专题27 数形结合——初中数学培优

初中数学数形结合解题思想方法探究数形结合是指在解决数学题目时，通过将数学问题与几何图形相结合，利用图形的性质和特点来解决问题。

数形结合是数学思维的一种重要方法，它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化解题思路，提高解题效率。

数形结合在初中数学中的应用非常广泛，包括几何问题、平面图形与平面几何、三角形与三角函数等内容。

下面我将介绍几种常见的数形结合解题思想方法，供大家参考。

一、图形辅助法图形辅助法是指通过绘制几何图形来辅助解决数学问题。

对于一些抽象的数学概念和问题，绘制图形不仅能够帮助我们更好地理解问题，还能够通过观察图形的性质来找到解题的线索。

当解决一个关于比例的题目时，我们可以绘制一个长方形或正方形来帮助理解问题，找到问题的关键信息。

当解决一个关于面积的题目时，我们可以绘制一个平行四边形或三角形来辅助解决问题。

二、分类讨论法分类讨论法是指将问题中的对象或情况分类讨论，从而得到问题的解决思路。

通过将问题进行分类，我们可以得到更多的信息，更好地理解问题，进而找到解题的方法。

当解决一个关于排列组合的题目时，我们可以将不同的情况进行分类讨论，分别求解不同情况下的结果，最后将结果相加或相乘得到问题的解。

当解决一个关于几何图形的题目时，我们可以将不同的特殊情况进行分类讨论，通过观察各个情况的特点来找到解题的线索。

三、坐标系法坐标系法是指通过建立坐标系来描述问题中的对象的位置和关系，从而将几何问题转化为代数问题，利用代数的方法来解决问题。

通过建立坐标系，我们可以通过数学关系式来描述几何图形的性质和特点，进而求解问题。

在解决一个关于直线的题目时，我们可以通过建立直角坐标系，以坐标系中的点和斜率来确定直线的性质和方程，从而解决问题。

四、变量法变量法是指通过引入未知数或变量来表示问题中的对象或条件，从而将问题转化为代数方程的形式，通过解方程求解问题。

以上介绍了一些常见的数形结合解题思想方法，希望能够帮助大家更好地理解数学问题，提高解题能力。

初中数学数形结合解题思想方法探究数学是一门精确的科学，其中涉及到的数形结合问题是数学中的一个重要内容。

解决数形结合问题的方法有很多，下面将介绍三种常用的解题思想和方法。

一、几何思想几何思想是解决数形结合问题的一种重要思想。

它通过几何图形的性质和关系来解决问题。

解题时，可以先根据题目中给出的条件画出几何图形，并找出几何图形之间的性质和关系。

然后利用这些性质和关系进行推理和计算，最终得到问题的解答。

有一个矩形，它的周长是30cm，面积是100cm²，求矩形的长和宽。

解：设矩形的长为x，宽为y。

根据题目中的条件，可以得到以下两个方程：2(x+y) = 30xy = 100利用几何思想，可以发现矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(x+y)，所以可以得到第一个方程。

通过这两个方程，可以解得x=10，y=10。

所以矩形的长和宽分别是10cm。

二、代数思想代数思想是解决数形结合问题的另一种重要思想。

它通过建立代数模型来解决问题。

解题时，可以将问题中的未知量用代数符号表示出来，并建立相应的方程或不等式。

然后利用代数的方法进行运算和计算，得到问题的解答。

有一个数字，它是一个两位数，相反的两个数字之差是36，这个数字是多少？利用代数思想，可以将相反的两个数字表示成10x+y和10y+x。

它们之差是36，所以可以得到上述方程。

三、逻辑思想有5个小方块，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，将这些小方块拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：根据题目中给出的条件，可以知道这个正方形一共有5个小方块，而且边长依次增加1cm。

通过观察和推理，可以得到以下结论：1. 正方形的边长一定大于等于最长的小方块的边长，即大于等于5cm。

2. 正方形的边长一定小于等于所有小方块的边长之和，即小于等于1+2+3+4+5=15cm。

根据以上两个结论，可以得到正方形的边长的范围是5cm到15cm之间。

再观察题目中给出的条件，可以发现正方形的边长的值一定在这个范围中。

《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学知识综述〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。

〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。

d. 熟练把握几个距离公式： 点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22AB x x a =-=||||12∆e. 具备扎实的几何推理论证能力。

一、填空题〔每空5分，共50分〕1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图：那么化简：||||a b a b ++-=__________。

2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。

3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。

4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。

〔写出符合条件的一个点即可〕5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。

6. 二次函数y ax bx c =++2的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，b ，c 的关系式：①abc >0 ②a b c -+=0 ③44122ac b a -= ④a b +=0，其中正确结论的序号是__________〔把你认为正确的都填上〕7. 如图，AB 是半圆的直径，AB=10，弦CD ∥AB ，∠CBD=45°，那么阴影部分面积为__________。

初三数学培优之数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．DAC【例4】 当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】 设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形． （江苏省竞赛试题） 解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值． （俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________.2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依 次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)第2题图 第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由． （武汉市中考题）y xA HG F BCDO E12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ． （美国数学邀请赛试题）第13题图BC14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．第14题图15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060． 求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41． （长春市竞赛试题）l第16题图DBCE17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标． （江苏省竞赛试题）y x第17题图=2x O BA。

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

数形结合【思维入门】1．对坐标平面内不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，用|AB|表示A，B两点间的距离(即线段AB的长度)，用||AB||表示A，B两点间的格距，定义A，B两点间的格距为||AB||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则|AB|与||AB||的大小关系为()A．|AB|≥||AB||B．|AB|＞||AB||C．|AB|≤||AB|| D．|AB|＜||AB||2．若等腰三角形的周长是80 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式的图象是()3．如图10－30－1，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′ 处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()图10－30－1A.32B．3C．1 D.434．如图10－30－2，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为()A．3B．4C．6D．85．甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B 地的路程分别为y 甲(km)，y 乙(km)，甲车行驶的时间为x (h)，y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图10－30－3所示，结合图象解答下列问题： (1)乙车休息了____h ；(2)求乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (3)当两车相距40 km 时，直接写出x 的值．图10－30－3 【思维拓展】6．如图10－30－4，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝kx (k ≠0)中k 的值的变化情况是 ( ) A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大7．关于x 的反比例函数y ＝a ＋4x 的图象如图10－30－5所示，A ，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋14＝0的根的情况是____．8．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y1图10－30－4＋12，则这个反比例函数的表达式为____．9．(1)如图10－30－6①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图10－30－6②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图10－30－6③，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．图10－30－610．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a＞1)的纸片，先减去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…，以此类推，请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．【思维升华】11．