成都石室中学高 届高考适应性考试 数学文科答案

2020年四川省成都市石室中学高考数学适应性试卷(文科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<3}，B={x|x−2<0}，则A∩B=()A. (−2,2)B. (−3,2)C. (−3,3)D. (−2,3)2.若复数z满足2z+z=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 33.已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A. 1a <1bB. ac2>bc2C. a2>b2D. a3>b34.将函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位，再向上平移1个单位，得到的函数为()A. y=sin(2x−π3)+1 B. y=sin(2x+π3)+1C. y=sin(2x−2π3)+1 D. y=sin(2x+2π3)+15.已知x，y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 36.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A. 一尺五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸7.已知圆x2+y2−4x−6y+9=0与直线y=kx+3相交于A，B两点，若|AB|≥2√3，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−√33,√33] C. [−√3,√3] D. [−23,0]8.已知a⃗=(2sin13∘,2sin77∘)，|a⃗−b⃗ |=1，a⃗与a⃗−b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅b⃗ =()A. 2B. 3C. 4D. 59.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大的面积为()A. 2√2B. 4C. 2√3D. 2√610.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为其渐近线上一点，PF2⊥x轴，且∠PF1F2=45°，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √5C. √2+1D. √5+111.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)，若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=()A. −50B. 0C. 2D. 5012.过曲线y=xe x上横坐标为1的点的切线方程为()A. 2ex−y−e=0B. ex−y=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0二、填空题（本大题共4小题，共27.0分）13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4,b=√6，△ABC的面积为3+√32，则c=________ ，B=________ ．14.如图，已知抛物线C：y2=8x，则其准线方程为______；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=______．15.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为√26，则球O的表面积为______ ．16.一个公司共有240名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本，已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）17. 若a >0，a 23=49，则log 23a =________．18. 在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AA 1=2√3，底面ABCD 为菱形，且∠BAD =60°．(1)求证：平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1； (2)求三棱锥D 1−C 1BD 的体积．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =43(a n −1)，n ∈N ∗．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)令b n =log 2a n ，记数列{1(bn −1)(b n+1)}的前n 项和为T n .证明：T n <12．20.已知点P(2,2)，圆C：x2+y2−8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程．e2x−(a+1)e x+ax．21.已知函数f(x)=12(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=2sinθ+2(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√22．(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求▵OAB的面积．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x<2}；∴A∩B=(−3,2)．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案．本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，是基础题．解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，∵2z+z=3−i，∴2(a+bi)+a−bi=3−i，即3a+bi=3−i，解得a=1，b=−1，∴复数z=1−i的模为√2．故选：C．3.答案：B解析：解：对于A，若a=1，b=−1，则1a >1b，故A不成立，对于B，a>b，则a−b>0，故(a−b)c2≥0，故B成立，对于C，若a=1，b=−1，则a2=b2，故C不成立，对于D，若c=0，则ac=bc，故D不成立，故选：B．对于A，C，D举反例即可判断，对于B，根据不等式的性质即可判断本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题4.答案：D解析：本题考查图象的变换，应注意图象在x轴上先伸缩再平移和先平移再伸缩，平移的单位不一样．函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位是在自变量x上加π3，向上一移1个单位是在解析式上加1．解：函数y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到函数y=sin2(x+π3)的图象，即函数y=sin(2x+2π3)的图象；再向上平移1个单位，得到的函数y=sin(2x+2π3)+1的图象．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．。

成都石室中学2023—2024学年度下期高2024届适应性考试（二）数学试题(文科)（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，，则 A ．，B ．，C ．，D ．，2．在复平面内，（1+3i ）（3﹣i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计折线图如图，记甲、乙二人成绩的平均数为，，标准差为，，则 A ．，B ．，C ．，D ．，4．若、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及直线外一点．其中，正确结论的序号是 A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，，，输出，，则 A ．和分别是，，，中最小的数和最大的数B ．和分别是，，，中最大的数和最小的数C．为，，，的算术平均数D ．为，，，的和6．成都石室中学选派甲、乙、丙、丁4位同学在星期六、星期日参加公益活动，每人一天，每天有2人参加，甲和乙安排在同一天的概率是 A ．B ．C ．D ．{|M x y ==2{|31}N y y x ==+(M N = )[0)+∞[01][4)+∞[1)+∞1m 2m 1n 2n ()12m m <12n n <12m m <12n n >12m m >12n n <12m m >12n n >a b αa b α()(2)N N …1a 2a ⋯n a A B ()A B 1a 2a ⋯n a A B 1a 2a ⋯n a 2A B+1a 2a ⋯n a A B +1a 2a ⋯n a ()121413167．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为 A.B ．C ．D ．8.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 A ．1B ．C ．D ．9．某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组区间的均匀随机数，，；②进行平移和伸缩变换，，；③共做了次试验，数出满足条件的点的个数．则 A ．B ．C ．D ．10．已知，则的值为 A ．1BC ．2D．11．一边长为4的正方形，为的中点，将，分别沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为 A ．B ．C ．D12．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点．过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为的离心率为 A ．BCDxOy P O 0P P x d t ()R ()f x (3)(1)f x f x +=-(2,0)x ∈-2()log (3)f x x =+(2021)(2024)(f f -=)1-321log -321log --0~11(0,1)a RAND =1(0,1)b RAND =14a a =142b b =-N 22(2)2x y -+<(,)a b 1N 1(N N≈)128π354π20α=︒tan 4sin αα+()ABCD M AB AMD ∆BMC ∆MD MC MA MB ()763π48π81π222:()(0)M x m y m m ++=>2222:1(0)x y C a b a b +=>>A C A M C B D D AB MD -C ()12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知向量满足，且是单位向量，若，则．14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）15．已知函数的图象在公共点处有相同的切线，则则公共点坐标为.16．定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大值是___________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明．18. (本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．,a b |||b a =a cos ,ab 〈〉=r r |2|a b -= 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C C 32y =ln y a x =π3A =ABC ABC {}n a n n S 12a =12n n a S +=+{}n a 2221log log n n n b a a +=⋅{}n b n n T 34n T <P ABC -AB AC =D BC PO AD ⊥O AP BC ⊥8BC =4PO =3AO =2OD =（1）证明：平面；（2）在线段上存在点，使得，求点到平面的距离．19. (本小题满分12分)某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数；（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．男女合计网购迷20非网购迷47合计下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中20．（本小题满分12分）已知函数，．(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若，，证明：．21．（本小题满分12分）PO ⊥ABC AP M 1MP =M BPC [030][05][510][25⋯30]a 22⨯99%20()P K k 0k 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)n a b c d =+++()e xf x x a =+()lng x x x a =+()f x ()g x 4e -a 0a =0x >()()f xg x >'已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.（二）选考题:共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t 为参数）．(1)写出及的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．(1)求的最小值；(2)若的最小值为，正实数a ，b ，c 满足，求证(2)y kx =-HC H y C C ()2,1A P Q C P Q B PAQB 2y x =PAQB S 3S ≤xOy 1C cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩t 2C cos 4sin x ty t =⎧⎨=⎩1C 2C O x 1C 2C ()123f x x x =-++()f x ()f x m 13222a b c m ++=≤成都石室中学2023-2024学年高2024届高考适应性考试（二）数学（文科）答案1.D2．解：（1+3i ）（3﹣i ）＝3﹣i +9i +3＝6+8i ，则在复平面内，（1+3i ）（3﹣i ）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A ．3.解：由表中折线图可知，甲组数据总体比乙组数据高，且甲组数据比乙组数据的振动幅度要小，故，．故选：．4.解：不妨以正方体为例，与在平面上的射影互相平行，①正确；与在平面上的射影互相垂直，②正确；如果、在上的射影是同一条直线，那么、共面，③不正确；与在平面上的射影是一条直线及其外一点，④正确．正确结论的序号是①②④．故选：．5.解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出，，，中最大的数和最小的数其中为，，，中最大的数，为，，，中最小的数故选：．6.C7.解：通过分析可知当 时，点到轴距离，于是可以排除答案，；再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案；故选：．8．【解答】解：根据题意，函数满足，则，即是周期为4的周期函数，（1），，又由函数为定义在上的奇函数，则，12m m >12n n <C 1A D 1BC ABCD 1AB 1BC ABCD a b αa b 1DD 1BC ABCD ∴D 1a 2a ⋯n a A 1a 2a ⋯n a B 1a 2a ⋯n a B 0t =P x d A D 4t π=P x P x d B C ()f x (3)(1)f x f x +=-()(4)f x f x =+()f x (2021)f f =(2024)(0)f f =()f x R (0)0f =(1)f f-=-（1），当时，，则，则（1），，则；故选：．