高中数学必修二3.1.1直线的倾斜角与斜率

第八章 第一讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程

一 教材分析

1、地位和作用

直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用。本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.

2、教学目标

（1）对本节的知识进行梳理总结，使学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程。

（2）通过复习本节知识点，帮助学生对本节的知识有一个系统的了解，使学生从题海中脱离出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质

（3）通过几何问题与代数问题的相互转化培养学生数形结合的思想方法，使学生学会将“数”与“形”有机的结合起来。

3、教学重难点：

重点：学生熟练掌握倾斜角与斜率，直线方程的五种形式。

难点：对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。 二、教学过程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_____ 之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴_____时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l倾斜角的范围是_________ 。

2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝_________。

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝_________。

3．直线方程的五种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) 不含直线x＝x0

斜截式 斜率k与截距b 不含垂直于x轴的直线

直线的倾斜角与斜率

教学目标：

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)

3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)

4. 掌握倾斜角和斜率在解题中的应用，提升思维能力和解决问题

的能力(难点)

教学方法：讲练结合

教学手段：多媒体

教学过程：

知识回顾：

（1）直线的倾斜角：

直线与 x 轴相交时，直线 向上的方向与 x 轴 正方向所成的角  叫做这条直线的倾斜角

规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为00

倾斜角的范围： 0°≤α<180°

（2）斜率定义：

特殊角的正切值

（3）经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线的斜率公式

倾斜角和直线位置的关系

tank0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在)(2121211212xxxxyyxxyyk倾斜角

α＝0° 0°

直线

基础检测

1.关于直线的倾斜角和斜率，其中__________说法是正确的.

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0o或180o；

D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等

E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)

2．斜率不存在的直线一定是( )

A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于过原点的直线

3．如图中α能表示直线l的倾斜角的________

4．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则 y

等于( )

5．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_____________。

直线的倾斜角和斜率(3.1.1)

教学目标:

知识与技能[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.

(3) 理解直线的斜率的存在性.

(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

（一）直线的倾斜角的概念[来源:]

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

PcbaYXO

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,

规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.[来源:学科网]

人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）

1 / 4 3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】

1.直线的倾斜角：

2.直线的斜率：

3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型 一 求直线的倾斜角

例 1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

变式训练：

设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（ ）。

A. 45 B. 135 C. 135

D. 当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135

题型 二 求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练： 已知过两点22(2,3)Amm, 2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2

拓展 一 三点共线问题

例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）

2 / 4

变式训练:

若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（ ）.

A．4,5ab B．1ba C．23ab D．23ab

拓展 二 与参数有关问题

例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.