最新人教版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》知识梳理

1.4 生活中的优化问题举例1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为□01优化问题．通过前面的学习，我们知道□02导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用□03导数，可以解决一些生活中的□04优化问题． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成□05函数关系式，这需通过□06分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由□07极值和端点的函数值确定，当定义域在□08开区间上□09只有一个极值时，这个极值就是它的最值． 3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的□10数学建模过程．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．( ) (2)实际问题中f ′(x )＝0只有一个解且是极值点时，它就是f (x )的最值点．( ) 答案 (1)× (2)√ 2．做一做(1)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________．(2)某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．答案 (1)9 (2)32 m,16 m探究1 面积、容积的最值问题例1 用长为90 cm ，宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[解] 设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x ) cm 3， 则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4320x (0<x <24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)(0<x <24)．令V ′(x )＝0，解得x 1＝10，x 2＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，V (x )是增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，V (x )是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x ＝10时函数V (x )取得最大值，其最大值为V (10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm 3. 拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围．【跟踪训练1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．解 设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4x ＋0.54＝(3.2－2x ) m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x >0，x >0， 解得0<x <1.6.设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， 所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6. 令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．在定义域(0,1.6)内只有x ＝1使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．故高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 探究2 费用(用材最省问题)例2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元(a ≠0)，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？[解] 设C 点距D 点x km ，则BD ＝40，AC ＝50－x ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402.又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0≤x ≤50)． 则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)．在[0,50]上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．故供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省． 拓展提升(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．【跟踪训练2】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m 3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解 设直径为d m ，高为h m ，表面积为S m 2， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22πh ＝500，得h ＝2000d 2π(d >0)，故S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22π＋d πh ＝πd 24＋2000d (d >0)，S ′＝－2000d 2＋πd2(d >0)， 令S ′＝0，得d ＝1034π，此时h ＝534π.∵当0<d <1034π时，S ′<0；当d >1034π时，S ′>0，∴当d ＝1034π时，S 取得最小值．∴当d ＝1034π m ，h ＝534π m 时，用料最省．探究3 利润最大(成本最低)问题例 3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？[解] (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费) ＝12(32Q ＋3－x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32·3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即年广告费投入100万元时，企业亏损． (2)令y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，得f ′(x )＝－2x ＋98·2x ＋1－2－x 2＋98x ＋354x ＋12＝－x 2－2x ＋632x ＋12.令f ′(x )＝0，即x 2＋2x －63＝0. 所以x ＝－9(舍去)，x ＝7.又当x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；当x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (7)＝42.又f (x )在(0，＋∞)上只有一个极值点， 所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.所以年广告费投入7万元时，企业年利润最大． 拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．【跟踪训练3】 某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x t 产品的成本为R ＝50000＋200x .问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解 每月生产x t 的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24200－15x 2x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000，令f ′(x )＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200，使f ′(x )＝0，所以x ＝200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题．导数方法是解决这类问题的有效工具．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A ．2033 cm B ．100 cm C ．20 cm D ．203 cm答案 A解析 设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h＝4003πh －π3h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0.所以当h ＝2033时，V 最大． 3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他 答案 B解析 V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x ＝4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 20解析 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1600x＋4x .令f ′(x )＝4－1600x2＝0，解得x ＝20或x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故x ＝20时，f (x )最小．5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，求x ，y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解 依题意有xy ＋12x ·x 2＝8， ∴y ＝8x －x 4(0<x <42)． 框架用料总长度L ＝2x ＋2y ＋2·2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x ， 则L ′＝32＋2－16x 2.令L ′＝0，即32＋2－16x2＝0， 解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0<x <8－42时，L ′<0；当8－42<x <42时，L ′>0.∴当x ＝8－42时，L 取得最小值，此时x ＝8－42≈2.343(m)，y ＝22≈2.828(m)． 故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．。

1.1.4生活中的优化问题举例教学目标：1．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授例1．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？练习：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2．某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm ,问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？1.1.4生活中的优化问题举例（二）例1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？练习：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x万元。

生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。

2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。

3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。

4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。

5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。

6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。

7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。

8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。

9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。

10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。

1.4 生活中的优化问题举例
一览众山小
学心目标
1.能够利用导数解决实际问题中的优化问题.
2.通过利用导数解决实际问题,学会将实际问题转化为数学问题的方法,掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法.
3.通过本节的学习,进一步体会到数学是从实践中来的,又将应用到实践中去;体会到数学的应用价值,从而提高学习数学的兴趣,坚定学好数学的信心.
学法指导
本节是导数知识在现实生活中的应用,所以学习本节前,首先应回顾利用导数求函数最值的方法与步骤,回顾将实际问题转化为数学问题的方法.
诱学导入
材料:解有关函数的最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系式,并确定函数的定义域,创造闭区间内求函数最值的情境.借用导数这一工具,从数学角度逐步解决实际问题,所求得的结果要符合问题的实际意义.
问题:用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,问在四角截去的正方形的边长应多大?
导入:设截去的正方形的边长为x cm,则铁盒的底面边长为(48-2x) cm,高为x cm,体积V=(48-2x)2x(0<x<24).对上述函数当然可以利用重要的不等式求最值,但是,若能合理地运用导数加以解决,问题将会收到事半功倍的效果.。