9.【解答】解：把，，代入，得到，如图：坐标为，该圆的面积为，则落在该圆的概率为，故选．10．解：，则故选：．11．【解答】解：如图所示，由图可知在四面体中，由正方形，为的中点，可得，，，故平面，(2,0)x ∈-2()log (3)f x x =+2(1)log 21f -==f (1)1f =--=-(0)0f =(2021)(2024)1f f -=-B 14a a =142b b =-22(2)2x y -+<2211111()()228a b -+-<A 11(,228π818ππ=B 20α=︒sin 204sin 20cos 20sin 202sin 40sin(6040)2sin 40tan 4sin cos 20cos 20cos(6040)αα︒+︒︒︒+︒︒-︒+︒+===︒︒︒-︒==B A CDM -ABCD M AB MA AD ⊥MA AC ⊥AC AD A = MA ⊥ACD将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，由球内截面的性质可得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，可得，在△中，，故该外接球的表面积．故选：．12.解：如图，设，，，，，，则，，两式作差，可得，，则，当为的中点时，直线的斜率为，即，则设为椭圆的左顶点，连接，则，得，解得或（舍去）．可得，则，，M ACD -ACD ∆ACD ∆1O ACD1l MC 2O MAC 2l 1l 2l 12l l O = O M ACD -R OC 1OC 111O C ==Rt 1OO C 222211193OC OO O C R =+==219764433S R πππ==⨯=A 1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(D x 0)y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=2222121222x x y y a b --=-∴2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+21202120()()y y y b x x x a -=-- D AB MD -∴ABk ==1212y y x x -=-00y x =E OD 2DME DOM ∠=∠22tan tan tan 21DOMDME DOM tan DOM∠∠=∠==-∠tan DOM ∠=tan DOM ∠=00tan ODy k DOM x =-∠===∴2214b a =椭圆的离心率．故选：．13．已知向量满足，且是单位向量，若，则．14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）15．【答案】16．定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大C c e a ====C ,a b |||b a =a cos ,ab 〈〉=r r |2|a b -= 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C C 322(,)e e π3A =ABC ABC值是___________．设P ，Q 分别为、上任意一点，即PQ 的长小于等于周长的一半，当同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于长l 的一半，BC ACPQ PG GF FQ PG =++≤ ABC17.【解答】解：（1），当时，，两式相减，得，即，又………………………………4分，满足上式，………………………………5分即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；………………………………6分证明：（2），………………………………8分………………………………11分．………………………………12分18.【解答】解：（1），为的中点，，，，平面，……………………………2分平面，，……………………………4分，，平面；……………………………6分（2）.设点到平面的距离为。

2024年成都市石室中学高三数学（文）高考三模试卷（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在ABC 中，“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A ．9x =B ．6y =C ．乙的成绩的中位数为28D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4．用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A ．1项B ．21k -项C ．12k +项D ．2k 项5．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 的周期为πC ．(1π,4)是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增6．物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数2()2ln f x x x =+的图象在()()()()1122,,,A x f x B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则12x x +的取值可以为（）A ．14B ．1C ．2D ．1038．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A ．平行B ．相交C ．异面且垂直D ．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A ．316B ．1316C ．716D ．91610．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOF S S = （）A．B．3-CD11．如图，射线l 与圆()()22:111C x y -+-=，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A 、B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，则函数()L α的解析式为（）A ．()L α=B ．()L α=C ．()L α=D ．()L α=12．若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．30,2e ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若复数12z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=.14．已知a 是1，2的等差中项，b 是1，16的等比中项，则ab 等于；15．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =.16．某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 6cm 12cm ､､，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值；(2)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.18．如图，在四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．(1)求sin sin BACABC∠∠的值；(2)设AC =3，求2AB ．19．已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20．已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.(1)证明：四面体ABCD 的体积为定值；(2)已知异于C 、D 两点的动点P β∈，且P 、A 、B 、C 、D 的球面上.求点P 到直线AB 的距离的取值范围.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆C 上运动且半径为3的圆是椭圆C 的“环绕圆”.过原点O 作椭圆C 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C 于,A B 两点，若直线,OA OB 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.(1)写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；(2)若将曲线1C上各点的横坐标缩短为原来的6倍，22倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()1f x x =-．()1解不等式()()246f x f x ++≥；()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．1．B【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M 中的元素，即可求解集合M 的个数.【详解】由{}{},,M a b c a ⋂=可得：{}a M ⊆，a M ∈，,b c M ∉.又因为{},,,M a b c d ⊆，所以{}M a =或{},M a d =.故选：B 2．C【分析】先将CA CB AB +< 等价变形为CA CB CB CA +<- ，两边平方后得0CA CB ⋅<u u u r u u u r，且,,A B C 三点不共线，即可做出判断.【详解】“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<- ”，所以22222222CA CB CA CA CB CB CB CA CA CA CB CB ⋅-+=++<+⋅-= ，从而0CA CB ⋅<u u u r u u u r，在ABC 中，显然,,A B C 三点不共线，即两个向量CA CB,不能方向相反，则ACB ∠是钝角，则必要性成立，若ACB ∠是钝角，则0CA CB ⋅<u u u r u u u r，则CA CB AB +< ，则充分性成立，则“ACB ∠是钝角”是“CA CB AB +< ”的充要条件.故选：C ．3．C【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，甲得分的极差为31，30831x +-=，解得：9x =，A 正确；对于B ，乙的平均数为()11225262031245x y =⨯+++++=乙，解得6y =，B 正确；对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C 错误；对于D ，甲的平均数()1813283239245x =⨯++++=甲，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确；故选：C ．4．D【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232nf n =++++ ，所以()1111232kf k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D 5．B【分析】利用二倍角公式化简可得()12sin214f x x =+，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案．【详解】由函数()1111sin cos sin 22sin 214244f x x x x x =+=+=⋅+，由此可作出()f x 的函数图象，如图所示，对于A 中，由()()()111π2sin 2π12sin 212sin 21444f x x x x f x -=⋅-+=⋅-+=⋅-≠，所以()f x 关于直线π2x =不对称，所以A 错误；对于B 中，由()()()11π2sin 2π12sin 2144f x x x f x +=⋅++=⋅+=，所以B 正确；对于C 中，由函数()f x 图象可知，()f x 不存在对称中心，所以C 错误；对于D 中，因为π344f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，所以D 错误.故选：B.6．C【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n k k k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．7．D【分析】求出函数的导函数，依题意可得12122222x x x x +=+，再由10x >、20x >、12x x ≠，即可得到121=x x ，最后由基本不等式求出12x x +的范围，即可判断.【详解】由2()2ln f x x x =+，则()22f x x x='+，则()11122f x x x '=+，()22222f x x x '=+，依题意可得12122222x x x x +=+且10x >、20x >、12x x ≠，所以121=x x ，所以122x x +>=，经验证，当1x 、2x 分别取3、13时12103x x +=满足题意.故选：D 8．B【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C 两点重合，所以AB 与CD 相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．9．C【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.【详解】设甲船到达泊位的时间为x ，乙船到达泊位的时间为y ，则0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则14x y -≤，画出不等式组010114x y x y ≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪-≤⎪⎩表示的平面区域，如图中的阴影部分，33171244216S =-⨯⨯⨯=阴影，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为=671S P S =阴影.故选：C 10．D【分析】根据向量的坐标运算求得点C 的坐标，消参得其轨迹方程，然后与双曲线的渐近线方程联立求得点P 和Q 的纵坐标，从而把面积比转化为坐标绝对值比即可求解.【详解】由于向量OC mOA nOB =+，点()()1,0,2,3A B -，所以()2,3C m n n -+，因为40m n --=，所以点()4,3C n n -，则点C 的轨迹为3(4)y x+=，与双曲线2212x y -=其中一条渐近线y =，联立23(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得Q y =联立3(+4)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得3621217P y =，因此1196221172PPOF P QOFQ Q OF y S y S y OF y ⋅-===⋅ .故选：D11．C【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系求出()L a 【详解】由圆()()22111C x y -+-=∶可得圆C 的极坐标方程为()()22cos 1sin 11ρθρθ-+-=，化简得到()22cos 2sin 10ρθθρ-++=，联立方程组()22cos 2sin 10ρθθρθα⎧-++=⎨=⎩，得到方程()22cos 2sin 10ρααρ-++=，则()12Lαρρ=-==故选：C.12．