下载文档原格式
最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是初中数学中重要的知识点，也是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和几何等领域都有着重要的应用，因此对这两个概念的深入理解对于学生来说至关重要。
接下来，本文将从最大公约数和最小公倍数的概念、性质以及典型例题等方面进行全面的评估和探讨。
一、最大公约数和最小公倍数的概念最大公约数指的是几个数共有的约数中最大的一个，通常用符号gcd(a, b)来表示，其中a和b是需要求最大公约数的两个整数。
对于整数12和18，它们的最大公约数为6，即gcd(12, 18) = 6。
最小公倍数则是指几个数共有的倍数中最小的一个，通常用符号lcm(a, b)表示，其中a和b同样是需要求最小公倍数的两个整数。
对于整数4和6，它们的最小公倍数为12，即lcm(4, 6) = 12。
二、最大公约数和最小公倍数的性质1. 最大公约数和最小公倍数的性质十分重要。
比如说，对于任意两个整数a和b，它们的最大公约数和最小公倍数之间有着特定的关系。
具体而言，两个数的最大公约数与它们的乘积等于这两个数的最小公倍数，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
2. 最大公约数和最小公倍数还有一个重要的性质，即最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
这一性质在实际计算中经常被用到，可用来简化最小公倍数的求解过程。
三、典型例题1. 某商场有两种塑料袋，一种每50个装一袋，另一种每35个装一袋。
问：要买够这两种塑料袋的最小数量，至少需要多少个？解析：根据题意可知，第一种塑料袋的最小公倍数为50，而第二种塑料袋的最小公倍数为35。
要买够这两种塑料袋的最小数量，至少需要它们的最小公倍数。
即lcm(50, 35) = 350。
买够这两种塑料袋的最小数量至少需要350个。
2. 有两个正整数，它们的最大公约数是9，且其中一个数是36，求另一个数。
n个数最小公倍数和最大公约数的关系最小公倍数和最大公约数是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和其他相关领域中有着广泛的应用。
本文将探讨n个数的最小公倍数和最大公约数之间的关系。
我们需要了解最小公倍数和最大公约数的定义。
最小公倍数（LCM，Least Common Multiple）是指能被两个或多个整数同时整除的最小正整数。
例如，2和3的最小公倍数是6，因为6能同时被2和3整除，且没有比6更小的数满足这个条件。
最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor）是指能同时整除两个或多个整数的最大正整数。
例如，8和12的最大公约数是4，因为4是8和12的公约数，且没有比4更大的数同时能整除8和12。
现在，让我们考虑n个数的情况。
假设这n个数分别为a1, a2, ..., an。
我们先来讨论最小公倍数。
要求n个数的最小公倍数，我们可以先求出任意两个数的最小公倍数，然后再将其与剩下的数求最小公倍数，直到求出n个数的最小公倍数。
根据最小公倍数的定义，我们可以得出以下结论：1. 若a和b的最大公约数为gcd(a, b)，则a和b的最小公倍数为lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)。
2. 若a、b和c的最小公倍数为lcm(a, b, c)，则lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)。
根据这个规律，我们可以逐步计算n个数的最小公倍数。
接下来，我们来讨论最大公约数。
要求n个数的最大公约数，我们可以先求出任意两个数的最大公约数，然后再将其与剩下的数求最大公约数，直到求出n个数的最大公约数。
根据最大公约数的定义，我们可以得出以下结论：1. 若a和b的最小公倍数为lcm(a, b)，则a和b的最大公约数为gcd(a, b) = a * b / lcm(a, b)。
2. 若a、b和c的最大公约数为gcd(a, b, c)，则gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。
最大公约数和最小公倍数的应用1：兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过多少天？2：一张长105厘米、宽75厘米的长方形铁皮，要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，这张长方形铁皮最少可以分成多少个正方形铁皮？正方形的个数：（105×75）÷(15×15)=35(个)3：有一筐苹果，不论分给8个人，还是分给10个人，都剩3个。
这筐苹果至少有多少个？分析：苹果总数减去3，得到的新总数，不论分给8个人，还是分给10个人，都不剩，刚好分完。
也就是得到的苹果新总数既是8的倍数，又是10的倍数，即8和10的公倍数，而要求这筐苹果至少有多少个。
因此只需要求8和10的最小公倍数。
8和10的最小公倍数是40即苹果新总数是40，再加上从苹果总数里减去的3，便得到苹果总数：也就是40+3=43（个）注：有时间不容易理解是借助算式来帮助，如上题中有一筐苹果，不论分给8个人，还是分给10个人，都剩3个。
、填空。
(每空1分，共计24分)3. 把3米长的绳子平均分成8段，每段长米，每段长是全长的。
6、如果a÷b=8是（且a、b都不为0的自然数），他们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
9、在括号里填上适当的分数。
10、在20的所有约数中，最大的一个是（），在15的所有倍数中，最小的一个是( )。
11、有一个六个面上的数字分别是1、2、3、4、5、6的正方体骰子。
掷一次骰子，得到合数的可能性是( ) ，得到偶数的可能性是 ( ) 。
二、认真判断。
（5分）1、方程一定是等式，等式却不一定是方程。
………………………………（）三、慎重选择。
（5分）1、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余。
最小可以分成（）。
A. 12个B.15个C. 9个D.6个2、解方程：12%X－7.4=8 2X=3.6 X÷1.8=3.6 X+6.4=14.43、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
