1 第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
教学过程
导入新课
思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.
图1
思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率.
推进新课
新知探究
提出问题
①怎样描述直线的倾斜程度呢？
②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？
图2
③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？
④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
⑤正切函数的定义域是什么？
⑥任何直线都有斜率么？
⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少?
活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.
可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.
②考虑正方向.
③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.
规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.
④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.
⑤教师介绍正切函数的相关知识.
⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. 2 （倾斜角是90°的直线没有斜率）
直线的倾斜角和斜率(3.1.1)
教学目标:
知识与技能[来源:学&科&网Z&X&X&K]
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.
(3) 理解直线的斜率的存在性.
(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
（一）直线的倾斜角的概念[来源:]
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
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(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,
规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO
的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.[来源:学科网]
人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）
1 / 4 3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1．1 倾斜角与斜率
【知识点归纳】
1.直线的倾斜角：
2.直线的斜率：
3.直线的斜率公式：
【典型例题】
题型 一 求直线的倾斜角
例 1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
变式训练：
设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（ ）。
A. 45 B. 135 C. 135
D. 当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135
题型 二 求直线的斜率
例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
变式训练： 已知过两点22(2,3)Amm, 2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.
题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系
例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）.
A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展 一 三点共线问题
例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 人教版高中数学必修二学案：3.1直线的倾斜角与斜率（无答案）
2 / 4
变式训练:
若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（ ）.
A．4,5ab B．1ba C．23ab D．23ab
拓展 二 与参数有关问题
例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
1
必修二 3.1 直线的倾斜角和斜率
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
2、直线倾斜角的范围：
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o，因此，直线的倾斜角的取值范围为：1800a
按倾斜角去分类，直线可分几类？
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。
思考：倾斜角相同能确定一条直线吗？
相同倾斜角可作无数互相平行的直线
思考：过一点且倾斜角为α能不能确定一条直线？
能。一点+倾斜角→确定一条直线 （两者缺一不可）
注意： (1)直线向上方向；
(2)轴的正方向。
倾斜角倾斜程度2
二、直线的的斜率
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
1.直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。
用小写字母 k
表示，即：
2.直线斜率的几种情况：
前进量升高量坡度aktan3
3、由两点确定的直线的斜率
直线的斜率公式：
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？
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例2、如图，直线L1的倾斜角α=30。，直线L2垂直于L1，求两直线的斜率。