B【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合可行域可知当0a=时，不成立，所以可以把()()324e ln ln0x a y x y x+--=化为322e lny ya x x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设ytx=，根据可行域求出t的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数a的取值范围．【详解】画出不等式组23100290360x yx yx y-+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩表示的平面区域，如图所示，()1,4A，()3,3B，()4,6C，可知当0a=时，原式不成立，所以()()324e ln ln0x a y x y x+--=可转化为322e lny ya x x⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设ytx=，根据可行域可知14t≤≤，()322e lnt ta-=-，设()()22e lnf t t t=-，（14t≤≤），则()()14e2ln22e2ln2f t t t tt t'=+-⋅=+-，()2224e24etf tt t t+''=+=，因为14t≤≤，所以()0f t''>恒成立，则()f t'单调递增，且()e0f'=，所以当[)1,et∈时，()0f t'<，()f t单调递减，当(]e,4t∈时，()0f t'>，()f t单调递增，又()10f=，()e2ef=-，()()()4242e ln442e ln40f=-=-<，所以()[]2e,0f x∈-，所以32e0a-≤-≤，解得32ea≥，故选：B.13．12+【分析】根据复数的性质计算即可.【详解】因为12z =，所以21111(i)(i)(i)=i 2222z z ⋅=⋅⋅.故答案为：12.14．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求,a b ，即可求解.【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==，因为b 是1，16的等比中项，所以211616b =⨯=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.15．2167【分析】通过赋值得到(3),(4)f f 的值，之后猜想()f n 的表达式，利用数学归纳法证明，之后代入()f n 表达式即可求得答案.【详解】令5,2x y ==即可求出()34f =，令2,5x y ==即可求出()47f =，()()2323x y f x f f y +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()()62363233423133f f f f f +⨯⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，结合()21f =，()34f =，()47f =，()510f =，()613f =可猜想()()31235f n n n =--=-.下面用数学归纳法证明：当()*6N n n ≤∈时，由上述知()35f n n =-成立.假设当()*,N n k n k ≤∈时有()35f n n =-，则当1n k =+时，不妨设6k ≥，()()()()()()125132533253k k f k f f k f k f k ⎛⎫++-+=--=--- ⎪⎝⎭()()()()()33352355315k k k =-----=+-.所以()35f n n =-成立，所以()724372452167f =⨯-=.故答案为：2167.16【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则BD 是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴，12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，记BD 与12O O 的交点为12F O O ，的中点为E ，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，由垂径定理知EO 垂直平分MN ，再求椭圆的离心率即可.【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆O ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面ABCD ，则6,8,12.AB CD BC BD ===是椭圆的长轴，MN 是椭圆的短轴.12O O 是圆台的轴线，作BH CD ⊥于H ，则12O O BH ===8BD =记BD 与12O O 的交点为12,F O O 的中点为E ，则12OE O O ⊥，12122123::4:3,7FO FO O D O B FO O O ===，221212121312714EF EO FO O O O O O O =-=-=，1212222311:::1:6,14762O O O O OE O B EF FO OE O B =====，由实际情形知，点M N E ､､在圆台的过轴线12O O 的中点E 且与轴线垂直的截面圆上，()121722EM O D O A =+=.由垂径定理知EO 垂直平分MN ，OM ON ===记椭圆的离心率为e ，长半轴长､短半轴长､半焦距为a b c ､､，则222222222311,42c a b b e e a a a ⎛-===-=-==.故答案为：2.17．(1)0.125；(2)310【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【详解】（1）依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；（2）由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.18．(2)15-【分析】（1）根据对称的性质和已知条件可得AD ‖BC ，则CAD ACB ∠=∠，45ACB CAD ∠=∠=︒，再利用正弦定理可求得结果；（2）在ACD 中利用正弦定理可求出CD ，再在ABC 中利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为C 点关于直线BD 的对称点在直线AD 上，所以DB 平分ADC ∠，所以ADB CDB ∠=∠，因为CBD CDB ∠=∠，所以ADB CBD ∠=∠，BC =CD ，所以AD ‖BC ，所以CAD ACB ∠=∠，因为30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒，所以45ACB CAD ∠=∠=︒，所以sin sin sin 45sin sin sin 60BAC BC CD CAD ABC AC AC ADC ∠∠︒=====∠∠︒（2）因为在ACD 中，由正弦定理得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠,所以3sin 45sin 60CD =︒︒232=⨯，所以CD =CB ，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AB CB CA CB CA ACB=+-⋅⋅∠2233cos 4515=+-⨯︒=-．19．(1)答案见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）求导分析()f x '的符号，讨论()f x 的单调性，即可求解.（2）先对()g x 求导，结合导数与单调性及极值的关系，得到12b a =-，再结合要证不等式构造函数()ln 2ln 24h a a b a a =+=+-，求导并结合单调性与最值即可证明.【详解】（1）函数2()ln f x ax x =-的定义域为(0,)+∞，求导得2121()2ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，由()0f x '<，得0x <<，由()0f x '>，得x >即函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）函数2()()ln g x f x bx ax x bx =+=-+的定义域为(0,)+∞，求导得1()2g x ax b x=-+'，由1x =是()g x 的极值点，得(1)210g a b =-+='，即12b a =-，212(12)1(21)(1)()212ax a x ax x g x ax a x x x+--+-=-+-=='，而0a >，则当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减，当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以当1x =时，()g x 取得极小值.设()ln 2ln 24,0h a a b a a a =+=+->，求导得1()4h a a'=-，当10a 4<<时，()0'>h a ，当14a >时，()0h a '<，则函数()h a 在1(0,)4上单调递增，在1(,)4+∞上单调递减，因此1()(1ln404h a h ≤=-<，所以2+ln 12ln 2b a ≤-.20．(1)证明见解析；(2)⎡⎣【分析】（1）用补形法将三棱锥B ADC -补形为三棱柱，利用三棱锥与三棱柱体积的关系即可求解.（2）考查点到直线的距离问题，与球的截面圆相结合，先确定球心位置和动点P 的轨迹即可进一步研究点P 到直线AB 的距离的取值范围.【详解】（1）如图，平移线段AB 使得A 与C 重合，并将四面体ABCD 补成一个斜三棱柱，则该斜棱柱的底面积122sin 602S =⨯⨯⨯︒=，高1h =，所以该斜棱柱的体积为定值V Sh ==又此斜棱柱恰好可以分为三个与三棱锥B ADC -的底面积相同，高相同的三棱锥，于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的13，所以四面体ABCD 的体积为13V Sh ==.（2）设球心是O ，并设O 与平面α，平面β的距离分别是1h ，2h ，由OA OB OC OD ====可知，O 在A ，B 的中垂面和C ，D的中垂面（过线段中点且垂直于线段的平面）的交线上，设AB 的中点是M ，CD 的中点是N .则由勾股定理得12OM ON ==，注意到1211h h OM ON =+≤+=，所以O ，M ，N 共线，且MN ⊥平面α，因为P β∈，且P 、A 、B 、C 、D 均在球O 上，所以P 在以N 点为圆心、以CD 为直径的圆上（除去C 、D 两点），过点N 直线AB 的平行线11A B ，设点P 到直线AB ，11A B 的距离分别为d ，1d，则d 又[]10,1d ∈，所以d ⎡∈⎣.【点睛】关键点睛：确定球心位置和动点P 的轨迹是解决点P 到直线AB 的距离的取值范围的关键.21．(1)22154x y +=(2)(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据条件可得225,4a b ==即可得椭圆方程；（2）先设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，由题意得环绕圆方程，由直线与圆相切及同解方程可得12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，结合圆心()00,x y 在椭圆C 上得2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭，由0x 的范围可得最终答案.【详解】（1）由题意，得c a =1222a b ⋅⋅=，又222a b c =+，解得225,4a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22154x y +=.（2）设切线OA 的方程为1y k x =，切线OB 的方程为2y k x =，“环绕圆”的圆心D 为()00,x y .由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为()()22001x x y y -+-=.因为直线1:OA y k x =与“环绕圆”1=，化简得()2220100101210x k x y k y --+-=.同理可得()2220200201210x k x y k y --+-=.所以12,k k 是方程()22200001210x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，所以22001220110,Δ0,1y x k k x --≠>=-.又因为“环绕圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，所以代入椭圆方程22154x y +=中，可得2200154x y +=，解得2200445y x =-.所以2012220011114151y k k x x ⎛⎫-==-- ⎪--⎝⎭.又因为2005x ≤≤且2010x -≠，所以20110x -≤-<或20014x <-≤.所以20111x ≤--或201114x ≥-，所以2011111x -≥-或20111114x -≤--，所以20111435x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭或201111454x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭.所以12k k 的取值范围是(]1,3,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ .22．(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为x yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；(2)2362【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，极坐标方程先根据公式化为直角坐标方程，再化为参数方程即可.（2）利用参数方程，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质确定点P 到直线l 的距离的最小值即可.【详解】（1）因为直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C的极坐标方程为ρ=，消去参数，直线l0y -+=，曲线1C 的普通方程为：226x y +=，所以1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（2）由（1）有：1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由题意知，曲线2C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），所以可设点()cos P θθ，又直线l0y -+=，故点P 到直线l的距离为：d =所以当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，min d ，即点P 到直线l23．（1）4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）见解析.【详解】试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的应用22221a b a b --+=()()2211a b --．