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余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数的知识点总结一、余数的概念余数的概念最早出现在我们学习除法的时候。
当我们用一个数除以另一个数时，商是一个整数，余数是一个小于被除数的正整数。
例如，当我们将13除以4时，商是3，余数是1。
因此，13÷4=3……1。
这里的1就是余数。
余数的概念可以用数学符号“mod”来表示，即a≡b(mod m)，其中a是被除数，b是余数，m是除数。
这个符号读作“a同余b模m”。
例如，13≡1(mod 4)。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的范围是0到除数-1之间。
例如，当我们将13除以4时，余数的范围就是0到3。
这是因为余数小于除数，所以余数的范围是有限的。
2. 余数的性质余数可以满足一些基本的性质，例如：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
这意味着如果两个数在模m下同余，那么它们的和也在模m下同余。
这个性质在数论和离散数学中有着重要的应用。
3. 余数的运算余数的运算规则和整数的运算规则是一样的。
例如，对于任意的整数a、b和m，有(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m。
这意味着在计算余数时，我们可以先对每个数取余，然后再进行加法或乘法运算，最后再取一次余数，结果不变。
三、余数的应用1. 时钟和日历在时钟和日历的应用中，余数概念起着非常重要的作用。
例如，一小时后的时间可以用（当前时间+1）mod 12来表示，从而得到12小时制的时间。
又如，计算日期间隔的时候，我们可以用（未来日期-当前日期）mod 7来表示，得到相对于当前日期的天数差。
2. 整数的性质余数概念也常常用来证明整数的性质。
例如，我们可以用余数来证明一个数的奇偶性。
对于任何整数a，a≡0(mod 2)当且仅当a是偶数；a≡1(mod 2)当且仅当a是奇数。
3. 数论问题在数论中，余数的概念是至关重要的。
例如，欧拉定理和费马小定理就是建立在余数的基础上。
小升初余数知识点总结一、余数的概念1. 余数的定义余数是指在做除法的时候，被除数除以除数所得的余数。
例如，8÷3=2……2，这里的2就是余数。
其中，8为被除数，3为除数。
2. 余数的表示方法一般来说我们用R表示余数，其中R=a（mod b），a为被除数，b为除数，R为余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的取值范围是从0到除数-1。
例如，当除数为5时，余数的取值范围为0-4。
2. 余数与除数的关系当被除数能被除数整除时，余数为0。
当被除数不能被除数整除时，余数一定小于除数。
三、余数的计算方法1. 除法计算在实际计算中，利用长除法进行除法计算，得到被除数、除数和商，将商取整得到整数商，用被除数减去整数商乘以除数，得到余数。
2. 余数的取值余数是通过除法计算得到的，可以用公式R=a（mod b）来表示。
3. 余数的性质除数为正整数时，余数的绝对值小于除数的绝对值。
四、余数的应用1. 余数的判断余数可以帮助我们判断一个数能否被另一个数整除。
当余数为0时，被除数能被除数整除。
2. 余数的运算在计算中，我们往往通过余数的运算来进行数字的整体运算。
例如，通过余数的运算可以判断数字的奇偶性。
3. 余数的应用余数在生活和实际问题中应用广泛。
例如，在排列问题、电话号码归属地查询、日期计算等方面均能应用余数的知识。
五、余数的题型1. 余数的计算通过给定的被除数和除数，计算余数。
2. 余数的应用通过余数的概念和计算方法，解决实际问题。
3. 余数的分析通过实际问题，了解余数的应用和意义。
六、小结余数是一个非常基础而重要的数学概念，它不仅仅是一个基本的数学运算符号，更是数学思维和逻辑问题的基础。
在小升初阶段，需要掌握余数的概念、计算方法以及应用，通过余数问题的解决，提高学生的数学思维和逻辑问题解决能力。
同时，掌握余数知识有助于学生更好地理解整数的概念和运算，为未来的学习打下理论基础。
小学奥数公式推导—余数的性质目的：通过自己推导公式，更好的理解小学奥数的公式和解题方法，熟悉代数方法。
今天介绍一下余数的性质，余数的概念和性质是非常重要的，是数论的基础。
我们都知道：①和的余数=余数的和②积的余数=余数的积例如：633÷7=90 余3702÷7=100 余2那么633+702的和除以7的余数就是3+2=5那么633×702的积除以7的余数是3×2=6(如果和或乘积大于7，那么再对7取余数)这两个知识很容易背下来，用几遍就熟练了，可是却很少有孩子去考虑为什么有这个规律。
下面我们抽象一下，试着用字母来代替数把这两个数写成7m+a与7n+b（孩子们可以多练习用字母来表示数，比如偶数可以表示成2n，奇数可以表示成2n-1，3的倍数表示成3n等等。
）①和的余数=余数的和(7m+a)+(7n+b)=7m+7n+a+b前两项都是7的倍数，所以余数就取决于a+b②积的余数=余数的积(7m+a)(7n+b)接下来把括号打开，只需要明白乘法分配律即可（如果刚开始接触，括号打不开，可以把其中一个括号当作一个整体，进行2次去括号。
）7m7n+7mb+7na+ab我们发现前三项都是7的倍数，所以不影响整个和除以7的余数。
（或者利用性质①四项和的余数就是0+0+0+ab）所以就是ab除以7的余数。
如果理解了积的余数，可以利用它研究一下乘方，例如求703的703次方除以7的余数。
根据②，这个余数可以简化成3的703次方(幂同余定理，就不描述术语了，孩子不容易理解)：3的1次方除以7余33的2次方除以7余23的3次方除以7余6（利用3X2）3的4次方除以7余4（利用6X3）3的5次方除以7余5（利用4X3）3的6次方除以7余1（利用5X3）3的7次方除以7余3（开始循环）利用周期就可以求出答案。
（肯定会出现循环，因为除以7的余数只有0-6，7次以内肯定会循环）以后看见这种题应该能做出来了吧。
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
余数的性质及其计算余数是数学运算中的一个概念，通常在整除运算中使用。
当一个数被另一个数整除时，余数就是剩下的不被整除的部分。
1.余数的范围：余数的范围是0到除数减1、例如，当除数为7时，余数的范围为0到62.余数的符号：余数的符号与被除数的符号一致。
例如，当被除数为正数，除数为负数时，余数为负数；当被除数为负数，除数为正数时，余数为正数。
3.余数的递减性：当被除数递减一定倍数的除数时，余数也会递减相应的倍数。
例如，当被除数从10递减10倍除数时，余数也会从0递减10。
4.余数的计算方法：余数的计算方法通常有两种，一种是使用除法算术运算符求余，另一种是使用模运算符求余。
