山东省湖北省部分重点中学2017届高考数学下学期冲刺模拟试题五文

排列组合、二项式定理解析1．[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G。

从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条。

如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F。

因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)。

所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18．]2．D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择。

由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)。

]3．C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a1＝0，a8＝1．不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种。

综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)。

故共有14个。

故选C．]4．A[分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法。

由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2×6＝12(种)。

]5．B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种。

根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B．]6．A[从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7，2＋6，3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，13·！m！m！＝7·＋！＋！m！＝6．]D·。

2017年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤13．已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4．已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β5．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．4006．已知cos（x﹣）=，则cos（2x﹣）+sin2（﹣x）的值为（）A．B．C．D．7．下列选项中，说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题8．函数的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．[1，5]C． D．[0，5]10．已知双曲线Γ：的上焦点为F1（0，c）（c＞0），下焦点为F2（0，﹣c）（c＞0），过点F1作圆x2+y2﹣=0的切线与圆相切于点D，与双曲线下支交于点M，若MF2⊥MF1，则双曲线Γ的渐进线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置）11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．12．观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第n个不等式是．13．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，则角B=．14．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．17．袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球．（Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．18．如图所示，梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，AB=2CD，四边形OBEF为矩形，M为线段AB上一点，AM=2MB．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；（Ⅱ）若EF⊥CF，求证AC⊥BD．=qS n+1，其19．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n+1中q＞0，n∈N*，又2a2，a3，a2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2a n﹣λ（log2a n+1）2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20．已知函数f（x）=+mx+mlnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜x22﹣x12成立，求实数m的最大值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y=x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．2017年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i．故选D．2．设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤1【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，结合空集的定义，即可得出p满足的条件．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，∴∁U A={x|x≤1}，又（∁U A）∩B=∅，∴p≥1．故选：B．3．已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用直线相互垂直与斜率之间的关系解出m，进而判断出结论．【解答】解：命题q：由直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直，则﹣×=﹣1，解得：m=±1．∴命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．4．已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行的性质，结合面面位置关系即可判断A；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，即可判断C；由线面平行的性质和面面平行的性质，即可判断D．【解答】解：A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β=a，故A错；B．若α⊥β，l∥α，则l⊂β，或l∥β，或l⊥β，故B错；C．若l⊥α，l∥β，则过l作平面γ，设γ∩β=c，则l∥c，故c⊥α，c⊂β，故α⊥β，即C正确；D．若l∥α，α∥β，则l⊂β，或l∥β，故D错．故选：C．5．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．400【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=4，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×4+2=6i=1，v=6×4+1=25i=0，v=25×4+0=100i=﹣1 跳出循环，输出v的值为100．故选：C．6．已知cos（x﹣）=，则cos（2x﹣）+sin2（﹣x）的值为（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（x﹣）=cos（﹣x）=，∴cos（2x﹣）+sin2（﹣x）=2﹣1+[1﹣]=2•﹣1+1﹣=，故选：B．7．下列选项中，说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数；B，向量（m∈R）共线⇒1×（2m﹣1）=m×m⇒m=1；C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”；D，因为f（a）•f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点；【解答】解：对于A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数，故错；对于B，向量（m∈R）共线⇒1×（2m﹣1）=m×m⇒m=1，故错；对于C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”，故错；对于D，命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为：“f（x）在区间（a，b）内有一个零点“，则f（a）•f（b）＜0：因为f（a）•f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点，故正确；故选：D8．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用排除法，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=•cos（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数，排除A，B；x→0+，f（x）→+∞，排除D．故选C．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．[1，5]C． D．[0，5]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（3，0），B（0，4），的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率．∵，∴的取值范围是[]．故选：C．10．已知双曲线Γ：的上焦点为F1（0，c）（c＞0），下焦点为F2（0，﹣c）（c＞0），过点F1作圆x2+y2﹣=0的切线与圆相切于点D，与双曲线下支交于点M，若MF2⊥MF1，则双曲线Γ的渐进线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．【解答】解：由x2+y2﹣=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则x2+y2﹣=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由题意得D是MF1的中点，得M（2×，2×﹣c），代入双曲线Γ：整理得b=4a，∴双曲线Г的渐近线方程为x±4y=0．故选：B．