如图10－30－7，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在线段AB上，OP(O是坐标原点)将△OAB分成面积为1∶2的两部分，则过点P 的反比例函数解析式为____．图10－30－712．如图10－30－8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30.D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E.设CD＝x，DF＝y.(1)求y与x的函数关系式；(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；(3)当△DEF是直角三角形时，求x的值．图10－30－8数形结合【思维入门】1．对坐标平面内不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用|AB |表示A ，B 两点间的距离(即线段AB 的长度)，用||AB ||表示A ，B 两点间的格距，定义A ，B 两点间的格距为||AB ||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则|AB |与||AB ||的大小关系为 ( C )A ．|AB |≥||AB || B ．|AB |＞||AB ||C ．|AB |≤||AB ||D ．|AB |＜||AB ||【解析】 ∵|AB |，|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的长度是以|AB |为斜边的直角三角形，所以|AB |≤||AB ||. 2．若等腰三角形的周长是80 cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y (cm)与底边长x (cm)的函数关系式的图象是( D )【解析】 根据题意，x ＋2y ＝80， 所以，y ＝－12x ＋40，根据三角形的三边关系，x >y －y ＝0， x <y ＋y ＝2y ，所以x ＋x <80，解得x <40， 所以，y 与x 的函数关系式为 y ＝－12x ＋40(0<x <40)． 只有D 选项符合．3．如图10－30－1，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D ′ 处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为 ( A )图10－30－1A.32 B ．3 C ．1 D.43 【解析】 ∵AB ＝3，AD ＝4， ∴AC ＝32＋42＝5，DC ＝3， 根据折叠可得△DEC ≌△D ′EC ， ∴D ′C ＝DC ＝3，DE ＝D ′E .设ED ＝x ，则D ′E ＝x ，AD ′＝AC －CD ′＝2，AE ＝4－x ，在Rt △AED ′中，(AD ′)2＋(ED ′)2＝AE 2，22＋x 2＝(4－x )2， 解得x ＝32.4．如图10－30－2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB ＝1，BC ＝2，则△ABE 和△BC ′F 的周长之和为 ( C ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【解析】 将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ， 由折叠特性可得，CD ＝BC ′＝AB ，ED ＝EB ， ∠FC ′B ＝∠EAB ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBF ＝∠C ′BF ＋∠EBF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠C ′BF ，⎩⎨⎧∠FC ′B ＝∠EAB ，BC ′＝AB ，∠ABE ＝∠C ′BF .∴△BAE ≌△BC ′F (ASA )，∵△ABE 的周长＝AB ＋AE ＋EB ＝AB ＋AE ＋ED ＝AB ＋AD ＝1＋2＝3.∴△ABE 和△BC ′F 的周长之和＝2△ABE 的周长＝2×3＝6.5．甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h 后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B 地的路程分别为y 甲(km)，y 乙(km)，甲车行驶的时间为x (h)，y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图10－30－3所示，结合图象解答下列问题： (1)乙车休息了__0.5__h ；(2)求乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； (3)当两车相距40 km 时，直接写出x 的值．图10－30－3解：(1)设甲车行驶的函数解析式为y 甲＝k 1x ＋b 1(k 1是不为0的常数)， y 甲＝k 1x ＋b 1图象过点(0，400)，(5，0)， 得⎩⎨⎧b 1＝400，5k 1＋b 1＝0， 解得⎩⎨⎧k 1＝－80，b 1＝400，甲车行驶的函数解析式为y 甲＝－80x ＋400， 当y ＝200时，x ＝2.5， 2．5－2＝0.5(h)， 故乙车休息了0.5 h.(2)设乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式为y 乙＝k 2x ＋b 2， y 乙＝k 2x ＋b 2图象过点(2.5，200)，(5，400)， 得⎩⎨⎧2.5k 2＋b 2＝200，5k 2＋b 2＝400，解得⎩⎨⎧k 2＝80， b 2＝0， 乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式为y 乙＝80x (2.5≤x ≤5)；(3)设乙车与甲车相遇前y 乙与x 的函数解析式为y 乙＝k 3x ， 图象过点(2，200)， 解得k 3＝100，∴乙车与甲车相遇前y 乙与x 的函数解析式为y 乙＝100x ， 0≤x ≤2.5时，y 甲减y 乙等于40 km ， 即400－80x －100x ＝40，解得x ＝2； 2．5≤x ≤5时，y 乙减y 甲等于40 km ， 即80x －(－80x ＋400)＝40，解得x ＝114. 综上所述x ＝2或x ＝114时，两车相距40 km.【思维拓展】6．如图10－30－4，矩形ABCD 的顶点A 在第一象限，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，且对角线的交点与原点O 重合．在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，若矩形ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点A 的反比例函数y ＝kx (k ≠0)中k 的值的变化情况是 ( C ) A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大【解析】 设矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝2b . ∵矩形ABCD 的周长始终保持不变， ∴2(2a ＋2b )＝4(a ＋b )为定值， ∴a ＋b 为定值．