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2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数与动态几何一、单选题y=−x2+2x+31．如图，直线l为抛物线的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右PA⊥x PA=ℎPB=m侧），过点P作轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设，，则h与m 的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A→D→C A→B→C，的方向，都以1cm/s 的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ ，设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm²），则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 作垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x 2＋2x 的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于3点B ，P 点为该抛物线对称轴上一点，则OP ＋AP 的最小值为（ ）.12A ．3B ．C ．D ．233+22143+2325．如图，在矩形ABCD 中，AB=2a ，AD=a ，矩形边上一动点P 沿A→B→C→D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2=y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．7．如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于y =x 2+3x−4点B ，若P 是x 轴上一动点，点Q （0，2）在y 轴上，连接PQ ，则的最小值是（ ）PQ +22PCA ．6B ．C ．D ．2+3222+3232二、填空题9．已知：如图，直线y ＝kx +b （k ，b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A （﹣4，0），B （0，3），抛物线y ＝﹣x 2+4x +1与y 轴交于点E 在抛物线y ＝﹣x 2+4x +1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是 ．10．如图，已知 ， 为线段 上的一个动点，分别以 、 为边在 的同侧作AB =6P AB AP PB AB 菱形 和菱形 ．点 、 、 在一条直线上， ， ， 别是对角APCD PBFE P C E ∠DAP =60°M N 线 、 的中点，当点 在线段 上移动时，点 、 之间的距离最短为 ．AC BE P AB M N11．已知抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点y =x 2−2x−3 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为 D(4，y)BE +DE △ACE ．12．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，AD BC ，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾AB CD AB =4cm CD =8cm 12cm C 斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ∠ABE =45°BE =，液面到点所在水平地面的距离是 ．cm BE C cm13．如图，抛物线y=x 2+x+3与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，点F 为抛物线的顶点，在−14抛物线的对称轴上存点G ，当点G 的坐标为 时△AFG 为等腰三角形．14．如图，已知抛物线 与直线y=2x+3交于点M （0，3）， A （a ，15）．点B 是抛y =12x 2+bx +c物线上M ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线MA 交于点C ，E ．以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），请写出m，n之间的关系式 ．三、综合题15．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1）、B（4，3）两点，顶点为点P，连接PA，PB．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）请你直接写出△PAB的面积；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，平行于y轴的直线交直线AB于点N，交抛物线于点M，否存在点M，使以点B、点C、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．xoy y=a(x−ℎ)2+k y=a(x−ℎ)+k16．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛y=2(x+1)2−3y=2(x+1)−3y=2x−1物线的伴随直线为，即．（1）在上面规定下，抛物线的顶点为 ．伴随直线为 ；y =(x +1)2−4抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ；y =(x +1)2−4（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点(点A 在点By =m(x−1)2−4m A ，B 的右侧)与x 轴交于点C ，D .①若求m 的值；∠CAB =90°，②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为S ，当S 取得最大值时，P(x ，y)BC ΔPBC 274求m 的值．17．已知，抛物线y=ax 2+ax+b （a≠0）与直线y=2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 坐标（用a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N ，求△DMN 的面积与a 的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x 与抛物线在第二象限交于点G ，点G 、H 关于原点对称，现将线段GH 沿y 轴向上平移t 个单位（t ＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围．18．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，与 轴交于y =43x 2+bx +cx A(3，0)B(−1，0)y 点C.若点P ，Q 同时从 点出发，都以每秒 个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中A 1AB AC 一点到达端点时，另一点也随之停止运动.（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当P ，Q 运动到t 秒时，将△APQ 沿 翻折，若点 恰好落在抛物线上D 点处，求出D PQ A 点坐标；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q x 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由.E 19．如图，抛物线y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ，点D为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．20．综合与探究：在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于xOy y =−36x 2+233x +23x A ， 两点(点 在点 的右侧)，与 轴交于点 ，它的对称轴与 轴交于点 ，直线 经B B A y C x D l 过 ， 两点，连接 ．C D ACA B l（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；l E△ACE E （2）探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；P l Q（3）若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点：A C P Q Q①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；A C P Q Q②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】410．【答案】33211．【答案】412．【答案】；527213．【答案】（2，0）或（2，-4）或（2，4+ ）或（2，4-）.424214．【答案】m =116n 2−58n +211615．【答案】（1）解：∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过A （0，1）、B （4，3）两点，∴，{−16+4b +c =3c =1解得 ，{b =92c =1∴抛物线解析式为 ；y =−x 2+92x +1设直线AB 的解析式 ，y =kx +b 1则，{b 1=14k +b 1=3解得，{k =12b 1=1∴直线AB 的解析式为 ；y =12x +1（2）过点P 作 轴交AB 于D ，PD ∥y ∵P 是抛物线的顶点，y =−x 2+92x +1=−(x 2−92x +8116)+9716=−(x−94)2+9716∴ ，P(94，9716)∴D 点的横坐标为 ，94∴D 点的纵坐标 ，y D =12×94+1=178∴D(94，178)∴，PD =9716−178=6316∴；S △PAB =S △PAD +S △PBD =12PD ⋅(x D −x A )+12PD ⋅(x B −x D )=638（3）∵直线MN 与y 轴平行，BC ⊥x 轴， ∴ ，MN ∥BC ∵以点B 、点C 、点M 、点N 为顶点的四边形为平行四边形，∴MN 和BC 是这个平行四边形的一组对边，∴MN=BC ，∵B （4，3），∴MN=BC=3，设 ，则 ，N(n ，12n +1)M(n ，−n 2+92n +1)∴ ，MN =|−n 2+92n +1−12n−1|=|n 2−4n|=3∴ ，n 2−4n =±3当 时，即 n 2−4n =−3n 2−4n +3=0解得 或 ，n =1n =3∴此时M 的坐标为或 ；(1，92)(3，112)当 时，即 ，n 2−4n =3n 2−4n +4=7∴(n−2)2=7解得 或 ，n =2+7n =2−7∴此时M 的坐标为 或 ，(2+7，7−22)(2−7，−10−72)综上所述，存在M 的坐标为 或 或 或 ，使得(1，92)(3，112)(2+7，7−2)(2−7，−10−7)以点B 、点C 、点M 、点N 为顶点的四边形为平行四边形．16．【答案】（1）(﹣1，﹣4)；y=x﹣3；(0，﹣3)；(﹣1，﹣4)（2）解：①∵抛物线解析式为y=m(x －1)2－4m ，∴其伴随直线为y=m(x －1)－4m ，即y=mx －5m ．联立抛物线与伴随直线的解析式可得解得或，∴A(1，－4m)，{y =m(x−1)2−4m y =mx−5m {x =1y =−4m {x =2y =−3m B(2，－3m)．在y=m(x －1)2－4m 中，令y=0可得x=－1或x=3，∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC 2=4＋16m 2，AB 2=1＋m 2，BC 2=9＋9m 2．∵∠CAB=90°，∴AC 2＋AB 2=BC 2，即4＋16m 2＋1＋m 2=9＋9m 2，解得：m= (抛物线开口向下，舍22去)或m=－，∴当∠CAB=90°时，m 的值为－．2222②设直线BC 的解析式为y=kx ＋b ．∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴，解得，∴直线BC 的解析式为{2k +b =−3m −k +b =0{k =−m b =−m y=－mx －m ．过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ．∵点P 的横坐标为x ，∴P(x ，m(x －1)2－4m)，Q(x ，－mx －m)．∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m(x －1)2－4m ＋mx ＋m=m(x 2－x －2)=m[(x －)2－]，1294∴S △PBC=×[2－(－1)]PQ=m(x －)2－m ，∴当x=时，△PBC 的面积有最大值－m ，∴S 取最12321227812278大时，即－m=，解得：m=－2．27427827417．【答案】（1）解：∵抛物线 有一个公共点M(1，0)，y =ax 2+ax +b ∴a+a+b=0，即b=−2a ，∴y =ax 2+ax +b =ax 2+ax−2a =a(x +12)2−9a 4，∴抛物线顶点D 的坐标为 (−12，−9a4)；（2）解：∵直线y=2x+m 经过点M(1，0)，∴0=2×1+m ，解得m=−2，∴y=2x−2，则 {y =2x−2y =ax 2+ax−2a 得 ax 2+(a−2)x−2a +2=0，∴(x−1)(ax+2a−2)=0，解得x=1或x =2a −2，∴N 点坐标为 (2a−2，4a −6)，∵a<b ，即a<−2a ，∴a<0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x =−a 2a =−12，∴E(−12，−3)，∵M(1，0)，N(2a −2，4a−6)，设△DMN 的面积为S ，∴S =S △DEN +S △DEM =12|(2a −2)−1|⋅|−9a 4−(−3)|=274−3a −278a ，（3）解：当a=−1时，抛物线的解析式为：有 y =−x 2−x +2=−(x−12)2+94，{y =−x 2−x +2y =−2x ， 解得： ∴G(−1，2)，∵点G 、H 关于原点对称，∴H(1，−2)，−x 2−x +2=−2x ，x 1=2，x 2=−1，如图，设直线GH 平移后的解析式为：y=−2x+t ，−x2−x+2=−2x+t ，x2−x−2+t=0，△=1−4(t−2)=0，当点H 平移后落在抛物线上时，t =94，坐标为(1，0)，把(1，0)代入y=−2x+t ，t=2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t <94.18．【答案】（1）解：将 ， 代入 ，求得， A(3，0)B(−1，0)y =43x 2+bx +c b =−83c =−4∴ ；y =43x 2−83x−4（2）解：如图，D 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作 于 FQ ⊥AP F ∵ ， ， AP =AQ =t AP =DP AQ =DQ ∴AP =AQ =QD =DP ∴四边形 为菱形AQDP ∵FQ//OC∴AF AO =FQ OC =AQ AC ∴AF 3=FQ 4=t 5∴， AF =35t FQ =45t∴Q(3−35t ，−45t)∵DQ =AP =t∴D(3−35t−t ，−45t)∵D 在二次函数 上y =43x 2−83x−4∴−45t =43(3−85t)2−83(3−85t)−4∴，或 （舍去）t =14564t =0∴；D(−58，−2916)（3）解：存在满足条件的点E ，点E 的坐标为 或 或 或 (−13，0)(−95，0)(−1，0)(7，0)如上图，过点Q 作 于D ，此时 QD ⊥OA QD//OC ∵ ， ， ， A(3，0)B(−1，0)C(0，−4)O(0，0)∴ ， ， AB =4OA =3OC =4∴ ， AC =32+42=5AQ =4∵QD//OC∴QD OC =AD AO =AQAC ∴QD 4=AD 3=45∴， ；QD =165AD =125①如下图，作AQ 的垂直平分线，交AQ 于E此时 ，即 为等腰三角形AE =EQ ΔAEQ 设 ，则 ，AE =x EQ =x DE =AD−AE =125−x ∴在 中， ，解得RtΔEDQ (125−x)2+(165)2=x 2x =103∴OA−AE =3−103=−13∴ ；E(−13，0)②如下图，以Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交x 轴于E此时 QE =QA =4∵ED =AD =125∴AE =245∴OA−AE =3−245=−95∴ ；E(−95，0)③当 时AE =AQ =41）当E 在A 点左边时∵OA−AE =3−4=−1∴E(−1，0)2）当E 在A 点右边时∵OA +AE =3+4=7∴ ；E(7，0)综上所述，存在满足条件的点E ，点E 的坐标为 或 或 或 .(−13，0)(−95，0)(−1，0)(7，0)19．【答案】（1）解：在抛物线y ＝ax 2+（4a﹣1）x﹣4中，当x ＝0时，y ＝﹣4，∴C （0，﹣4），∴OC ＝4，∵OC ＝2OB ，∴OB ＝2，∴B （2，0），将B （2，0）代入y ＝ax 2+（4a﹣1）x﹣4，得，a ＝ ，12∴抛物线的解析式为y ＝ x 2+x﹣4；12（2）解：设点D 坐标为（x ，0），∵四边形DEFH 为矩形，∴H （x ， x 2+x﹣4），12∵y ＝ x 2+x﹣4＝ （x+1）2﹣ ，∴抛物线对称轴为x ＝﹣1，121292∴点H 到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DE ＝FH ＝2x+2，∴矩形DEFH 的周长C ＝2（2x+2）+2（﹣ x 2﹣x+4）＝﹣x 2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，12∴当x ＝1时，矩形DEFH 周长取最大值13，∴此时H （1，﹣ ），∴HF ＝2x+2＝4，DH ＝ ，5252∴S 矩形DEFH ＝HF•DH ＝4× ＝1052（3）解：如图，连接BH ，EH ，DF ，设EH 与DF 交于点G ，过点G 作BH 的平行线，交ED 于M ，交HF 于点N ，则直线MN 将矩形DEFH 的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x ＝﹣1，H （1，﹣ ）， 52∴G （﹣1，﹣ ），54设直线BH 的解析式为y ＝kx+b ，将点B （2，0），H （1，﹣ ）代入，52 得，，解得， ， {2k +b =0k +b =−52{k =52b =−5∴直线BH 的解析式为y ＝ x﹣5，52∴可设直线MN 的解析式为y ＝ x+n ，52将点（﹣1，﹣ ）代入，得n ＝ ，∴直线MN 的解析式为y ＝ x+ ，54545254当y ＝0时，x ＝﹣ ，12∴M （﹣ ，0），12∵B （2，0）， ∴将抛物线沿着x 轴向左平移 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，52连接M 、N ，则MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，∴m 的值为 ．5220．【答案】（1）解：当 时， y =0−36x 2+233x +23=0解得 ， x 1=−2x 2=6∵y =−36x 2+233x +23=−36(x−2)2+833∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 A (−2,0)B (6,0)∴抛物线的对称轴为直线 x =2∴点 的坐标为 D (2,0)当 时， x =0y =23∴点 的坐标为 C (0,23)设直线 的表达式为 ，则 l y =kx +b {b =232k +b =0解得 {k =−3b =23∴直线 的表达式为 ．l y =−3x +23（2）解：结论：直线 上存在点 ，使 为直角三角形． l E △ACE 证明：∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 A (−2,0)D (2,0)∴AD =4又∵点 的坐标为 ， C (0,23)CO ⊥AD∴AC =CD =22+(23)2=4∴AC =CD =AD ∴ 为等边三角形△ACE ∴∠ADC =∠CAD =60°分两种情况：①当 时，∠AE 1C =90°∵AC =AD∴CE 1=E 1D =12CD =2作 轴于点 ，如图：E 1M ⊥x M∵在 中， Rt △DE 1M ∠E 1DM =60°∴ ，DM =1E 1M =E 1D ⋅sin 60°=2×32=3∴点 的坐标为 ．E 1(1,3)②作 轴于点 ，如图：E 2N ⊥x N当 时∠CAE 2=90°∵∠ADC =∠CAD =60°∴ ， ∠DAE 2=30°∠ADE 2=120°∴∠DE 2A =∠DAE 2=30°∴DE 2=AD =4在 中， Rt △DE 2N ∠E 2DN =∠E 1DM =60°∴ ，DN =2E 2N =DE 2⋅sin 60°=4×32=23∵ON =OD +DN =4∴点 的坐标为 E 2(4,−23)l E△ACE E(1,3)∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或(4，−23)Q A, C, P,Q Q（3）①抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为(4,23)Q A, C, P,Q Q ；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为(6,0)。
2023年九年级数学中考复习：实际问题与二次函数训练（图形运动问题）附答案一、单选题1．如图，直线a ，b 都与直线l 垂直，垂足分别为E ，F ，1EF =，正方形ABCD 的边2，对角线AC 在直线l 上，且点C 位于点E 处，将正方形ABCD 沿l 向右平移，直到点A 与点F 重合为止．记点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 位于直线a ，b 之间部分（阴影部分）的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，4cm AB =，8cm BC =．动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ）A ．1sB ．2sC ．3sD ．4s3．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）A B ．2C ．1D ．234．如图1，在等腰直角BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AB 的中点，点M 为BC 边上一动点，作45PMN ∠=︒，射线MN 交AC 边于点N ．设BM x =，CN y =，y与x 的函数图象如图2，其顶点为(),m n ，则m n +的值为（ ）A ．4 BC ．2+D ．25．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，4AC =，3BC =，P 是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在P 的右侧，且1PE =，连接CE ，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，设PD x =，图中阴影部分面积12S S y +=，在整个运动过程中，函数值y 随x 的变化而变化的情况是（ ）A ．一直减小B ．一直增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（ ）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大7．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，45A ∠=︒，90C ∠=︒，4cm AD =，3cm CD =．动点M ，N 同时从点A 出发，点M 2cm /s 的速度沿AB 向终点B 运动，点N 以2cm /s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点N 的运动时间为s t ，AMN 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，,,M N C 三点的坐标分别为1,1,(3,1),(43,0)⎛⎫⎪⎝⎭，点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ⊥交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为()0,b ，则b 的最小值为（ ）A．14-B．94-C．1-D．54-二、填空题9．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以2cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以3cm/s的速度移动．当点P移动到点A 时，P、Q同时停止移动．设点P出发x s时，①PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图像如图2 所示，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为_______．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=x2经过平移得到抛物线y2=（x-1）2-1，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为__________________．11．如图，把一块等腰直角三角板①ABC，①C=90°，BC=5，AC=5．现将①ABC沿CB 方向平移到①A′B′C′的位置，若平移距离为x（0≤x≤5），①ABC与①A′B′C′的重叠部分的面积y，则y=__________（用含x的代数式表示y）．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为4的正方形，M （4，m ）、N （n ，4）分别是AB 、BC 上的两个动点，且ON①MN ，当OM 最小时，m n +＝____．13．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图像上，则a 的值为________________.14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(0，2)、(1，0)，顶点C 在函数y ＝13x 2＋bx －1的图象上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D 的对应点D′落在抛物线上，则点D 与其对应点D′之间的距离为 ______．15．如图，一段抛物线()()y x x 10x 1=--≤≤记为1m ，它与x 轴的交点为1O,A ,顶点为1P ；将1m 绕点1A 旋转180°得到2m ，交x 轴于点为2A ，顶点为2P ；将2m 绕点2A 旋转180°得到3m ，交x 轴于点为3A ，顶点为3P ；……，如此进行下去，直至到10m ，顶点为10P ，则顶点10P 的坐标为 _________ ．16．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D 同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．三、解答题17．如图，在四边形OABC中，OA∥BC，①OAB＝90°，O为原点，点C的坐标为（2，8），点A的坐标为（26，0），点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB运动，当点E 达到点B时，点D也停止运动，从运动开始，设D（E）点运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形OCDE是平行四边形；(2)连接AD，记①ADE的面积为S，求S关于t的表达式．以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．(1)几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；(2)若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．19．将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设AP＝x．(1)当点Q在边CD上时，求证：PQ＝PB．(2)在（1）的情况下，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，当△PCQ是等腰三角形时，求x的值．边向点B 移动，速度为1cm/s ；点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 移动，速度为2cm /s ，点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．(1)几秒时，PQ 的长度为？ (2)几秒时，PBQ △的面积为28cm ？(3)当(05)t t <<为何值时，四边形APQC 的面积最小？并求这个最小值．参考答案：1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．B 8．D9．y=-3x+18． 10．1. 11．x 2﹣5x+．12．5． 13．214．215．(9.5，-0.25) 16． 3 1817．(1)当t 为6时，四边形OCDE 是平行四边形； (2)S ＝22612104033263413233t t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩18．(1)1秒后四边形APQC 的面积是19平方厘米 (2)3t =时，S 取最小值为15平方厘米 19． (2)2122102⎛=+≤< ⎝⎭y x x x (3)0或120．(1)3秒时，PQ 的长度为35cm (2)2或4秒时，PBQ △的面积为28cm(3)当3t =时，四边形APQC 的面积最小，最小值为21答案第3页，共1页。
