小学奥数学习资料(完整讲义)

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

经济问题 1例1. 某商品按定价的八折出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润是百分之多少？例2. 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润是百分之多少？例3. 有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？例4.开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分比是多少？例5.一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？例6.某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？例7.张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？练习11．某商品按每个5元利润卖出11个的钱，与按每个11元的利润卖出10个的钱一样多。

这种商品的成本是多少元？2．商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。

问这批钢笔的进货价是每支多少钱？3．租用仓库堆放2吨货物，每月租金6000元，这些货来估计要销售2个月，实际降低了价格，结果1个月就销售完了，由于节省了租金，结算下来，反而多赚1000元。

每千克货物降低了多少元？4．某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80 %。

四年级奥数教材讲义(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲加减速算与巧算 (2)第二讲乘法速算与巧算 (9)第三讲乘除法速算与巧算 (14)第四讲找规律填数 (21)第五讲应用题（一） (26)第六讲错中求解 (33)第七讲数数图形 (40)第八讲数列求和 (46)第九讲和倍问题 (55)第十讲差倍问题 (63)第十一讲和差问题 (70)第十二讲消去法解题 (77)第十三讲还原问题 (84)第十四讲图形面积计算 (91)第一讲加减速算与巧算人生一世离不开计算：日常生活买这买那离不开；学习活动中求解问题离不开；科学研究和统筹设计离不开……。

为了加快我们的生活节奏，提高我们的工作效率，人们总想着算得快些，再快些。

为此，人们总结了不少精彩的速算方法和技巧。

速算和巧算也一直是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确，迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？首先必须掌握一些计算法则、定理、性质和拆、并等一些技巧性方法。

其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。

三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳的算法，从而使较复杂的计算题能很快地计算结果。

在加减法的运算中，同学们熟知的加法交换律和加法结合律是运算的基础，请同学们回忆一下：a＋b﹦；a＋b＋c﹦还有一些比较重要的性质是我们在学习过程中需要掌握的。

⑴“带符号搬家”：在连减或加、减法的混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

即数字与它前面的符号可同时在运算中移动位置，不影响运算的结果。

例如：a－b－c﹦a－c－b a＋b－c﹦a－c＋b⑵“添括号法则”：在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”号，那么括号内的数的原运算符号要改变。

第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142． 因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】 由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数． 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】 找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲 和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒． 则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒 所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时． 而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时． 设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25． 所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟． 有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程． 甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度． 有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈， 所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒． 此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程． 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒． 所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++； 乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。

【最新整理，下载后即可编辑】目录第一课时整数与小数四则混合运算第二课时平均数问题（一）第三课时消去问题第四课时流水行船问题第五课时盈亏问题（一）第六课时盈亏问题（二）第七课时平均数问题（二）第八课时平均数问题（三）第九课时一般应用题（一）第十课时一般应用题（二）第十一课时一般应用题（三）第十二课时一般应用题（四）第十三课时周期问题第十四课时倍数问题（一）第十五课时倍数问题（二）第十六课时假设法解题第十七课时行程问题第十八课时鸡兔同笼问题第一课时整数与小数四则混合运算例：在下面5个0.5之间，添上适当的运算符号+、—、×、÷和括号，使下面的等式成立。

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =2【思路导航】：上述问题我们可以用硬凑的方法来做，不过这样做一般来说比较困难，而且难以找到解题的规律。

此题可以采用倒过来想的方法予以解答。

解：（0.5 + 0.5）÷0.5－0.5+ 0.5 =2（0.5＋0.5）÷0.5＋0.5﹣0.5 =2（0.5＋0.5＋0.5－0.5）÷0.5 =2（0.5＋0.5）÷（0.5×0.5）×0.5 =2说明：上题中采用的分析方法，是从算式的最后一个数字开始逐步向前推想的，这种方法叫做倒推法。

将问题倒过来想，是解决数学问题的一种常见的方法，特别是从条件很难入手的情况下，这种方法可以帮助我们找出问题的突破口。

试试看：在下面的式子里添上运算符号，使等式成立。

⑴0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =0⑵0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =1⑶0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =3⑷0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =4⑸0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =5第二课时平均数问题（一）解决平均数问题的关键是根据已知条件确定“总数”和“份数”。

它们之间具有下列数量关系：平均数=总数÷份数总数=平均数×份数份数=总数÷平均数例1：某商店将4千克水果糖和6千克奶糖混合成什锦糖，已知水果糖每千克4.2元，奶糖每千克5.6元，那么什锦糖每千克多少元？解（4.2×4＋5.6×6）÷（4＋6）=50.4÷10=5.04（元）答什锦糖每千克5.04元。

（四年级）小学数学奥数基础教程-30讲全小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

小学奥数系统讲义完整版小学奥数知识点分类小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点。

小学奥数系统复习讲义(完整版)6．速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7．等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。