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置）11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=﹣．【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==，从而f[f（﹣3）]=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）==，f[f（﹣3）]=f（）====﹣．故答案为：．12．观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第n个不等式是．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据所给不等式，即可得出结论．【解答】解：根据所给不等式可得．故答案为：．13．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，则角B=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据正弦定理和余弦定理即可求出．【解答】解：由正弦定理可得=，∴c2﹣b2=ac﹣a2，∴c2﹣b2+a2=ac，∴cosB==，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体由圆柱的和一个半圆锥组成，代入数据计算即可．【解答】解：由三视图可知结合体下方为圆柱的，上方为一个半圆锥，圆锥和圆柱的底面半径均为1，圆柱的高为2，圆锥的高为，∴几何体的体积V=+=．故答案为：．15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为①③④（把所有正确命题的序号都填上）．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④．故答案为①③④．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和差角公式化简f （x ），根据正弦函数的性质得出答案；（2）求出f （x ）的对称轴，得出x 1与x 2的关系，利用诱导公式化简即可得出答案．【解答】解：（1）f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +=sin2x ﹣•+=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣），∴当2x ﹣=即x=+kπ，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值1．（2）由（I ）可知f （x ）的图象关于直线x=对称，且f （）=1，∴x 1+x 2=，即x 1=﹣x 2，∴cos （x 1﹣x 2）=cos （﹣2x 2）=cos （+﹣2x 2）=sin （2x 2﹣）=f （x 2）=．17．袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A 、B 的黑球，现从中任取2个小球． （Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率； （Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M 表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M 包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．（Ⅱ）用N 表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N 包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，任取2个小球的基本事件有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，A }，{1，B }，{2，3}，{2，4}，{2，A }， {2，B }，{3，4}，{3，A }，{3，B }，{4，A }，{4，B }，{A ，B }，共15个， 用M 表示“所取取2个小球都是红球”， 则M 包含的基本事件有：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，∴所取取2个小球都是红球的概率：P（M）==．（Ⅱ）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，则N包含的基本事件有：{1，A}，{1，B}，{2，A}，{2，B}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，共8个，∴所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）=．18．如图所示，梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，AB=2CD，四边形OBEF为矩形，M为线段AB上一点，AM=2MB．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；（Ⅱ）若EF⊥CF，求证AC⊥BD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，证明：EM∥NF，即可证明EM∥平面ADF；（Ⅱ）证明EF⊥平面ACF，EF⊥AC，即可证明AC⊥BD．【解答】（Ⅰ）证明：过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，∵ON∥AB，AB=2CD，∴==，∵AM=2MB，∴ON=BM，∴OBMN是平行四边形，∵四边形OBEF为矩形，∴EMNF是平行四边形，∴EM∥NF，∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF；（Ⅱ）∵四边形OBEF为矩形，∴EF⊥OF，∵EF⊥CF，OF∩CF=F，∴EF⊥平面ACF，∴EF⊥AC，∵EF∥BD，∴AC⊥BD．19．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*，又2a2，a3，a2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2a n﹣λ（log2a n+1）2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性．【分析】（I）根据a n+1=S n+1﹣S n可得出{a n}是等比数列，根据等差中项的定义列方程可求出公比q，从而得出{a n}的通项公式；（II）求出b n，令b n+1﹣b n＞0可得λ＜恒成立，求出右侧数列的最小值即可得出λ的范围．【解答】解：（I）∵S n+1=qS n+1，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=qS n﹣qS n﹣1=qa n，又S2=qS1+1，a1=S1=1，∴a2=q=qa1，∴数列{a n}是首项为1，公比为1的等比数列，∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3=2a2+a2+2=3a2+2，即2q2=3q+2，解得q=2或q=﹣（舍）．∴a n=2n﹣1．（II）b n=2n﹣λn2，﹣b n=2n+1﹣λ（n+1）2﹣2n+λn2=2n﹣2nλ﹣λ，∴b n+1∵数列{b n}为递增数列，∴2n﹣2nλ﹣λ＞0恒成立，即λ＜恒成立，令c n=，则c n+1﹣c n=﹣=2n（）=2n＞0，∴{c n}是递增数列，∴c n≥c1=，∴λ＜．20．已知函数f（x）=+mx+mlnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜x22﹣x12成立，求实数m的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（Ⅱ）根据题意可得f（x2）﹣x22）＜f（x1）﹣x12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=+mx+mlnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x+m+=，当m≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为△=m2﹣4m＞0，令f′（x）＞0，解得x＞，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，∴当m＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减，（Ⅱ）当m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵[1，2]⊂（0，+∞），∴函数f（x）在[1，2]上单调递增，∵x1＜x2，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，由题意可得f（x2）﹣f（x1）＜x22﹣x12，整理可得f（x2）﹣x22）＜f（x1）﹣x12，令g（x）=f（x）﹣x2=﹣+mx+mlnx，则g（x）在[1，2]上单调递减，∴g′（x）=﹣x+m+=≤0恒成立，∴m≤，令h（x）=，则h′（x）==＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=，∴m≤21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y=x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由题意可得：b=1，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2即可得出．（II）联立，解得A，联立，解得B．又点A在第一象限，点B在第二象限，可得，解得1﹣4k2＞0．利用两点之间的距离公式可得|AB|=．原点到直线l=××=2，可得m2=1﹣4k2，设M 的距离d=．S△OMN（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．利用数量积运算性质可得=x1x2+y1y2．【解答】解：（I）由题意可得：b=1，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2．∴椭圆C的方程为： +y2=1．（II）联立，解得A，联立，解得B．又点A在第一象限，点B在第二象限，∴，化为：m2（1﹣4k2）＞0，而m2＞0，∴1﹣4k2＞0．又|AB|==．原点到直线l的距离d=，为△OMN的底边AB上的高．=××=2，∴m2=1﹣4k2，设M（x1，y1），N ∴S△OMN（x2，y2）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴x1+x2=，x1•x2=．△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=48k2＞0，∴k≠0．∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴=x1x2+y1y2=+=﹣7．∵，∴（1+2k2）∈．∴∈．∴∈．2017年6月4日。

