投资组合理论与投资分析第四讲

投资经理： 设定投资收益目标是12%，以便 投资经理： 设定投资收益目标是 ， 保留一定的保险系数； 保留一定的保险系数；可以接受方差作为风 险的度量指标，但不希望有亏损的可能。 险的度量指标，但不希望有亏损的可能。 以组合P5为起点 做了进一步分析和计算。 为起点， 以组合 为起点，做了进一步分析和计算。 利用EXCEL的“规划求解”功能计算得：投 利用 的 规划求解”功能计算得： 资资产A1（ 投资资产A2（ 资资产 （1/3),投资资产 （2/3)，组合收 投资资产 ， 益的标准差为4.2%，本金亏损的可能性小于 益的标准差为 ， 0.5%
文字表述为： 文字表述为：在所有具有相同期望收益的 投资组合中寻求方差最小的投资组合。 投资组合中寻求方差最小的投资组合。 模型的第一部分称为“目标函数” 模型的第一部分称为“目标函数”，目的 是追求组合收益方差的最小化（Min). 是追求组合收益方差的最小化（ 第二部分称为“约束条件” 第二部分称为“约束条件”，即在追求方 差最小化的过程中（改变投资组合比例）， 差最小化的过程中（改变投资组合比例）， 必须始终确保投资组合比例满足组合期望 收益的要求， 收益的要求，并同时保持投资比例之和等 于1.
L =
∑∑
i =1
n
n
j =1
x i x j σ ij − λ 1 ( µ −
∑
n
i =1
x i R i ) − λ 2 (1 −
∑
n
i =1
xi )
∂L =0 ∂xi
( i = 1, 2 , ⋯ , n );
15.0 14.1 13.2 12.3 11.4 10.5 9.6 8.7 7.8 6.9 6.0
不同的组合方案具有不同的期望收益和风险 水平，当单独投资资产A2时方差风险最大 时方差风险最大， 水平，当单独投资资产 时方差风险最大， 而单独投资资产A1时风险却不是最小 时风险却不是最小。 而单独投资资产 时风险却不是最小。从组 开始， 合P5开始，组合投资的风险就小于单独投资 开始 资产A1。由此可见，单独投资资产A1显然不 资产 。由此可见，单独投资资产 显然不 是最优方案，那么哪一个方案最好呢？ 是最优方案，那么哪一个方案最好呢？ 了解三个问题： 了解三个问题： 1、你期望的收益目标是多少？ 、你期望的收益目标是多少？ 2、你是否以收益方差作为测量风险的尺度？ 、你是否以收益方差作为测量风险的尺度？ 3、你是否有其他的考虑或约束？ 、你是否有其他的考虑或约束？
（二）两种风险资产的组合分析与选择
情景3-2 情景 某投资机构经过研究分析， 某投资机构经过研究分析，最终在其备选资产 池中只有两类资产A1和 池中只有两类资产 和A2.它们各自的期望收 它们各自的期望收 ）、A2（ 益和方差分别为A1（6%，0.16%）、 （15%， （ ， ）、 ， 0.36%），而且两类资产在未来投资期内的收益 ）， 相关系数大约保持在0.1左右 左右。 相关系数大约保持在 左右。
投资组 合方案 A1 A2 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11
A1的投资 A2的投 的投资 的投 资比例 比例
期望收益% 期望收益 6.0 15.0
收益方差 0.00160 0.00360 0.00360 0.0029321 0.00236818 0.00190824 0.00155228 0.00130029 0.00115228 0.00110824 0.00116818 0.0013321 0.0016
只有两种资产的情况： 只有两种资产的情况：
σ
2 p
= x1 σ
2
2 1
+ x2 σ
2
2 2
+ 2 x1 x 2σ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
s .t .