拆分裂项公式：等差数列公式：第一部分计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！基本公式1．运算顺序第一级：括号：（）→[ ] → { }第二级：×÷: 同一级别可以交换运算次序简单等比公式：例题分析第三级：＋－：同一级别可以交换运算次序2．去括号1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402①②③a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－ca－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋ca×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c2. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009×2009，B=2008×2010④a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3．分配律/结合律乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×ca×b＋a×c = a×(b＋c)除法：(a＋b) ÷c = a÷c＋b÷ ca÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c4．两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大3.4.结果末尾有多少个零？100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1两个数的积一定，则两数越分散，和越大巩固练习5．几个计算公式5. 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378计算能力速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等基础知识和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等图形问题平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积行程问题相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等数论问题平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制求和公式二：1 +2 +3 +……n =求和公式三：1 +2 +3 +……n =完全平方和（差）公式：（a±b）= a ±2ab+b平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)求和公式一:1+2+3+……+n =序号知识点名称序号知识点名称序号知识点名称 1 归一归总 9 鸡兔问题 17 加法乘法原理 2 和差问题 10 方阵问题 18 排列与组合 3 和倍问题 11 抽屉问题 19 商品利润 4 差倍问题 12 容斥问题 20 存款利息 5 植树问题 13 逻辑问题 21 浓度问题 6 年龄问题 14 数字谜 22 工程问题 7 盈亏问题 15 等差数列 23 正反比例 8 周期问题 16 一笔画24 牛吃草问题6.1÷50+2÷50+3÷50+……50÷502010÷2010第二部分基础知识基础知识点列表7.8.9999999×20097777×3333÷11119.比较下面 A,B 两数的大小： A ＝987654321×123456789；B ＝987654322×123456788归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

第一讲乘除法数字谜（一）专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.算式谜解出后，要验算一遍。

例1.在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。

题中别的数字就容易填了。

练习一第二讲乘除法数字谜（二）例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b＝0，可推知c＝8。

练习二第三讲图形的个数例1.下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3＝18个，2×2的正方形有5×2＝10个，3×3的正方形有4×1＝4个。

因此图中共有18＋10＋4＝32个正方形。

例2.下图中共有多少个三角形？分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6＋3＋4＋1＝14个三角形。

练习三1.下图中共有多少个正方形？2.下图中共有多少个正方形？3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？4.下面图中共有多少个三角形？第四讲找出数字的排列规律（一）找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