2023年九年级中考数学专题复习：实际问题与二次函数应用题1．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月降价()0x x >元，销售这批T 恤能获利w 元. (1)填表：(2)求w 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利多少元？2．如图，用一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m ．设AB 长为m x ，矩形的面积为2m y ．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为多少米？3．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．4．某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数2100y x=-+．（利润=售价-进价）(1)写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得不低于350元的利润，则销售单价应在哪个范围内？5．某商店销售A，B两种类型的篮球，具体信息如下表：(注：厂家要求该商店每季度B类篮球的销量是A类篮球销量的2倍)根据以上信息解答下列问题：(1)用含x的代数式表示y；(2)今年第三季度该商店销售A，B两种类型篮球的利润恰好相同(利润不为0)，试求x 的值；(3)求该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润．6．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出500件．市场调查反映：如果调整价格，售价每涨价1元，月销售量就减少10件，但每件售价不能高于75元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数），月销售利润为y元．(1)根据题意填表：(2)求y与x之间的函数关系式和x的取值范围；(3)当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y（元）最大，最大利润是多少？7．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．(1)直接写出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该园林专业户至少应投资种植花卉 万元．（直接写出结果）8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b = ，c = ；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA MP +的值最小，则试求出点M 的坐标．9．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为()351225，，其中035x ≤≤．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？(3)检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．10．某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价x 元，商场每天获利y 元． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)①若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？ ①每件商品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)商场为避免恶意竞争，规定降价范围为16x ≤≤（元），请直接写出销售该商品每天的销售利润y （元）的取值范围．11．古镇景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．试销售期间发现，每天的销售数量m （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)求m 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润记为y 元，请求出y 与x 的函数关系式；(3)若要保证利润不低于1200元，销售单价至少定为多少元?12．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？13．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？14．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x 元/千克（6x 且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；(3)市政府每日给农户补贴a 元后（a 为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a 的值．15．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y ．(1)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？(3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围．16．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x 元/件（x 为偶数），每天的销售量为y 件． (1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件． (2)请写出y 与x 的函数关系式．(3)设每天的销售利润为w 元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?17．九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A 处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为185米，水平距离为4米．(1)试求实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式；(2)设实心球落地点为C ，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩；(3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式．（实心球运行到最高点时，水平距离范围()9m m 5m 2x ≤≤）18．11月1日，区里进行了一次全民核酸检测．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表．小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0~90分钟，y 是x 的二次函数，B 是二次函数图象的顶点；在90~110分钟，y 是x 的一次函数．(1)求二次函数表达式．(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？ (3)采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？参考答案：1．(1)80x -，20010x +；40010x -； (2)2102008000(030)w x x x =-++<<(3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利9000元2．(1)2236y x x =-+；(2)当AB 长为9m 时，花圃面积最大，最大面积为2162m ； (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为6米或12米．3．(1)10300y x =-+(2)定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元 (3)不能销售完这批蜜柚，4．(1)221361800w x x =-+-(2)当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润是512元 (3)2530x ≤≤时350≥w5．(1)25y x =- (2)x 的值为90(3)该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润为675元6．(1)50x +，50010x -(2)y 与x 之间的函数关系式为2104005000(025,y x x x x =-++≤≤为整数)(3)当售价定为70元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是9000元7．(1)12(0)y x x =≥；221(0)2y x x =≥ (2)他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元 (3)68．(1)2，3(2)当=2t 时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4 (3)21,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)270y x x =-+(2)排队等待人数最多时是121人(3)人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况10．(1)2101002000y x x =-++(2)①2元或8元，①每件商品降价5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元 (3)20902250y ≤≤11．(1)2160m x =-+ (2)222204800y x x =-+- (3)至少定价为50元12．(1)1005000y x =-+；(2)当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w 最大，最大利润为48400元； (3)当2030x ≤≤时，日获利w 不低于42000元．13．(1)101100y x =-+ (2)70元(3)售价定为75元可获得最大利润，最大利润是8750元14．(1)14(2)2252w x x =-+，最大338元，最小240元 (3)110,111,112a =答案第3页，共3页 15．(1)()234816y x x x =-+0<<(2)当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m(3)79x ≤≤16．(1)200(2)y 与x 的函数关系式为30010y x =-(3)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．17．(1)()21184105y x =--+ (2)10米 (3)2112182y x x =-++（答案不唯一）18．(1)2146045y x x =-++ (2)953分 (3)4个。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数一、选择题(每小题4分，共40分)1.下列函数是二次函数的是· ( )A.y =x +13B. y=3(x-1)²C. y=ax²+bx+cD. y=+3x 2.关于y=2(x-3)²+2的图象，下列叙述正确的是 ( )A.顶点坐标为(-3,2)B.对称轴为直线y=3C.当x≥3时,y 随x 增大而增大D.当x≥3时,y 随x 增大而减小3.二次函数y=x²-2x+5 的图象的对称轴是( )A. x =1B. x =-1C. x =-2D. x =24.将抛物线 y=5x²+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线( )A. y=5(x+1)²-1B. y=5(x-1)²-1C. y=5(x+1)²+3D. y=5(x-1)²+35.已知某二次函数，当x>1时，y 随x 的增大而减小；当x<1时，y 随x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 ( )A. y =2(x+1)²B. y =-2(x+1)²C. y =2(x-1)²D. y=-2( x-1)²A. k < 1B. k<1且k≠0C. k≤1D. k≤1且k≠08.若二次函数 y=ax²+2 的图象经过P(1,3),Q(m,n)两点,则代数式. n²-4m²-4n+9 的最小值为( )A.1B.2C.3D.49.已知a<b,若二次函数y=(x-a)(x-b)-2与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n,且m<n ，下列结论正确的是( )A. m< a< n< bB. a< m< b< nC. m< a < b< nD. a< m< n< b6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是( )A.方程 ax²+bx+c=0 的解是： x ₁=5,x ₂=-1B. a<0,b>0C.当x<2时，y 随x 的增大而增大D.不等式 ax²+bx+c>0 的解集是0<x<57.二次函数y=kx²-4x+4的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )10.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0) 与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0； ②3a+c=0;③当y>0时,x 的取值范围是-1≤x<3; ④点(-2,y ₁),(2,y ₂) 都在抛物线上，则有. y ₁< 0 < y ₂. 其中结论正确的个数是⋯⋯⋯⋯⋯()A.1个B.2个C.3个D.4个九年级数学5-1二、填空题(每题4分，共24分)11.二次函数y =-(x-6)²+8的最大值是 .12.二次函数y=ax²+bx-5(a≠0)的图象经过点(1,4),则代数式a+b的值为 .13.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x²+6x+k与x轴只有一个交点,则k= .14.当-1≤x≤3时,二次函数y=x²-4x+5 有最大值m,则m= .15.已知二次函数 y=(x-h)²+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5,则h的值为 .16.抛物线y =ax²+bx+c(a,b, c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点,下列四个结论：①一元二次方程ax²+bx+c=0的根为 x₁=2,x₂=-4;②若点C(-5,y₁),D(π,y₂)在该抛物线上,则y₁<y₂;③对于任意实数t，总有at²+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax²+bx+c=p( p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是 (填写序号).三、解答题(共86分)17.(8分)一抛物线以(1，-9)为顶点，且经过点(2，3)，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标.18.(8分)已知抛物线y=x²+(m-2)x-2m.(1)当顶点在y轴上时，求m的值；(2)若抛物线经过原点，求m的值.19.(8分)已知:二次函数 y=-x²+2x+3(1)用配方法将函数关系式化为 y=a(x-h)²+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)画出所给函数的图象；(3)观察图象,指出使函数值y>3的自变量x的取值范围是 .(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；21.(8分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=−35x2+3x+1的一部分，如图所示.20.(8分)已知抛物线y=-x²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),(2)当0≤x≤3时,直接写出(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由.23.(10分)某超市购进一批水果，成本为8元/kg ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m(元/kg)与时间第x 天之间满足函数关系式 m =12x +18(1≤x ≤10, x 为整数)，又通过分析销售情况，发现每天销售量y(kg)与时间第x 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值. 时间第x 天2 5 9 … 销售量y/kg33 30 26 …(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元? 22.(10分)如图,二次函数y=a(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点P 为x 轴上一动点.(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式; (2)如图，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PD.当点D 在抛物线上时，求点D 的坐标.24.(12分)小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(|x|-1)进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究:①写出该函数的一条性质: ;②方程-(|x|-1)²=-1 的解为: ;③若方程-(| x|-1)²=a有四个实数根，则a的取值范围是 .(2)延伸思考:将函数 y=-( |x|-1)²|的图象经过怎样的平移可得到函数 y₁=-( |x-2|-1)²+3的图象?写出平移过程，并直接写出当2<y₁≤3时，自变量x的取值范围.25.(14分)已知抛物线y=x²+mx+n,其中m，n为实数.(1)若抛物线经过点(m，9n)，请判断抛物线与x轴的交点个数；(2)抛物线经过点(x₁,0),(x₂,0),(1,a),(3,b).①若 x₂-x₁=1 时，求a+b的取值范围；②若 1<x₁≤x₂<3, 当ab取得最大值时，求抛物线的解析式.。
2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数的综合题一、单选题△ABC△DEF BC,EF1．如图和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点ΔABCC，E重合，现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．y=ax2+bx+c(a≠0)abc>02c>3b2．如图为二次函数的图象，有下列结论：①；②；③a+2b>m(am+b)(m≠1)|ax2+bx+c|=1；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个y=ax2+bx+c A(1，0)B(m，0)3．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（−2<m<−12b+c>02a+c<0a(m+1)−b+c>0），下列结论：①；②；③；④若方程a(x−m)(x−1)−1=04ac−b2<4a有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，对称轴为x=2的抛物线y= 反比例函数ax 2+bx(a ≠0)与x 轴交于原点O 与点A ，与y =b x （x ＞0）交于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交y 轴于点C ，交反比例函数于点D ，连接y =a x OB 、OD 。
则下列结论中：①ab ＞0；②方程 的两根为ax 2+bx =00，4；③3a+b ＜0；④tan ∠BOC=4tan ∠COD不符合题意的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．以x 为自变量的二次函数y=x 2﹣2（b﹣2）x+b 2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b≥B ．b≥1或b≤﹣154C ．b≥2D ．1≤b≤26．在下列函数图象上任取不同的两点P （x 1， y 1）， Q （x 2， y 2）， 一定能使的是（ y 2−y 1x 2−x 1<0）A ．y=（x>0）B ．y=-（x-2）2+5（x≥0）−2x C ．y=（x-3）2-4（x<0）D ．y=3x+77．如图，抛物线 与 轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 是对称轴上的y =x 2−2x−3y A x B M 一个动点.连接 ,当 最大时，点 的坐标是（ ）AM,BM |AM−BM|M(1,4)(1,2)(1,−2)(1,−6) A．B．C．D．y=ax2+bx+c a≠0x=2x8．抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(−2,0)4ac<b2ax2+bx+c=0，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是x1=−2x2=612a+c>0y>0x−2⩽x<2，；③；④当时，的取值范围是；⑤当x<0y x时随的增大而增大．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1二、填空题9．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．A(3，0)B(1，0)C(−3，9)D(2，4)y=x210．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左C D C′D′ABC′D′或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 .11．定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为 ．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为 。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练（培优篇）：二次函数一、单选题1．下列函数中，表示y 是x 的二次函数的是（ ）A ．B ．1y x x =-+212y x x=+C ．D ．21y x =y =2．抛物线的顶点坐标是（ ）21(7)53y x =-+A ．B ．C ．D ．(7,5)-()7,5--(7,5)(7,5)-3．若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（）ky x =2y ax bx c =++y kx c =+A ．B ．C ．D ．4．二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：()20y ax bx c a =++≠y x x …2-1-012…y …503-4-3-…当时，自变量的取值范围是（ ）5y <x A ．B ．C ．D ．<2x -15x -<<4x >24-<<x5．二次函数图象的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：（1）()20y ax bx c a =++≠()1n -，；（2）；（3）关于x 的方程无实数根；其中正确的个数为（ ）0abc >30a c +<21ax bx c n ++=+A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，函数的图像的顶点为，下列判断正确个数为①；②22(0)y ax bx a =++≠3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭0ab <；③；④点和点都在此函数图像上，则；⑤30b a -=22ax bx m +≥-()14.5,y -()21.5,y 12y y =984a m=-A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：()20y ax bx c a =++≠①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）0abc >930a b c ++=248ac b a -<0a b c -+>A ．1B ．2C ．3D ．48．二次函数（a ，b ，c 为常数，且），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：2y ax bx c =++0a ≠x …1-1…y…1-3…下列结论：①；②二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；③若，则二次函数图像顶点的纵坐2b =0a <标的最小值为3；④当自变量x 的值满足时，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，则11x -≤≤，其中所有正确结论的序号是（ ）02c ≤≤A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④9．抛物线上部分点的对应值如下表：2y ax bx c =++x …2-1-012...y (04)664…从上表可知，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线与轴的个交点为B ．抛物线的对称轴是直线x ()40，1x =C ．函数的最大值是6D ．在对称轴的左侧，随的增大而增大2y ax bx c =++y x 10．关于二次函数的图象与性质，下列结论正确的是（ ）()22233y x =+-A ．函数图象的顶点坐标为()2,3-B ．当时，随的增大而增大<2x -y x C ．二次函数的图象与轴有两个交点x D ．二次函数的图象可由经过平移得到223y x =-11．已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：2y ax bx c =++y x x ⋯1-0123⋯y ⋯188202⋯则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．8y >x 04x <<05x <<C ．或D ．或0x <4x >0x <5x >12．