试题解析：（1）由()()246f x f x ++≥得：2136x x -++≥，当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-；当132x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-；当12x >时，2136x x -++≥，解得43x ≥；综上，不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）证明：()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--，因为1a <，1b <，即21a <，21b <，所以221||ab a b ---=2222212a b ab a ab b -+-+-=22221a b a b --+=()()22110a b -->，所以221|||ab a b --，即1ab a b ->-，所以原不等式成立.【点睛】解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届入学考试文科答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U R =，能表示集合2{|30}A x N x x =∈- 与{1B =，2}关系的Venn 图是()A．B．C ．D ．【解答】解：全集U R =，集合2{|30}{|03}{0A x N x x x N x =∈-=∈= ，1，2,3}，{1B =，2}，B A ∴Ü，∴能表示集合2{|30}A x N x x =∈- ，{1B =，2}关系的Venn 图是B ．故选：B ．2.已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则a b + 在a b -方向上投影为()A ．4B ．2-C ．2D ．4-解：由(2,4)a b += ，(4,0)a b -=-，则a b + 在a b -方向上的投影向量为：22()()||||a b a b a b a b a b -⋅+-=--84-=2=-．故选：B ．3．5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示：时间x 12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是()A ．由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B ．线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.26a =C ．残差ˆ(1,2,3,4,5)i ei =的最大值与最小值之和为0D ．可以预测6x =时该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【解答】解：从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据易得3,1x y ==，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.2410.720.28a =-⨯=-=，故B 错误；ˆ0.240.28yx =+，1ˆ0.240.280.52y =+=，2ˆ0.2420.280.76y =⨯+=，3ˆ0.2430.28 1.00y=⨯+=，4ˆ0.2440.28 1.24y =⨯+=，5ˆ0.2450.28 1.48y =⨯+=，1ˆ0.50.520.02e=-=-，2ˆ0.80.760.04e =-=，3ˆ110e =-=，4ˆ 1.2 1.240.04e =-=-，5ˆ 1.5 1.480.02e =-=，残差ˆ(1,2,3,4,5)i ei =的最大值2ˆ0.04e =与最小值4ˆ0.04e =-之和为0，故C 正确；6x =时该商场5G 手机销量约为ˆ0.2460.28 1.72y=⨯+=，故D 正确．故选：B ．4．方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件可以是()A ．(3,1)m ∈-B ．(3m ∈-，1)(1--⋃，1)C ．(3,)m ∈-+∞D ．(3,1)m ∈--【解答】解：若方程22131x y m m +=+-表示双曲线，则(3)(1)0m m +-<，解得：31m -<<，则：方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含{|:31m m -<<，选项故选：C ．5．执行如图所示的程序框图，若依次输入ln 22m =，ln 33n =，ln55p =，则输出的结果为()A ．ln 22B ．ln 33C ．ln 55D ．以上都不对【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m 、n 、p 中的最小数，：5252252525522525ln ln ln ln ln ln >⇔>⇔>⇔>．2323323232233232ln ln ln ln ln ln >⇔>⇔>⇔>，c a b ∴<<．故选：C ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC ∆的面积ABC S ∆=222)ABCS a c b ∆=+-，则AB BC =A ．B ．C ．2D ．2-【解答】解：ABC ∆ 的面积1sin 2ABC S ac B ∆==，可得：sin ac B =，2221)sin 42a c b ac B +-=sin tan cos B B B∴==3B π∴=4ac =又 cos()AB BC ac B π=-2=-故选：D ．7.设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324n S =，则n 的值为()A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：因为等差数列中，612345636S a a a a a a =+++++=，6144n S -=，324n S =，则612345180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=，两式相加得，16()216n a a +=，即136n a a +=，因为1()183242n n n a a S n +===，所以18n =．故选：D ．8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为()A ．1B ．2C D 【解答】解：由题意几何体是四棱锥P ABCD -，过P 作PE AD ⊥于E ，在正方体中有CD ⊥平面PAD ，所以CD PE ⊥，又因为AD CD D = ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以四棱锥的高为PE ，在PAD ∆中，2PA =，PD =，AD =故2223cos 25AD PD AP ADP AD PD +-∠==⋅，4sin 5ADP ∴∠==，故114225ADP S PE ∆==，解得PE =．．故选：D ．9．抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，P 为线段AB 的中点，设P 在l 上的射影为Q ，则||||PQ AB 的最大值是()A ．3B ．3C ．2D ．2【解答】解：设||AF a =，||BF b =，A ，B 在l 上的射影分别为M ，N ，则||||AF AM =，||||BF BN =，故||||||22AM BN a b PQ++==．又AF BF⊥，所以||AB==，因为22 2222()() ()2()22a b a ba b a b ab a b+++=+-+-=，2()2a b+，当且仅当a b=时等号成立，故||||22()2PQAB=．故选：C．10．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，线段1CD上有两个动点E，F，且12EF=，点P，Q分别为11A B，1BB的中点，G在侧面11CDD C上运动，且满足1//B G平面1CD PQ，以下命题错误的是()A．1AB EF⊥B．多面体1AEFB的体积为定值C．侧面11CDD C上存在点G，使得11B G CD⊥D．直线1B G与直线BC所成的角可能为6π解：对于A，正方体1111ABCD A B C D-中，11AB A B⊥，11//A B CD，E、F是线段1CD上有两个动点，1AB EF∴⊥，故A正确；对于B，12EF=，1B到EF的距离为定值，∴1B EFS是定值，点A到平面1B EF的距离为定值，∴多面体1AEFB的体积为定值，故B正确；对于C，111B C B D=，∴当G为1CD中点时，11B G CD⊥，故C正确；对于D ，取11C D 中点M ，1CC 中点N ，当G 与M 或N 重合时，直线1B G 与直线BC 所成的角11MB C ∠最大，111tan tan 236MB C π∠=<=，故D 错误．故选：D ．11．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值最大是()A ．B ．C ．D ．1)【解答】解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB =AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ，则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故ACBD S 四边形 ，故选：B ．的最小正周期可能是第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）______上一点，1cos 3B =.以点B 、D 为焦点的椭圆详解】连接点A 与BC 中点M ，即有BM CM =13ABC ∠=，则13BM AB =，即BC 由椭圆定义可得2AB AD a +=、BC CA +8AD BC CA AB AC BC +++=++=32a =，则BC a =、2CD a a a =-=由于2ln ln x a x=仅有3个解，故y 结合图象可得20ln ea <<或2ln e -<即2e 1e a <<或2-e e 1a <<，故答案为：2e 1e a <<或2-e e 1a <<三、解答题（本题共6道小题，共70分）17.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足1(1)n n na n a +=+，数列{}n b 满足311n b n =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列2n a n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【解答】解：（1）证明：1(1)n n na n a +=+ ，∴11n n a n a n ++=，∴1(2)1n n a nn a n -=- ，∴132112211432(2)12321n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=-- ，当1n =时，上式成立，∴*()n a n n N =∈，∴131n b n =-；………………………………………5分（2）由（1）得22(31)na n nn b =⨯-，∴1231225282(34)2(31)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①，∴23412225282(34)2(31)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，∴①-②得，212341112(12)43(2222)(31)243(31)28(34)212n n n n n n T n n n -+++⨯--=+⨯++++--⨯=+⨯--⨯=---⨯- ，∴18(34)2n n T n +=+-⋅．………………………………………12分18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查．（Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（Ⅱ）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为12，记(1i B i =，2，3，4)为“第i 组化验结果呈阴性”，(1i B i =，2，3，4)为“第i 组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率．【解答】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:1，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人，该企业总共有2416848++=名员工，记事件A ：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，∴每位员工被抽到的概率为61488P ==．………………………………………5分（2）记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B ，所有分组化验的结果有16种，分别为：1(B ，2B ，3B ，4)B ，1234(,,,)B B B B ，1234(,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，12(B B ，3B ，4)B ，1234(,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，1231(,,,)B B B B ，1234(,)B B B B ，1234(,,)B B B B ，1234(,,)B B B B ，1234(,,)B B B B，1234(,,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，………………………………………8分其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有6种，分别为：12(B B ，3B ，4)B ，1234(,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，1234(,,,)B B B B ，1231(,,,)B B B B ，1234(,)B B B B ，每组化验结果呈阴性与阳性互为对立，∴每组化验呈阳性的概率都为12，………………………………………10分则上述每个结果出现的可能性都相等，∴恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为P （B ）63168==．………………………………………12分19．如图，已知梯形CDEF 与ADE ∆所在的平面垂直，AD DE ⊥，CD DE ⊥，////AB CD EF ，28AE DE ==，3AB =，9EF =，12CD =，连接BC ，BF ．（Ⅰ）若G 为AD 边上一点，13DG DA =，求证：//EG 平面BCF ；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在BC 上取一点O ，使得2BO OC =.延长DA 和CB 交于点E ，由相似三角形原理可得//GO DC ，9GO =。