小学三年级奥数讲义全集Revised at 16:25 am on June 10, 2021I hope tomorrow will definitely be better小学三年级奥数讲义全集专题一数图形专题简析：先确定起始点或起始边,数出图形的数量,再依次以后一个点或边数出图形的数量;最后求出它们的和;例1、数出下面图中有多少条线段思路：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；以C点为左端点的线段有：CD共1条;所以图中共有线段3＋2＋1=6条;试一试1：数出下图中有条线段;例2、数出下图中有几个角思路：以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD两个；以CO为一边的角有：∠COD一个;所以图中共有3＋2＋1=6个角;试一试2：数出下图中有个角;例3 数出下面图中共有多少个三角形;思路：数三角形的个数与数线段、数角的方法相同：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个；以AD为边的三角形有：△ADE一个;所以图中共有三角形3＋2＋1=6个;试一试3：数出下面图中共有个三角形;专题二：找规律专题简析：按照一定次序排列起来的一列数,叫做数列;寻找数列的排列规律,除了从相邻两数的和、差考虑,有时还要从积、商考虑;例1 在括号内填上合适的数;1：3、6、9、12、、2：1、2、4、7、11、、3： 2,6,18,54, ,思路：第1小题：前一个数加上3就等于后一个数,相邻两个数的差都是3;所以里分别填15和18；2第2小题：相邻两个数的差依次是1,2,3,4……这样下一个数应为11增加5,所以应填16；再下一个数应比16大6,填22;3第3小题：后一个数是前一个数的3倍,所以里应分别填162和486;试一试1：先找规律再填数;12,4,6,8,10, , ；（2）1，2，5，10，17， , ；31,5,25,125, , ；例2 先找出规律,再在括号里填上合适的数;115、2、12、2、9、2、、；221、4,18、5、15、6、、；思路：第1小题：隔着看,第1、3、5……个数依次减3,第2、4、6……个数不变;所以括号里分别应填6、2；2第2小题：隔着看,第1、3、5……个数依次减3,第2、4、6……个数依次加1;所以括号里里分别应填12和7;试一试2：先找规律再填数;12、1、4、1、6、1、、；21、15、3、13、5、11、、；例3 先找出规律,再在括号里填上合适的数;12、5、14、41、；2252、124、60、28、；31、2、5、13、34、；41、4、9、16、25、36、 ;思路：第1小题：相邻两个数,前一个数乘3减1等于后一个数,所以括号里应填122;第2小题：相邻的两个数,前一个数除以2的商减2等于后一个数,所以括号里应填12;第3小题：从第二项开始,每一项乘3等于它前后相邻两数的和,因而括号里应填89;第4小题：依次是1、2、3、4、5、6……的平方,因而第七个数为7×7=49;试一试3：先找规律再填数;12、3、5、9、17、；294、46、22、10、、；32、3、7、18、47、、；41、8、27、64、、 ;专题三加减巧算专题简析：加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法,把接近整十、百、千的数看作所接近的数进行简算;要根据“多加要减去,少加要再加,多减要加上,少减要再减”的原则进行处理;可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整,从而达到简算的目的;例题1计算下面各题;1396＋55 2427＋10083456－298 4582－305思路：396＋55=400＋55－4=451多加要减去427＋1008=427＋1000＋8=1435少加要再加456－298=456－300＋2=158多减要加上582－305=582－300－5=277少减要再减试一试1：速算;1497＋28 2750＋10023574－397 4472―2035402＋307―297―99例题2你有好办法迅速计算出结果吗1502＋799―298―9729999＋999＋99＋9思路：先把每个数分别看作整千、整百、或整十数进行加减,再把零头数加减; 502＋799―298―97=500＋2＋800－1－300＋2－100＋3=500＋800－300－100＋2－1＋2＋3=900＋69069999＋999＋99＋9=10000＋1000＋100＋10－1－1－1－1=11110－4=11106试一试2：速算;307＋201―398―99 1999＋199＋19例题3 计算：487＋321＋113＋479 723－251＋177872＋284－272 537－142－58思路：运用加法交换律、结合律把相加、减得整数的先算出来;487＋321＋113＋479 723－251＋177=487＋113＋321＋479 =723＋177－251=600＋700 =900－251 =1300 =649872＋284－272 537－142－58=872－272＋284 =537－142＋58=600＋284 =537－200=884 =337试一试3：速算;321＋127＋79＋73 235－125＋65483＋254－183 271＋97－171425－172－28 237＋163－28例题4 计算下面各题：321＋279－155 372－54＋72432―154―68思路：去括号时,加括号展开不变号；减括号展开要变号即减号见面变加号321＋279－155 372－54＋72=321＋279－155 =372－72－54 =600－155 =300－54=445 =244432－154－68=432＋68－154=500－154=346试一试3：速算;421＋179－125 523－175＋123 328―184―172专题四文字算式谜专题简析：文字算式是一种数字谜,相同的文字或英文字母应表示相同的数字,不同的文字或英文字母应表示不同的数字;解答时,要仔细观察算式的特征,认真分析,正确选择解题的突破口,最后通过尝试找寻正确答案;例题1下式中,每个字各代表一个不同的数字,其中“心”代表9,请问其他汉字分别代表哪个数字思路：“心”代表0,“心”ד心”=9×9=81,所以“少”×试一试：下面每个字代表不同的数字,这些汉字分别代表几1233、在下面的竖式中,a、b、c、d各代表什么数字专题五填数游戏专题简析：填数游戏不但非常有趣,而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展能力;填数时,要仔细观察图形,确定图形中关键的位置应填几,一般是图形的顶点及中间位置;关键位置的数确定好了,其他问题就迎刃而解了;例题1在下图中分别填入1——9,使两条直线上五个数的和相等,和是多少呢思路：11—9中间的数是5,所以中心的○内填5,剩下八个数,一大一小搭配即可;和=1＋9＋2＋8＋5=252中心的○内也可填1,剩下八个数,一大一小搭配即可;和=2＋9＋3＋8＋1=233中心的○内还可填9,剩下八个数,一大一小搭配即可;和=1＋8＋2＋7＋9=27答：每条直线上数字的和可能是23、25、27;试一试1：把6、8、10、12、14、16、18七个数填在下图的○中,使每排三个数及外圆上三个数的和都是32;例题2 