x1 + x 2 = 1 x1 R 1 + x 2 R 2 = µ
上述所示在数学上被称为“二次规划模型”，可 上述所示在数学上被称为“二次规划模型” 以直接运用拉格朗日乘数法求解。 以直接运用拉格朗日乘数法求解。
组合选择的均值/ 二、组合选择的均值/方差法
投资组合优化或选择的本质在于投资收益与 风险的权衡。 风险的权衡。马克维茨的投资组合选择方法的实 质在于将多种投资组合的期望收益与投资组合的 方差进行比较，称之为“均值/方差法 方差法” 方差进行比较，称之为“均值 方差法”。
投资可行集与有效集的概念
全部组合方案的数值（期望收益/风险）构成 风险） 全部组合方案的数值（期望收益 风险 的集合称为投资可行集 投资可行集（ 的集合称为投资可行集（feasible set)。两种资 。 产构成的所有组合的期望收益和风险形成一条曲 （直）线；三种以上资产构成的所有组合形成一 个区域， 可行域。组合中包罗的资产越多， 个区域，叫可行域。组合中包罗的资产越多，形 成的组合方案就越多， 成的组合方案就越多，最优组合的效果也就可能 越好。 越好。
两种风险资产的投资可行集
标准差—期望收益曲线 3.60% 期望收益 3.50% 3.40% 3.30% 3.20% 4.00% 5.00% 6.00% 7.00% 8.00% 9.00%
标准差
马克维茨在其组合选择理论中将有效组合 界定在E 界定在E-V准则之下
“有效”的含义是：在方差风险相同的情况下， 有效”的含义是：在方差风险相同的情况下， 投资组合的期望收益最大；或者， 投资组合的期望收益最大；或者，在期望收益相 同的情况下，投资组合所承担的方差风险最小。 同的情况下，投资组合所承担的方差风险最小。 曲线最左端的点（期望收益8.7%）是所有可行 曲线最左端的点（期望收益 ） 组合中方差风险最小的组合，称为“ 组合中方差风险最小的组合，称为“最小风险组 曲线上的所有组合方案（ 合”。曲线上的所有组合方案（即曲线的上半部 的风险不断增加的同时，期望收益也在增加， 分）的风险不断增加的同时，期望收益也在增加， 风险大，收益也大” 即“风险大，收益也大”。 在曲线的下半部分，随着组合风险的增加， 在曲线的下半部分，随着组合风险的增加，组合 期望收益减小了，显然这些投资组合不符合“ 期望收益减小了，显然这些投资组合不符合“均 方差有效” 值/方差有效”的要求，为无效组合 方差有效 的要求，
期望收益 收益标 准差% % 准差% 3.00 0 15.00 3.00 4.20 5.40 6.60 7.80 9.00 10.20 0.1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
本金亏损的概率 0 0.066807229 0 1.33541E-05 0.003467023 0.013903399 0.02558799 0.035930266 0.044565432
第三章 投资组合的选择与优化方法
一、投资组合优化或选择的概念
（一）无风险资产与一种风险资产的组合问题 情景3-1 情景 投资者陈某经过认真研究和分析， 投资者陈某经过认真研究和分析，选定了一种国 债和一种指数基金作为投资对象。 债和一种指数基金作为投资对象。国债的投资收 益为每年3%， 益为每年 ，指数基金的实际投资收益受市场指 数的影响而不确定，估计期望年收益为15%，收 数的影响而不确定，估计期望年收益为 ， 益分布可以认为是正态分布，标准差估计为10%。 益分布可以认为是正态分布，标准差估计为 。 陈某承担风险的能力较弱， 陈某承担风险的能力较弱，又觉得国债的投资 收益太低了，希望能获得10%左右的年收益，又 左右的年收益， 收益太低了，希望能获得 左右的年收益 不承担太大的风险。 不承担太大的风险。
所有符合均值/ 所有符合均值/方差有效要求的投资组合方 案被称为“有效投资组合集” 案被称为“有效投资组合集”，它们的收 益均值和方差所构成的集合被称为“ 益均值和方差所构成的集合被称为“有效 有效边缘线（有效边界线） 集”，或“有效边缘线（有效边界线）”。 即有效组合方案在投资可行域的上半部分 的边缘线上。在只有两种资产的情况下， 的边缘线上。在只有两种资产的情况下， 由于投资可行域变现为一条曲线， 由于投资可行域变现为一条曲线，所以其 有效边缘线就是该曲线的上半部分。 有效边缘线就是该曲线的上半部分。而在 有三种以上资产的情况下， 有三种以上资产的情况下，所有有效组合 落在可行域上半部分的边缘线上，故称之 落在可行域上半部分的边缘线上， 有效边缘线” 为“有效边缘线”。
投资组合理论与 投资分析
第四讲
第二章 几个问题
1、什么是投资组合构建？ 、什么是投资组合构建？ 2、为什么需要一套科学的运作机制来实现投资组 、 合的构建？ 合的构建？ 3、什么是投资哲学？它对投资有何作用？ 、什么是投资哲学？它对投资有何作用？ 4、什么是资产配置？战略资产配置和战术资产配 、什么是资产配置？ 置有何区别？ 置有何区别？ 5、什么是备选资产池？为什么要求投资经理只能 、什么是备选资产池？ 在备选资产池内构建投资组合？ 在备选资产池内构建投资组合？ 6、什么是投资组合优化？其根本目的和作用有哪 、什么是投资组合优化？ 些？
模型） （二）马克维茨的组合优化模型（ µ −σ 模型） 马克维茨的组合优化模型（ 投资组合理论的基本假设 1、假设证券市场是有效的，投资者能得知证券 、假设证券市场是有效的， 市场上多种证券收益与风险的变动及其原因 2、假设投资者都是风险厌恶者，都希望得到较 、假设投资者都是风险厌恶者， 高的收益率。如果他们承受较大的风险， 高的收益率。如果他们承受较大的风险，则必须 以较高的预期收益作为补偿。 以较高的预期收益作为补偿。 3、风险以预期收益率的方差或标准差表示。 、风险以预期收益率的方差或标准差表示。
Minσ p = ∑∑ xi x j cov(i, j )
2 i =1 j =1
n
n
n ∑ xi = 1 i =1 s.t. n ∑ xi Ri = µ i =1 n表示资产种数， xi 表示组合投资比例， i, j )表示 cov( 两种资产收益的协方差 ，µ表示组合投资的期望收 益。