11 8 7 712 5 1 3 13 1 2成都石室中学2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（文）（A 卷）参考答案一、选择题：1.已知复数i11+=z （其中i 为虚数单位），则z 的虚部是A.21-B.i 21-C.21D.i 211.A 2i1i 11-=+=z ,所以z 的虚部是21-.2.若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧===21|,2,1x y y B A ，则A a ∈是B a ∈的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.A [)+∞=,0B ，则A 是B 的真子集，则A a ∈是B a ∈的充分不必要条件.3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是1243.B 对于选项A,极差是13211715-=，故A 错误;对于选项B ，中位数是1222123121=+，故B 正确;对于选项C ，众数是117，故C 错误;对于选项D ，平均数是123，故D 错误，故选B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是 A.π23B.π35C.π37D.π294.A 还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个几何体的体积23433111382V πππ=⋅⋅+⋅⋅=.5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为A.2B.4C.6D.85.B 因为10109632=++++a a a a a ，由等差数列的性质，得1056=a ，26=a ，所以484=+a a .6.若b a ,是正实数，且142131=+++b a b a ，则b a +的最小值为A ．54B ．32C ．1D ．26.A 因为()()[]()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+++=⋅+++=+b a b a b a b a b a b a b a 421314235114235154423342251≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=b a b a b a b a ，当且仅当51,53==b a 时取等号，所以b a +的最小值为54.7.当20π≤<x 时，关于x 的不等式0))(sin 32cos sin 2(≤--+x x x x a 有解，则a 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．247.A 当20π≤<x 时，x x <sin ，所以032cos sin 2≥-+x x a 在20π≤<x 上有解，所以x x x a 2sin 222cos 3sin 2+=-≥，所以minsin sin 1⎪⎭⎫⎝⎛+≥x x a .由2sin sin 1≥+x x ，当且仅当2π=x 时取等号，所以a 的最小值是2.7.当20π≤<x 时，关于x 的不等式(2sin cos 23)(sin )0a x x x x +--≤+有解，则a 的最小值是A ．1516B ．158C ．32D ．17.A 当20π≤<x 时，x x <sin ，所以2sin cos 230a x x ++-≥在20π≤<x 上有解，所以22sin 3cos 222sin a x x x +≥-=+，所以211515sin 41616a x ⎛⎫≥-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1sin 4x =时取等号，所以a 的最小值是1516.8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到C B A ,,三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是A ．48B ．36C ．24D ．128. C 分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12222312=A C C 种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有12221213=A C C 种，则共有24种.8.（文科）已知函数π()sin(2)3f x x =-，则下列结论中不正确的是A ．π为函数|()|f x 的一个周期B ．点2π(,0)3是曲线()y f x =的一个对称中心点C ．在区间[,]a a -上单调递增，则实数a 的最大值为512πD ．将函数()f x 的图象向右平移12π个长度单位后，得到一个偶函数的图象8．C 【解析】对于A ，函数π()sin(23f x x =-的最小正周期为π，所以π为函数|()|f x 的一个周期，正确；对于B ：令π2π()3x k k -=∈Z ，解得ππ()26k x k =+∈Z ，当1k =时，2π3x =，所以点2π(,0)3是()f x 的一个对称中心点，故B 正确；对于C ：π222,232k x k k ππ-+π≤-≤+π∈Z ，得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，令50,1212k x ππ=-≤≤，因为在区间[,]a a -上单调递增，所以实数a 的最大值为12π，故C 不正确；对于D ：πsin[2(sin(2)cos 1232y x x x ππ=--=-=-，故D 正确.综上，故选C ．9. 已知抛物线x y 42=，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点B A ,的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是A ．41B ．21C ．1D ．29.D 设),(),,(2211y x B y x A ，设过A 处的直线是()11x x k y y -=-，联立()11x x k y y -=-，x y 42=得0444112=-+-x y k y k y ，0=∆，即12121122,024,041616y k y k y y k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-，则在A 处的切线方程为x x y y 2211+=，同理，B 处的切线方程为x x y y 2222+=，设交点C 的坐标为),(00y x ，点),(00y x C 在两条切线上，所以010122x x y y +=，020222x x y y +=，则直线AB 的方程是0022x x yy +=.又AB 过其焦点)0,1(，易知交点C 的轨迹是1-=x ，所以C 0(1,)y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB 的距离是d==，所以当00y=时d的最小值为2.10.如图，四棱柱1111DCBAABCD-中，E为棱11BA的中点，F为四边形11DDCC对角线的交点，下列说法：①EF//平面11BBCC；②若EF//平面11AADD，则ADBC//；③若四边形ABCD矩形，且11CDEF⊥，则四棱柱1111DCBAABCD-为直四棱柱.其中正确说法的个数是A. 0B.1C.2D.310.C 对于①，若EF//平面11BBCC，过F作1CC的平行线交11DC于其中点H，为连接EH，由于//FH平面11BBCC，且EF//平面11BBCC，所以平面EFH//平面11BBCC，所以EH//平面11BBCC，所以EH//11BC.当11DA与11BC不平行时，EH//11BC不成立.①是假命题.对于②，同①，EH//11BC，则ADBC//.②是真命题.对于③，四边形ABCD矩形，所以//AD BC.又11//DD CC，所以平面11AA D D//平面11BBCC，所以四棱柱1111DCBAABCD-可看作11AA为上底面，11BBCC为下底面的四棱柱，过F作1CC的平行线交11DC于点H，则H为11DC的中点，连接EH，由条件有11CDEH⊥，又11CDEF⊥，则11D C⊥平面EFH，则11CDFH⊥，1//DDFH，所以111CDDD⊥，又1111CDAD⊥，所以11D C⊥平面11ADD A，则四棱柱1111DCBAABCD-为直四棱柱.③是真命题.则(),2,0P x ，()0,,3Q y ，F 因为E 是PQ 的中点，所以E ⎛ ⎝所以2,,022x y FE -⎛⎫= ⎪⎝⎭，而CC 11.已知函数2()22cos x xf x x x -=+++，若)2(f a =,)(1e e fb -=,)(1ππf c=，则A.c b a <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a<<11.B 2()22cos xxf x x x -=+++是偶函数，()(22)ln 2(2sin )0x x f x x x -'=-+->，则)(x f 在()0,+∞上是增函数.构造函数xx x g ln )(=，则21ln ()xg'x x-=，令()0g'x >，得0e x <<，令()0g'x <，得e x >，所以)(x g 在区间()e ,0上单调递增，在区间()+∞,e 上单调递减.又ln 2ln 424=，所以(4)()(e)g g g π<<，所以ln 2ln 4ln ln e24eππ=<<，所以11122e e ππ<<，所以111ee ()(e )(e )f f f f ππ<<=-，所以a c b <<.12.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于B A ,两点，已知l 的斜率为k ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,a b k ，且B F AF 222=，0160=∠AB F ，则直线AB 的斜率是A. 32B. 3C.33D.212.A设x B F =2，则x A F 22=，由双曲线定义，得x a B F x a A F +=+=2,2211.在B AF 1∆中，由余弦定理，得012212160cos 2AB A F AB A F B F -+=，解得3a x =.在21F AF ∆中，由余弦定理，得0212221260cos 24A F A F A F A F c -+=,解得313=e .法一：令()03>=t t a ，则t b t c 2,13==，149:2222=-t y t x C ，设l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=32013m t my x ，联立1492222=-t y t x ，x my =，得()01613894222=+--t mty y m ，9416,941382221221-=-=+m t y y m mt y y .由B F AF 222=，得212y y -=，则321=m ，所以32=AB k .法二：设直线倾斜角l 为α，由双曲线第二定义得：αcos 122e a b AF -=，αcos 122e a b BF +=，又B F AF 222=，则211212+-+=ABk e ，又⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,a b k ，则32=AB k .二、填空题：13.已知向量)2,1(-=a ，),2(x b =，若b a ⊥，则实数=x .13.1 因为b a ⊥，所以12(2)0x ⨯+-=，解得1=x .14.已知实数y x ,满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则y x z 23+=的最大值是.14.3 作出y x ,满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线32y x =-并平移，当直线过点(1,0)A 时，max 31203z =⨯+⨯=，所以y x z 23+=的最大值是3.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2731+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=nn x S ，则n a a a 21取最大值时，n 的值为 ．15.3 等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式n n q qa q a S ⋅---=1111，得31,27=-=q x .又181=a ，则13118-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n a ，32,2,432===a a a ，所以n a a a 21取最大值时，n 的值是3.16.若1≥x ，恒有11ln 22---≤-+mx x e mx e x x x ，则m 的取值范围是 .16.(,2]e -∞- 由11ln 22---≤-+mx x e mxe x x x，得0>-mx e x 在1≥x 上恒成立，即e m ≤.且()()()()22ln 1ln 1x x x e mx e mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln x xx x e mx e mx +++≤-+-.因为x x y +=ln 在[1,)+∞上是增函数，所以21xx e mx +≤-，所以21x e x m x--≤.令21()x e x f x x --=，则2(1)(1)()0x x e x f 'x x---=≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)e 2f x f ==-，所以2m e ≤-.三、解答题：共70分。

成都石室中学高2020届高考适应性考试（二）数学参考答案（文科）二、填空题13. 1-; 14. 3；15. (2,0)(1,)-+∞U ； 16.1．解：Q 2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为(3,2)-，位于第四象限．故选：D ． 2．解：{|15B x x =<<Q }，{}2,3,4A B =I ．故选：C ． 3．解：由2BD DC =u u u r u u u r 可得23BD BC =u u u r u u u r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：A ．4．解：否命题将条件和结论同时否定.故选：D ．5．解：记2名男生为A 1，A 2，3名女生为B 1，B 2，B 3，所有的结果为A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2B 3，A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 2B 3，A 2B 1B 2，A 2B 1B 3，A 2B 2B 3，B 1B 2B 3，一共有10种情况，符合条件的有A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 2B 3，A 2B 1B 2，A 2B 1B 3，A 2B 2B 3共6种情况，所以概率为63105=，故选：C ．6．解：因为3sin()45πα-=，3cos )5αα-=，所以sin cos αα-①，两边平方可得72sin cos 25αα=，所以2232sin cos 2sin cos 25αααα++=，所以232(sin cos )25αα+=，因为α为锐角，所以sin cos αα+②，由①②可得sin α故选：D ．7．解： ()2cos cos )21cos22sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++，()f x 图象向右平移3π个单位长度得到的解析式为 2sin[2()]12sin(2)12cos21362y x x x πππ=-++=-+=-+，令2x k π=，则2k x π=，所以对称轴为,2k x k Z π=∈.故选：A ．8．解： 222()222112xxxf x x x ---⋅-=-=-++， 则222222()()222212112x xxx xf x f x x x --⋅--⋅+-+=++-==-++， 则有()()2f m f m +-=-，又由()2f m =，则()4f m -=-；故选：D ．9． 解：连接1BC ，则∠1C BE 为直线1AD 与直线BE 所成角. 设正方体的棱长为3，则1132,2BC C E ==.