五年级下学期最大公因数与最小公倍数应用题及练习题精心整理最大公约数与最小公倍数1）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？2）把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？3）把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？4）用长120厘米，宽80厘米的长方形砖块去铺一块正方形地，最少需要多少块砖？5）一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少枝？7）每筐梨，按每份2个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？8）现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？9）有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？10）有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？111）一次考试，参加的学生中有711得优，3得良，2得中，别的的得差，已知参加测验的学生不满50人，那么得差的学生有几何人？12）一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C 饮料.问参加会餐的人数是几何人？13）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而XXX还缺2个，一共最多有几何个小朋友？14）因夜间施工需要，要把施工区的一条长120米的路边路灯有间隔6米改成间隔4米，除两端不需移动，中间还有几盏不需移动？15）两个数的积是6912，最大公因数是24，求它们的最小公倍数？16）甲、乙、丙三个学生按期向某教师讨教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次，假如这一次他们三人是3月23日都在这个教师家见面，那么下一次三人都在这个教师家见面的工夫是几月几日？17）求被5除余2，被6除余3，被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数．最大公因数与最小公倍数操演题1、填空：1、假如天然数A除以天然数B商是17，那么A与B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
初等数论中的最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是初等数论中非常重要的概念。
它们在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何和计算机科学等领域。
本文将重点介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及计算方法。
一、最大公约数的定义和性质1.1 定义对于两个整数a和b，如果存在一个正整数d，能够同时整除a和b，且对于任意能够同时整除a和b的正整数c，都有c≤d，那么d就是a和b的最大公约数，记作d=GCD(a,b)。
1.2 性质最大公约数具有以下性质：性质1：对于任意整数a，有GCD(a, a) = a，即任意整数与自身的最大公约数等于它本身。
性质2：对于任意整数a和b，有GCD(a, b) = GCD(b, a)，即最大公约数与顺序无关。
性质3：对于任意整数a、b和c，有GCD(a, b) = GCD(a, b - a) = GCD(a, b mod a)，即最大公约数的计算可以通过辗转相减法或辗转相除法进行。
性质4：对于任意整数a、b和c，有GCD(a, bc) = GCD(a, b)。
性质5：对于任意整数a、b和c，如果a能够整除b，那么GCD(a, b) = |a|。
二、最小公倍数的定义和性质2.1 定义对于两个整数a和b，如果存在一个正整数m，能够同时被a和b整除，且对于任意能够同时被a和b整除的正整数n，都有n≥m，那么m就是a和b的最小公倍数，记作m=LCM(a,b)。
2.2 性质最小公倍数具有以下性质：性质1：对于任意整数a，有LCM(a, a) = a，即任意整数与自身的最小公倍数等于它本身。
性质2：对于任意整数a和b，有LCM(a, b) = LCM(b, a)，即最小公倍数与顺序无关。
性质3：对于任意整数a、b和c，有LCM(a, b) = LCM(a, b / GCD(a, b))，即最小公倍数与最大公约数的关系。
最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生？解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=6，42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：2×3×5=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。
这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
最大公约数与最小公倍数的应用最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常见的概念，在数论和代数学中具有广泛的应用。
它们能够帮助我们解决很多实际问题，从分数化简到找出最优解，都离不开最大公约数和最小公倍数的运用。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及一些实际应用案例。
一、最大公约数的定义和计算最大公约数指的是两个或多个整数能够整除的最大的正整数。
如果两个数a和b的最大公约数为d，则表示为GCD（a，b）= d。
最大公约数的计算可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）来进行。
欧几里得算法的原理是：假设有两个正整数a和b，其中a > b。
首先，用a除以b得到余数r1，即r1 = a % b。
然后，再用b除以r1得到余数r2，即r2 = b % r1。
接着，再用r1除以r2得到余数r3，以此类推，直到余数为0。
此时，上一步得到的余数r2就是a和b的最大公约数。
例如，求解最大公约数GCD（24，36）：24 ÷ 36 = 0 余数2436 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0因此，GCD（24，36）= 12。
二、最小公倍数的定义和计算最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的正整数。
如果两个数a和b的最小公倍数为l，则表示为LCM（a，b）= l。
最小公倍数的计算可以通过最大公约数来进行。
最小公倍数与最大公约数的关系是：两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积。
即 a × b = GCD（a，b）× LCM（a，b）。
利用这个关系可以得到计算最小公倍数的公式：LCM（a，b）= （a × b）/ GCD（a，b）。
例如，求解最小公倍数LCM（24，36）：24 × 36 = 864GCD（24，36）= 12因此，LCM（24，36）= 864 / 12 = 72。
数的最大公约数与最小公倍数知识点总结数的最大公约数与最小公倍数是数学中的常见概念，涉及到整数的性质和运算规则。
在解决实际问题和数学计算中，了解和掌握这些知识点对于提高计算效率和解题能力非常重要。
下面将对数的最大公约数与最小公倍数进行知识点的总结。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或多个数中都能整除的最大的一个数。
最大公约数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：分别列出两个或多个数的所有因数，找出它们的公共因数，并选择其中最大的一个作为最大公约数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出共有的素因数并相乘，结果即为最大公约数。
3. 辗转相除法（欧几里得算法）：假设有两个数a和b，令r为a除以b所得的余数，如果r为0，则b即为最大公约数；如果r不为0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后继续进行除法运算，直到余数为0为止。
