二次函数的图象和性质
教学目标
1、知道二次函数的意义；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式；
4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值；
5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.
知识讲解
1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2 (a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。
2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h， k)，对称轴为x＝h，当a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。
例题讲解
例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式：
⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1)
⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0)
⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0)
⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2
巩固练习：
1．二次函数y=2x2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______．
2．将函数y=－2x2+8x－7，写成y=a（x－h）2+k的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______．
3．已知抛物线y=x2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．•满足y<0的x的取值范围是________，将抛物线y=x2－6x+5向________平移______•个单位，可得到抛物线y=x2－6x+9．
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系；(重点)
2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：
当c>0时，向上平移c个单位长度；
当c<0时，向下平移－c个单位长度．
问题：函数y＝ (x－2)2的图象，能否也可以由函数y＝ x2平移得到？本节课我们就一起讨论．
二、合作探究
探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
【类型一】 二次函数y＝a(x－h)2的图象
顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－12x2的图象相同的抛物线的解析式为( )
A．y＝12(x－2)2 B．y＝12(x＋2)2
C．y＝－12(x＋2)2 D．y＝－12(x－2)2
解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－12x2的图象相同，所以a＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2，把a＝－12，h＝2代入y＝a(x－h)2得y＝－12(x＋2)2.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 二次函数y＝a(x－h)2的性质
若抛物线y＝3(x＋2)2的图象上的三个点，A(－32，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y＝3(x＋2)2的对称轴为x＝－2，a＝3＞0，∴x＜－2时，y随x的增大而减小；x＞－2时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－32，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(2，y1)．∵－1＜0＜2，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第3课时）》
教学设计说明
深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础
学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2axy、函数caxy2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2axy的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数khxay2)( 的图象和性质.
学生活动经验基础
在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质.
二、教学任务分析
根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下：
知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(hxay和khxay2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2axy的图象的关系，理解kha,,对二次函数图象的影响.
过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手
作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.
情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点：二次函数khxay2)(的图象与性质.
教学难点：二次函数khxay2)(图象与图象2axy之间的关系，kha,,对二次函数图象的影响.
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二次函数的图像和性质
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．
二、二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－b2a 直线x＝－b2a
顶点坐标 －b2a，4ac－b24a －b2a，4ac－b24a
增减性 当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；当x＞－b2a时，y随x的增大而增大 当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；当x＞－b2a时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－b2a时，y有最______值4ac－b24a 当x＝－b2a时，y有最______值4ac－b24a
三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下： 2
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