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

第八届湖北省高三(4 月)调研模拟考试数学试卷1. 复数与下列复数相等的是( )A. B.C.D.2. 已知集合，，且全集，则( )A. B. C. D.3. 城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性.在一个周期T 内交通信号灯进行着红绿交替变换东西向红灯的同时，南北向变为绿灯;然后东西向变为绿灯，南北向变红灯用H 表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R 表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S 表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和不考虑黄灯时间及其它起步因素，则S 的计算公式为( )A. B.C.D.4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则( )A. B.C.D.5. 在中，，，且点D 满足，则( )A. B. C.D.6. 已知，则( )A.B. C.D.7. 已知动直线l 的方程为，，，O 为坐标原点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 长度的取值范围为( )A.B.C.D.8. 已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为，且的图象关于原点对称，则( )A. 0B. 3C. 4D. 19. 以下说法正确的有( )A. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为B. 经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点C. 若，，则事件A，B相互独立D. 若随机变量∽，则取最大值的必要条件是10. 已知函数其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有( )A.B. 函数为奇函数C.D. 若，则直线为图象的一条切线11. 已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有( )A. 截面多边形可能是五边形B. 若截面与直线垂直，则该截面多边形为正六边形C.若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行D. 若截面过点，则该截面多边形的面积为12. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有( )A. 抛物线焦点F的坐标为B. 过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C. 在中，若，，则t的最小值为D. 若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则13. 在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则__________.14. 若的展开式中常数项为160，则的最小值为__________.15. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为__________.16. 已知X为包含v个元素的集合设A为由X的一些三元子集含有三个元素的子集组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系.若为一个7阶的Steiner 三元系，则集合A中元素的个数为__________.17. 设数列前n项和满足，证明：数列为等比数列;记，求数列的前n项和18.如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且平面求棱BC的长度;若，且的面积，求二面角的正弦值.19. 在中，D为边BC上一点，，，，求若，求内切圆的半径.20. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标即三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为求每个AI芯片智能检测不达标的概率;人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求若AI芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.21. 已知双曲线的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点异于顶点若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积为坐标原点若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由.22. 已知函数，当时，求函数的最小值;当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，为基础题.【解答】解：，，，故可知B正确.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的并、交、补运算，涉及二次不等式的求解，对数不等式的求解，属于基础题.【解答】解：由题可知：，所以，，故3.【答案】B【解析】【分析】本题考查数学建模问题，属于基础题.【解答】解：东西方向上红灯时间为R，故一个周期内，东西方向上的车辆等待时间的总和为HR，南北方向上红灯时间为，故一个周期内南北方向上的车辆等待时间的总和为，故一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和4.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的性质，正切值的求解，为基础题.解：，，，，，故5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积，向量的模，属于中档题.【解答】解：由题所以6.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，属于中档题.【解答】解：，，即，故，即，故7.【答案】B【解析】【分析】本题考查与圆有关的轨迹问题，考查点与圆的位置关系，为中档题.解：动直线l的方程为，过O点做动直线的垂线，设OQ直线为，联立求得，，则Q的轨迹为圆心为，半径为3的圆上的点，圆的标准方程为：，且点P在圆的内部.