∵矩形对角线的交点与原点O 重合． ∴k ＝12AB ·12AD ＝ab .又∵a ＋b 为定值时，当a ＝b 时，ab 最大，∴在边AB 从小于AD 到大于AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小．7．关于x 的反比例函数y ＝a ＋4x 的图象如图10－30－5所示，A ，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△P AB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0的根的情况是__没有实数根__．【解析】∵反比例函数y＝a＋4x的图象位于第一、三象限，∴a＋4>0，∴a>－4，∵A，P关于原点成中心对称，PB∥y轴，△P AB的面积大于12，∴2xy>12，即a＋4>6，a>2，∴a>2.∴Δ＝(－1)2－4(a－1)×14＝2－a<0，∴关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0没有实数根．8．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x2＝x1＋2，且1y2＝1y1＋12，则这个反比例函数的表达式为__y＝4x__．【解析】设这个反比例函数的表达式为y＝k x，∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是同一个反比例函数图象上的两点，∴x1·y1＝x2·y2＝k，∴1y1＝x1k，1y2＝x2k，∵1y2＝1y1＋12，∴x2k＝x1k＋12，∴1k(x2－x1)＝12.∵x2＝x1＋2，∴1k×2＝12，∴k＝4.∴这个反比例函数的表达式为y＝4 x.9．(1)如图10－30－6①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图10－30－6②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：图10－30－5如图10－30－6③，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．图10－30－6解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)证明：如答图①，延长AD至F，第9题答图①第9题答图②使DF＝BE，连结CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.(3)如答图②，过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G .在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°，又∵∠CGA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCG 为正方形．∴AG ＝BC .∵∠DCE ＝45°，根据(1)(2)可知，ED ＝BE ＋DG .∴10＝4＋DG ，即DG ＝6.设AB ＝x ，则AE ＝x －4，AD ＝x －6.在Rt △AED 中，∵DE 2＝AD 2＋AE 2，即102＝(x －6)2＋(x －4)2.解这个方程，得x ＝12或x ＝－2(舍去)．∴AB ＝12.∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )•AB＝12×(6＋12)×12＝108.即直角梯形ABCD 的面积为108.10．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a (a ＞1)的纸片，先减去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…，以此类推，请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．解：如答图①，此时a ＝4.如答图②，此时a ＝2＋12＝52.如答图③，此时a＝1＋13＝43.如答图④，此时a＝1＋23＝53.【思维升华】11．如图10－30－7，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在线段AB上，OP(O是坐标原点)将△OAB分成面积为1∶2的两部分，则过点P的反比例函数解析式为__y＝4x__．图10－30－7 第11题答图【解析】如答图，过点P作PC⊥OA，垂足为C点，由y＝－2x＋6得A(3，0)，B(0，6)，∴S△AOB ＝12×3×6＝9，∵OP将△OAB分成面积为1∶2的两部分，∴S△AOP＝3或6，当S△AOP ＝3时，12×PC×OA＝3，解得PC＝2，即P(2，2)；当S△AOP ＝6时，12×PC×OA＝6，解得PC＝4，即P(1，4)；∴反比例函数系数k＝2×2＝1×4＝4，∴过点P的反比例函数解析式为y＝4 x.12．如图10－30－8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30.D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E.设CD＝x，DF＝y.(1)求y与x的函数关系式；(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；(3)当△DEF是直角三角形时，求x的值．图10－30－8解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30，∴AB＝12AC，∴∠C＝30°.在△DFC中，DF⊥BC，则∠DFC＝90°，∵∠C＝30°，∴DF＝12CD，即y＝12x.(2)∵∠DFC＝∠B＝90°，∴DF∥AB，∵FE∥AC，∴四边形AEFD是平行四边形，若四边形AEFD为菱形，则DF＝DA，其中DF＝y，AD＝60－x.∴12x＝60－x，得x＝40.(3)若∠FDE＝90°，易证四边形DFBE是矩形，∴DE∥FB，∵FE∥AC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF＝CD＝x，∵四边形AEFD是平行四边形，∴EF＝AD＝60－x∴x＝60－x，得x＝30.若∠DEF＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝60，AB＝30，由勾股定理得BC＝303，∵FE∥AC，∴∠EFB＝∠C＝30°，∵∠DFC＝90°，∴∠DFE＝60°，而∠DEF＝90°，∴∠EDF＝30°，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，CD＝x，∴DF＝x2，CF＝32x，同理，在Rt△DFE中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，DF＝x2，∴EF＝x4，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∠EFB＝30°，EF＝x 4，∴FB＝32EF＝32·x4＝38x，∵FB＋CF＝CB，∴38x＋32x＝303，得x＝48.若∠DFE＝90°，显然不成立；综上所述，x＝30或48.。