-除法算术运算符求余：余数可以通过被除数除以除数得到。
例如，12除以5，商为2余2，余数为2-模运算符求余：模运算符（%）可以直接计算余数。
例如，12%5=25.余数的应用：余数在很多数学问题中有广泛应用，如判断一个数是否是另一个数的倍数，确定一个数的奇偶性等。
余数也可以用于计算和数论问题，例如将一个数分解为素因子的乘积。
一个常见的问题是，如何计算一个大数除以一个较小的数的余数？当被除数较大时，我们常常使用长除法来计算余数。
长除法的步骤如下：1.将被除数按位数与除数对齐，从左至右逐位进行计算。
2.用除数除以被除数的第一位，得到一个商和一个余数。
3.将余数带到被除数的下一位，继续做除法运算，得到新的商和新的余数。
4.重复步骤3，直到计算完所有位数。
5.最终的余数就是最后一次除法运算的余数。
尽管这种方法可以得到正确的结果，但对于大数来说，计算过程可能会比较复杂和繁琐。
在计算机编程中，我们通常使用取模运算符（%）来计算余数，这种方法更加简单和高效。
总结起来，余数是数学运算中的一个概念，表示一个数被另一个数整除后的剩余部分。
余数具有一些性质，如范围、符号、递减性等。
计算余数可以使用除法算术运算符或模运算符。
对于大数的计算，常使用长除法来计算余数。
第二讲 有余数的除法第一部分：趣味数学小朋友们，笔算加法、减法、乘法都要从个位算起，可是笔算除法却要从最高位算起，你想知道这是怎么一回事儿吗？相信你看了下面的资料，一定会有所了解的！除法为什么要从高位算起？假如要把9个苹果平均分给3个小朋友，我们可以先拿出3个，1人一个；再拿出3个，1人一个；还剩下3个，1人一个，正好分完。
把上述分的过程用连减算式表示出来就是：9－3－3－3＝0，减了3次，正好减完。
如果用除法算式表示就是9÷3＝3。
所以，除法计算也可以用连减法来求商，把被除数作为被减数，除数作为相同的减数，连减的最多次数就是商。
可是，如果用减法计算369÷3，一共要减去123个3，实在是太麻烦了，改用除法计算多简便啊！原来，除法从高位算起是为了减得更快些，更快地求出商。
小朋友们，你明白了吗？有余除法：把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。
每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。
除法为什么要从高位除起数学谜语（开心一刻） 剃头（猜一数学名词） 除法解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
第二部分：奥数小练【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是____，根据____________，余数可填_____________.根据____________，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为____________。
列式如下：______________________答：被除数最大是53，最小是______。
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例3】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
有趣余数之性质与周期一、基本概念余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。
被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商被除数=除数⨯商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数二、余数的性质余数的几个重要性质：性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。
性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。
性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。
三、余数与周期常考题型：1.图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题。
做题是需要注意几点：1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。
3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。
4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。
例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
【例1】在算式( )÷15=12……( )中，被除数最大是几？最小是几？【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。
【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？【巩固】求478⨯296⨯351除以17的余数。
【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。
【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。
余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
知识点拨 教学目标所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
模块一、余数性质的综合运用【例 1】 20032与22003的和除以7的余数是________．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】南京市，少年数学智力冬令营【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【答案】5【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？ 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【答案】3【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3，时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3，时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=．【答案】3【例 2】 M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。