作EF CD ⊥,连接BF ，可求得2,10EF BF ==，所以2210414BE BF EF =+=+=， 由余弦定理可得222111157cos 221432BE BC EC EBC BE BC +-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．10．解：如图，当平面BAC ⊥平面BDC 时，三棱锥体积最大，取BC 中点E ，连接AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，因为平面BAC ⊥平面BDC ，所以可证得AE ⊥平面BCD ，DE ⊥平面ABC ，取三角形BCD 的外心F ，作FM //AE ，则F 、M 、E 、A 四点共面，取三角形ABC 的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，因为EF 垂直平面ABC ，则HO 垂直平面ABC ，于是点O 到A 、B 、C 、D 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥A BCD -外接球的球心.连接OC ，可求得OF =HE =3，CF =23，所以2222145333R OC OF CF ==+=+=，所以外接球表面积为22043S R ππ==.故选：C ． 11．解：线段AF 是双曲线的焦点到渐近线的距离，则AF b =，三角形OAF 为直角三角形，且OA=a ，OF=c ，由几何关系可求得A 点的坐标为2(,)a ab c c ，于是点B 的坐标为22(,)22a c abc c+ 将B 点的坐标代入双曲线方程可得：2222222()144a c a a c c+-=．化简得222c a =，所以22e =，2e =，故选：A ．12． 解：因为()f x ax >只有一个整数解，即2ln xa x <只有一个整数解，令2ln ()xg x x =，则()g x 的图象在直线y=a 的上方只有一个整数解.作出()g x 的图象，由图象可知a 的取值范围为(3)(2)g a g ≤<即ln3ln 294a ≤<，故选：B 13．解：因为点(1,(1))M f 是切点，所以点M 在切线上，所以(1)0f =，因为函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线的方程是1y x =-+，斜率为1-，所以 '(1)1f =-，所以(1)'(1)1f f +=-．14．解： 由题可知321262sin sin()sin()sin cos cos sin 343434222A B C ππππππ+=+=+=+=⨯+⨯=， O M HF E DC B AFE D 1C 1B 1A 1CDBA由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sin a b B A =⨯=11sin 2322S ab C ==⨯⨯=15．解：当0x <时，271x x +>-，即0271x x x <⎧⎨+>-⎩，02x x <⎧⎨>-⎩，20x -<<；当0x >时，ln 1x x >-，令1()ln 1,'()10g x x x g x x=+-=+>， 所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又因为 (1)0g =，所以()0g x >的解集为(1,)+∞.所以不等式()1f x x >-的解集为(2,0)(1,)-+∞U .16．解：设l 的方程为1122,(,),(,)x my n A x y B x y =+，联立抛物线方程可得2440y my n -=-,所以有22221211121212()4,4,4416y y y y y y m y y n x x n ⋅+==-=⋅==,2121244OA OB x x y y n n ⋅=+=-=-u u u r u u u r，所以2440n n -+=,解得2n =，设(2,0)N，12121||||2ABM S MN y y y y ∆=⋅-=-=，当m=0时，△ABM 的面积最小，此时l 的方程为2x =，A点的坐标为，OA =. 三、解答题17.【解析】（1）由已知当1n =时，11222a S ==，∴11a =，当2n ≥时，221(21)12n n n nn S S n -=+=-+-⎧⎪⎨⎪⎩，则22n a n =，即(2)n n a n =≥， 故*()n n n a =∈N . ………3分设等比数列{}n b 的公比为q ，241344,10b a b b S +====Q ，2114)10(1b q b q =⎧+⎪∴⎨=⎪⎩，122b q =⎧∴⎨=⎩或者1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 2n n b ∴=或42n n b -∴=. ………6分（2）由题意，得()()()1122nnnn n n n c a b n n =-⋅=-⋅=⋅-，()()()()231222322nn T n ∴=⋅-+⋅-+⋅-+⋯+⋅-，()()()()()23121222122n n n T n n +∴-=⋅-+⋅-+⋯+-⋅-+⋅-.上述两式相减，得()()()()231322222nn n T n +=-+-+-+⋯+--⋅-()()()1212212nn n +⎡⎤---⎣⎦=-⋅-+ ()1312332n n ++=--⋅- , ()1312299n n n T ++∴=--⋅-. ………12分由列联表可知：2200(50703050)8.33 6.63510010080120K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关； ………6分（2）记事件1A ，2A 分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车， 由表知1102045()0.75100100100P A =++=，2153540()0.90100100100P A =++=， 因为12()()P A P A <，所以小李应选择A 型出租车． ………12分 19.【解析】（1）证明：由平面图形可知，AB P A ⊥'，AB AD ⊥，又P A AD A '=I ，AB ∴⊥平面P AD '，则AB P D ⊥'． E Q 为P D '的中点，P A AD '=，AE P D ∴⊥'．AE AB A =Q I ，P D ∴'⊥平面ABE ，又P D '⊂面P CD '， ∴ 面P CD '⊥平面ABE ； ………6分 （2）解：P ABCD '-Q 的正视图与△P AD '全等，111sin 2P AD S P AD ''∴=⨯⨯⨯∠=Vsin P AD ∴∠'=120P AD ∠'=︒或60︒． 由（1）可知，平面ABCD ⊥平面P AD '，P ∴'在平面ABCD 内的射影落在直线AD 上，得点P '到平面ABCD的距离1sin d P AD =⨯∠' ∴四棱锥P ABCD '-的体积111(1)1322P ABCD V '-=⨯+⨯=． ………12分 20.【解析】（1）因为e =a =，b =， 由||||AB AO =，可得A ，1)2b 为BC 的中点，所以12BOC S b =⋅=V ，即2ab =，2=，即c =2,1a b ==， 所以椭圆的方程为2214x y +=； ……….5分 （2）由（1）可得1)2A，右焦点为， 因为||||AB AO =，所以ABO AOB ∠=∠，所以AOC ACO ∠=∠，又CAM OAN ∠=∠，直线AM ，AN 的斜率互为相反数， ……….7分设直线1:(2AM y k x +=，联立椭圆方程2214x y +=，消去y ，可得2222(41)4()1230k x k x k ++-+--=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y1=1x =将k 换为k -，同理可得2x = ……….9分21212228,4141kx x x x k k --+=-=++，12121212121211([(]()22MNk x k x y y k x x k x x x x x x +--+-+-===---===，所以直线l的方程为2y x =230y --=． ………12分 21. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2221a ax x af x a x x x-+'=+-=， ∵()f x 在定义域内单调递增，∴()0f x '≥，即20ax x a -+≥对0x >恒成立.则21x a x ≥+恒成立. ∴2max 1x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，∵2112x x ≤+，∴12a ≥. 所以，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ………5分（2）设方程()0f x '=，即20ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<.由2140a ∆=->且25a >，得2152a <<， ∵121=x x ，121x x a +=, ∴1111522x x a <+=<, ∴1112x <<, ………7分 ()()12f x f x -112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫=----- ⎪⎝⎭111111111ln ln 2ln a a aax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵2110ax x a -+=,∴1211x a x =+代入得()()12f x f x -222111122111112ln 2ln 112x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,………9分令21x t =，则114t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，114t <<， ()()()221021t g t t t --'=<+, ∴()g t 而且1,14⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而()()114g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()30ln 25g t <<-, ∴602ln 25S <<-. ………12分 22.【解析】（1）由参数方程cos sin 2x y θθθθ⎧=⎪⎨=++⎪⎩，得cos 2sin x y θθθθ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，()()()22222cos sin 4x y θθθθ∴+-=++=，即224x y y +=，化为极坐标方程得24sin ρρθ=，即4sin ρθ=. ………5分（2）设点M 、N 的极坐标分别为1,6πρ⎛⎫⎪⎝⎭、2,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则14sin26OM πρ===，24sin3ON πρ===，且6MON π∠=，所以OMN ∆的面积为111sin 2222OMN S OM ON MON ∆=⋅⋅∠=⨯⨯= ………… 10分23. 【解析】（1）证明:由三项基本不等式可知3b c a a b c ++≥=，不等式得证. ………… 5分（2）证明:由于a ,b ,c 为一个三角形的三边长,则有：2b c a +=++>,即>a =>,b >,c >,相加得：a b c >++,左右两边同加a b c ++得：()22a b c >++所以22a b c+>++，不等式得证. ………… 10分。

成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（文科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数i(,z a b a b =+∈R )满足23i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，复数相等的条件以及复数模的概念求解.【详解】由已知得()()2i i 3i a b a b ++-=-，即3i 3i a b +=-，由复数相等的条件得331a b =⎧⎨=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，则1i z =-，所以z =，故选：A .2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B 【解析】【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx=+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线2y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】由题意，联立可得210kx y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 整理可得：210x kx --=，则240k ∆=+>恒成立，则直线10kx y -+=与抛物线2y x =必定有两个交点，则p q ⇒显然成立，q p ⇒不成立，故选：A.6.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.【详解】假设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.故选：D .7.已知1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义域以及特殊值检验即可求解.【详解】由已知得函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，由此排除选项D ,由于110112e ln 222f ⎛⎫-==< ⎪⎝⎭+，由此排除选项A 和C ,故选：B .8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.B. C.4D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D 【解析】【分析】由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xF x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m mFP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11ea -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2ea =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x'=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a<-<，即11ea -<<-，所以函数()f x 在1(1,a-上单调递增，在1(,e)a-上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在区间[)60,70内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.04a =，0.03b =，0.02c =；（2）中位数为71.7，平均数为73；（3）25【解析】【分析】（1）先由在区间[)60,70内的人数求出a 值，再根据等差数列的性质和频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出,b c 的值；（2）设中位数为x ，根据中位数左侧直方图的面积为0.5求解中位数，利用平均数等于每个小矩形的面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解平均数；（3）先利用分层抽样求出抽取的5人中4人来自区间[)80,90，1人来自区间[]90,100，再利用古典概型求出抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的概率.