已知开口向下的抛物线经过点，且对称轴为直线，有下列结论：2y ax bx c =++()3,0-=1x -①；②；③若方程有解、，满足，则，；④抛物线0c <0a c +<21ax bx c ++=-1x 2x 12x x <13x <-21x >与直线交于P 、Q 两点，若或1．其中，正确结论的个数是（ ）y x =-PQ =0.2a =-A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知二次函数，当时，y 的取值范围是_____．221y x x =-+53x - 14．函数是二次函数，则________．21m y x x =+-m =15．在同一平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位长2241y x x =+-度，得到新图像的顶点坐标是 _____．16．二次函数图象的对称轴为__________．()()13y x x =+-17．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的不等式2y ax =y bx c =+()2,4A -()1,1B x 的解集为________．2ax bx c +＞18．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作，将向2286y x x =-+-1C 1C 右平移得，与x 轴交于点B 、D ．若直线与、共有2个不同的交点，则m 的取值范围2C 2C y x m =+1C 2C 是______．三、解答题19．某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E 到点A 的距离米，点E 到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点AAB AB 1AE =74EF =为坐标原点，以所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．AB(1)求该抛物线所对应的函数表达式．(2)求拱桥顶面离水面的最大高度．AB (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．0.520．如图是二次函数的图像．2y x bx c =-++(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；(2)当时的取值范围是___________；0y >x (3)当时，，则的值为___________．4m x m <<+54y -<≤m 21．已知二次函数的图象经过点，．2y x bx c =++()1,0A -()3,0B (1)求该二次函数的表达式和图象顶点的坐标．P (2)若，是该二次函数图象上不同的两点．当时，，求点Р到直线的()1,M m y ()2,N n y 12y y =5m n -=MN 距离．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，，三点．()10A -，()30B ，()01C -，(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．23．如图1，抛物线的图象与x 轴交于两点，与y 轴交于点C ，2y ax bx c =++(3,0),(1,0)A B -且．OC OA =(1)求抛物线解析式；(2)点M 是直线上方的抛物线上一动点，M 点的横坐标为m ，四边形的面积为S ，求S 关于m AC ABCM 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P ）逆时针旋转得到，(0,2)D -BD OBD 180︒O B D ''' O 、B 、D 的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P 的坐标．,,O B D ''',B D ''24．已知抛物线．2y x bx c =++(1)如图①，若抛物线与x 轴交于点，与y 轴交点，连接．(30)A ，(03)B -，AB ①求该抛物线所表示的二次函数解析式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作轴于点H ，与线段交于点M ，是否存PH x ⊥AB 在点P 使得点M 是线段的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．PH (2)如图②，直线与y 轴交于点C ，同时与抛物线交于点，以线段为43y x n =+2y x bx c =++()30D -，CD 边作菱形，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求b 的取值范围．CDFE CE25．如图1，在平面直角坐标系下，抛物线与轴交于点、两点，点()270y ax bx a =+-≠x ()30A -,B 在该抛物线上．()6,3M -(1)求抛物线的解析式；(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在射线上取一AM P AM P PQ x ⊥AM Q QM 点，连接，使得，求周长的最大值及此时点的坐标；N PN PQ PN =PQN P (3)如图2，在（2）问的条件下，过点作轴于点，将抛物线向左平移6个单位后得到新抛物线P PF x ⊥F ，是新抛物线的对称轴上一点，点是新抛物线与原抛物线的交点，将点向上平移个单位y 'H y 'D y 'D 13得到点，平面内是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，E T EFTH T 请说明理由．第9页，共1页。
2023年九年级中考数学专题训练:实际问题与二次函数一、单选题1．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元()44x >，商家每天销售纪念品获得的利润w 元，则下列等式正确的是（ ）A ．10740y x =+B ．10140y x =-C ．()()1070040w x x =-+-D ．()()1074040w x x =-+- 2．如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是4m 时，拱顶到水面的距离是2m ，当水面下降1m 后，水面的宽度是( )m ．A ．6BC ．D ．3．如图1，一张边长为a 、8a +的长方形纸片的面积等于30k +，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，k 可以取得的最小整数是( )A ．28-B ．21-C ．10-D ．3 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是80m ；①小球运动的时间为6s ；①小球抛出3s 时，速度为0；①当 4.5s t =时，小球的高度h 是30m ，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①① 5．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（ ）A ．y 与x 之间的函数关系式为300y x =-+B ．当售价为72元时，月销售利润为7296元C ．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元D ．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的运动高度h （米）与运动时间t （秒）之间的解析式是2305h t t =-()06t ≤≤，则小球运动到最高点时的高度是（ ）A ．30米B ．35米C ．36米D ．45米 7．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．方案1或方案2 8．如图，当某运动员以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-．下列结论不正确的是（ ）A ．小球从飞出到落地要用4sB ．小球飞行的最大高度为20mC ．当小球飞出时间从1s 到2s 时，飞行的高度随时间的增大而减小D ．当小球飞出时间从3s 到3.8s 时，飞行的高度随时间的增大而减小二、填空题9．如图是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB 与桥长CD 均为12m ，桥拱顶部O 离水面的距离为6m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．OD 的中点E 到桥拱的距离EF 为______m ．10．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 _____米．11．在边长为5m 的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是24m 的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积2(m )y 与小正方形边长(m)x 之间的函数关系式是_________， 12．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为2116y x =-，当水面离桥顶的高度OH 为4m 时，水面的宽度AB 为______m ．13．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为：217910105y x x =-++，则小明此次实心球训练的成绩为______米．14．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠达到的最大高度为___________米．15．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2140433y x x x =-+≤≤．那么水珠的最大离地高度是________米．16．体育课上小明推铅球，若铅球离开手的水平距离为x （米）、铅球离地面的高度为y （米），铅球的运行路线为抛物线()20.13 2.5y x =--+；当铅球下降过程中高度达到2.4米时，铅球离开手的水平距离为_______________米．三、解答题17．一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x （天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P （元/千克）与销售时间x （天）满足如图所示的函数关系（其中030x ≤≤，且x 为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P （元/千克）与销售时间x （天）的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？18．我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y 件是销售单价x 元的一次函数，如表是该商品的销售数据．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？19．李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元20．如图1，拋物线21y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该拋物线的函数表达式；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P 使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点D 在该抛物线上且横坐标为2，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点M 在y 轴上，当45ADM ∠=︒时，求点M 的坐标．参考答案：1．D2．C3．B4．B5．C6．D7．C8．C9．3210．73##12311．225(25)y x x =-<<12．1613．914．615．4316．417．(1)()1342242030x P x ⎧-+⎪=⎨⎪<≤⎩(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元18．(1)y 与x 的函数关系式为2180y x =-+；(2)每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．19．(1)21404058825871x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（）（）； (2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．20．(1)212133y x x =-- (2)点P 的坐标为()2,1或()4,1--或()41-,；(3)()0,2-或()0,3。
试卷第1页，共6页 2023年九年级数学中考复习：实际问题与二次函数训练（图形问题）附答案一、单选题1．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF ，GH 也用木料）．其中AB ∥EF ∥GH ∥CD ，要使窗框ABCD 的面积最大，则AB 的长为（ ）A ．6米B ．8米C ．12米D ．32．用20cm 长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm ，面积是S cm 2，则S 与x 的函数关系式为（ ）A ．S ＝x (20﹣x )B ．S ＝x (20﹣2x )C ．S ＝10x ﹣x 2D ．S ＝2x (10﹣x )3．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连接EF ．则图中阴影部分图形的面积为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．π 4．如图，已知8AB =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点Р在线段AB 上移动时，点MN 之间的距离最短为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3试卷第2页，共6页5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD （不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）A ．（cm B ．（cm C ．（cm D ．（cm 6．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为x m ，占地面积为y 2m ，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x 2+26x （2≤x ＜52）B ．y ＝﹣12x 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52） D ．y ＝﹣12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52） 7．在ABC ∆中，已知20,BC cm BC =边上的高16AM cm =，在三角形内截取一个面积最大的矩形，并使它的一边在BC 上，求此时矩形的长和宽分别为（ ）A ．10,10cm cmB ．12,10cm cmC ．8,6cm cmD ．10,8cm cm 8．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m ，宽为6m ，抛物线的最高点C 离路面1AA 的距离为8m ．在如图所示的直角坐标系中，该抛物线的函数表达式可表示为（ ）试卷第3页，共6页A ．2188y x =-+B ．21232y x =-+C ．2128y x =-+D ．21832y x =-+二、填空题9．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．则S 与x 的函数关系式为_____________；花圃面积最大是____________平方米．10．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，B 点坐标为()10,7，点D 为BC 上一点，且2DC =，连接AD ，将ABD △沿AD 折叠，压平，使B 点的对应点E 落在坐标平面内．若抛物线2810y ax ax =-+（0a ≠，a 为常数）的顶点落在ADE 的内部（不含边界），则a 的取值范围为_____．11．如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30°的射线OC ，在射线OC 上取点A ，过点A 作AH ∥x 轴于点H ，在抛物线y ＝x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与∥AOH 全等，则符合条件的点A 有____个．试卷第4页，共6页12．如图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A (-2，0)点B (1，0)，抛物线y =x 2-4x +m 与正方形有两个交点时，则m 的取值范围是_______．13．如图，矩形ABCD 中，4BC =，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，连结AF ．AEF 的面积最大为__________．14．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上，若设AE x =，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为________________________（写出自变量的取值范围）．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，且5OA =，过抛物线的顶点B 分别作BC x ⊥轴于C 、BD y ⊥轴于D ，则图中阴影部分图形的面积的和为______．试卷第5页，共6页16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______三、解答题17．如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏．(1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求菜园AB 边的长；(2)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．18．如图，交易会上主办方利用足够长的一段围墙，用围栏围成一个长方形的空地，中间用围栏分割出2个小长方形展厅，并且在与墙平行的一边上各开了一扇宽为1.5m 的门，总共用去围栏36m ．试卷第6页，共6页(1)若长方形展厅ABCD 的面积为290m ，求边AB 的长为多少米？(2)当边AB 的长为多少米时，长方形展厅ABCD 的面积最大？19．如图，在矩形ABCD 的场地内，修建横竖两条甬道，场地其余部分种植草评，已知竖向甬道的宽度是横向甬道宽度的2倍，20AD =米，16AB =米，设横向甬道的宽度为x 米，草坪面积为y 米2．(1)请写出y 与x 之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）(2)若草坪面积为270米2，请求出横向甬道的宽度．20．如图1，已知矩形ABCD 的边长3cm AB =，6cm BC ．某一时刻，动点M 从点A 出发，沿AB 以1cm/s 的速度向点B 匀速运动：同时点N 从点D 出发，沿DA 方向以2cm /s 的速度向点A 匀速运动，点N 运动到点A 时停止运动，运动时间为t ．(1)若AMN 是等腰直角三角形，则t =___________（直接写出结果）．(2)是否存在时刻t ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值，若不存在，请说明理由．(3)如图2，连接CN CM 、，试求2CN CM +的最小值．答案第1页，共1页参考答案：1．A2．C3．A4．B5．A6．A7．D8．B9． S =-42x +24x (0<x <6) 36 10．5251648a << 11．412．126m -<<13．214．y=2x 2-4x+4（0＜x ＜2）15．1251616．417．(1)20米(2)432平方米18．(1)3或10米(2)当132AB =时，所围成的长方形展厅ABCD 的面积最大 19．(1)2252320y x x =-+(2)横甬道的宽度为1m20．(1)2(2)存在，(3)15答案第2页，共1页。
2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%； 方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。
2023中考专题训练——实际问题与二次函数1．如图，有一块矩形铁皮(厚度不计)，长10分米，宽8分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．(1)若无盖方盒的底面积为48平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？(2)若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为0.5元，底面每平方分米的防锈处理费用为2元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？2．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽AB为4m时，拱顶与水面距离为2m. （1）请你在图（2）中，建立适当的平面直角坐标系，使该抛物线拱桥的函数关系式符合2y ax 形式，并求此时，函数关系式；（2）当水面上升0.5m时，求水面宽度.3．有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．(1)销售x只蛋糕的总售价为元(用含x的代数式表示)，并求y与x的函数关系式；(2)当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？(3)当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？4．如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B(12，2)，C(2，54)．请根据以上信息，解答下列问题；(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？5．如图①，在ABC∆中，90ACB∠=︒，6BC=cm，动点P以2cm/s的速度在ABC∆的边上沿A B→的方向匀速运动，动点Q在ABC∆的边上沿C A→的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动(此时点Q尚未到达点A).设点P运动的时间为t(s)，APQ∆的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示.(1)图①中AC=cm，点Q运动的速度为cm/s;(2)求函数S的最大值;(3)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与ABC∆相似?请说明理由.6．如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．7．问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．特例分析:（1）当12a=时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是2m；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是2m．（2）当20a=时，解决“问题情境”中的问题．解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．8．小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案)(2)按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.9．利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:信息1：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.商品的进货单价之和是5元；信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？10．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?11．某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本.已知：两种笔记本的进价之和为10元，甲种笔记本每本获利2元，乙种笔记本每本获利1元，马阳光同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，则购买甲种笔记本多少本时该文具店获利最大？（3）店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本350本和乙种笔记本150本.如果甲种笔记本的售价每提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本；如果乙种笔记本的售价每提高1元，则每天少售出40本乙种笔记本，为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少元时，才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？12．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q 元，试写出利润Q （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．13．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D 到墙面OB 的水平距离为6m 时，隧道最高点D 距离地面10m ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m ，高为6m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？14．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21100y x 的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？(2)如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与斜坡的最近距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？15．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表：（2）若商店预计要在第二个月的销售中获利2000元，则第二个月销售定价每套多少元？（3）若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少元？此时第二个月的最大利润是多少？16．去年我市某水果销售公司购进了国外种植的一种水果，在四月份进行了一个月（30 天）的试销，购进价格为20 元/公斤，销售结束后，发现日销售量P（公斤）与销售时间x（天）之间关系如下列表格：（1≤x≤30，且x 为整数）且后10 天的销售价格Q（元/公斤）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=x+20（21≤x≤30，且x 为整数），（1）观察表格，请用你所学过的一次函数、二次函数和反比例函数的有关知识写出P 与x 所满足的函数关系式，并求出四月份后十天中日销售利润W 的最大值；（2）进入五月份，这种水果在台湾大量上市，受此影响这种水果的购进价格每公斤降低了 5 元，同时公司也加大了宣传力度，结果五月份第一天的销售量比上一个月最后一天的销售量增加了a%，同时价格也比上一个月最后一天的价格增加了0.4a%，结果在五月的第一天就获得了1600 元的利润，请参考一下数据，估算a 的整数值．（参考数据：152=225，162=256，172=289）17．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千30 35 40 45 50克）日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）18．