M N +的最小值为 。
【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分 【解析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56M N +能被7整除，经试算，M N +最小值为325+= 【答案】5例题精讲【例 3】 1234200512342005+++++除以10所得的余数为多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++的个位数字，为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【答案】3【例 4】 已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m 除以2008的余数为多少？【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】清华附中【解析】 1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯1!212!313!412007!20081=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-（）（）（）（）2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++-2008!1=-2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007．【答案】2007【例 5】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n 被7除余数为2，被11除余数为3．由于122=被7除余2，而328=被7除余1，所以n 除以3的余数为1；由于82256=被11除余3，1021024=被11除余1，所以n 除以10的余数为8．可见2n +是3和10的公倍数，最小为[]3,1030=，所以n 的最小值为28．【答案】28【例 6】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 通过逐次计算，可以求出3n 被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，因而3n 被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n =时374n n ++能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n 的和为：346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=．【答案】1480【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod7)≡，8035(mod7)≡，4642(mod7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(m nn n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod271)≡，803261(mod271)≡，464193(mod271)≡，所以29038034642611932611932610(mod 271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除．因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例 8】 若a 为自然数，证明2005194910()a a -．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】1025=⨯，由于2005a 与1949a 的奇偶性相同，所以200519492()a a -．20051949194956(1)a a a a -=-，如果a 能被5整除，那么1949565(1)a a -；如果a 不能被5整除，那么a 被5除的余数为1、2、3或者4，4a 被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a 为多少，4a 被5除的余数为1，而56414()a a =，即14个4a 相乘，所以56a 除以5均余1，则561a -能被5整除，有1949565(1)a a -．所以200519495()a a -．由于2与5互质，所以2005194910()a a -．【例 9】 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备 种颜色的喇叭．【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题【解析】 编号1、3、6、8这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭．所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭，然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭．【答案】4种模块二、弃九法【例 10】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．【答案】1【巩固】 连续写出从1开始的自然数，写到2009时停止，得到一个多位数：123456789101119992000，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答【关键词】希望杯【分析】 因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为1998是3的倍数，所以12345678910111998是3的倍数，又因为12345678910111999200012345678910111998000000001998119982=++++，所以123456789101119992000除以3，得到的余数是0．【答案】0【例 11】 将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个), 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【答案】7【例 12】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