【小问1详解】由已知可得4001000100.04a =÷÷=，则()0.0050.040.005101b c ++++⨯=，即0.05b c +=，又∵a ，b ，c 成等差数列，∴20.04b c =+,解得0.02c =，0.03b =，【小问2详解】∵()0.0050.04100.450.5+⨯=<，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=>，∴设中位数为x ，且[)70,80x ∈，∴()()0.0050.0410700.030.5x +⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7，平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，【小问3详解】成绩位于区间[)80,90内的学生有0.021********⨯⨯=人，成绩位于区间[]90,100内的学生有0.00510100050⨯⨯=人，通过分层抽样抽取了5人中来自区间[)80,90的人数为2005420050⨯=+人，来自区间[]90,100的人数为505120050⨯=+人，抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的概率为114125C C 2C 5P ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥.（1）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（2）若112D D D B ==，求三棱锥1D CC B -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再加上1AD D D ⊥，可得AD ⊥平面11D DBB ，进而可得平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（2）取BD 的中点O ，由（1）可得出1D O ⊥面ABCD ，通过11//D C 平面ABCD ，得111113D CC B C DCB D DCB BCD V V V O D S ---=⋅== ，代入条件可得答案.【详解】（1）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒则BD ==222AD BD AB ∴+=即AD BD ⊥，又1AD D D ⊥，1BD D D D⋂=AD ∴⊥平面11D DBB 又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（2）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD⊥由（1）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，而平面11D DBB ⋂面ABCD BD=1D O ⊂平面11D DBB ，故1D O ⊥面ABCD .因为12D D =，DO =，则11D O =因为11//D C 平面ABCD所以111113D CC B C DCB D DCB BCD V V V O D S ---=⋅==111sin 2232623BC D C CB D ⋅∠=⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查锥体体积的计算，关键是利用线面平行转换锥体的顶点求体积，是中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点,F E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段AE 交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）记（1）问所得图形为曲线C ，若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线,TM TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在点()3,0T 使得TM k 和TN k 之积为109-.【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解.【小问1详解】如图，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(,)M x y 为椭圆上一点，由题意可知||||||6||4MF ME AE EF +==>=，∴点M 的轨迹点,E F 为焦点，长轴2||||6a MF ME =+=的椭圆，∵26a =，24c =，∴3,2a c ==，∴2225b a c =-=，则椭圆的标准方程为22195x y +=，【小问2详解】设直线l 的方程为1x my =+，将直线方程和椭圆方程联立221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，其中()()222100160592045720m m m ∆=++=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，1212221040,5959m y y y y m m --+==++，则1212TM TN y yk k x t x t ⋅=⋅--()()121211y y my t my t =+-+-()12221212(1)(1)y y m y y m t y y t =+-++-，消去12y y +和12y y ⋅可得()22240599(1)TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则290t -=，∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T 使得TM k 和TN k 之积为109-.21.已知函数()()ln 1f x x x a x =--.（1）若()0f x ≥，求实数a 的值；（2）已知*n ∈N 且2n ≥，求证：111sin sin sin ln 23n n+++< .【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意分析得到1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=解得1a =再代入验证符合题意；（2）由（1）可得，()1ln 11x x x ≥-≥.令111k x=-得到(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .令()sin (0)g x x x x =->，利用导数证明出sin (0)x x x <>，得到(){}11sinln ln 1,2,3,,k k k n k k<≤--∈ ，累加即可证明.【小问1详解】由()0f x ≥，得1ln 10x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.令()1ln 1h x x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，则()()2210,a x ah x h x x x x-=-='≥.注意到()10h =，所以1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=，所以()1101ah -=='，得1a =.当1a =时，()21x h x x -'=，则函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h ≥=，满足条件，故1a =.【小问2详解】由（1）可得，()1ln 11x x x≥-≥.令111k x=-，则1k x k =-，所以1ln1k k k ≥-，即(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x ='-≥，且()g x '不恒为零，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则sin (0)x x x <>，所以(){}11sin ln ln 1,2,3,,k k k n k k<≤--∈ ，令k 分别取2,3,,n ，累加得：][][()111sin sin sin ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln 23n n n n⎡⎤+++<-+-++--=⎣⎦ .即证.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.【小问2详解】因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin 3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 2θθθ=+31cos 23sin 22222θθ-=⨯+⨯12cos 22θθ⎫=-⎪⎪⎝⎭π26θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。

2023年四川省成都市青羊区石室中学高考数学模拟试卷（文科）（四）1. 已知全集，，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足：，则( )A. B. C.5 D.3. 睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有( )A. 高三年级学生平均学习时间最长B. 中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C. 大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D. 与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠4. 已知为等差数列的前n项和，，，则( )A. 5B. 0C.D.5. 不等式的解集为( )A. B.C. D.6. 函数且与函数在同一坐标系中的图像可能是( )A. B.C. D.7.已知双曲线的离心率为，则b的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为( )A. B. C. D.9. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( )A. B. C. D.10. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①；②平面PAC；③；④其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 四棱锥中，底面OABC是正方形，，是棱OP 上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则a的值是( )A. B. C. D.612.设，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.13. 设向量，，，则______.14. 如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则的面积大于的概率为______ .15. 已知点在不等式组表示的平面区域D上运动，若区域D表示一个三角形，则a的取值范围是______；若，则的最小值是______.16. 已知抛物线C：的焦点是F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过A，B两点作直线：的垂线，垂足分别为E，若，则直线l的斜率______ .17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知点D在边AC上，证明：；若，且，求的面积．18. 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表男女合计喜爱3040不喜爱40合计100将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中19. 如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，平面求证：；，，求点F到平面CDE的距离．20. 已知椭圆：，A，B分别为的右顶点、下顶点.求以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程；过A，B作直线AB的垂线，分别交椭圆于点D，C，若，求的值；设，，直线，过点B的两条相互垂直的直线，直线与圆O：交于P，Q两点，直线与椭圆交于另一点R，求面积的最大值.21.已知，且，函数求证：；若恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；设射线：和射线分别与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．23. 关于x的不等式的解集为求m的值；若，且，，，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，，，所以，故选：根据集合运算求解即可．本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A 选项错误；根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确；学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比睡眠时间长于学习时间的占比，C选项错误；从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D 选项错误．故选：根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案．本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设的公差为d，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，故选：由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差d，然后求出，，再由等差数列的前n项和公式、等差数列的性质求得结论．本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为故选：把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：过原点，排除AC；当时，单调递减，开口向下，排除故选：过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案．本题考二次函数的的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，解得，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查由的部分图象确定其解析式，解决的关键是根据图象提供的信息确定，，考查学生读图的能力与解决问题的能力，属于中档题．由可求T，由可求得，由最高点或最低点的坐标代入函数表达式中可求得，从而可求得点的坐标．【解答】解：设其周期为T，由图象可知，，，，，函数的表达式为又的图象经过，而函数的四分之一周期为，当时取得最大值；，又，，解得，点的坐标为故选9.