如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？19．某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现：这件产品在未来两个月(60天)的日销量(m 件)与时间(t 天)的关系如图所示.未来两个月(60天)该商品每天的价格(y 元/件)与时间(t 天)的函数关系式为：()()180130,41903160,3t t t y t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩为整数为整数 根据以上信息，解决以下问题：()1请分别确定130t ≤≤和3160t ≤≤时该产品的日销量(m 件)与时间(t 天)之间的函数关系式； ()2请预测未来第一月日销量利润1(W 元)的最小值是多少？第二个月日销量利润2(W 元)的最大值是多少？()3为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a 元.有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润3(W 元)随时间(t 天)的增大而增大，求a 的取值范围．20．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．（1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．参考答案：1．(1)铁皮各角应切去边长是1分米的正方形；(2)当铁皮各角切去边长是3.5分米的正方形时，总费用最低，最低费用为20元．【分析】（1）设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为（10-2x）分米、宽为（8-2x）分米的矩形，根据矩形的面积公式结合无盖方盒的底面积为48平方分米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设铁皮各角切去边长是m分米的正方形，防锈处理所需总费用为w元，由无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由总费用=0.5×侧面积+2×底面积可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】(1)设铁皮各角应切去边长是x分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为(10﹣2x)分米、宽为(8﹣2x)分米的矩形，由题意得：(10﹣2x)(8﹣2x)＝48，整理得：x2﹣9x+8＝0，解得：x1＝1，x2＝8．∵8﹣2x＞0，∴x＜4，∴x＝1．答：铁皮各角应切去边长是1分米的正方形．(2)设铁皮各角切去边长是m分米的正方形，防锈处理所需总费用为w元，∵制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的3倍，∴10﹣2m≤3(8﹣2m)，解得：m≤72．根据题意得：w＝0.5×2×[m(10﹣2m)+m(8﹣2m)]+2(10﹣2m)(8﹣2m)＝4m2﹣54m+160，∴a＝4，b＝﹣54，∴当0＜m≤72时，w的值随m值的增大而减小，∴当m＝72时，w取得最小值，最小值为20．答：当铁皮各角切去边长是72分米的正方形时，总费用最低，最低费用为20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．2．（1）212y x =-；（2）. 【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，线段AB 的中垂线为y 轴建立坐标系，再利用待定系数法求得函数解析式；（2）求出（1）中所求函数解析式15y =-.时x 的值，据此可得. 【解析】（1）建立平面直角坐标系，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A 、B 两点，抛物线顶点O 坐标为()0,0，通过以上条件可设顶点式2y ax =，其中a 可通过代入A 点坐标()2,2--， 到抛物线解析式得出：12a =-， 所以抛物线解析式为212y x =-； （2）水面上升0.5m ，∴ 1.5y =-， 故21 1.52x -=-，解得：1x 2x =(=m ）.答：水面宽度为.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.3．(1)(﹣2x 2+170x )，y ＝﹣2x 2+140x ﹣500；(2)当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；(3)当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【分析】(1)利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做x 只蛋糕的成本可得y 关于x 的解析式；(2)求出y ＝1500时x 的值即可得；(3)将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解析】(1)销售x 只蛋糕的总售价为(170﹣2x)x ＝﹣2x 2+170x(元)，根据题意，得：y ＝(﹣2x 2+170x)﹣(500+30x)＝﹣2x 2+140x ﹣500，故答案为(﹣2x 2+170x)；(2)当y ＝1500时，得：﹣2x 2+140x ﹣500＝1500， 解得：x 1＝20、x 2＝50， ∵x≤40， ∴x ＝20，即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元； (3)y ＝﹣2x 2+140x ﹣500＝﹣2(x ﹣35)2+1950， ∵a ＝﹣2＜0，∴当x ＝35时，y 取得最大值，最大值为1950，答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．4．(1)y ＝﹣x 2+2x +54，喷水装置OA 的高度是54米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是94米；(3)水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．【分析】(1)根据待定系数法，只需将B 、C 坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的解析式；(2)利用抛物线的顶点，可求出喷出的水流距离水面的最大高度；(3)根据题意只需找到抛物线与x 轴交点的横坐标，即可求出喷出水流的最远距离，即可得出答案.【解析】解：(1)∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 表示，且经过点B(12，2)，C(2，54)，∴2211()2225224b c b c ⎧-+⨯+=⎪⎪⎨⎪-+⨯+=⎪⎩，解得，254b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +54，当x ＝0时，y ＝54，即抛物线的函数关系式是y ＝﹣x 2+2x +54，喷水装置OA 的高度是54米；(2)∵y ＝﹣x 2+2x +54＝﹣(x ﹣1)2+94，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝94，答：喷出的水流距水面的最大高度是94米；(3)令﹣x 2+2x +54＝0，解得，x 1＝﹣0.5，x 2＝2.5，答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．【点评】本题主要考察二次函数的实际应用问题，正确理解题意是解题的关键. 5．（1）AC=8cm,点Q 运动的速度为5÷5=1cm/s; （2）当t=4时,函数S 的最大值S=485（3） t=4013或t=167【分析】（1）由勾股定理求得AC 的长，再利用APQ ∆的面积为9,得92AQ CP⨯=,即可解题；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H,证明△AHP ∽△ACB 得AP ABPH BC=,求出边长表示S △APQ=2AQ PH ⨯=68t?52t-,整理成顶点式即可解题；（3）分两种情况讨论当∠PQA=90°时,当∠QPA=90°时,见解析.【解析】解：（1）∵动点P 以2cm/s 的速度运动了5秒到B 点, 如下图, ∴AB=10cm,∵90ACB ∠=︒，6BC =cm ， ∴AC=8cm （勾股定理）由图2可知当时间为5秒时,APQ ∆的面积为9, 即92AQ CP⨯=, ∵BC=CP=6, ∴AQ=3,CQ=8-3=5,∴点Q 运动的速度为5÷5=1cm/s;（2）如下图,过点P 作PH ⊥AC 于H,易证△AHP ∽△ACB, ∴AP ABPH BC=, ∴2106t PH =,解得：PH=65t∵CQ=t, ∴AQ=8-t,∴S △APQ=2AQ PH ⨯=68t?52t -=()2232434845555t t t -+=--+∴当t=4时,函数S 的最大值S=485（3）分两种情况,当∠PQA=90°时,如下图, △AQP ∽△ACB, ∴AP AB AQ AC =,21088t t =-,解得：t=4013；当∠QPA=90°时,如下图, △AQP ∽△ABC, ∴AP AC AQ AB =,28810t t =-,解得：t=167；综上, t=4013或t=167时以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点评】本题考查了相似三角形的综合性质,动点与相似三角形的性质,二次函数与动点问题,难度大,综合性强,熟悉相似三角形的判定与性质,建立边长之间的关系, 用代数式表示出边长是解题关键. 6．（1）y ＝－132x2＋8(－8≤x≤8)；（2）该货车能安全通过这个隧道．理由见解析. 【分析】（1）求出B,C 的坐标,待定系数法即可解题；（2）利用货车的宽度求出此时允许通过的最大高度进行比较即可解题.【解析】(1)由已知得OA ＝OA 1＝8 m ，OC ＝8 m ，AB ＝6 m ．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB 1对应的函数表达式为y ＝ax 2＋8，将B 点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a ＝－132，所以y ＝－132x 2＋8(－8≤x≤8)． (2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y 轴的距离为2 m ． 如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D ，过点D 作DE ⊥AA 1于点E. 当x ＝2时，y ＝－132×22＋8＝638，即D （2，638），所以DE ＝638m ． 因为638＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．【点评】（1）考查了待定系数法求解一元二次函数解析式,（2）考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的性质是解题关键.7．（1）288，324；（2）当20a =时，该养鸡场围成一个边长为20m 的正方形时面积最大，最大面积是()2400m ；（3）当30a ≥时，当矩形的长为30m ，宽为15m 时，养鸡场最大面积为()2450m【分析】（1）根据a=12,分类讨论即可,见解析,（2）表示出()2=215450ABCD S x --+矩形,根据二次函数的性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题.【解析】解：（1）如图①,设矩形的长为x 米,则矩形的宽为（30-12x ）米,面积为S,依题意得：S=x·（30-12x ）=-21302x x +=-()21304502x -+,(x ≤12)∴当x=12时,矩形有最大值为2882m如图②, 设矩形的长为x 米, 则矩形的宽为（36-x ）米,依题意得：S=x·（36-x ）=-()218324x -+, ∴当x=18时,矩形有最大值为3242m 综上,矩形的面积为288，324．（2）如图①，设AB xm =，则()602BC x m =-． 所以()()2=602215450ABCD S x x x -=--+矩形．根据题意，得2030x ≤<． 因为20-<，所以当2030x ≤<时，ABCD S 矩形随x 的增大而减小． 即当20x =时，ABCD S 矩形有最大值，最大值是400（m 2）. 如图②，设AB xm =，则()40BC x m =-． 所以()()2=40220400ABCD S x x x 矩形-=--+．根据题意，得020x <≤． 因为10-<， 所以当20x =时，ABCD S 矩形有最大值，最大值是()2400m .综上，当20a =时，该养鸡场围成一个边长为20m 的正方形时面积最大，最大面积是()2400m ．（3）当020x <≤时，围成边长为604a m +的正方形面积最大，最大面积是()22120360016a a m ++．当2030x <<时，围成两邻边长分别为am ，602am -的养鸡场面积最大，最大面积为()22602a a m -+． 当30a ≥时，当矩形的长为30m ，宽为15m 时，养鸡场最大面积为()2450m ．【点评】本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,表示出二次函数并化为顶点式,分类讨论是解题关键.8．(1) 估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤；(2) ①可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤；②售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.【分析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x 元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x 公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w ，根据总利润=每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得． 【解析】(1) 估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤；(2) ①根据表二的销售记录可知，活鱼的售价每增加1元，其日销售量就减少40公斤，所以按此变化规律可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤； ②由(2) ①，若活鱼售价在50元/公斤的基础上，售价增加x 元/公斤，则可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x 公斤， 设批发店每日卖鱼的最大利润为w ， 由题得2220004450(40040?=40400?=40510001760w x x x x x ⨯=+---+--+（））（）由“在8天内卖完这批活鱼”，可得()8400401760x -≤，解得 4.5x ≤.根据实际意义，有400400x -≥;解得10x ≤.所以 4.5x ≤ 因为400-<,所以当5x <时，w x 随的增大而增大，所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握利用样本估计总体思想的运用及根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式和二次函数的性质． 9．（1）甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元； （2）m=0.55时，s 有最大值，最大值为1705.【解析】试题分析：（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：500+100×0.1m 件，300+100×0.1m件，每件降价后每件利润分别为：（1-m ）元，（2-m ）元；即可得出总利润，利用二次函数最值求出即可． 试题解析：（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．由题意得()()5{3122119x y x y +=++-= 解得23x y =⎧⎨=⎩ 答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． 由题意知甲种商品每件获取的利润为1元,乙种商品每件获取的 利润为2元, 设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元， 则s=（1-m ）（500+100×0.1m ）+（2-m ）（300+100×0.1m） 即s=-2000m 2+2200m+1100 =-2000（m-0.55）2+1705. ∵-2000＜0∴当m=0.55时，s 有最大值，最大值为1705答：当m 定为0.55元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.考点：二次函数的应用，二元一次方程组.10．(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【解析】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元.【点评】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键. 11．（1）甲种笔记本的进价为6元/本，乙种笔记本的进价为4元/本． （2）28（3）当x定为2元时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大，最大利润为1260元．【分析】（1）设甲种笔记本的进价为m元/本，则乙种笔记本的进价为（10-m）元/本，根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，求解即可,（2）设购入甲种笔记本n本，则购入乙种笔记本（60-n）本，根据花费不超过296元，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为正整数，即可解题,（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为w元，根据总利润=单本利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】解：（1）设甲种笔记本的进价为m元/本，则乙种笔记本的进价为（10-m）元/本，根据题意得：4（m+2）+3（10-m+1）=47，解得：m=6，∴10-m=4．答：甲种笔记本的进价为6元/本，乙种笔记本的进价为4元/本．（2）设购入甲种笔记本n本，则购入乙种笔记本（60-n）本，根据题意得：6n+4(60-n) 296,解得：n≤28,则利润=2n+(60-n)=n+60,∵一次项系数大于0,∴利润随n的增大而增大,∵n为正整数，∴n=28时, 该文具店获利最大为88,（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为w元，根据题意得：w=（2+x）（350-50x）+（1+x）（150-40x）=-90（x-2）2+1260，∵在w=-90（x-2）2+1260中，a=-90＜0，∴当x=2时，w取最大值，最大值为1260,答：当x定为2元时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大，最大利润为,1260元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二次函数的应用、二次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据总价=单价×数量，列出关于m的一元一次方程；（2）找准等量关系，列出关于n的一元一次不等式组；（3）根据总利润=单本利润×销售数量，找出w关于x的函数关系式．12．（1）y＝－x＋120；（2）Q＝﹣x2+170x﹣6000，当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润，最大利润是1000元；（3）单价为60≤x≤70的整数．。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数一、单选题1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．将二次函数y=x22个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A．y=(x-2)2B．y=(x+2)2C．y=x2-2D．y=x2+24．二次函数y=a（x-4）2-4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）A．1B．-1C．2D．-2m1m25．已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程m1m2m1m2ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝ x＋在坐标系中的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数y=ax2+bx+3自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得y+5>0成立的x 取值范围是( )A ．x>-2B ．x<-2C ．-2<x<4D ．x>-2或x<47．已知点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（2，0）．若顶点在x 轴下方的二次函数y=x 2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB 恰好只有一个交点，则a 的取值范围（ ） A ．B ．−1≤a <−12−1≤a ≤12C ．D ．﹣1＜a≤112<a <28．下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ）A ．y=﹣2x+3B ．y=﹣ （x ＜0）2xC ．y=D ．y=﹣2x 2（x ＞0）2x9．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．C ．D ．12434510．如图，直线yx +3分别与x 轴，y 轴交于点A 、点B ，抛物线y =x 2+2x ﹣2与y 轴交于点C ，=−34点E 在抛物线y =x 2+2x ﹣2的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是（ ）A ．4B ．4.6C ．5.2D ．5.611．把抛物线y=3x 2向右平移一个单位，则所得抛物线的解析式为 ( )A ．y=3(x+1)2B ．2C ．y=3x 2+1D ．y=3x 2-112．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若二次函数y ＝ax 2－3x ＋a 2－1的图象开口向下且经过原点，则a 的值是 ．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （ ，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x﹣5）=﹣3的两根72为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论是 ．15．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是 16．将抛物线 向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 ．y =2x 217．抛物线y=x 2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①a ＞0；②b ＞0；③4a+2b+c ＜0；④AD+CE ＝4．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题19．已知y=(m+1)，当m 为何值时，是二次函数？xm 2−2m−1+(m−3)x +m 20．已知二次函数y=﹣x 2﹣2x ，用配方法把该函数化为y=a （x﹣h ）2+c 的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．21．已知：二次函数y=（n﹣1）x 2+2mx+1图象的顶点在x 轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．22．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．23．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，求该抛物线的解析式并写出顶点坐标．24．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】－114．【答案】①③⑤15．【答案】﹣1＜x＜316．【答案】y=2x2−317．【答案】y=（x+2）2+218．【答案】②④19．【答案】解：根据题意得：原函数为二次函数，则有{m+1≠0 m2−2m−1=2解得：m=3．20．【答案】解：y=﹣x2﹣2x，=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1即对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，1）21．【答案】解：（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，∴4m2﹣4（n﹣1）=0，∴n﹣1=m2，∴n=m2+1，∵n﹣1≠0，且m 2≥0∴n﹣1＞0，∴图象开口向上；（2）∵y=（n﹣1）x 2+2mx+1，∴对称轴x=，−b 2a=−m n−1=1m 要使为整数，−1n ∵m ，n 为整数，∴只要m=±1，此时n=2，∴存在m=±1，n=2，符合要求；（3）①y=nx 2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n （x 2﹣x﹣2）+x﹣2，令x 2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，若n≠0：b 2﹣4ac=（n﹣1）2+4n （2n+2）=（3n+1）2≥0，当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，当抛物线不过原点时，n=时，b 2﹣4ac=0，图象与x 轴，y 轴各有1个交点，−13综上，当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．−1322．【答案】解：将点A （0，4）与B （1，﹣2）代入解析式，得： ， {c =4−2+b +c =−2解得： ，{b =−4c =4则此函数解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x+4．23．【答案】解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点，∴代入得 ，{c =3−4+2b +c =3解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）24．【答案】解：由题意得：设 ，y =a(x +1)(x−2)点C （0，﹣2）代入： ，－2=a(0+1)(0−2)∴a ＝1，y=(x+1)(x−2)∴，y=x2−x−2即．。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（ ）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（ ）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为 .m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米，花圃的面x 积为 （ ）.S m 2（1）求 关于 的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽 的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE= ，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。