第三讲：“课题学习”新导向，“数形结合”来帮忙近年来，“新定义式的阅读理解”成为一道独特的风景，这类试题呈现低起点、易进难出、渐入佳境的特点；如何进行思路突破？对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距离”，给出如下定义：若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣；若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。

（1）已知点A 1(0)2-，，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线3y x 34=+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。

（九年级数学）专题复习——数形结合思想班别姓名一、复习内容：数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。

考点1.借助数轴解不等式及根式的化简例1、实数ba,在数轴上对应位置如图所示，则||a b-）abDaCbaBaA---..2..变1、实数cba,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）考点2.图表问题3、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）4、二次函数cbxaxy++=2的图像（如右图）经过),0,3(),0,3(),0,1(CBA则对称轴为_______cbcaDcbaCbabaBbcacA-->--<-<--=->....考点3. 借助平面直角坐标系解函数问题5、若一次函数m x m y +-=)2(的图象经过第一、二、四象限时，m 的取值范围是_______.6、若点),1(,),1(,),2(321y y y -- 在反比例函数xy 2=的图像上，则（ ） 123213312321....y y y D y y y C y y y B y y y A >>>>>>>>7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如左下图所示，顶点为)0,1(-，下列结论0)5(,0)4(,2)3(,04)2(,0)1(2>++>+-==-<c b a c b a a b ac b abc其中正确的有_______8、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右上图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为9、已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与x 的部分对应值如下表：则当5<y 时，x 的取值范围是10、抛物线21=-的大致图象如图所示，点By xA,是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线与y轴交点；（1）判断ABC∆的形状，并说明理由；（2）点P是抛物线上的一点，它的横坐标为2，问在y轴上是否存在一点D，使得BDPD+的长度最小？求出这时点D的坐标。

例谈数形结合在初中数学解题中的应用
数形结合是指通过数学问题中的图形和几何概念来解决数学问题的一种解题方法。

在初中数学中，数形结合常常用于解决与图形和几何有关的问题，如面积、周长、相似等方面的问题。

下面我将以几个常见的例子来说明数形结合在初中数学解题中的应用。

第一个例子是关于面积和周长的问题。

题目如下：一个矩形的长是宽的3倍，如果周长是64，求面积。

这道题可以用数形结合的思想来解答。

设矩形的长为3x，宽为x，则2(3x+x)=64，解得x=8，那么长就是24，宽就是8，面积就是24×8=192。

通过以上几个例子可以看出，数形结合在初中数学解题中有着广泛的应用。

它通过将数学问题转化为几何图形，利用图形的性质和关系来解决数学问题，不仅可以加深学生对数学知识的理解和记忆，还可以培养学生的几何直观思维和解决问题的能力。

在初中数学教学中，教师应该重视数形结合的教学，引导学生从图形中去寻找问题的线索和解决问题的方法，从而提高学生解题的效率和准确性。

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

初一数学培优之数形结合阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而2ba c +=是解题的关键．【例4】 （1）阅读下面材料：点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值范围是___________．④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．能力训练A 级1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．3．点B A ,分别是数3-，21-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到''B A 的中点对应数3，则点'A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为911999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． A ．1998 B ．1999 C ．2000 D ．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）． A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c -8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．B 级1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台439”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题） 4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（ ）．A ．B 点外 B ．线段AC 的中点 C ．线段AC 外一点D ． 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（ ） ．A ．2008，－2009B ．－2008，2009C ．1004，－1005D ．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（）．A ．y 没有最小值B ．只有一个x 使y 去最小值C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值D ．有无穷多个x 使y 取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）。

数形联合思想【中考热门剖析】数形联合思想是数学中重要的思想方法，它依据数学识题中的条件和结论之间的内在联系，既剖析其数目关系，又揭露其几何意义，使数目关系和几何图形奇妙的联合起来，并充足利用这类联合，探究解决问题的思路，使问题得以解决的思虑方法。

几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于掌握。

【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线y3x3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线14yx22x5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线2y 3x3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．4例2.（2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，极点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．1）求抛物线的分析式与极点C的坐标．2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点APB、挪动后对应的点分别记为、，能否存在t ，使得首尾挨次连结、、、所PC AB组成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．分析：（1）待定系数法求分析式即可，求得分析式后变换成极点式即可．2）由于AB为直径，因此当抛物线上的点P在⊙C的内部时，知足∠APB为钝角，因此-1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′对于x轴对称点的坐标为C″，获得直线P″C″的分析式，而后把A点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得:;解得:抛物线分析式为极点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设挪动（向右，向左）连结22则又的长度不变四边形周长最小，只要最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左挪动单位时，此时四边形ABP’C周’长最小。