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内,使每个五边形上5个数的和都等于20;思路：1——8的和是36,两个五边形上数字和是40,所以重叠部分的两个圆数字的和=40－36=4=1＋3;即中间两个圆圈分别是1、3;每个五边形上其他三个圆圈数字和是20－4=16=2＋6＋8=4＋5＋7;所以本题应该这样填：试一试2：将数字1——6填入下图中的小圆圈内,使每个大圆上4个数的和都是15;例题3在图中填入2——9,使每边3个数的和等于15;思路：该题的关键是4个顶点;因为求和时这4个顶点各算了两次,多算了一次;四个顶点的和=四边的和减2——9的和=15×4－2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=16;我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点;试一试3：将1——9这九个数填入下图中,使三角形每条边上四个数的和等于19,且有一个顶点的数字为1;例题4把1——8填入下图○内,使每边上三个数的和最大;求最大的和是多少思路：要使每边上三个数之和最大,容易想到把8、7、6、5填在四角,因为四个角上的数在求和时各用了两次,其他数各用了一次;由此我们可以列出求和的算式为：8＋7＋6＋5×2＋4＋3＋2＋1÷4=62÷4和不是整数,说明四条边上的总和要减少2才行,这只要将填在角上的5换成3即可;所以,最大的和为：62－2÷4=15试一试4：把3——10填入下图○中,使每边上三个数的和最大,求最大的和是多少专题六有余除法专题简析：在有余数的除法中,要记住：1余数必须小于除数；2被除数=商×除数＋余数;例1 □÷6=8……□,根据余数写出被除数最大是几最小是几思路：除数是6,根据余数比除数小,余数可填1、2、3、4、5,根据除数×商＋余数=被除数又已知商、除数、余数,可求出最大的被除数为6×8＋5=53,最小的被除数为6×8＋1=49;试一试1：下面题中被除数最大可填几,最小可填几□÷8=3……□例2 □÷□=8……15,要使除数最小,被除数应为几思路：题中余数是15,除数应比余数15大,最小的应该是16;16是最小的除数,根据商×除数＋余数=被除数：被除数=8×16＋15=143试一试2：除数最小时,被除数是几□÷□=10 (7)例3算式28÷ = ……4中,除数和商各是多少思路：根据“被除数=商×除数＋余数”,可以得知“除数×商=被除数－余数”,所以本题中商×除数=28－4=24;这两个数可能是1和24,2和12,3和8,4和6,又因为余数为4,因此除数可以是24、12、8、6,商分别为1、2、3、4;试一试3：149除以一个两位数,余数是5,请写出所有这样的两位数;专题七周期问题专题简析：1先找出一个周期里包含了几个对象;2总数÷周期对象数=周期数＋余数;3有余数,余几就是第几个对象；没有余数,最后一个数是周期内最后一个数;例1 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列如下图,请你算一算,第32个珠子是什么颜色思路：从上图可以看出,珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列,即6个珠子为一周期;32÷6=5组……2个,32个珠子中含有5个周期多2个,所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子,应为红色;试一试1：“我要进江实我要进江实……”依次重复排列,第2013个字是什么例2 2001年10月1日是星期一,问：10月25日是星期几思路：我们知道,每星期有7天,也就是说以7天为一个周期不断地重复;从10月1日到10月25日经过25－1=24天,24÷7=3星期……3天,说明24天中包括3个星期还多3天;所以从10月1日开始过3个星期,最后一天还是星期一,从这最后一天起再过3天就应是星期四;试一试2：2013年5月1日是星期三,9月1日是星期几例3 100个3相乘,积的个位数字是几思路：因数3的个数积的个位1个3——→ 32个3——→ 93个3——→ 74个3——→ 15个3——→ 3……积的个位分别以3、9、7、1不断重复出现,即每4个3积的个位数字为一周期;100÷4=25个,因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个,即是1;试一试3：50个7相乘,积的个位数字是几专题八数学趣题专题简析：对于趣味问题,首先要读懂题意,然后要经过充分的分析和思考,运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决; 例题1 如果每人步行的速度相同,2个人一起从学校到儿童乐园要3小时,那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时思路：2个人一起从学校到儿童乐园要3小时,也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时； 6个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时;试一试1：5只猫5天能捉5只老鼠,照这样计算,要在100天里捉100只老鼠要多少只猫例题2 一条毛毛早由幼虫长成成虫,每天长大一倍,30天能长到20厘米;问长到5厘米时要用多少天思路：毛毛虫每天长大一倍,说明第二天的身长是第一天身长的2倍;这条毛毛虫在第30天时,身长为20厘米,那么在第29天时,这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米；在第28天时,这条虫的身长为10÷2=5厘米;试一试2：1有一个池塘中的睡莲,每天长大一倍,经过10天可以把整个池塘全部遮住;问睡莲要遮住半个池塘需要多少天2一条毛毛虫由幼虫长成成虫,每天长大一倍,15天能长到4厘米;问要长到32厘米共要多少天例题3 小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆,问最多的一堆中最多可放几条鱼思路：要让最多的一堆中小鱼条数尽量多,那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少;所以,第一、二、三堆分别放放1条、2条、3条,这样第四堆就可放：15－1＋2＋3=9条;试一试3：兔妈妈拿来1盘萝卜共25个,分给4只小兔,要使每只小兔分得的个数都不同;问分得最多的一只小兔至多分得几只专题九配对求和专题简析：计算等差数列的和,可以用以下关系式：等差数列的和=首项＋末项×项数÷2末项=首项＋公差×项数－1项数=末项－首项÷公差＋1例题1 你有好办法算一算吗1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=思路：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数,我们可以把10个数分成5组：1＋10,2＋9,3＋8,……,每组两个数的和是11,它们的和就有5个11即11×5=55;算式：1＋10×10÷2=55试一试1：你能迅速算出结果吗11＋2＋3＋4＋ (100)21＋2＋3＋4＋ (55)例题2 计算：32＋34＋36＋38＋40＋42分析：首数32、尾数42、相数：42－32÷2＋1=6;算式：32＋42×42－32÷2＋1÷2=222试一试2：72＋75＋78＋81＋84;例题3 计算：993＋994＋995＋996＋997＋998＋999思路：这几个自然数都接近于1000,我们可以看作7个1000相加,这样就多加了7＋6＋5＋4＋3＋2＋1,就用7000－7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=6072;试一试3：9995＋9996＋9997＋9998＋9999专题十乘法速算专题简析：因数中有5、25、125时首先要考虑他们分别于2、4、8相乘得到10、100、1000;两位数、三位数乘11,可采用“两头一拉,中间相加”的办法;但头尾相加作积的中间数时,哪一位上满10要向前一位进一;例题1 你能很快算出432×5的结果吗思路：一个数与5相乘,因为10÷2=5,可在这个数末尾添上一个0,然后再除以;432×5=432×10÷2=4320÷2=2160试一试1： 470×5 629×5例题2 试着计算下列各题,有什么规律18×11 