玉林师范学院本科生毕业论文
数学归纳法及其应用
Mathematical Induction and Application
数学归纳法及其应用
摘要
理解数学证明思想方法和原理在数学学习中十分重要．证明原理不理解，就很难切实有效的理解概念、掌握知识内容、解决问题．数学归纳法是高中的一个重要的证明思想方法之一．高中新课程标准要求学生了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．本文是对高中数学归纳法的研究，通过对数学归纳法在最近10年全国高考和最近3年全国各地高考所出现的情况进行统计分析，确定数学归纳法的地位，使大家认识到数学归纳法的重要性．同时列举数学归纳法的各种题型，以便大家能更方便的学习数学归纳法．
关键词：归纳，数学归纳法，分析，证明
Mathematical Induction and application
Mathematics and applied mathematics2004-2 Chen Jin-rong
Supervisor Zhao Qiang
Abstract
Understood that mathematics proof thinking method and the principle are very
important in mathematics study, if you don’t understood the proof principle, you may be
difficult to understand concept, to grasp the knowledge content, to solve the problem. The
Mathematical Induction is one of important proof thinking methods in high school. New
curriculum standard requests the student to understand that the principle of Mathematical
２０１０年第６期 数学教育研究 · ２９ · 数学归纳法在高考数列题中的应用 周 周 邓 ｊ、丽 （内江师范学院数学与信息科学学院四川，内江６４１１１２） １ 准备知识 定义１任何一个正整数集合Ｎ 都可以用以下 “后序数”来刻划： １∈Ｎ ，这就是说１是正整数； 若 ＥＮ ，则有且仅有一个自然数称为 的后序 数，记作 ＋１． 若 ＥＮ。。，则 ＋１≠１．这就是说，没有一个正整 数的后序数是１； 如果 ∈Ｎ ，ｍ∈Ｎ ，且ｎ＋１一ｍ＋１，那么ｎ— ｍ． 对于每一个正整数，只能是某一数的后序数或者 不是后序数． 归纳公理设Ｍ是正整数的一个集合，且１∈Ｍ；如 果 ∈Ｍ，有 ＋１∈Ｍ．那么Ｍ包含一切自然数，即Ｍ Ｎ （第一数学归纳法的基础皮亚诺公理）． ２ 两个原理 定理１第一数学归纳法原理：设有一个关于正整 数集Ｎ 的命题Ｐ（ ），若存在 。ＥＮ‘‘，使得Ｐ（‰）成 立；若Ｐ（ ）成立（ ≥ 。），则Ｐ（ ＋１）也成立．那么，对 于任意正整数Ｎ ，Ｐ（ ）都成立． 证明设使Ｐ成立的全体正整数集合记作Ｍ．１∈ Ｍ（ｎ。一１），即Ｐ对于正整数１是成立的．假设 ＥＭ， 那么 ＋１ Ｅ Ｍ．也就是Ｐ对于正整数 成立，推得Ｐ对 于是＋１也成立．这样可得Ｍ—Ｎ ，即Ｐ对于全体正整 数均成立． 定理２第二数学归纳法原理：设有一个关于正整 数Ｎ 的命题Ｐ（ ）．若存在 。ＥＮ。。，使得Ｐ（ｎ。）成立． 假设当勘≤ｍ≤ 时，Ｐ（ｍ）成立，导出Ｐ（忌＋１）也成 立．那么，对于任意正整数Ｎ ，Ｐ（ ）都成立（其中ｍ， 都为正整数）． 证明 假设Ｐ不是对于所有正整数均成立，根据 整数集的序数理论（最小数原理），可以找到一个整数 不妨设 ≥志，使Ｐ（ｎ ）不成立，而Ｐ（ｍ一１）成立． 根据归纳假设，由Ｐ（ ）成立（ ≤ ＜ １—１），得Ｐ（ｎ ）成 立，这与前面的假设相矛盾．故Ｐ（ ）对于全体正整数 均成立． ３应用举例 例ｌ 在数列｛。 ｝中，ｎ 一÷，％＝ 去鼍寺等（ ＥＮ，且行≥２），求数列｛％）的通项公 式，并予以证明．（第１６届希望杯全国数字邀请瑟试题） 解 猜测：口 一 干 ，下面用数学归纳法 证明： 当 一１时，ｎ 一 一百１；当 一２时，ｎ 一 ｌ－ 一 ；当 一３时，ｎ。一 １ 一 １；当 一４时，ｎ 一 １ 一丽１；假设当 一 （ ≥４）时公式成立，即口 一 两 ，故吣 一 舞暑 ，则 箬 ＋一 －ｎ。＋…＋“ 一４－ａｋ １ ａ１ ｄ－ １ 。 ：吼（２＋３－ｒ－…＋ —— ＋一 ｎ２十…十 ＾一 口 ＝吼 十 …十 ）＋ｎ 一吼（１＋２＋…＋ ）一“ ×丛生 旦所以吼＋ 一 ｋ＋３ ａｋ： ｋ＋３× —— —— 一 Ｆ 干 Ｌ＿ 丽，这就是说，对任何正整数ｎ， ｎ 一 干 都成立，故数列｛ｎ ）的通项公式为 １ 。 一 玎 ‘ ∈Ｎ ）· 例２已知｛ｎ ）的前 项和ｓ 一一ｎ 一（ ）一 ＋２（ 为正整数）设 一—ｎ＋—ｌｎ Ｃ ＋Ｃ２＋…＋ 挖 Ｇ，试比较 与 的大小，并予以证明．（２００９年 十ｌ 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）第１９题）． 解在ｓ ＝一ｎ 一（ ）一 ＋２中，令 一１，可得 ｓ 一一ｎ －１＋２＝ｎ ，即口 一 １；当 ≥２时，ｓ 一。：一 ａｎ＿１－－（ ）一。＋２，所以 ：Ｓ．－ｓｎ－１￣－－ａｎ＋ 一 ＋ （１１一 ，所以２ａ ＋（÷） ２ ａ 一 ＋１．设ｂ 一２＂ａ ，所以ｂ 一ｂ 一 ＋１，即当 ≥２时， ｂ 一ｂ 一 一１又ｂ 一２ａ 一１，所以数列｛ｂ ）是首项公差 均为１的等差数列．于是ｂ 一１＋（ｎ－－１）·１一 一２ 口 ， 故。 一号，ｃ 一 ｎ 一（ ＋１）（—｝） ，所以Ｔ￣＝２Ｘ １＋ｓ×（丢） ＋ ×（÷）。＋…＋（ ＋ ）（ ） （ ） １ ２×（１／ ＋３×（ １）。＋４×（专）
《数学归纳法》课件
一、教学内容
本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。具体内容包括：
1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。
2. 数学归纳法的步骤：
(1) 验证当n=1时，命题是否成立；
(2) 假设当n=k时，命题成立；
(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。
二、教学目标
1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学难点与重点
重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
难点：如何运用数学归纳法证明命题。
四、教具与学具准备
教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。 五、教学过程
1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。
2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。
3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。
6. 作业设计：
题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
答案：略。
题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。
答案：略。
七、课后反思及拓展延伸
1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。
数学归纳法及其应用
发表时间：2019-01-23T16:43:27.747Z 来源：《教育学》2019年1月总第166期 作者： 折小妹
[导读] 数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
陕西省大柳塔第一小学 719315
摘 要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法 数列 不等式
一、数学归纳法的概述
1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。①完全归纳法。②不完全归纳法。③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。这一重要性质，为解
决有限与无限的矛盾提供了理论依据。也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。那
么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有
对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。这样的证明方法叫作数学归纳法，
可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个
命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