2023年九年级数学中考专题培优训练实际问题与二次函数应用题1．某商场销售一批拜年服，平均每天可售出40件，每件盈利60元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件拜年服每降价1元，商场平均每天可多售出2件，(1)写出商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）．(2)若商场平均每天销售这种拜年服的盈利要达到3000元，则每件拜年服应降价多少元?(3)每件拜年服降价多少元时，商场每天盈利最多?最多盈利为多少元?2．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等．设BC的长为m x，矩形区域ABCD的面积为2m y(1)由图中三个长方形面积相等，得到长方形AEFD面积是长方形BCFE面积的倍．故AE长是BE长度倍．(2)用含x的代数式表示y，并求出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？3．超市销售某种商品，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该商品每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．(1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．(2)当x为多少时，超市每天销售这种商品可获利润2250元？(3)设超市每天销售这种商品可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？4．万德隆超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本价．(1)求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）(2)若使该商品每月的销售利润为3375元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？5．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？6．小强经营的网店以特色小吃为主，其中一品牌茶饼的进价为6元/袋，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：袋）与线下的售价x（单位：元/袋，1016≤≤，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表所示．xx（元/袋）1011121314y（袋）10090807060(1)求y与x的函数关系式．(2)若线上的售价始终比线下的售价每袋便宜1元，且线上的月销量固定为60袋．问当x为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．7．冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁．为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为20元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（盒）与售价x（元/盒）成一次函数关系．其对应关系如下表：售价（元/盒）253035日销售量（盒）110a90(1)根据以上信息，填空：表中a的值是___，y关于x的函数关系式是___；(2)若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于40元/盒，求售价为多少时，日销售利润w最大，最大利润是多少？(3)在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得m元的现金奖励0m ，商家想在日销售量不少于60盒的基础上，日销售最大利润为1650元，求出此时m的值．8．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%．设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？9．某小区计划新建A、B两型停车位共50个，已知新建1个A型停车位和1个B型停车位共需32万元；新建3个A型停车位和2个B型停车位共需76万元，预销售过程中发现：A型停车位的销售单价yA（单位：万元）与其销量xA（单位：个）有如下关系：yA＝﹣xA+40，B型停车位的销售单价yB（单位：万元）与其销量xB（单位：个）有如下关系：yB＝﹣xB+80，且两种车位全部预售出．(1)该小区新建1个A型停车位和1个B型停车位各需多少万元？(2)若B型停车位的销售单价至少比A型停车位贵10万元，求预售完后B型停车位的总利润比A型停车位的总利润至少多多少万元？(3)现小区进行促销，决定把B型停车位每个降低m（m为正整数）万元，结果发现当xA≤18时，销售总利润随x的增大而增大，直接写出m的最小值．10．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．11．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/556070…件）销售量y（件）706040…(1)求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)销售过程中要求卖出的商品数不少于50件，问销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间天x（天）1≤x＜99≤x＜15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x13．某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x＋20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：(1)求每天销售这种水果的利润W （元）与x （天）之间的函数关系式；(2)求x 为何值时，日销售利润为900元？(3)直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？14．为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x （单位：万条100x ≥）的行业数据库，经过调研发现；运行总成本y （单位1万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x 成正比例，维护成本与x 的平方成正比例，运行中得到如下数据，x （单位：万条）200300y （单位：万元）700860(1)求y 与x 之间的函数关系式，(2)该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q 与x 之间的关系式为Q mx n =+，且600x =时，1000Q =，且此时公司的利润W （单位：万元）最大，求m 、n 的值（利润=会员费-运行总成本）．15．某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y （万元）与产量x （吨）之间的关系如图所示（0＜x ≤100）．已知草莓的产销投入总成本p （万元）与产量x （吨）之间满足p ＝x +1．(1)直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．(2)为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．17．某电商准备销售甲，乙两种特色商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲型商品的数量与用4500元购进乙商品的数量相等．甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%．(1)求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？(2)该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件，经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最大？18．受境外疫情的影响，让跨省旅游成为障碍，本地游成为“新宠”．素有“香格里拉”之称的黄林古村在春节期间更是受到游客的青睐．古村内某民宿有50个房间供游客居住．当每个房间的定价为210元时，每天都住满．市场调查表明每间房价在350元到520元之间（含350元，520元）浮动时，每提高10元，日均入住客房减少1间，但对有游客入住的房间，需对每个房间每天支出30元的各种费用．设每个房间每天的定价提高x元．(1)求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；(2)求该民宿客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间每天的定价提高多少元时，w有最大值？(3)由于疫情影响，入住房间不能超过30个，当每个房间每天的定价多少元时，该民宿客房部每天的利润w最大，并求出最大值．19．某文具店计划在40天内销售一种成本为15元本的笔记本，该种笔记本的日销售量p（本）和销售天数x（单位：天，1≤x≤40，且x为正整数）之间满足一次函数关系，且其图象经过点（10，40），（40.10），当1≤x≤20时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间的部分对应值如表所示．销售天数x/天12345678..．销售单价q/元30.53131.53232.53333.534..．当21≤x≤40时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间满足52520 qx=+(1)求销售到第几天时，该种笔记本的销售单价为45元(2)求出日销售量P与销售天数x的函数解析式(3)设该文具店第x天获得的利润为y元，请求出y关于x的函数解析式(4)在这40天中，该文具店第几天能够获利870元？20．某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．每天的定价x（元/间）208228268…每天的房间空闲数y（间）101525…(1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？(2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．参考答案：1．(1)W ＝−2x 2＋80x ＋240(2)30元(3)每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利3200元2．(1)2，2(2)2330(040)4y x x x =-+<<(3)x =20时，y 有最大值，最大值为2300m ．3．(1)y ＝﹣12x +50（0＜x ≤20）(2)10(3)当x 为20时w 最大，最大值是2400元4．(1)y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；(2)当该商品每月销售利润为3375，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为65元；(3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．5．(1)1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元(2)①W 1=－2x 2+40x +7000，W 2=1000－20x ；②当x =5时，W 取得最大值，Wmax =80506．(1)10200y x =-+(2)当x 为16时，线上和线下的月利润总和达到最大，此时的最大利润为940元7．(1)100，y =-2x +160（20＜x ＜80）(2)售价取40时有最大利润，最大利润1600元(3)m =2.5．8．(1)当每个纪念品的销售单价是56元时，商家每天获利4800元；(2)当x ＝60时，符合题意，且利润最大，且最大利润为5200元9．(1)该小区新建1个A 型停车位需12万元，新建1个B 型停车位需20万元(2)620万元(3)410．(1)y =﹣10x +740（44≤x ≤52）(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元(3)为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x 的范围是50≤x ≤5211．(1)y =-2x +180；(2)60元或80元．(3)当销售单价定为65元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是750元12．(1)10%(2)第9天时销售利润最大13．(1)()214565030221≤≤-+=+x x x W ；(2)当x 为20或25时，日销售利润为900元；(3)第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．14．(1)20.0020.6500y x x =++(2)110m =，940n =15．(1)y ＝2.4(030)0.01 2.7(3070)2(70100)x x x x ≤≤⎧⎪-+<≤⎨⎪<≤⎩(2)产量至少要达到80吨16．(1)w ＝﹣10x 2+700x ﹣10000(2)当单价为35元时，该文具每天的利润最大(3)A 方案利润更高，理由见解析17．(1)一件甲，乙商品的进价分别为200元和180元(2)1518．(1)5010x y =-；(2)2132900010w x x =-++，每天定价提高160元时，w 有最大值；(3)每个房间每天的定价410元时，该民宿客房部每天的利润w 最大，最大值为11400元19．(1)21(2)p =-x +50(3)y ＝2110750(120)2262505275(2140)x x x x x x⎧-++⎪⎪⎨⎪--⎪⎩ (4)2120．(1)168(2)宾馆应将房间定价确定为256或260元。
中考数学复习《实际问题与二次函数》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、中考再现，品味真题1. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以 飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t ，y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m ，求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．2. （2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．3.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．4.（2020年·武汉中考）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c，当x=10时，y=400当x=20时，y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．二、模拟训练，冲刺中考1．某“精准扶贫”农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：，（）．（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是元．2．某风景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，销售单价不低于15元/件．市场调查发现，该商品每天的销售量不少于10件，且销售量y（件）与销售单价x(元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式(2)若某天的销售利润为144元，求销售单价(3)求这种纪念品每天销售的最低利润是多少元？3．一次足球训练中小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m ，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？(3)在射门路线的形状 最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．①2.3m ①2.4m ①2.5m ．（填序号即可√6.72≈2.5922）．4．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过(0，3) (1,143) (7,23)三点．(1)求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）(2)有一辆高5m 顶部宽4m 的工程车要通过该隧道 该车能否正常通过？并说明理由(3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC 对隧道进行维修．B C 两点分别在隔离墙和地面上 且AB 与隔离墙垂直 AC 与地面垂直 求钢架BAC 的最大长度．5．冻雨是湖北不常见的天气情况 一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨 许多树木因为冻雨结冰发生折断 我们对一无冰．．树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察 发现一段含冰树枝的重量y （千克）和时间x （小时）(0≤x ≤10)近似满足二次函数关系：y=−1x2+bx+c当x=2时该含冰树枝重9.75千克当x=6时该含冰树枝增重到15.75千克．16(1)求二次函数的解析式．(2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时．．．．的3.5倍时树枝会发生折断请问树枝会折断吗？如果会何时断裂如果不会说明理由．(3)在（2）的树枝折发生折断的经验下从2月3日15时观察同一段树枝经过10小时后冻雨雨量开始增大平均每小时的重量额外增加n千克发现该段树枝在次日凌晨2:00到2:30之间折断请直接写出n的范围__________．6．某市新建了一座室内滑雪场该滑雪场地面积雪厚达40cm整个赛道长150m全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪小明从赛道顶端A处下滑测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据整理得下表．经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．小明出发的同时小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？7．根据市场调查某公司计划投资销售A B两种商品．信息一：销售A商品x（吨）所获利润y A（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：销售B商品x（吨）所获利润y B（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx且销售2吨时获利润20万元销售4吨时可获利润32万元．(1)直接写出y A与x之间的关系式为______ 并求出y B与x的函数关系式(2)如果企业同时对A B两种产品共购进并销售10吨每吨产品购进成本为4万元请设计能获得最大利润的采购方案并求出最大利润(3)假设购买A商品的成本为3万元/吨购买B商品的成本为5万元/吨某公司准备投资44万元购进A B 两种商品并销售完毕要求A商品的数量不超过B商品数量的2倍且销售总利润不低于53万元直接写出B商品的销售数量x的取值范围是______．8．问题背景：为美化校园某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红蓝黄三种颜色的花卉在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉正方形IJKL内种植蓝色花卉剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m AE=LI．红蓝黄三种花卉的单价分别为40元/m2100元/m260元/m2．建立模型：设AE的长为xm购买花卉的总费用为W元．（1）用含x的式子分别写出红蓝黄三种颜色花卉的种植面积（2）求W与x之间的函数表达式方案决策：（3）当购买花卉的总费用最少时求EI的长．9．某宾馆有100个房间供游客居住当每个房间每天的定价是200元时房间会全部住满当每个房间每天的定价每增加5元时就会有一个房间空闲空闲的房间可以出租储存货物每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润如果游客居住房间宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用储存货物不需要额外支出费用设空闲房间有x间．(1)用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是______间①每个房间每天的定价是______元①该宾馆每天的总利润w是______元(2)若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？(3)该宾馆计划接受130吨的货物存储每个房间最多可以存储3吨当每间房价定价为多少元时宾馆每天的总利润w最大最大利润是多少元？10．如图灌溉车为绿化带浇水喷水口H离地竖高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度DE=2.5m竖直高度EF=0.7m H点是下边缘抛物线的最高点下边缘喷水的最大射程OB=2m上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.4m灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．(1)直接写出上下边缘抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）(2)此时距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带直接写出d（米）的取值范围．11．某食品公司通过网络平台直播对其代理的某品牌瓜子进行促销该公司每天拿出2000元现金作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg每日销售y/(kg)与销售单价x（元/kg）满足关系式：y=kx+b部分数据如表：经销售发现销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．(1)求y与x的函数关系式w与x的函数关系式．(2)当销售单价定为多少时销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？(3)网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a<4）的相关费用若此时日获利的最大值为42100元直接写出a的值．m铅球运12．一名男生推铅球铅球在空中运行的路径可以看作是一条抛物线若铅球出手时的高度为53行时在4m处达到最大高度3m 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求铅球运行路径所对应的抛物线的解析式(2)求该男生推铅球的距离(3)若该男生向前进0.5m同时铅球的出手高度增加ℎm铅球运行的路线与（1）中抛物线形状相同最后)m则ℎ的值是______________．推铅球的距离增加了(2√10−11213．某商店销售一种水产品市场调查得数据如下表：通过分析发现该水产品每千克的销售成本是一个常数月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系．(1)直接写出该产品每千克的销售成本并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）(2)要确保该产品月销售利润达到8000元并控制月销售成本不超过12000元销售价格应定为多少元/千克？(3)当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？14．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米以出球口为原点平行于地面的直线为x轴垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系．力度变化时抛物线的顶点在直线y=kx上移动从而产生一组不同的抛物线y=ax2+bx（如图2）．(1)若k=1．①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度①若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m 求该球运行路线的解析式及此球落地点离发球机的水平距离(2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间若k=12直接写出当a满足什么条件时距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下能在最佳区间接到球．15．在投掷实心球的运动中实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s）垂直向上的速度为b（单位：m/s）实心球在空中运动时其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x=at高度y（单位：m）与时间t的关系为y=−5t2+bt+2．(1)在小伟同学的一次投掷中测得a=6m/s b=3m/s①写出x与t的函数关系式为y与t的函数关系式为根据以上关系可得y与x的函数关系式为（不用写出x的取值范围）①求出本次实心球的投掷距离．(2)研究表明：在投掷力度一定时水平速度与垂直向上的速度越接近则实心球的投掷距离越远改进投掷方法后小伟投出了8m的最佳成绩若本次投掷中求实心球在投掷过程中的最大高度．16．如图1 一钢球P从斜面顶端A静止滚下斜面与水平面的夹角∠ABD为30°斜面顶端到水平线的距离AD为10dm．钢球P在斜面上滚动的路程S1是滚动时间t的二次函数部分对应值如下表钢球P在斜面上滚动的速度v(dm s⁄)是时间t(s)的正比例函数函数图像如图2所示．(1)求S1关于t的函数解析式(2)求钢球P滚至底端B的速度(3)钢球P滚动至有阻力的水平线BC上时滚动路程S(dm)与时间T(s)的关系式为S=−2T2+V0TV0(dm s⁄)指的是钢球P在点B的速度大小T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线BC上的点M处（M 在B左侧）有另一钢球Q当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动已知MB=92dm且钢球Q滚动的平均速度为16dm/s请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小）17．小红和小琪在玩沙包游戏某同学借此情境编制了一道数学题请解答这道题．如图在平面直角坐标系中一个单位长度代表1m．小红站在点D(6,0)处在点A(6,1.5)处将沙包（看作点）抛出其运动的路线为抛物线C1:y=a(x−3)2+2.5（a为常数a≠0）的一部分小琪恰在点B(0,c)处接住沙包然后跳起在点C处将沙包回传其运动的路线为抛物线C2:y=−18x2+n8x+c+1（n为常数）的一部分．(1)求a c的值(2)若小红在与点A的竖直距离不超过12m的范围内可以直接接到回传的沙包当n=3时小红能否接住沙包？请说明理由．(3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与AD的水平距离不超过1m与点A的竖直距离不超过12m的矩形请直接写出n的取值范围．18．有一款自动热水壶其工作方式是：常规模式下热水壶自动加热到100°C时自动停止加热随后转入冷却阶段当水温降至60°C时热水壶又自动加热______ 重复上述过程若在冷却过程中按下“再沸腾”键则马上开始加热加热到100°C后又重复上述程序．如图是常规模式下冷却加热过程中水温y(°C)与时间x（min）之间的函数图象其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点）表示冷却过程线段BC表示加热过程．(1)直接写出抛物线AB段线段BC分别对应的函数解析式(2)从100°C开始冷却其间按下“再沸腾”键马上加热到100°C．①若按下“再沸腾”键时水温是82.5°C求该冷却加热过程一共所用时间①若该冷却加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min 直接写出按下“再沸腾”键时的水温．19．