最大公约数在实际应用中有很多用途，比如简化分数、求解整数倍问题等。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们整除的最小的数。
最小公倍数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：列出两个或多个数的所有倍数，找出它们的公共倍数，并选择其中最小的一个作为最小公倍数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出所有的素因数并相乘，结果即为最小公倍数。
3. 最大公约数法：假设有两个数a和b，它们的最小公倍数可以通过最大公约数来求解，公式为：最小公倍数=两数乘积/最大公约数。
最小公倍数在实际应用中也有很多用途，比如解决同时到达问题、计算工作效率等。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间存在着以下关系：1. 两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积，即a*b=最大公约数*最小公倍数。
2. 如果两个数互质（最大公约数为1），那么它们的最小公倍数就等于它们的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数之间并不总是存在倍数关系。
1、两数互为倍数关系，最大公约数是较小的数，最小公倍数是较大的数2、两数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两数的乘积3、对于其它的两个数可以用短除法求它门的最大公约数和最小公倍数。
例：1、a 、b 都是自然数，如果a ÷b=10，那么a 和b 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数26和13（ ）、【 】 13和6（ ）、【 】；4和6（ ）、【 】29和87（ ）、【 】 30和15（ ）、【 】；13、26和52（ ）、【 】3、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
（三个数的只求最小公倍数）45号60 36和6027和72 76和8042、105和56 24、36和484、学校买来40支笔和50个本子，平均奖给四年级的三好学生，结果笔多4支，本子多2个，四年级有多少个三好学生，他们各得什么奖品？练习：一、填空1、甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是（ ）×（ ）=（ ），甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）=（）。
2、如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
3、五（2）的学生每5人一组或每8人一组，最后一组都只有3人，这个班有（ ）人。
二、把下面各分数约分106= 129= 159= 3014= 4025=三、求下面各组数的最大公约数及最小公倍数15和18 12和18 12和1610和14 12和30 6和158和10 4和18 24和166、8和12 5、12和16四、解决问题1、五（1）班学生去烈士陵园植树，分成6人一组或7人一组都可以。
这个班至少有多少人参加植树?2人民公园是1路汽车和3路汽车的起点站。
1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？3、有长18分米、宽15分米、高12分米的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样正方体，每个正方体的体积是多少？可以锯成多少个？4、小超每6天去一次图书馆，小亮每4天去一次图书馆。
最大公约数与最小公倍数应用(一)—、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md, b=nd,并且(m,n)二1。
例如：(24,54) =6,24=4X6,54=9X6, (4,9)二1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且aXb=[a, b] X (a,b)o例如：(18, 12) = , [18, 12]= (18, 12) X[18, 12] =3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
(运用性质2)练一练：甲数是36,屮、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
” 例3已知a 与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, Co 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12, 15]=60 的倍数。
再由[a, b, c]二120 知，a 只能是60 或120。
[a, c]=15, 说明c没有质因数2,又因为[a, b, c]=120=23X3X5,所以c=15o练一练：已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
习题四1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为13,求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。
5、已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。
6、已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432, 求这两个自然数。
7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且AXB=42,求B。
10、已知A和B的最大公约数是31,且AXB=5766,求A和B。
11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3, 5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？家庭练习1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的儿个班, 每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
3、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪儿组？例1用自然数a去除498, 450, 414,得到相同的余数，a最大是多少?分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。
498-450=48, 450-414=36, 498-414=84<■ 所求数是(48, 36, 84) =12。
例2现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件''它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111，它们的公约数一立是1111的约数。