38×11 432×11思路：一个数与11相乘,将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位,再依次将这个数相邻两位由个位起加起,和写在十位、百位……,哪一位上满十就向前一位进一;18×11=11＋88=19838×11=33＋88=418432×11=44＋33＋22=4752试一试2：35×11 87×11 872×11例题3 你能迅速算出下面各题吗24×15 248×15 3456×15思路：一个因数乘15,也就是用这个数加上它的一半再乘10;24×15=24＋24÷2×10=36×10=360248×15 3456×15=248＋248÷2×10 =3456＋3456÷2×10=372×10 =5184×10=3720 =51840试一试3：32×15 284×15 4956×15例题4 下面的乘法有规律吗124×25 221×25 325×427思路：因为25×4=100,因此一个数与25相乘,我们就看这个数里有几个4,有几个4就有几个100,余几就加几个25;24×25=25×4×6=60021×25 427×25=25×20＋1 =25×424＋3=25×4×5＋25×1 =25×4×106＋25×3=525 =10675试一试4：28×25 25×27 25×377专题十一乘除巧算专题简析：根据2×5=10,4×25=100,8×125=1000,运用运算定律,例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等,善于运用运算定律,是提高巧算能力的关键;例1 你有好办法算出下面各题的结果吗125×17×4 28×18×12538×25×4×125 4125×2×8×5思路：题中有25、125时,一般考虑25与4相乘、125与8相乘;25×17×4 8×18×125=25×4×17 =8×125×18=100×17 =1000×18=1700 =180008×25×4×125 125×2×8×5 =8×125×25×4 =125×8×2×5=1000×100 =1000×10=100000 =10000试一试1：125×23×4 2125×27×835×25×2×4 4125×4×8×25例2 你有好办法计算下面各题吗125×8 216×125316×25×25 4125×32×25思路：有25、125没有4、8时,先转换出4、8出来;25×8 16×125=25×4×2 =125×8×2=100×2 =1000×2=200 =200016×25×25 125×32×25=4×4×25×25 =125×8×4×25=4×25×4×25 =125×8×4×25=100×100 =1000×100=10000 =100000试一试2：125×12 248×1253125×16×5 4125×64×25例3 你能很快算出它们的结果吗182×88 251×59思路：被乘数和乘数十位上的数字相同,个位数字和是10;首位数字加1再乘首位数字,得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘,得数作为积的末位两个数字,如果末位数字相乘的积是一位数,要在前面被一个0;82×88 51×59=90×80＋2×8 =60×50＋1×9 =7200＋16 =3000＋9=7216 =3009试一试3：72×78 45×45 81×89例4 简便运算：130÷5 4200÷25 34000÷125思路：运用商不变的性质,即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数0除外,商不变;130÷5=130×2÷5×2=260÷10=26130÷5=130÷10×2=13×2=264200÷25=4200÷100×4=42×4=168 34000÷125=34000÷1000×8=34×8=272试一试4：170÷5 3600÷25 43000÷125专题十二应用题一专题简析：分析应用题的数量关系时,可以从条件出发,逐步推出所求的问题；也可以从问题出发,找到必须的两个条件;有时,借助线段图来分析应用题的数量关系,就更容易了;例题1 学校里有排球24只,足球的只数比排球的2倍少5只,学校有排球、足球共多少只思路：根据题意画出线段图把24只排球看作1倍数；先根据倍数关系求出足球的数量,再求两种球的和;足球：24×2－5=43只总数： 24＋43=67只试一试1：王奶奶家养鸡12只,养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只;王奶奶家共养鸡、鹅多少只例题2 人民广场花圃中有180盆郁金香,比月季花盆数的3倍少15盆;月季花有多少盆思路：根据题意画出线段图把月季花的盆数看作1倍数,郁金香的盆数是这样的3倍少15盆;如果郁金香再增加15盆,就正好是月季花盆数的3倍;因此用180＋15÷3=65盆就可求出月季花的盆数;试一试2：饲养场养母鸭400只,比公鸭只数的7倍还多36只;饲养场养公鸭多少只例题3 小林家养了一些鸡,黄鸡比黑鸡多13只,白鸡比黄鸡多12只,白鸡的只数正好是黑鸡的2倍;白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只思路：根据题意画出线段图从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只,这相当于黑鸡的2－1=1倍;黑鸡：13＋12÷2－1=25只黄鸡：25＋13=38只白鸡：25×2=50只试一试3：有甲、乙、丙三筐苹果,甲筐比乙筐多12只苹果,丙筐比甲筐多15只苹果,丙筐苹果个数是乙筐的4倍;甲、乙、丙筐各有多少只苹果例题4 用一批纸装订同样大小的练习本,如果每本16页,可装订400本;如果每本20页,可以少装订多少本思路：先求出这批纸的总页数16×400=6400页；再求出如果每本20页可装订的本数6400÷20=3200本,最后求少装订的本数400－320=80本;试一试4：服装厂有一些布料加工窗帘,如果把窗帘做成3米长,可做140幅;如果每幅窗帘做成2米长,则可多做多少幅例题5 李师傅原计划6小时加工零件480个,实际2小时加工192个;照这样的效率,可以提前几小时完成思路：工作效率=工作总量÷工作时间;实际工作效率：192÷2=96个/小时实际工作时间：480÷96=5小时提前时间：6－5=1小时试一试5：暑假中,小宁30天共要写大字600个,实际12天已写大字360个;照这样的速度,小宁可以提前几天写完同样多的字专题十三应用题二专题简析：解答一般应用题的关键是要掌握数量关系,了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系,找出解题方法,灵活解题;例题1 一列火车早上5时从甲地开往乙地,按原计划每小时行驶120千米,下午3时到达乙地,但实际到达时间是下午5时整,晚点2小时;问火车实际每小时行驶多少千米思路：由“早上5时出发,计划下午3时到达”可知,火车计划行驶12＋3－5=10小时;则甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时,实际行驶10＋2=12小时,实际每小时行1200÷12=100千米;试一试1：一列火车早上6时从甲城开往乙城,计划每小时行驶100千米,下午6时到达乙城;但实际到达时间是下午4时,提前2小时;问火车实际每小时行驶多少千米例题2 小宁、小红、小佳去买铅笔,小宁买了7枝,小红买了5枝,小佳没有买;回家后,三个人平均分铅笔,小佳拿出8角钱,小佳应给宁多少钱给小红多少钱思路：三人平分,每人应得7＋5÷3=4枝；而小佳拿出的8角钱就是4枝铅笔的价钱,每枝铅笔：8÷4=2角;小佳应给小宁2×7－4=6角钱,应给小红2×5－4=2角钱;试一试2：张、王、李三家合用一个炉灶,他们烧的柴同样多,张家出了4担柴,李家出了5担柴,王家因无柴付18元;张、李家各得多少钱例题3 