【答案】C【解析】解：设此数列的公比为q，则，解得：故选：利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：因AB为圆O的直径，C为圆上异于A、B的任一点，则，又平面ABC，有为锐角，平面ABC，于是得，又，PA，平面PAC，从而得平面PAC，平面PAC，有，①②④正确；假定，又，，必有平面PBC，与为锐角矛盾，③不正确，所以真命题的个数是故选：根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理判断作答．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：若不成立，如上图，当O，D重合时，此时Q的轨迹为平面ABCD内的一段弧，且以O为圆心，故球心在过O且垂直于平面ABCD的直线l上．如下图，当D在OP上变化时，对于确定的D，当E变化时，Q的轨迹为一段弧，球心在过D且垂直于D、弧所在的平面的直线上，该直线与直线l的交点即为球心．因为不成立，故球心会随着D的变化而变化，这样与Q的轨迹是球面的一部分矛盾．故，而，OA，平面OABC，，故底面OABC，是OP上的动点，底面OABC，可得，又Q为DE的中点，，即Q的轨迹是以O为球心，以为半径的球面，其表面积为，得故选：由题意结合选项可特殊化处理，即取OP与底面垂直，求得Q的轨迹，结合球的表面积求解．本题考查轨迹方程，考查球的表面积的应用，运用特殊化思想求解是关键，是基础题．12.【答案】C【解析】解：，，，，，故选：通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案．本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．13.【答案】【解析】解：向量，，，可得，所以，，，则，故答案为：利用向量的数量积求解m，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，因为正方形ABCD的边长为2，当的面积等于时，设点E到AB的距离为h，由，解得，此时点E到CD的距离为，所以当点E到AB的距离大于时，的面积大于，易得点E在长、宽分别为2，的矩形MNCD内，由几何概型的公式可得，的面积大于的概率为故答案为：当的面积等于时，得点E到AB的距离为，即点E到CD的距离为，即的面积大于时点E在长、宽分别为2，的矩形MNCD内．结合几何概型的计算公式即可求解．本题主要考查几何概型的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由不等式组表示的平面区域D表示一个三角形，画出图形，如图所示：由，解得，若区域D表示一个三角形，则实数a的取值范围是；当时，设，目标函数过点B时，z取值最小值为故答案为：；由不等式组表示的平面区域D是一个三角形，画出图形结合图形知a的取值范围是什么；当时，，找出最优解，求出目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了简单的线性规划应用问题，是中档题．16.【答案】【解析】解：设直线l的方程为：，，，因为，所以过A作垂直x轴，垂足为，作垂直x轴，垂足为，则∽，得出，即得，因为A在抛物线设，所以，则故填：由题意可得直线AB斜率存在，设直线AB的方程，由得A，B的横坐标的关系，再由相似三角形的A，B的横坐标的关系解出坐标，进而求出直线斜率本题主要考查了直线与抛物线相交问题，三角形的相似解交点坐标进而求斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：证明：当时，点D在A处，不满足题意，所以，因为，所以，则，则，即，整理可得：；因为，且，化简可得，又，即，所以，整理可得：，令，则，即，解得或或舍去，由可得，而，所以，则，所以三角形ABC的面积为【解析】先得出，然后根据条件得到，然后根据正弦定理以及余弦定理化简整理即可证明；由的值以及余弦定理化简得出，再由可得，整理可得：，令，然后求出t的值，结合三角形的性质求出a的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．本题考查了正余弦定理的应用以及解三角形问题，涉及到解方程以及求解三角形面积问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意进行数据分析，得到列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4，从6人中抽取2人，有：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，共15个，记“所抽2人至少有一位男性”为事件A，包含：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，共9个．所以【解析】根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；利用古典概型的概率公式求解．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为，，所以，则有，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，则有A，C，F，E四点共面．又，所以平面ACFE，因为平面ACFE，所以解：由可知，平面CDF，则点A到平面CDF的距离为在中，，在中，，设点F到平面CDE的距离为d，由可知，，平面CDF，平面CDF，所以平面CDF，所以，由，得，所以，即点F到平面CDE的距离为【解析】证明，推出平面ACFE，得到设点F到平面CDE的距离为d，利用通过，求出点F到平面CDE 的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：由题意，可得，，可得直线，即，设该圆的半径为r，则圆心到直线的距离为，即，所以所求圆的方程为由题意，可得直线AD的方程为，联立方程组，解得，同理可得直线BC的方程为，与椭圆联立，可解得，因为，可得，即，整理得，即，所以解：由，，可得椭圆的方程为，且，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点B，不合题意；当直线的斜率为0时，此时可得；当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，则点O到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得，因为，所以直线的方程为，由，解得，即，可得，所以，令，则，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，又由，所以面积的最大值为【解析】根据题意求得直线AB的方程，利用圆与直线AB相切求出圆的半径，即可求解；求出AD和BC的方程，分别与椭圆方程联立求出D和C的横坐标，根据，转化为，即可求解；求得椭圆的方程，分别求得当直线的斜率不存在或0时，的面积，当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，结合基本不等式，即可求解．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：证明：恒成立，令，则恒成立，故在上单调递增，又，故恒成立，即；即①，显然时上式成立，当时，①式可化为，，令，，，再令，，结合可知，故在上单调递减，而，故在时恒成立，故时，，时，，故是的极大值，也是最大值，故时原式成立，即a的范围是【解析】构造函数，，证明其最小值大于零即可；结合x的范围，分离参数a，然后研究不等式右边的函数，利用导数求出最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，从而解决不等式恒成立的问题，属于较难的题目．22.【答案】解：易知曲线C的普通方程：，因为，，所以曲线C的极坐标方程为：，即；由题意及知，，，因为，则，所以当，即时，的面积最大，最大值是【解析】先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；求出，，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．23.【答案】解：若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为；，由，得，即，解得；证明：设，，，，，，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，【解析】第m分类求解原不等式，再结合不等式的解集为，可得关于m 的方程组，求解的答案案；设，，，可得，，，且，再由基本不等式与不等式的性质证得结论．本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查化归与转化思想，考查基本不等式的应用，是中档题．。

成都石室中学高2020届高考适应性考试（一）文科数学简答C AD D A D C B B D B C13. 20- 14. 1 15. 12 16. 4π 17.解：（Ⅰ）抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ………………3分 （Ⅱ）享受住房贷款利息专项扣除的员工8人，用12,A A 表示2名老员工，用12345,,,,B B B B B 表示5名中年员工，用C 表示1名青年员工，从享受住房贷款利息专项扣除的8名员工中任取2人的情况： ()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()15,A B ，()1,A C ， ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()25,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()1,B C ，()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()2,B C ，()34,B B ，()35,B B ，()3,B C ，()45,B B ，()4,B C ，()5,B C 共28种………… 9分设A 表示“从享受住房贷款利息专项扣除的8名员工中任取2人，2人都是中年员工” 则事件包含了10个基本事件()1052814P A == ……………… 12分 18. 解：（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，得23BD =， …………2分则222AD DB AB +=，即AD DB ⊥， …………4分而11,AD DD BD DD D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ， 又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD ．…………6分（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．因为12DD =，3DO =，则11OD =，因为11//D C 平面ABCD ， …………9分所以1111333D CC B C BC BC D D V V S D O -∆-==⋅=． …………12分 19. 解：（Ⅰ）由12n n S a a =-， 当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=，…………3分因为14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232n n n b -=++，……7分 即()()11122121n n n n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分 20. 解：（Ⅰ）由题设得：4PM PN +=，∴点P 的轨迹C 是以,M N 为焦点的椭圆，…………2分∵24a =，22c =，∴b == ∴椭圆方程为22143x y +=；…………4分 （Ⅱ） 设()()1122,,,A x y B x y ，四边形OAQB 是平行四边形时，OQ OA OB =+u u u r u u u r u u u r .当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时,,O A B 三点共线，不符合题意；…………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆22143x y +=联立得 ()2234880k x kx ++-=，0∆>，122834k x x k +=-+，所以122634y y k+=+…………7分 将2286,3434k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭的坐标代入椭圆方程22143x y +=得 ()()22222161213434k k k +=++，24134k=+，12k =±…………10分 所以Q 的坐标是31,2⎛⎫± ⎪⎝⎭．…………12分 21. 解：（Ⅰ）()222144(0)a ax x a f x a x x x x-+-'=--=> 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；……………1分当0a >时，若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；……………2分若21160a ∆=->，即104a <<时，240ax x a -+-=，10x =>，20x => 当10x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；……………4分综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， ()f x在⎝⎭上单调递增……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤或14a ≥时，()f x 在()0,∞+是单调函数，不可能有三个不同的零点；……………6分 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()20f =，又124x x =，有122x x <<()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=……………7分23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()34820h a a -'=<, 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >……………10分 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点004,2,x x ……………12分22. 解：（Ⅰ） 2y kx x y k =--=⎧⎪⎨⎪⎩(k 为参数，0k ¹)，……………… 2分 消去参数k ，得曲线C 的普通方程为()22y y x -=-……………… 4分整理得()()22110x y x +-=?……………… 5分 （Ⅱ） 曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，02<<r ……………… 8分 由4sin 5q =，得点Q 的极径85r =.……………… 10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，……………1分 平方得224489x x-+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，…………4分 即122x -<<-或122x <<， 所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……………5分 （Ⅱ）因为()()111121a a f x ax x ax x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………8分 又()()()222212x g a x x x a x a ≤----==---， 所以()()f x g x ≥．……………10分。