某商品的进价为每件40元当售价为每件50元每月可卖出200件如果售价每上涨1元则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）如果售价每下降1元则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数）每月的销售量为y件．(1)①当售价上涨时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______①当售价下降时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______(2)每件商品的售价x定为多少元时每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除当售价每件不低于60元时每月的利润随x的增大而减小请直接写出a的取值范围______．20．如图某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为xm喷出水流与湖面的垂直高度为ym．下表中记录了一个喷头喷出水柱时xm与ym的几组数据：(1)如图以喷泉与湖面的交点为原点建立如图平面直角坐标系求此抛物线的解析式(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水柱求该皮划艇顶棚的宽度．(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度使得游船能从抛物线形水柱下方通过为避免游客被喷泉淋湿 要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时 顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m 已知游船顶棚宽度为2m 顶棚到湖面的高度为1.5m 那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m 才能符合要求？（直接写出结果）参考答案与解析5. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验 收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以 飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图 活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ） 求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．【解析】探究发现：x 与t 是一次函数关系 y 与t 是二次函数关系 设x kt = 2y ax bx =+由题意得：102k = 422216440a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：15122k a b ==-=，， ∴215122x t y t t ==-+，．问题解决（1） 解：依题总 得211202-+=t t ．解得 10t =（舍） 224t =当24t =时 120x =．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m ．（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为m n 飞机相对于安全线的飞行高度21122'=-++y t t n ．125130x << 1255130t ∴<< 2526t ∴<<在21122'=++y t t n 中 当25,0'==t y 时 12.5n =当26,0'==t y 时 26n =．12.526∴<<n ．答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m 且小于26m ．6.（2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动黑球在A处开始减速此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据整理得下表．小聪探究发现黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【分析】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入两组数值求解即可根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系设表达式为y=at2+bt+c代入三组数值求解即可（2）当黑球减速后运动距离为64cm时代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t再将tt2−代入v关于t的函数解析式求得速度v即可（3）设黑白两球的距离为w cm得到w=70+2t−y=148t+70化简即可求出最小值于是得到结论．【详解】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入（0 10）（1 9.5）得{10=b 9.5=k +b 解得{k =−12b =10①v =−12t +10根据运动距离y 与运动时间t 之间成二次函数关系 设表达式为y =at 2+bt +c 代入（0 0） （1 9.75） （2 19）得{0=c 9.75=a +b 19=4a +2b 解得{a =−14b =10c =0①y =−14t 2+10t ;（2）依题意 得−14t 2+10t =64 ①t 2−40t +256=0 解得 t 1=8 t 2=32当t 1=8时 v =6 当t 2=32时 v =−6（舍） 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s ． （3）设黑白两球的距离为w cmw =70+2t −y =14t 2−8t +70=14(t −16)2+6 ①14>0 ①当t =16时 w 的值最小为6①黑 白两球的最小距离为6cm 大于0 黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用 待定系数法求解析式 解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．7.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A B两种农作物为原料开发了一种有机产品A原料的单价是B原料单价的1.5倍若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒每涨价1元每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数）每天的利润是w元求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数且是整数）直接写出每天的最大利润．【详解】解：（1）设B原料单价为m元则A原料单价为1.5m元．依题意得900m −9001.5m=100．解得m=3 1.5m=4.5．经检验m=3是原方程的根．①每盒产品的成本为：4.5×2+4×3+9=30（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000（3）①抛物线w=−10x2+1400x−33000的对称轴为x=70 开口向下①当a≥70时a=70时有最大利润此时w=16000 即每天的最大利润为16000元当60<a<70时每天的最大利润为(−10a2+1400a−33000)元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用二次函数的应用等知识点正确理解题意列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．8.（2020年·武汉中考）某公司分别在A B两城生产同种产品共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c当x=10时y=400当x=20时y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a b的值（2）当A B两城生产这批产品的总成本的和最少时求A B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件C地需要90件D地需要10件在（2）的条件下直接写出A B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时总成本y也为0 再利用待定系数法即可求出a b的值（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式从而可得出A B两城生产这批产品的总成本的和再根据二次函数的性质即可得（3）设从A城运往C地的产品数量为n件A B两城总运费的和为P先列出从A城运往D地的产品数量从B城运往C地的产品数量从B城运往D地的产品数量再求出n的取值范围然后根据题干运费信息列出P与n的函数关系式最后根据一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时总成本也为0 即x=0时则{c=0100a+10b+c=400400a+20b+c=1000解得{a=1b=30c=0故a=1b=30（2）由（1）得：y=x2+30x设A B两城生产这批产品的总成本的和为W则W=x2+30x+70(100−x)=x2−40x+7000。
2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数一、选择题1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A.y ＝3x﹣1B.y ＝ax 2＋bx ＋cC.s ＝2t 2﹣2t＋1D.y ＝x 2＋1x2.若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A.x 1＝0，x 2＝6B.x 1＝1，x 2＝7C.x 1＝1，x 2＝﹣7D.x 1＝﹣1，x 2＝73.点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A.y 3＞y 2＞y 1B.y 3＞y 1＝y 2C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＝y 2＞y 34.抛物线y ＝ax 2＋bx﹣3经过点(1，1)，则代数式a ＋b 的值为( )A.2B.3C.4D.65.将抛物线y=x 2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )A.y=(x﹣1)2+4B.y=(x﹣4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x﹣4)2+66.函数y ＝ax 2＋2ax ＋m(a ＜的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( )A.x ＜﹣4或x ＞2B.﹣4＜x ＜2C.x ＜0或x ＞2D.0＜x ＜27.烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣t 2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点52处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为( )A.91米B.90米C.81米D.80米8.如图在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A ，B 两点.若AB=3，则点M 到直线l 的距离为( )A. B. C.2 D.529474二、填空题9.抛物线y=x 2+mx+n 可以由抛物线y=x 2向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn 值为 .10.若抛物线y=x 2﹣2x﹣3与x 轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 的坐标为 .11.把二次函数y ＝x 2﹣12x 化为形如y ＝a(x﹣h)2＋k 的形式 .12.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示.有以下结论：①abc>0；②a－b+c<0；③2a=b；④4a+2b+c>0；⑤若点(－2,y 1)和(,y 2)在该图象上,则y 1>y 2.13其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).13.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=﹣x 2+x+，则羽毛球飞2989109出的水平距离为 米.14.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2.三、解答题15.已知抛物线y=mx2+（3–2m）x+m–2（m≠0）与x轴有两个不同的交点.(1)求m的取值范围；(2)判断点P（1，1）是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标.16.如图，矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x(秒)，△PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值.17.如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E为x轴下方抛物线上的一点，坐标为(－2，－5)，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A 的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．(1)b ＝，c ＝；(2)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．参考答案1.C2.D3.D4.C5.B6.A7.A8.B9.答案为：66.10.答案为：(﹣1，0)，(3，0).11.答案为：y ＝(x﹣6)2﹣36.12.答案为：②④.13.答案为：5；14.答案为：144.15.解：(1)由题意得，（3–2m ）2–4m （m–2）>0，m≠0，解得，m<2.25且m≠0；(2)当x=1时，mx 2+（3–2m ）x+m–2=m+（3–2m ）+m–2=1，∴点P （1，1）在抛物线上；(3)当m=1时，函数解析式为：y=x 2+x–1=（x+0.5）2–1.25，∴抛物线的顶点Q 的坐标为（–0.5，–1.25）.16.解：(1)∵S △PBQ =PB·BQ ，PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ，12∴y=(18－2x)x ，即y=－x 2＋9x(0＜x≤4)12(2)由(1)知：y=－x 2＋9x ，∴y=－(x －)2＋20，9214∵当0＜x≤时，y 随x 的增大而增大，而0＜x≤4，92∴当x=4时，y 最大值=20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 217.解：(1)把A 、B 两点坐标代入解析式可得解得{25a －5b －5＝0，9a ＋3b －5＝0，){a ＝13，b ＝23，)∴抛物线解析式为y ＝x 2＋x －5 1323(2)假设存在满足条件的P 点，其坐标为(m ， m 2＋m －5)，1323如图，连结AP ，CE ，AE ，过E 作ED⊥AC 于点D ，过P 作PQ⊥x 轴于点Q，则AQ ＝AO ＋OQ ＝5＋m ，PQ ＝|m 2＋m －5|，1323在Rt△AOC 中，OA ＝OC ＝5，则AC ＝5，∠ACO＝∠DCE＝45°，2由题可得EC ＝2，在Rt△EDC 中，可得DE ＝DC ＝，2∴AD＝AC －DC ＝5－＝22当∠BAP＝∠CAE 时，则△EDA∽△PQA，∴＝，即＝，ED AD PQ AQ 242|13m2＋23m －5|5＋m ∴m 2＋m －5＝(5＋m)或m 2＋m －5＝－(5＋m)，132********4当m 2＋m －5＝(5＋m)时，整理可得4m 2－5m －75＝0，132314解得m ＝或m ＝－5(与A 点重合，舍去)，154当m 2＋m －5＝－(5＋m)时，整理可得4m 2＋11m －45＝0，132314解得m ＝或m ＝－5(与A 点重合，舍去)，94∴存在满足条件的点P ，其横坐标为或.9415418.解：(1)﹣2，﹣3；(2)连结OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD ＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由(1)可知，在Rt△AOC 中，∵OC＝OA ＝3，OD⊥AC，∴ D 是AC 的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝OC ＝.1232∴点P 的纵坐标是﹣.32则x 2﹣2x﹣3＝﹣， 解得x ＝.322±102∴当EF 最短时，点P 的坐标是：(，﹣)或(，﹣)2＋102322－10232。
2023年九年级中考数学专题培优训练实际问题与二次函数一、单选题1．图，已知18AB =，点C 在线段AB 上，且6AC =，以AC 为一边向上作等边ACD ，再以CD 为直角边向右作Rt DCE ，使90DCE ∠=︒，F 为斜边DE 的中点，连接BF ，随着CE 边长的变化，BF 长也在改变，则BF 长的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．62．方形ABCD 中，AD ＝4，点E 为AB 边上一动点（不与点B 重合），将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，过E 作EG //DF 交BC 于点G ，则GC 的最小值为（）A ．2BC ．D ．33．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：下列结论不正确的是（）t 01234567…h8141820201814…A ．足球距离地面的最大高度超过20mB ．足球飞行路线的对称轴是直线92t =C ．点（10，0）在该抛物线上D ．足球被踢出57s s :时，距离地面的高度逐渐下降．4．在矩形ABCD 中，动点P 从A 出发，沿A D C →→运动，速度为1m/s ，同时动点Q从点A 出发，以相同的速度沿路线A B C →→运动，设点P 的运动时间为(s)t ，CPQ 的面积为2(m )S ，S 与t 的函数关系的图象如图所示，则CPQ 面积的最大值是（）A ．3B ．6C ．9D ．185．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为m x ，另一边的长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，那么y 与x ．S 与x 满足的函数关系分别是（）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8m ，在两侧距地面3.5m 高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6m ．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）．（建筑物厚度忽略不计）A ．2182y x =-+B ．2172y x =-+C ．2182y x =+D ．2172y x =+7．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系式为y ＝－2110x ＋35x ＋85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A ．83米B ．2米C ．8米D ．10米8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D →→在菱形ABCD 的边AB ，AD 上运动，运动到点D 停止．点'P 是点P 关于BD 的对称点，连接'PP 交BD 于点M ，若(08)BM x x =<<，'DPP 的面积为y ，下列图象能正确反映y 与x 的函数关系的（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()224225y x =--+，由此可知小明此次投掷的成绩是________m ．10．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是2820y x x =-++，则他将铅球推出的距离是____m ．11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽______________m ．12．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离(m)s 与时间(s)t 的函数关系式为2305s t t =-，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行_____m ，才能停下来．13．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2122s t t =-，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了________米．14．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数213y x =与213y x =-的图象，则阴影部分的面积是______．15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是21202S t t -＝，则飞机着陆滑行到停止，最后6s 滑行的路程_____m ．16．设计师以2248=+y x x -的图形为灵感设计杯子如图所示，若43AB DE ＝，＝，则杯子的高CE =_____．三、解答题17．在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m ，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m 时，达到最大高度3.86m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.84m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m 处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？18．如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD AB ≥（即长不小于宽），设矩形的宽AB 的长为x 米，矩形ABCD 面积为y 平方米．(1)若矩形ABCD 的面积150平方米，求宽AB 的长；(2)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD 面积最大，并求出最大面积．19．双手头上前掷实心球是锻炼青少年上肢力量和全身协调性的一个项目，实心球出手后飞行的路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某校一名学生在投掷实心球时，从出手到落地的过程中，实心球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2132.84y x x =-++(1)求该同学投掷实心球时，实心球在空中飞行时竖直高度的最大值；(2)判断并说明，该同学此次投掷实心球的水平距离能否超过10米．20．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元．(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？答案第1页，共1页参考答案：1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．910．1011．12．4513．814．815．1816．1117．(1)20.09 3.86y x =-+(2)0.28m18．(1)宽AB 的长为5米(2)y 与x 的函数关系式为2240y x x =-+，自变量x 的取值范围为4003x <≤(3)当矩形地块的宽为10米时，矩形ABCD 面积最大，最大面积为200平方米19．(1)258(2)不能超过10米20．(1)221201600w x x =-+-(2)该商品销售价定为每干克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元(3)该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元。