此时问题可转化为点P与圆的位置关系，此时，即，故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性，周期性，属于中档题.【解答】解：因为，两边同时求导可得：，即，①令，可得①两边同时求导：，整理得：，因为的图象关于原点对称，所以，，所以，，故9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查百分位数的计算，独立性与条件概率的关系，经验回归方程，独立重复试验的概率计算，属于中档题.【解答】解：A选项：样本数据从小到大依次排列为：2，3，3，4，7，8，10，18，故样本数据的第50百分位数，是，故A正确；B选项：经验回归直线一定过样本中心点，不一定过样本点数据中的点，故B错误；C选项：，故，故事件A，B相互独立，故C正确；D选项：，故当或时，取最大值，故D错误.10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查三角函数的函数性质，考查曲线的切线，为中档题.【解答】解：，又，故得，A错误；函数，故为奇函数，B正确;在恰有两个极值点，其中，则可知，则得，故C正确；若，则，则，，设上的切点坐标为，切线方程可写为：，当时，，切线方程为，故D正确.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查几何体的截面问题，属于中档题.【解答】解：对于由图，截面多边形可能是五边形对于B：与垂直的平面截几何体，截面是三角形或六边形，又过E，F 故必为正六边形对于C：由题过中点，E，F的截面与交与接近的四等分点，可得与截面平行对于D：由正方体的性质，过，EF的截面必定为五边形，设截面与，的交点分别为M，N，则，，，三角形底边MN上的高为：，四边形MEFN底边EF上的高为：截面多边形面积为：12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于难题.【解答】解：A选项：过A点作准线于点Q，则，又F为AD的中点，则，故，抛物线焦点F的坐标为，故A错误；B选项：由A得，，，则，故在点处的切线方程为：，若切线经过点N，则，即切点坐标为，故B正确；C选项：设，若，则，当且仅当，即时等号成立，故t的最小值为，故C正确；D选项：不妨令点A在第一象限，设，则，故，直线AB的方程为，联立直线AB方程与抛物线方程可得：，结合选项B可得：在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，在点M处的切线方程为，联立在A，B两点处切线方程可得：，即同理可得：，所以故，所以即，故，故D正确.13.【答案】【解析】【分析】本题考查正态分布概率的求解，为基础题.【解答】解：，14.【答案】4【解析】【分析】本题考查二项式系数，属于中档题.【解答】解：由题，，当常数项为160时，可得，解得，由，可得的最小值为15.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题.【解答】解：由题知方程即方程有两个相异的正实根，设，则有两个相异的正实根，故函数与的图象有两个交点，又函数与的图象关于对称，则与的图象有两个交点，设，故函数有两个零点，又令则，则在上单调递增，在上单调递减，又当时，当时，故当时，函数有两个零点，综上所述：16.【答案】7【解析】【分析】本题考查集合的新定义，为难题.【解答】解：7阶中元素个数为7个，设为，则7阶的三元子集的集合个数为，若要使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，不妨先挑选，则三元子集中不能包含：，共12个剔除；再从剩余三元子集中挑选，则剩余三元子集中不能包含：，共8个剔除；接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：，共4个剔除;接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：共3个剔除，接着再在剩余三元子集中挑选，则此时剩余三元子集中不能包含：，共1个剔除；综上一共剔除28个，此时剩余，均符合题意.则集合A中元素的个数为17.【答案】解：，且，，，，令，可得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列由可得，，【解析】本题考查等比数列的判定，裂项相消求和，属于中档题.18.【答案】取AC中点D，连接ED，BD，为三棱柱，且，四边形DEFB为平行四边形，又平面平面，，又D为AC的中点，为等腰三角形，由知，，，，且且，，，由知平面，，又三棱柱中，又，所以，，平面ABC，平面，所以为直三棱柱，为直角三角形，可求得，又在三棱柱中，，以为坐标原点，向量方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，取，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，， .【解析】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.19.【答案】解：设，，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，，，，，又易知为锐角，，，，，，中，，.又，在中，由余弦定理可得，.设的内切圆半径为r，则，则【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，结合等面积法求解三角形的内切圆半径，为中档题.20.【答案】解：记事件A =“每个AI芯片智能检测不达标”，则由题意，令，则，当，，当，，所以的最大值点 .记事件B =“人工检测达标”，则，又所以，所以需要对生产工序进行改良.【解析】本题考查相互独立事件的概率以及条件概率，属于中档题.21.【答案】解：由题意得，所以，设，，，则作差得又MN的斜率，，所以；，设直线MN的方程为，，，，联立得，所以，所以设直线，所以，所以故直线AN与直线BM的交点G在定直线上.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系及应用，双曲线中的定直线问题，属于较难题.22.【答案】解：，，令，则，当，，当， .所以记，即恒成立，①当时，当，设，，所以在单调递增，且，，故存在唯一的，使得，当，，所以，此时，不合题意.②当时，若，则，所以恒成立，即成立，符合题意.，，设，单调递增，且，，所以存在唯一使，当时，，当，，又，，故存在唯一，使故，，，，又，，所以时，，，即恒成立.综上，【解析】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立的条件，从而求得a的取值范围.。