用一个杯子向空瓶里倒牛奶,如果倒进去2杯牛奶,连瓶共重450克；如果倒进去5杯牛奶,连瓶共重750克;一杯牛奶和一个空瓶各重多少克思路：根据题目的条件,我们可以写出两个关系式：2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克①5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克②比较①、②两个式子,可得5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克,那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克,然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克;试一试3：有一个木桶向一个水缸中倒水,如果倒进4桶水,连缸共重240千克；如果倒进7桶水,连缸共重390千克;一桶水和一个水缸各重多少千克例题4 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒;如果把红色珠子分放在9个盒子里,把黄色珠子分放在6个盒子里,把绿色珠子分放在5个盒子里,那么每个盒子里的珠子粒数相等;三种颜色的珠子各多少粒思路：把120粒珠子分放到盒子里以后,每个盒子里的珠子粒数相等,那么就可以120÷6＋9＋5=6粒,求出每个盒子里珠子的粒数,然后再求三种颜色的珠子各几粒;红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒;试一试4：一共有白兔、灰兔、黑兔共250只,如果把白兔分放到5个笼中,把灰兔分放到11个笼中,把黑兔分放到9个笼中,这样每个笼中的兔子的只数相等;三种兔子各多少只例题5 在6个筐里放着同样多的鸡蛋,如果从每个筐里拿出50个鸡蛋,则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和;原来每个筐里有鸡蛋多少个思路：共取出50×6=300个鸡蛋；共减少6－2=4;则原来每个筐有鸡蛋：300÷4=75个;试一试5：某商店有5箱皮球,如果从每箱里取出15个,那么5个箱里剩下皮球的个数正好等于原来2箱皮球的个数;原来每箱装了多少个皮球专题十四植树问题专题简析：在不封闭的线路上植树,棵数=间隔数＋1；在封闭的线路上植树,棵数=间隔数;例题1 小朋友们植树,先植一棵树,以后每隔3米植一棵,已经植了9棵,第一棵和第九棵相距多少米思路：根据“棵数=间隔数＋1”,所以间隔数=棵树－1= 9－1=8个,每个间隔是3米,所以第一棵和第九棵相距3×8=24米;试一试1：在一条20米长的绳子上挂气球,从一端起,每隔5米挂一个气球,一共可以挂多少个气球例题2 在一条长40米的大路两侧栽树,从起点到终点一共栽了22棵;已知相邻两棵树之间的距离都相等,问相邻两棵树之间的距离是多少米思路：根据“两侧共栽22棵树”,先求一侧栽22÷2=11棵树,那么从第1棵树到第11棵树之间的间隔是11－1=10个;40米长的大路平均分成10段,每段是40÷10=4米;试一试2：在公园一条长25米的路的两侧放椅子,从起点到终点共放了12把椅子,相邻两把椅子距离相等;相邻两把椅子之间相距多少米例题3 把一根钢管锯成小段,一共花了28分钟;已知每锯开一段需要4分钟,这根钢管被锯成了多少段思路：段数=锯的次数＋1;算式：锯的次数：28÷4=7次段数：7＋1=8段试一试3：一根圆木锯成2米长的小段,一共花了15分钟;已知每锯下一段要3分钟,这根圆木长多少米例题4 在一个周长是48米的池塘周围种树,每隔6米种一棵树,一共种了多少棵思路：封闭线路中：棵树=间隔数算式：48÷6=8棵试一试4：在一个边长为12米的正方形四周围篱笆,每隔4米打1根木桩,一共要准备多少根木桩例题5 甲、乙两人比赛爬楼梯,甲跑到5楼时,乙恰好跑到3楼;照这样计划,甲跑到17楼时,乙跑到多少层思路：爬楼梯时第一层楼是不用爬的;楼层数－1才是要走的楼梯段数;“甲跑到5楼时,乙恰好跑到3楼”,说明甲的速度是乙的5－1÷3－1=2倍;甲跑到17楼时跑了17－1=16段楼梯,乙跑了16÷2=8段楼梯,他跑到了第8＋1=9层楼;试一试5：小明和小红两人爬楼梯比赛,小明跑到第四层时,小红跑到第五层,照这样计算,当小明跑到第十六层时,小红跑到了第几层专题十五重叠问题专题简析：解答重叠问题时要用到一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分;把两个部分合在一起减重叠,把两个部分分开加重叠;例题1 六一儿童节,学校门口挂了一行彩旗;小张从前数起,红旗是第8面；从后数起,红旗是第10面;这行彩旗共多少面思路：从前数起红旗是第8面,从后数起是第10面,有一面红旗就数了两次,应减去重复数的部分,所以这行彩旗共有8＋10－1=17面;试一试1：同学们排队去参观展览,无论从前数还是从后数起,李华都排在第8个;这一排共有多少个同学例题2 同学们排队做操,每行人数同样多;小明的位置从左数起是第4个,从右数起是第3个,从前数起是第5个,从后数起是第6个;做操的同学共有多少个思路：小明的位置从左数第4个,右数第3个,说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个,从后数第6个,说明竖行有5＋6－1=10人,所以做操的同学共有：6×10=60人;试一试2：三4班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会,梅梅的位置从前数是第6个,从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个;三4班共有学生多少人例题3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板;如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分是16厘米,这两块木板各长多少厘米思路：把重叠在一起两块木板分开,先加上重叠的部分16厘米,即这两块木板的总长度是120＋16=136厘米,每块木板的长度是136÷2=68厘米;试一试3：把两块一样长的木板钉在一起,钉成一块长35厘米的木板;中间重合部分长11厘米,这两块木板各长多少厘米专题十六简单枚举专题简析：一是分类要全,不能造成遗漏；二是枚举要清,必须有次序、有规律地进行枚举;例题1 从小华家到学校有3条路可走,从学校到文峰公园有4条路可走;从小华家到文峰公园,有几种不同的走法思路：为了帮助理解题意,可以画出示意图;,走②路有4,共有4×3=12种不同走法;试一试1：明明有2件不同的上衣,3条不同的裤子,4双不同的鞋子;最多可搭配成多少种不同的装束例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号思路：组成的信号有：红绿黄、红黄绿；绿红黄、绿黄红；黄红绿、黄绿红等6种;可以把组成的信号看成是三个位置：第1个位置有3种选择,第2个位置有2种选择,第3个位置就只有1中选择;所以排列方法一共有：3×2×1=6种试一试2：用数字1、2、3,可以组成多少个不同的三位数分别是哪几个数例题3 有4位小朋友,寒假中互相通一次电话,他们一共打了多少次电话思路1：每个小朋友都节打电话3次;但两人之间只需打1次电话,互打就重复了;因此一共打3×4÷2=6次思路2：第1个小朋友打了3个电话,第2个小朋友打了2个电话,第3个小朋友打了1个电话,第4个小朋友不需要打电话;因此一共打3＋2＋1=6次试一试3：16个小队进行排球比赛,每两队比赛一场,共要进行多少次比赛2暑假里,三位小朋友互发一封问候邮件,他们一共发了多少封邮件专题十七等量代换专题简析：两个相等的量,可以互相代换;当年曹冲称象时,就运用了等量代换的方法：船两次排开水的重量相等,也就是一船石头的重量等于大象的重量;文峰公园。