2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数基础专题2一、单选题（本大题共15小题）1. （四川省泸州市2022年中考数学真题）抛物线经平移后，不可能得到2112y x x =-++的抛物线是（ ）A ．B ．212y x x =-+2142=--y x C ．D ．21202120222=-+-y x x 21y x x =-++2. （四川省凉山州2022年中考数学真题）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 0）经过点≠（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y 轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．a ＋b ＝3C ．抛物线经过点（－1，0）D ．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1有两个不相等的实数根3. （四川省成都市2022年中考数学真题）如图，二次函数的图像与轴相2y ax bx c =++x 交于，B 两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）()1,0A -1x =A ．B ．当时，的值随值的增大而增大0a >1x >-y x C ．点的坐标为D ．B ()4,0420a b c ++>4. （山东省泰安市2022年中考数学真题）抛物线上部分点的横坐标x ，纵2y ax bx c =++坐标y 的对应值如表：x -2-106y461下列结论不正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为D ．函数的最大值为()2,02y ax bx c =++2545. （河南省许昌市第一中学2021-2022学年九年级上学期开学检测数学试题）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是2(0)y ax bx b a =++≠y ax b =+（ ）A ．B ．C ．D ．6. （四川省广元市2022年中考数学真题）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：（1）abc ＜0；（2）4a +c ＞2b ；（3）3b ﹣2c ＞0；（4）若点A （﹣2，y 1）、点B （﹣，y 2）、点12C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）4a +2b ≥m （am +b ）（m 为常数）72．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年中考数学真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）()2y x m n=++y mx n =+A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8. （湖北省随州市2022年中考数学真题）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0-对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；②20a b +=；③函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；④若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. （北京市东城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）A ．B ．C ．D ．23y x =+23y x =-23y x =+（）2-3)y x =（10. （浙江省温州市2022年中考数学真题）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）2(1)2y x =--A ．若，则B ．若，则0c <a c b<<0c <a b c <<C ．若，则D ．若，则0c >a c b <<0c >a b c<<11. （江苏省泰州市2022年中考数学真题）已知点在下列某一函数()()()1233,,1,,1,y y y --图像上，且那么这个函数是( )312y y y <<A ．B ．C ．D ．3y x=23y x=3y x=3y x=-12. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年中考数学真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．13. （山东省滨州市2022年中考数学真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴相交于点C ，小红同学得出了以下结论：①；②240b ac ->；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）40a b +=0y >26x -<<0a b c ++<A ．4B ．3C ．2D ．114. （山东省威海市2022年中考数学真题）如图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜015. （湖北省鄂州市2022年中考数学真题）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b+c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本大题共6小题）16. （贵州省黔东南州2022年中考数学真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标221y x x =+-是 ．17. （山东省泰安市新泰市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：2y ax bx c =++,,a b c 0a ≠y x x5-4-2-02y606-4-6下列结论：①；0a >②当时，函数最小值为；2x =-6-③若点，点在二次函数图象上，则；()18,y -()28,y 12y y <④方程有两个不相等的实数根．25ax bx c ++=-其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）18. （湖北省武汉市2022年中考数学真题）已知抛物线（，，是常数）2y ax bx c =++a b c 开口向下，过，两点，且．下列四个结论：()1,0A -(),0B m 12m <<①；0b >②若，则；32m =320a c +<③若点，在抛物线上，，且，则；()11,M x y ()22,N x y 12x x <121x x +>12y y >④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．1a ≤-x 21ax bx c ++=其中正确的是 （填写序号）．19. （江苏省连云港市2022年中考数学真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为20.2 2.25y x x =-++，则他距篮筐中心的水平距离是 ．3.05m OH m20. （山东省聊城市2022年中考数学真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的1020x ≤≤最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．21. （山东省烟台市2022年中考数学真题）如图1，△ABC 中，∠ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE AB ，交AC 于点E ，EF BC ，交AB 于点∥∥F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 ．三、解答题（本大题共8小题）22. （四川省遂宁市2022年中考数学真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．()1,1-()2022,2022-(1)求双曲线上的“黎点”；9y x -=(2)若抛物线（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c 的27y ax x c =-+1a >取值范围．23. （湖北省荆州市2022年中考数学真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？24. （湖南省湘潭市2022年中考数学真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围12m 21m 成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池1m AE =且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；232m CG DG (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此BC 时最大面积为多少？25. （四川省雅安市2022年中考数学真题）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．26. （湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市2022年中考数学真题）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．27. （四川省广元市2022年中考数学真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？28. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年中考数学真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x （元/千克）…2022.52537.540…销售量y （千克）…3027.52512.510…(1)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出(),x y y 关于x 的函数关系式；(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w （元）（不计其它成本），①求出w 关于x 的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元）时的销售单价．240=w 29. （湖北省武汉市2022年中考数学真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．A 70cm小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动v cm/s y cm 时间（单位：）变化的数据，整理得下表．t s 运动时间/s t 01234运动速度/cm/sv 109.598.58y09.751927.7536运动距离/cmv t y小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运t动时间之间成二次函数关系．v t y t(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）64cm(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；2cm/s(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．参考答案1. 【答案】D 【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a 不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a 不变，而2112y x x =-++D 选项中a =-1，不可能是经过平移得到，故选：D ．2. 【答案】C 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．【详解】解：A 、根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y 轴的左侧可知0a >，该说法正确，故该选项不符合题意；B 、由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知03a b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得3a b +=，该说法正确，故该选项不符合题意；C 、由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0），对称轴在y 轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；D 、关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1根的情况，可以转化为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≤0）与直线1y =-的交点情况，根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y 轴310-<-<的左侧可知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法1y =-正确，故该选项不符合题意；故选：C ．3. 【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即0a <，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当，随x 的增大而减小；当1x <，y 随1x >y x 的增大而增大，故当11x -<<时，随的增大而增大；当，随的增大而减y x 1x >y x 小，故该选项不符合题意；C 、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线2y ax bx c =++x ()1,0A -B，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；1x =()112B x x +-==3B x =()3,0B D 、根据可知，当时，，故该选项符合题意；()3,0B 2x =420y a b c =++>故选：D ．4. 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭，∴12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=，解得3x =或2x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意；故选C ．5. 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a ，b 的符号，利用排除法即可解答．【详解】解：A 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；B 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，不符合题意；C 、由一次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，符合题意；D 、由一次函数图象可知，a ＜0，b=0，由二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，不符合题意；故选：C ．6. 【答案】C 【分析】由图象可知0,0a c <>，对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为()1,0-，然后可得40,0b a a b c =->-+=，则有5c a =-，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．【详解】解：由图象及题意得：0,0a c <>，对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为()1,0-，∴40,0b a a b c =->-+=，∴，即，40a a c ++=5c a =-∴，故（1）（3）正确；()()0,32342520abc b c a a a <-=⨯--⨯-=->由图象可知当x =-2时，则有420a b c -+<，即42a c b +<，故（2）错误；∵点A （﹣2，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，1272∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，∴，故（4）错误；321y y y >>由图象可知当x =2时，该函数有最大值，最大值为，42y a b c =++∴当x =m 时，（m 为常数），则有，2y am bm c =++∴，即为，故（5）正确；242a b c am bm c ++≥++()42a b m am b +≥+综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C ．7. 【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限，故选：D ．8. 【答案】C【分析】由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12b a -=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b += 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，、21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述15a -<<，结合以上结论可判断正确的项．【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba -=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b +=故②正确，∵图象与y 轴的交点为正半轴，∴c ＞0，则abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得：()()13y a x x =+-，故化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，故③正确，21ax bx c a ++=+变形为：要使方程无实数根，则210ax bx c a ++--=，将c =-3a ，，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则24(1)0b a c a ---<2b a =-2040a +>，则15a >-，综上所述15a -<<，故④正确，则②③④正确，故选C ．9. 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是23y x =+故选：A 10. 【答案】D 【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．【详解】解：当0c >时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得a b c <<，故选项C 错误，选项D 正确；当0c <时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得c a b <＜，故选项A 、B 都错误；故选：D 11. 【答案】D 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y 1、y 2、y 3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A ．把点代入y =3x ，解得y1=-9，y 2=-3，y 3=3，所以()()()1233,,1,,1,y y y --y 1<y 2<y 3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；312y y y <<B ．把点代入y =3x 2，解得y1=27，y 2=3，y 3=3，所以y 1>y 2=y 3，()()()1233,,1,,1,y y y --这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；312y y y <<C ． 把点代入y =，解得y 1=-1，y 2=-3，y 3=3，所以y 2<y 1<y 3，()()()1233,,1,,1,y y y --3x 这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；312y y y <<D ． 把点代入y =-，解得y 1=1，y 2=3，y 3=-3，所以，()()()1233,,1,,1,y y y --3x 312y y y <<这与已知条件相符，故选项正确，符合题意；312y y y <<故选：D ．12. 【答案】A 【分析】分三种情形∶ ①当0＜x ≤2时， 重叠部分为△CDG ，②当2＜x ≤4时，重叠部分为四边形AGDC ，③当4＜x ≤8时，重叠部分为△BEG ，分别计算即可．【详解】解：过点A 作AM ⊥BC ，交BC 于点M ，在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，在Rt △DEF 中，∠F ＝30°，∴∠FED ＝60°，∴∠ACB ＝∠FED ，∴AC EF ，∥在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM ＝BC ＝2，AM ＝212∴S △ABC ＝12BC •AM ＝①当0＜x ≤2时，设AC 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△CDG ，由题意可得CD ＝x ，DG ＝∴S ＝12CD •DG 2；②当2＜x ≤4时，设AB 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为四边形AGDC ，由题意可得：CD ＝x ，则BD ＝4﹣x ，DG ＝4﹣x ），∴S ＝S △ABC ﹣S △BDG ＝4×（4﹣x ）×4﹣x ），12∴S ＝2﹣4x ﹣4）2③当4＜x ≤8时，设AB 与EF 交于点G ，过点G 作GM ⊥BC ，交BC 于点M ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△BEG ，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣x12在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．13. 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．【详解】解：∵抛物线与x 轴交于点A、B ，2y ax bx c =++()2,0-()6,0∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，20ax bx c ++=即，故①正确；24b ac =-△＞0对称轴为，6222b x a -=-=整理得4a ＋b ＝0，故②正确；由图像可知，当y ＞0时，即图像在x 轴上方时，x ＜－2或x ＞6，故③错误，由图像可知，当x ＝1时，，故④正确．0y a b c =++＜∴正确的有①②④，故选：B ．14. 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当1x =时，0y a b =+>，故B 选项结论正确，不符合题意，0a < ，，0b ∴>故A 选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为，12b x a =-=，2b a ∴=-，20a b a a a ∴+=-=->故B 选项结论正确，不符合题意；根据图像可知是关于的方程的一个根，2x =x ()200++=≠ax bx c a 故选项结论正确，不符合题意，C 若点，在二次函数的图像上，()11,x y ()22,x y 当时，，122x x >>120y y <<故D 选项结论不正确，符合题意，故选：D ．15. 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a 、b 、c 的正负即可解答；③将点A 的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a ＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P （1，m ）∴12b a -=，b =-2a ∵a ＜0∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在正半轴∴c ＞0∴abc ＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A （2，1）∴1＝a ·22+2b +c ，即4a +2b +c ＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P （1，m ），且开口方向向下∴x >1时，y 随x 的增大而减小，即④正确；⑤∵a ＜0∴at 2+bt -（a +b ）= at 2-2at -a +2a = at 2-2at +a =a （t 2-2t +1）= a （t -1）2≤0∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C ．16. 【答案】()13-，【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵，()222112y x x x =+-=+-∴抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），221y x x =+-旋转后的抛物线为，()212y x =--+再向下平移5个单位，即．()2125y x =--+-()213y x =---∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．17. 【答案】①③④【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y 2即可③；当()18,y -()28,y y =﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，25564264a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩134a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式是，234y x x =+-∴a =1＞0，故①正确；当时，y 有最小值，故②错误；32x =-254-若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；()18,y -()28,y 136y =284y =12y y <当y =﹣5时，方程即，∵，∴方程2345x x +-=-2310x x ++=23450∆=-=>有两个不相等的实数根，故④正确；25ax bx c ++=-综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．18. 【答案】①③④【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A （-02b x a =-＞1，0），，当时，，求出，再代入判断(),0B m 32m =()312y a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32c a=-32a c +②，抛物线，由点，()()()2211y ax bx c a x x m ax a m x am=++=+-=+--()11,M x y 在抛物线上，得，，把两个()22,N x y ()21111y ax a m x am=+--()22221y ax a m x am=+--等式相减，整理得，通过判断12x x -，121x x m ++-的符()()1212121y y a x x x x m -=-++-号判断③；将方程21ax bx c ++=写成a （x -m ）（x +1）-1=0，整理，得()2110x m x m a +---=，再利用判别式即可判断④．【详解】解： 抛物线过，两点，且，()1,0A -(),0B m 12m <<，122b m x a -+∴=-= ，12m <<，即，11022m -+∴<<02b a -＞抛物线开口向下，， 0a < ，故①正确；0b ∴＞若，则，32m =()23131222y a x x ax ax a ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，32c a ∴=-，故②不正确；3323202a c a a ⎛⎫∴+=+⨯-= ⎪⎝⎭ 抛物线，点，()()()2211y ax bx c a x x m ax a m x am =++=+-=+--()11,M x y 在抛物线上，()22,N x y ∴，，把两个等式相减，整理得()21111y ax a m x am =+--()22221y ax a m x am =+--， ()()1212121y y a x x x x m -=-++-，，，120,a x x << 121x x +>12m <<，12120,10x x x x m ∴-<++-＞，()()12121210y y a x x x x m ∴-=-++-＞，故③正确；12y y ∴＞依题意，将方程a （x -m ）（x +1）-1=0，整理，得21ax bx c ++=，()2110x m x m a +---=，()()2214141m m m a a ⎛⎫∴∆=----=++ ⎪⎝⎭，，12m << 1a ≤-，，()2419m ∴<+<44a ≥-， 故④正确．()2410m a ∴++综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．19. 【答案】4【分析】将代入中可求出x ，结合图形可知，即可求出OH ．3.05y =20.2 2.25y x x =-++4x =【详解】解：当时，，解得：或，3.05y =20.2 2.25 3.05-++x x =1x =4x =结合图形可知：，4OH m =故答案为：420. 【答案】121【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：1020x ≤≤y kx b =+，，10202010k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，130k b =-⎧⎨=⎩∴每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的函数解析式为，30y x =-+设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w 元，，()()()()2288303824019121w x y x x x x x =-=--+=-+-=--+∵1<0，-∴当时，w 有最大值为121，19x =故答案为：121．21.【答案】【分析】根据抛物线的对称性知，BC ＝4，作FH ⊥BC 于H ，当BD ＝2时，▱BDEF 的面积为3，则此时BFAB ＝2BF ，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x ＝4时，y ＝0，∴BC ＝4，作FH ⊥BC 于H ，当BD ＝2时，▱BDEF 的面积为3，∵3＝2FH ，∴FH ＝32，∵∠ABC ＝60°，∴BF ＝32sin 60︒＝∵DE ∥AB ，∴AB ＝2BF＝故答案为：22. 【答案】(1)9y x -=上的“黎点”为()3,3-，()3,3-(2)09c <<【分析】（1）设双曲线9y x -=上的“黎点”为(),m m -，构建方程求解即可；（2）抛物线27y ax x c =-+（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程()270ax x c x a -+=-≠有且只有一个解，3640ac ∆=-=，可得结论．