析：显然B= =P 1 AP 2 －1 ，因为P 1 －1 =P 1 ，所以应选(D)．
5.设α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，β 1 可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，β 2 不可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，对任意的常数k有( )．
（分数：2.00）
A.α 1 ，α 2 ，α 3 ，kβ 1 +β 2 线性无关 √
B.α 1 ，α 2 ，α 3 ，kβ 1 +β 2 线性相关
C.α 1 ，α 2 ，α 3 ，β 1 +kβ 2 线性无关
D.α 1 ，α 2 ，α 3 ，β 1 +kβ 2 线性相关
解析：解析：因为β 1 可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，β 2 不可由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，所以kβ 1 +β 2 一定不可以由向量组α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，kβ 1 +β
2 线性无关，选(A)．
6.设α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 为四维非零列向量组，令A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0) T ，则A * X=0的基础解系为( ) ．
（分数：2.00） A.α 1 ，α 3
B.α 2 ，α 3 ，α 4
C.α 1 ，α 2 ，α 4 √
D.α 3 ，α 4
解析：解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以r(A)=3，于是r(A * )=1． 因为A *
A=｜A｜E=O，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 为A * X=0的一组解， 又因为－α 2 +3α 3 =0，所以α 2 ，α 3 线性相关，从而α 1 ，α 2 ，α 4 线性无关，即为A * X=0的一个基础解系，应选(C)．
7.设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβ T ，则A的线性无关特征向量个数为( )．
（分数：2.00）
A.1
B.2
C.3 √
D.4
解析：解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβ T ≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβ T )≤r(α)=1，所以r(A)=1． 令AX=λX，由A 2 X=αβ T ．αβ T X=O=λ 2 X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．
8.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（分数：2.00）
A.r(A)=r(B)
B.｜A｜=｜B｜
C.A～B
D.A，B与同一个实对称矩阵合同 √
解析：解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．
二、
填空题(总题数：7，分数：14.00)
9.设A= ，则(A+3E)
－1 (A 2 一9E)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：(A+3E) －1 (A 2 一9E)=(A+3E) －1 (A+3E)(A一3E)=A一3E= ．
10.设A= ，则A －1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：
11.设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）
解析：解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．
12.设，且α，β，γ两两正交，则a= 1，b= 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a=一4）
填空项1:__________________ （正确答案：b=一13） 解析：解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=一4，b=一13．
13.设η 1 ，…，η
s 是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k
1 η 1
+…+k s η s 为方程组AX=b的解的充分必要条件是 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +…+k s =1）
解析：解析：k 1 +k 2 +…+k s =1，显然k 1 η 1 +k 2 η 2 +…+k s η s 为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k 1 η 1 +k 2 η 2 +…+k s η s )=b，因为Aη 1 =Aη 2 =…=Aη s =b，所以(k 1 +k 2 +…+k s )b=b，注意到b≠0，所以k 1 +k 2 +…+k s =1，即k 1 η 1 +k 2 η 2 +…+k s η s 为方程组AX=b的解的充分必要条件是k 1 +k 2 +…+k s =1．
14.设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβ T ，则A的特征值为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0或者3）
解析：解析：因为A 2 =3A，令AX=λX，因为A 2 X=λ 2 X，所以有(λ 2 一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ 1 +λ 2 +λ 3 =tr(A)=(α，β)，所以λ 1 =3，λ 2 =λ 3 =0．
15.设5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一2x 1 x 3 一2x 2 x 3 为正定二次型，则t的取值范围是 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t＞2）
解析：解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．
三、 解答题(总题数：12，分数：32.00)
16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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解析：
设n阶矩阵A满足A 2 +2A一3E=O．求：（分数：4.00）
(1).(A+2E) －1 ；（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由A 2 +2A一3E=O得A(A+2E)=3E， A．(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) －1 = A．)
解析：
(2).(A+4E) －1 ．（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由A 2 +2A一3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，则(A+4E) －1 = (A一2E)．)
解析：
17.设A为n阶矩阵，且A k =O，求(E—A) －1 ．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：E k 一A k =(E一A)(E+A+A 2 +…+A k－1 )，又E k 一A k =E，所以(E一A) －1 =E+A+A
2 +…+A k－1 ．)
解析：
18.设α 1 ，α 2 ，…，α n (n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α 1 +α 2 ，α 2 +α 3 ，…，α n +α 1 线性无关．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：设有x 1 ，x 2 ，…，x n ，使x 1 (α 1 +α 2 )+x 2 (α 2 +α 3 )+…+x n (α n