小学四年级奥数讲义第一部分：数学基础知识1.1 自然数和整数- 自然数是指从1开始的正整数，用符号$N$表示。

- 整数是自然数和其相反数的集合，用符号$Z$表示。

1.2 加法和减法- 加法是将两个数合并在一起，得到它们的总数。

- 例如：$2 + 3 = 5$。

- 减法是从一个数中减去另一个数，得到它们的差。

- 例如：$5 - 2 = 3$。

1.3 乘法和除法- 乘法是将两个数相乘，得到它们的积。

- 例如：$2 × 3 = 6$。

- 除法是将一个数分割成若干等份，得到它们的商。

- 例如：$6 ÷ 3 = 2$。

第二部分：奥数技巧和练2.1 快速计算- 利用9的乘法法则，可以快速计算一个数乘以9的结果。

- 例如：$4 × 9 = 36$。

- 利用倍数关系，可以快速计算一个数的倍数。

- 例如：$3 × 4 = 12$。

2.2 算式变换- 利用算式的性质，可以将复杂的算式转化为简单的算式。

- 例如：$(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35$。

- 利用分配律，可以将一个数拆分成两个数的和或差。

- 例如：$8 × 7 = (5 + 3) × 7 = 5 × 7 + 3 × 7 = 35 + 21 = 56$。

2.3 枚举法和猜想法- 枚举法是一种通过列举所有可能情况来解决问题的方法。

- 例如：求两个数的最大公约数，可以列举出所有可能的公约数，然后找出其中最大的一个。

- 猜想法是一种根据已有规律猜测答案的方法，然后通过严谨的推理来证明猜想是否正确。

- 例如：猜测一个数是偶数时，它一定能被2整除，然后通过证明偶数定义来证明猜想的正确性。

第三部分：练题1. 计算：$2 + 3 × 4 - 5 = ?$2. 计算：$7 - (4 × 2 + 1) = ?$3. 快速计算：$6 × 9 = ?$4. 快速计算：$5 × 7 = ?$5. 利用枚举法找出10以内的所有偶数。

第一讲分小四则混合运算一、数的互化1.小数化成分数：2.分数化成小数：3.分数化成有限小数与无限循环小数的条件：4.小数化成百分数：5.百分数化成小数：6.分数化成百分数：7.百分数化成小数：二、数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用。

2.求几个数的最大公约数的方法是：3.求几个数的最小公倍数的方法是：4.成为互质关系的两个数：三、约分和通分1.约分的方法：2.通分的方法：四、性质和规律1.商不变的规律2.小数的性质3.小数点位置的移动引起小数大小的变化4.分数的基本性质5.分数与除法的关系五、运算的意义1.整数四则运算2.小数四则运算3.分数四则运算4.运算定律5.运算法则6.运算顺序例1：计算：例2：计算：例3：计算：例4：解关于x的方程：例5. 已知，那么□＝________。

例6. 计算例7. 计算：183706581327185131713⨯+⨯-⨯+÷.1997199719981997÷1997199719971998÷111151 2.4538322x x ⎛⎫+⨯-=⨯+ ⎪⎝⎭16241770012781.[()].⨯-⨯÷=□19931219921319911219901311213-+-++- 96891993110324251993.⨯+⨯⨯A1.2. 3.4. 5. 2005×97.75＋4010×1.1256. 37×1111＋7777×9B 7. 199×208－198×2098. 35×67－34×689. 10. 11. 12×3434－34×121212. 20182018×1998－19981998×201813. 14. C15. 16.585757⨯411412001÷199819971997⨯51151601÷35225533951⨯+⨯+⨯361911361117⨯+⨯124123123123÷157511574157315731573+÷104103105535353353535159⨯-⨯200320022004131313111111169⨯+⨯17. 18. 19. 20. 1. 计算： 2. 计算：3. 计算：4.计算：5. 计算：6. 计算： 10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯101992972752532⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯90197217561542133011209127651+-+-+-+-413121()514131211(4131211(51413121(++⨯++++-+++⨯+++9999100999999⨯+.[(.](.)65233121815719510-÷-⨯+=□()6117665811121995131133131741221+÷++144855183661533555412⨯÷-+⨯+-(...)(.(()()()(112113114115111998-⨯+⨯-⨯+⨯⨯- 1110210545554021415⨯⨯⨯⨯⨯...1. 31×43－31＋58×312. 3. 4. 56×78＋13×83＋27×78＋83×95. 6. 7. 199 + 99×998. 7.63×9.9＋0.7639. 3.74×5.8＋62.6×0.5810. 3.43×14＋1.4×75.7－1411.12. 536375.04.383⨯+⨯201128.245.7542⨯+⨯09.125.15491.0⨯+÷537632124⨯+÷%5.37625.1583834375.0⨯+-⨯1012694.8437⨯+⨯第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。