(1)设双曲线9y x -=上的“黎点”为(),m m -，则有9m m --=，解得3m =±，∴9y x -=上的“黎点”为()3,3-，()3,3-．(2)∵抛物线27y ax x c =-+上有且只有一个“黎点”，∴方程()270ax x c x a -+=-≠有且只有一个解，即260ax x c +=-，3640ac ∆=-=，9ac =，∴9a c =．∵1a >，∴09c <<．23. 【答案】(1)232252w x x =-+-(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为万元．61【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；（2）①把代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品4w =的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．(1)解：由题意得：()860w x y =--()()82460x x =---232252,x x =-+-(2)①由（1）得：当时，4w =则即2322524,x x -+-=2322560,x x -+=解得：1216,x x ==即第一年的售价为每件16元，② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，解得： 16,2413x x ì£ï\í-£ïî1116,x ££ 其他成本下降2元/件，∴ ()()2624430148,w x x x x =---=-+- 对称轴为()3015,21x =-=´-10,a =-< 当时，利润最高，为77万元，而∴15x =1116,x ££当时，（万元）11x =513461w =´-=当时， （万元）16x =108476w =´-=6177,w \££所以第二年的最低利润为万元．6124. 【答案】(1)CG 长为8m ，长为4m (2)当BC =m 时，围成的两块矩形总种植面积最大=m 2721474【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y ， BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC ×DC ，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .(1)解：两块篱笆墙的长为12m ，篱笆墙的宽为AD =GH =BC =(21-12)÷3=3m ，设CG 为a m ，DG 为(12-a )m ，那么AD ×DC -AE ×AH =32即12×3-1×（12-a ）=32解得：a =8∴CG =8m ，DG =4m ．(2)解：设两块矩形总种植面积为y m 2，BC 长为x m ，那么AD =HG =BC =x m ，DC =(21-3x )m ，由题意得，两块矩形总种植面积=BC ×DC即y =x ·(21-3x )∴y =-3x 2+21x=-3(x -)2+721474∵21-3x ≤12∴x ≥3∴当BC =m 时，y最大=m 2．72147425. 【答案】(1)()223,1,4y x x D =---(2)E 的坐标为：或或或21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,1-()1,2.-(3)BP 的最小值为：-【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C 的坐标可得函数解析式，化为()()13,y a x x =+-顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由可得抛物线的对称轴为：()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--设 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示 1,x =()1,,E n 210,AC = 再分三种情况讨论即可；224,AE n =+22610,CE n n =++（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由 则在以H 为圆心，HA 为半,PA PD ⊥P 径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．(1)解： 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=--()1,4.D \-(2)如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设 而A （﹣1，0），C （0，-3），()1,,E n ()()222100310,AC \=--++=()2222114,AE n n =++=+()()2222103610,CE n n n =-++=++当时，，90EAC ∠=︒22610410n n n ++=++解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø 当90ACE ∠=︒时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC ∠=︒时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1-或()1,2.-(3)如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D -- ()0,2,H AD HP \-= ()3,0,BBH \BP \-即BP的最小值为：-26. 【答案】(1)；()30(040)140401004y x y x x =<≤⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩＜(2)①甲种花卉种植90m 2， 乙种花卉种植270m 2时，种植的总费用w 最少，最少为5625元；②或．40x ≤60360x ≤≤【分析】（1）根据函数图像分两种情况，时y 为常数，时y 为一次函数，设40x ≤0x 40≤≤10出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；（2）①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，根据乙的面积不m 360m -低于甲的3倍可求出，利用总费用等于两种花卉费用之和，将m 分不同范90m 30≤≤围进行讨论列出总费用代数式，根据m 的范围解出最小值进行比较即可；②将x 按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可．(1)由图像可知，当甲种花卉种植面积m 2时，费用y 保持不变，为30（元/m 2），40x ≤所以此区间的函数关系式为：，30(040)y x ≤=<当甲种花卉种植面积m 2时，函数图像为直线，0x 40≤≤10设函数关系式为：，(0)y kx b x =+40≤≤10∵当x =40时，y =30，当x =100时，y =15，代入函数关系式得：304015100k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1,404k b =-=，∴140(0)4y x x =-+40≤≤10∴当100x ≤时，y 与x 的函数关系式应为：()30(040)140401004y x y x x =<≤⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩＜；(2)①设甲种花卉种植面积为30mm ≥（），则乙种花卉种植面积为360m -，∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，∴3603m m -≥，解得：90m ≤，∴m 的范围为：90m 30≤≤当3040m ≤≤时，3015(360)155400w m m m =+-=+，此时当m 最小时，w 最小，即当m =30时，w 有最小值153054005850⨯+=（元），当时，，400m <≤9211(40)15(360)(50)602544w m m m m =-++-=--+此时当m =90时，离对称轴m =50最远，w 最小，即当m =90时，w 有最小值（元）21(9050)602556254--+=∵5625<5850，∴当m =90时种植的总费用w 最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为=270，360m -故甲种花卉种植90m 2， 乙种花卉种植270m 2时，种植的总费用w 最少，最少为5625元．②由以上解析可知：（1）当时，总费用=（元），40x ≤155400154054006000x +⨯+=≤（2）当时，总费用=，40100x <≤21(50)60254x --+令，21(50)602560004x --+≤解得：或，40x ≤60x ≥又∵，40100x <≤∴60100x ≤≤（3）当时，总费用=（元），100360x <≤360155400⨯=综上，在、和时种植总费用不会超过6000元，40x ≤60100x ≤≤100360x <≤所以甲种花卉种植面积x 的取值范围为：或．40x ≤60360x ≤≤。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 二次函数一、单选题（共 8 小题）1、对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（ ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个 2、如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论： ①0abc <；②420a b c ++>；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =，21x =-； ⑤若(),m n m n <为方程()()1320a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53、如果将抛物线y ＝x 2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x +1）2+1C ．y ＝x 2+1D ．y ＝（x +1）2﹣1 4、如图，一段抛物线()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…，如此进行下去，直至得5C ，若()14,P m 在第5段抛物线5C 上，则m 值为（ ）A ．2B ．1.5C ．2-D ． 2.25-5、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．双曲线C ．抛物线D ．平行四边形6、在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣4x 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x +1）2+1B ．y ＝（x +1）2﹣9C ．y ＝（x ﹣5）2+1D ．y ＝（x ﹣5）2﹣97、二次函数2(21)2y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(1,2)-B ．1(,2)2- C ．(1,2)- D ．1(,2)28、抛物线()212y x =++的顶点坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（1，2-）C ．（1-，2）D ．（1-，2-） 二、填空题（共 7 小题）1、已知某函数的图象过 A （2，1），B （-1，-2）两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y =4x 平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x =1左侧，所有合理推断的序号是_________2、抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x… 2- 1- 0 1 2 … y … 0 46 6 4 … 从上表可知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为__________．3、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）4、二次函数y ＝2(1)3k k x -+的图象开口向上，则k ＝___．5、写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式：_______．6、在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x ，若剩下阴影部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是______．7、二次函数26y x x c =++（c 为常数）与x 轴的一个交点为（－1，0），则另一个交点为___________．三、解答题（共 5 小题）1、已知关于x 的二次函数24y x x m =-+． （1）如果二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =2，求m 的值；（2）若对于每一个x 值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．2、某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数()()231112x bx x y k x x ⎧---≥⎪=⎨+<⎪-⎩的图象与性质进了探究，请补充完整以下的探索过程． x … 2-1- 01 2 3 4 … y … 34 23 12 0 1 0 3- …（1）填空：b =______，k =______．（2）①根据上述表格补全函数图象；②写出一条该函数图象的性质：______．=+与该函数图象有三个交点，直接写出t的取值范围．（3）若直线y x t3、某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）求w 与x 之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？4、在平面直角坐标系xOy 中 ，抛物线241y x x =--与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点A ，B ．（1）求一次函数的表达式；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．5、已知：抛物线1l ：2y x 2x 3=-++交x 轴于点AB （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，抛物线2l 经过点A ，与x 轴的另一个交点为()6,0E ，交y 轴于点()0,3D -．（1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）如图，N 为抛物线1l 上一动点，过点N 作直线MN y ∥轴，交抛物线2l 于点M ，点N 自点A 运动至点B 的过程中，求线段MN 长度的最大值．（3）P 为抛物线1l 的对称轴上一动点Q 为抛物线2l 上一动点，是否存在P 、Q 两点，使得B 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。
2023年九年级数学下册中考专题培优训练（二次函数的图象及基本性质）题组一：二次函数的概念及表达式 知识储备：1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0． 过关练习1.在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--2.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+ B ．245y x x =++ C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---3.如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；4.如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y轴上，C点的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；题组二：二次函数的图象及性质知识储备：1．二次函数的图象与性质开口向上开口向下过关练习1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）A ．对称轴是直线12x = B ．当12x -<<时，0y < C ．a c b +=D ．a b c +>-2.如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-3.关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABP ABP ABP SSSm ===，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．45.将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b=+与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．214-或3-B．134-或3-C．214或3-D．134或3-6.设抛物线2(1)y x a x a=+++，其中a为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m-，则m=______；（2）将抛物线2(1)y x a x a=+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y 轴上，C点的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b−1)x+c>2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=√22时，求P点的坐标．题组三：二次函数图象的特征与a，b，c的关系知识储备字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下b b=0 对称轴为y轴ab>0（a 与b 同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0 与x轴有两个交点b2–4ac<0 与x轴没有交点过关练习1.已知反比例函数byx=的图象如图所示，则一次函数y cx a=+和二次函数2y ax bx c=++在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝a b cx++的图象在同一坐标系中大致为（）A ．B ．C ．D ．3.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣12，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③5.图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0 6.小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab ＞0且c ＞0；②a +b +c ＝0；③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y 1），（﹣2，y 2），（3，y 3）均在二次函数图像上，则y 1＜y 2＜y 3；⑤3a +c ＜0，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）7.已知二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的y 与x 的部分对应值如下表：x5-4- 2-2 y6 06-4-6下列结论： ①0a >；②当2x =-时，函数最小值为6-；③若点()18,y -，点()28,y 在二次函数图象上，则12y y <； ④方程25ax bx c ++=-有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上） 8.如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．。
2023年九年级中考数学专题培优训练实际问题与二次函数
一、单选题
1．图，已知18AB =，点C 在线段AB 上，且6AC =，以AC 为一边向上作等边ACD ，再以CD 为直角边向右作Rt DCE ，使90DCE ∠=︒，F 为斜边DE 的中点，连接BF ，随着CE 边长的变化，BF 长也在改变，则BF 长的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．6
2．方形ABCD 中，AD ＝4，点E 为AB 边上一动点（不与点B 重合），将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，过E 作EG //DF 交BC 于点G ，则GC 的最小值为（ ）
A ．2
B C ．D ．3
3．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）
A ．足球距离地面的最大高度超过20m
B ．足球飞行路线的对称轴是直线9
2
t = C ．点（10，0）在该抛物线上 D ．足球被踢出57s
s 时，距离地面的高
度逐渐下降．
4．在矩形ABCD 中，动点P 从A 出发，沿A D C →→运动，速度为1m/s ，同时动点Q 从点A 出发，以相同的速度沿路线A B C →→运动，设点P 的运动时间为(s)t ，CPQ 的面积为2(m )S ，S 与t 的函数关系的图象如图所示，则CPQ 面积的最大值是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
5．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为m x ，另一边的长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，那么y 与x ．S 与x 满足的函数关系分别是（ ）
A ．一次函数关系，二次函数关系
B ．反比例函数关系，二次函数关系
C ．一次函数关系，反比例函数关系
D ．反比例函数关系，一次函数关系
6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m ，在两侧距地面3.5 m 高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m ．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A ．21
82
y x =-+
B ．2172
y x =-+
C ．2182
y x =+
D ．2172
y x =+
7．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系式为y ＝－2110
x ＋3
5x ＋85，由此可知小宇此次
实心球训练的成绩为（ ） A ．83
米
B ．2米
C ．8米
D ．10米
8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D →→在菱形ABCD 的边AB ，AD 上运动，运动到点D 停止．点'P 是点P 关于BD 的对称点，连接'PP 交BD 于点M ，若(08)BM x x =<<，'DPP 的面积为
y ，下列图象能正确反映y 与x 的函数关系的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
9．教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()2
24225
y x =--+，由此可知小明此次投掷的成绩是________m ．
10．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是2820y x x =-++，则他将铅球推出的距离是____m ．
11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽______________m ．
12．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离(m)s 与时间(s)t 的函数关系式为2305s t t =-，
遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____m ，才能停下来． 13．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2122s t t =-，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了________米．
14．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数
21
3y x =与213
y x =-的图象，则阴影部分的面积是______．
15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是21
202
S t t -＝，则飞机着陆滑行到停止，最后6s 滑行的路程_____m ．
16．设计师以2248=+y x x -的图形为灵感设计杯子如图所示，若43AB DE ＝，＝，则杯子的高CE =_____．
三、解答题
17．在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m ，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m 时，达到最大高度3.86m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.84m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m 处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？
18．如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD AB ≥（即长不小于宽），设矩形的宽AB 的长为x 米，矩形ABCD 面积为y 平方米．
(1)若矩形ABCD 的面积150平方米，求宽AB 的长； (2)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD 面积最大，并求出最大面积．
19．双手头上前掷实心球是锻炼青少年上肢力量和全身协调性的一个项目，实心球出手后飞行的路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某校一名学生在投掷实心球时，从出手到落地的过程中，实心球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系213
2.84
y x x =-++
(1)求该同学投掷实心球时，实心球在空中飞行时竖直高度的最大值； (2)判断并说明，该同学此次投掷实心球的水平距离能否超过10米．
20．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量
y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元．
(1)求w 与x 之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
参考答案：1．B
2．D
3．C
4．C
5．A
6．A
7．C
8．D
9．9
10．10
11
．
12．45
13．8
14．8
15．18
16．11
17．(1)2
0.09 3.86
y x
=-+
(2)0.28m
18．(1)宽AB的长为5米
(2)y与x的函数关系式为2
240
y x x
=-+，自变量x的取值范围为
40 0
3
x
<≤
(3)当矩形地块的宽为10米时，矩形ABCD面积最大，最大面积为200平方米
19．(1)25 8
(2)不能超过10米
20．(1)2
21201600
w x x
=-+-
(2)该商品销售价定为每干克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
(3)该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
答案第1页，共1页。