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。

知识改变命运高三数学模拟试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a的取值范围是（ ）（A ）}43|{≤<a a （B ）}43|{≤≤a a （C ）}43|{<<a a （D ）Φ 2.使不等式|x +1|＜2x 成立的充分不必要条件是 A.－31＜x ＜1 B.x ＞－31 C.x ＞1D.x ＞33.函数y =(cos x －3sin x )(sin x －3cos x )的最小正周期为 A.4πB.2πC.πD.2π 4. 与双曲线92x －162y ＝１有相同离心率的曲线方程可以是A. 92x +162y ＝１B. 92x －162y ＝１C. 162y －92x ＝１D. 162y +92x ＝１5.已知f(x )=xx++11,a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是A.f (2b a +)＞f (ab )＞f (b a ab+2) B.f (2b a +)＞f (ba ab+2)＞f (ab ) C.f (b a ab +2)＞f (ab )＞f (2b a +)D.f (ab )＞f (b a ab +2)＞f (2ba +)6.下列四个函数：y =tg2x ,y =cos2x ,y =sin4x ,y =ctg(x +4π)，其中以点(4π，0)为中心对称点的三角函数有A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图，在正方体ABCD —A １Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF 是异面直线AC 与A １Ｄ的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与知识改变命运EF 平行的直线 A.有且仅有一条 B.有二条 C.有四条 D.不存在 8.在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个侧面积最大的内接圆柱，则内接圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值是 A.1∶2B.1∶22C.1∶2D.1∶429.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 10.若函数f (x )=a x－1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x )=log a11x 的图象是11.三角形中，三边a 、b 、c 所对应的三个内角分别是A 、B 、C ，若lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线x sin ２A +y sin A =a 与直线x sin ２B +y sinC ＝c 的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 12.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是 A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 D.无法确定二、填空题（共16分）13.若(x ２－x1)n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x +2x ２)n ＝a ０+a １x +a ２x ２+…+a 2n x 2n ，则a １+a ２＋a ３+…+a 2n ＝______.14.已知奇函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，且f (2)=0，则不等式(x －1)·f (x )＜0的解集是______.15.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：(1)不是常数列；(2) a n ＝a 1，则此数列的知识改变命运一个通项公式可以是______.16. 若过点（)2,m 总可以作两条直线和圆（4)2()122=-++y x 相切，则实数m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分） 设复数z 满足|2z +5|=|z +10|.(Ⅰ）求|z |的值；（Ⅱ）若z i )21(-在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .18. （12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，各棱长都等于a, E 是BB 1的中点 . （Ⅰ）求直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值；（Ⅱ）求证：平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1.19.（12分）已知椭圆12+m x +my 2＝１(1≤m ≤4)，过其左焦点F １且倾斜角 为3π的直线与椭圆及其准线分别交于A 、B 、C 、D (如图)，记f (m )=||AB |－|CD ||(Ⅰ)求f (m )的解析式；(Ⅱ)求f (m )的最大值和最小值.20.（12分）某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且C 1B知识改变命运f (n )=f (m )(1+20mn -)(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?21.（12分）设函数f (x )=222+x x ，数列｛a n｝满足：a １＝3f (1),a n +1＝)(1n a f (Ⅰ)求证：对一切自然数n ，都有2＜a n ＜2+1成立； (Ⅱ)问数列｛a n ｝中是否存在最大项或最小项?