一、典型应用题1. 和差问题2. 和倍问题3. 差倍问题4. 平均数问题5. 归一问题6. 还原问题7. 植树问题8. 盈亏问题9. 年龄问题10. 鸡兔问题11. 方阵问题二、行程问题1. 相遇问题2. 追及问题3. 过桥问题4. 流水问题三、行程问题1．相遇问题2．追及问题3. 过桥问题4. 流水问题四、分数应用题1．一般分数应用题2．单位“1”的转化3．逆推问题4．工程问题五、百分数应用题1.一般百分数应用题2.利润问题3.浓度问题六、比和比例应用题1.比例尺应用题2.按比例分配应用题3.正比例、反比例应用题七、列方程节解应用题一．典型应用题1.和差问题和差问题：已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类问题叫和差问题。

基本公式：（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。

解题思路：在于找出条件和问题的内在联系，确定和与差。

有时问题中没有直接给出两数的和与差，这就要先取出两数的和与差再利用公式求解。

例：某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41（人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 －87=7 （人）习题（1）今年小强7岁，爸爸35岁，当两人的年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？（2）小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得多少分？（3）甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名学生，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲乙两校原来各有学生多少人？（4）小红的书比小玲的多9本，比小雷的多2本，小玲和小雷共有书47本，问三人各有书多少本?（5）把90米的绳子分成3段，要使后一段比前一段多3米，问三段绳子各多少米？2、和倍问题和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

四年级学而思奥数讲义
目录
1. 引言
2. 第一章: 基本数学运算
3. 第二章: 数字与数的关系
4. 第三章: 分数和小数
5. 第四章: 几何形状
1. 引言
学而思奥数讲义是为四年级学生设计的数学研究材料。

本讲义旨在帮助学生掌握奥数中的基础概念和解题技巧，以提升他们在数学领域的能力。

2. 第一章: 基本数学运算
这一章节将介绍四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

学生将研究如何进行这些运算，并通过练题加深理解。

3. 第二章: 数字与数的关系
在这一章节中，学生将研究数字的分类和排序，以及数字之间的关系。

他们将掌握如何使用大于、小于和等于符号来比较数字，并通过实例练加强掌握。

4. 第三章: 分数和小数
分数和小数是四年级数学中的重要概念。

本章将介绍如何读写分数和小数，并涵盖分数和小数之间的转换。

学生将通过实例练巩固所学知识。

5. 第四章: 几何形状
在这一章中，学生将探索不同的几何形状，包括正方形、长方形、圆形和三角形。

他们将研究如何计算这些形状的周长和面积，并通过练题应用所学知识。

本文档将作为四年级学生研究学而思奥数的参考资料。

学生可以根据讲义中的例题和练题进行实际操作和巩固知识。

希望这份讲义能够帮助学生提高数学能力，并享受数学研究的乐趣。

以上是《四年级学而思奥数讲义》的简要目录和介绍。

祝学生们研究愉快！。

小学奥数系统复习讲义(完整版)小学奥数大约80个知识点，可分成5大类，数论和行程是重点也是难点第一部分计算能力万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视! 基本公式1 .运算顺序第一级：括号：()T T{ }第二级：X+：同一级别可以交换运算次序第三级：+ —: 同一级别可以交换运算次序2. 去括号①a+(b+ c)=a + b + c a+ (b —c)=a + b— c②a—(b+ c)=a — b — c a— (b —c)=a—b+ c③a>(b疋)=a花比a>(b -c)=a以弋④a—b >0)=a —a—b 弋)=a —xc3 .分配律/结合律乘法：a (b + c) = a b+ a>ca>b+ a>c = a (b + c)除法：(a+ b) —= a —+ b—ca—:+ b—c = (a + b)—4 .两个必须掌握的性质两个数的和一定，则两数越相近，积越大5 .几个计算公式__ 2 2 2完全平方和(差)公式：( a±b) = a ±ab+b2 2平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)求和公式一：1+2+3+ ....... +n =两个数的积一定，则两数越分散，和越大求和公式二:1 +1 22 +3 2+……n =3 3 3 3求和公式三：1 +2 +3 +……n = __________________________6. 速算巧算基本方法凑整法、改变运算次序法、连续数求和、基准法、分组法、拆分法7. 等差数列，等比数列，【拆分与裂项】，【换元法】，【错位相消法】，【构造法】等较难的计算方法。

拆分裂项公式：等差数列公式：简单等比公式：例题分析1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+4022. 比较下面A,B 两数的大小：A=2009X 2009，B=2008X 20103. 99讣9创x 99 —99 4 199—99结果末尾有多少个零？訐胆，.p “站-1 ?4. 100 + 99+ 98 —97 —96 —95+ ……+ 10+ 9 + 8—7 —6—5+ 4 + 3+ 2 —1巩固练习5. 376 + 385 + 391 + 380 + 377 + 389 + 383 + 374 + 366 + 3786. 1 —50+2 —50+3 —50+50 - 50 2010二二呦10第二部分基础知识基础知识点列表7. 9999999 >2009 7777 >333 出1118. 99*.**.+ 9 乂gg.*・*.*9 + -99*—..* 9 =99Ti9. 比较下面A,B两数的大小:归一问题A =987654321 >23456789;B =987654322 >2345678810. 1996 + 1994 —1992 —1990 + 1988 + 1986 —1984 —1982 + 1980 + 1978—1976 —1974 + 1972 + 1970…… + 4 + 2【含义】在解题时，先求岀一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求岀所要求的数量。

第一讲观察法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国在解答数学题时，第一步是观察。

观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。

小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。

观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。

*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。

书中除图1-1的图形外没有文字说明。

这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。

这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。

实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。

解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。

从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。

从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。

从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。

从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。

又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。

图1-5是填完数字后的幻方。