利用数形结合法巧解初中数学选择题中考并不是全国的统一考试，各地的考试题目也不同，但是数学是一门拉分的学科，因此对于数学的学习很重要。

一般的苦练，或是题海战术对于数学来说未必有用，数学的学习要注重学习方法。

下面就来重点介绍利用数形结合来解决数学问题。

一、数形结合法在了解具体的解题之前，先了解什么是数形结合法。

我国著名数学家华罗庚曾说过数形结合百般好，隔裂分家万事非。

通过这两句话就可以了解到，当数形结合时会产生很奇妙的作用。

数和形是最为古老的两个用来表示一些数学问题或者是生活中的问题的形式，在数学家的眼中，数与形是两个最为基本的研究对象，但是在一定程度上数与形两者之间是可以相互转换的，这就体现出数学的特殊性。

数形结合主要是指数与形相互转化一一对应的关系，数形结合可以将一些抽象复杂的数学题转化为数字和图形，数形结合可以把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来。

数形结合是利用抽象思维与形象思维相结合，将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，这样就达到了化简题目的效果，可以将题目的已知条件与所求的问题用最简单的方式表达出来，最后达到化简题目的效果，不仅如此，还有利于学生解题。

二、下面进行一些实例讲解这是第二道例题，这道题的难度偏大，这道题的解算方法不仅需要使用数形结合，还要设置未知数，虽然在初中这种解题方式也较为常见，但是将数形结合与设置未知数结合在一起使用就算是一道综合性较强的题目了。

这类题一般设置在大题里，如果是设置在选择题里，一般都是为了增加考试结果的区分度的。

对待这类题，对于“数”的处理要几个要求：一是不要害怕设置未知数；二是不要害怕解不出未知数；三是不要一心想着怎样去解出每一个未知数，要根据实际求解的问题来解题；四是列出求解问题的表达式，这里可以将之称为目标函数。

对于“形”的处理，首先根据题意，再结合所绘制的图形设置适当的未知数。

然后就是数形结合，根据题意列出表达式，最后根据目标函数的需要，对所列表达式进行变形，可以直接求出结果。

初三数学专题复习 ------ 数形联合思想经过初中数学的学习，除了应掌握必需的知识技术外，感情数学的思想、累积用数学去解决问题的一些方法也很重要，本专题要点解说初中阶段特别重要的一种数学思想 ------ 数形联合思想。

我们研究的对象可分为数和形两部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形联合。

数形联合的应用大概能够分为以下两种情况： 一、数能够用形来刻画：1、数轴上的点其实不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2 ”，这类说明问题的方式表现的数学思想方法叫做 ( )A ．代人法B ．换元法C ．数形联合D ．分类议论a abb第 1 题图 1第 2 题 图 22、在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形 （a>b ）（如图 1），把余下的部分拼成一个矩形 （如图 2），依据两个图形中暗影部分的面积相等，能够考证（ ）A . (a b)2 a 2 2ab b 2B. (ab)2 a 2 2abb 2C. a 2b 2(a b)(ab)D . (a 2b)( a b) a 2ab 2b 23、 (1) 有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图2．用两种不一样的方法计算图2 中正方形的面积你能够得出的一个等式为：．（ 2）如图 3，现有若干张正方形硬纸片 A 、 C 和若干张长方形硬纸片 B ．假如要拼成一个长为（ 2a ＋ b ）、宽为（ a+2b ）的新长方形，则需要正方形硬纸片 A 张、正方形硬纸片 C 张、长方形硬纸片 B 张．请在右侧的方框内画出你所拼出的长方形图案（注明相应字母） ． 2a 2＋ 3ab ＋ b 2（ 3）试用图 3 中的若干张硬纸片去拼一个长方形的方法，将多项式分解因式的结果为．4、已知反比率函数y 1＝ k的图像与一次函数 y 2＝ x ＋ 1 的图像的一个交点的横坐标是－3．xy（ 1）求 k 的值；（ 2）依据反比率函数图像回答以下问题：①指出当 x ＜－ 1 时， y 1 的取值范围；②指出当 y 1 ＞ 3 时， x 的取值范围；3③指出当 y 1 ＞ y 2 时， x 的取值范围 .－ 3xO二、形能够用数来解说：1、若是用一根钢缆沿地球赤道绕 1 圈，再把这根钢缆放长10 米，这时钢缆和赤道之间的空隙能够经过一头牛仍是一只老鼠？2．。