并说明理由.22.（14分）已知函数f (x )=a x -－x (Ⅰ)当a =－1时，求f (x )的最值;(Ⅱ)求不等式f (x )＞0的解.文科模拟考参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.D 11.D 12.A 二、13.255 14.(－2,0)∪(1,2) 15.21nn - 16.），（），（∞+-∞-13 三、17.解：设z=x+yi (x ,y ∈R)，则……1分 （Ⅰ）(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y 2 (4分)得到x 2+y 2=25 .∴|z|=5 . ( 6分)（Ⅱ）(1－2i)z=(1－2i)(x+yi)=(x+2y)+(y －2x)I 依题意，得x+2y=y －2x∴y=－3x . ① (9分) 由（Ⅰ）知x 2+y 2=25 . ②由①②得.210321021032102103210;2103,210i z i z y x y x +-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==或或 (12分)知识改变命运18.解：（Ⅰ）取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，BM . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴C 1M ⊥A 1B 1 C 1M ⊥BB 1 . ∴C 1M ⊥A 1ABB 1 . ∴∠C 1BM 为直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成的角 （ 4分）在Rt △BMC 1中，C 1M=23a , BC 1= 2a ,∴sin ∠C 1BM=.4611=BC M C （ 6分） （Ⅱ）取A 1C 1的中点D 1，AC 1的中点F ，连结B 1D 1，EF ，D 1F . 则有D 1F ∥21AA 1 ，B 1E ∥21AA 1. ∴D 1F ∥B 1E . 则四边形D 1FEB 1是平行四边形， ∴EF ∥B 1D 1 （ 8分） 由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴B 1D 1⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1于A 1C 1，且B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1，∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1 （ 10分）∴EF ⊥平面ACC 1A 1 . ∵EF ⊂平面AEC 1，则平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1. （12分） 19.解：(Ⅰ)设A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为x １,x ２，x ３,x ４，则|AB |＝２（x ２－x 1） |CD |＝2(x ４－x ３)∴f (m )=2|x ２＋x ３| (2分)将直线y =3 (x +1)代入12+m x +my 2＝１中(3+4m )x ２+6(m +1)x +(m －1)(3－m )=0 (6分) ∴f (m )＝2|x １＋x ２|＝mm 43)1(12++ (1≤m ≤4) (8分)(Ⅱ)∵f (m )=3+m433+在［1,4］上是减函数C 1B知识改变命运∴f (m )max ＝f (1)＝724；f (m )min =f (4)=1960 (12分) 20.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x 1280(2分)由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) (6分) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立 (10分)故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (12分)21.( Ⅰ)证明：a １＝3f (1)=2，a n +1＝)(1n a f ＝nn a a 222+ (2分)①当n =1时，a １∈(2，2+1)，不等式成立 (3分) ②假设n =k 时，不等式成立，即2＜a k ＜2+1，则0＜a k －2＜1a k +1－2＝k k a a 222+－2＝kk a a 2)2(2-∵0＜(a k －2)２＜1，2a k ＞22＞0∴0＜a k +1－2＜221＜1，∴当n ＝k +1时，不等式也成立由①②可知，2＜a n ＜2+1 对一切自然数n 都成立 (8分)(Ⅱ)解：∵a n ＞2，∴a n +1－a n ＝nna a 222-＞0∴｛a n ｝是递增数列，即｛a n ｝中a １最小，没有最大项 (12分) 22.解：(Ⅰ)f (x )＝1+x －x ＝－(1+x －21)２＋43(x ≥－1)∴f (x )最大值为43(4分) x －a ≥0x -a ≥0 x ＜0知识改变命运当a ≥0时，②无解，当a ＜0时，②的解为a ≤x ＜0(8分)x ≥0２－x +a ＜0， 当Δ＝1－4a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时，x ２－x +a ＜0解为2411a--＜x ＜2411a-+ 故a ≥0时①的解为2411a --＜x ＜2411a-+； 当a ＜0时①的解为0≤x ＜2411a-+ (12分) 综上所述，a ≥41时，原不等式无解；当0≤a ＜41时，原不等式解为2411a --＜x ＜2411a -+，当a ＜0时，a ≤x ＜2411a -+ (14分)。

