角平分线的性质1

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角平分线的性质与判定：

⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．

⑵角平分线的性质定理：

如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑶角平分线的判定定理5

角平分线

板块一角平分线的性质与判定2如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分

线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．

夯实基础

【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．

⑵已知：如图，ABC△的两条外角平分线交于点P．

求证：PB平分ABC．

CBAP

【解析】⑴如图，在ABC△中，设BACABC、的平分线的交点为I，

过I点作IDAB于D，IEAC于E，IFBC于F，连接IC．

∵AIBI、都是角平分线，

∴IDIE，IDIF，

∴IEIF，

∴IC是ACB的平分线，

∴三角形三个角的平分线交于一点．

这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I来表示，三角

形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的

圆心．

⑵如图，过P作PMBA于M，PNAC于N，PQBC

于Q．

由角平分线的性质定理，易证PMPN，PNPQ，故

PMPQ，因此根据角平分线的判定定理，PB平分ABC，得证．

这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆

的圆心．旁心有3个．

【例2】如图，点C为线段AB上一点，ACM△、CBN△是等边三角形．

请你证明：CF平分AFB．

M

DN

E

CBF

AGMH DN

E

CBF

AI

FED

CBA

NM

CBA

QP3【解析】过点C作CGAN于G，CHBM于H，

由ACNMCB△≌△，

利用AAS进而再证BCHNCG△≌△，

可得AFCBFC，故CF平分AFB．

【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

【例3】如图⑴，ABAC，BD，CD分别平分ABC，ACB．问：

三角形的角平分线性质

三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义

角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质

（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。 对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用

（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：

三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

角平分线的定义

◎ 角平分线的定义的定义

角的平分线的定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

◎ 角平分线的定义的知识扩展

1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

◎ 角平分线的定义的特性

角平分线的性质：

角平分线上的点，到角两边的距离相等

定理：

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

逆定理：

到角两边的距离相等的点在角平分线上。

◎ 角平分线的定义的教学目标

1、理解角平分线的意义。

2、熟练掌握角平分线的三种表示方法。

3、初步培养学生运用类比的方法研究问题的意识。

◎ 角平分线的定义的考试要求

能力要求：理解

课时要求：40

考试频率：常考

分值比重：3

1 流河路公北M区CBA 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形)

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等

用数学符号可表示：

∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

∴

角平分线的判定定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

用数学符号可表示：

∵

∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

基础闯关

1.在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为

2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为

㎝。

3.如图，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，AC＝8㎝，DC＝3DA，则点D到BC的距离为 。

4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）

A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD

5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点

C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点

6.到一个角的两边距离相等的点在 ．

7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是

．

8．三角形中，到三边距离相等的点是

（A）三条高线交点．（B）三条中线交点．（C）三条角平分线交点．（D）三边垂直平分线交点．

9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 O D

P

E B

A

第3题图DABC21DAPOEB第4题图