因为1111=101X11,它的约数只能是1, 11, 101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111, 1111不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101, 101和909。
所以所求数是101。
练习：1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有儿个？2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？4、中、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。
至少经过多少时间三人乂同时从出发点出发？5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是13,这个两数各是多少？6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分13秒和1分30秒。
三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。
8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个？【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4. 5米，袋鼠每次跳2・75米，它们每秒都只跳一次。
比赛途中，从起点开始，每隔12. 375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米？【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？【例6】（1） A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少？（2）屮乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,屮数是36,乙数是多少？【例7】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，笫三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配儿个工人？练习：1.中数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数是多少？2•—块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
4.有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91个碗。
参加野炊的至少有多少同学？带余数的除法询面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题•除此之外，例如：16-3=5- 1,即16二5X3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（bHO）,那么一定有另外两个整数q和r, O^r<b,使得a=bXq+ro当i-O时，我们称3能被b整除。
当r^O时，我们称a不能被b整除，：r为&除以b的余数，q为a除以b 的不完全商（亦简称为商）•用带余除式乂可以表示为"bp・y O^r<bo 例1 一个两位数去除251,得到的余数是41 •求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数•解题可从带余除式入手分析。
解：•••被除数一除数二商…余数，即被除数二除数X商+余数，/•251=除数 X 商+41,251-41二除数X商，.*.210=除数X商。
7210=2X3X5X7,A210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70 大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70o例2用一个自然数去除另一个整数，商40,余数是16•被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少？解：•••被除数二除数X商+余数，即被除数二除数X40+16。
山题意可知：被除数+除数二933-40-16二877,・•・（除数X40+16）+除数=877,・•・除数X 41二877-16,除数=8614-41,除数二21,•••被除数二21X40+16 二856。
答：被除数是856,除数是21。
例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期儿？解：十月份共有31天，每周共有7天，731=7X4+3,・••根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
•••这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为笫一天开始往回数（即3月16日（第二天），15 S （第三天），…）的第1993天是星期儿？解:每周有7天,19934-7=284 （周）•••5 （天人从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 —个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。
这是一道古算题•它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物儿何？"关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花卄一枝，七子团圆正半月，除白零五便得知・”意思是，用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加. 如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止•这样就可以得到满足条件的解•其解法如下：方法1： 2X70+3X21+2X15二233233-105X2=23符合条件的最小自然数是23。
例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2： [3, 7]+2=2323除以5恰好余3。
所以，符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6 —个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被3整除S同样邛余以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5, 6]-2=28,即28适合前两个条件。
想:28+[5, 6JX?之后能满足“7除余1”的条件？28+[5, 61 X4=148, 148=21X7+1,乂148V210二[5, 6, 7]所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 —个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。
解：想：2+3 X?之后能满足“5除余3”的条件？2+3X2二8 °再想：8+[3, 5]X?之后能满足“7除余4”的条件？8+[3, 5]X3=53o・・・符合条件的最小的自然数是53。