2017年山东省莱芜高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．6．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y37．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，2）D ．（2，+∞）9．过点（3，1）作圆（x ﹣1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣3=0B ．2x ﹣y ﹣3=0C ．4x ﹣y ﹣3=0D ．4x+y ﹣3=010．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为+=1，双曲线C 2的方程为﹣=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ）A ．x ±y=0B ． x ±y=0C ．x ±2y=0D ．2x ±y=011．抛物线C 1：的焦点与双曲线C 2：的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．12．设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．16．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共5小题，共74分.17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．19．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且（λ为常数）．令c n=b2n，（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．21．设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．2017年山东省莱芜一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．2．设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．6．已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．7．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2J：命题的否定．【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．8．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】51：函数的零点．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g （x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．9．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【考点】J7：圆的切线方程；IG：直线的一般式方程．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．10．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=， =，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．11．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；KC：双曲线的简单性质．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【考点】7F：基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 3 ．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：模拟程序的运行过程可得：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环．故输出n值为3．故答案为：3．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 2 ．【考点】DB：二项式系数的性质；7F：基本不等式．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．15．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．16．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：①③④．（写出所有真命题的编号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a ≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．【解答】解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜a b＜1，从而ln+（a b）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（a b）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有a b＞1，从而ln+（a b）=lna b=blna，bln+a=blna，∴ln+（a b）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（a b）=bln+a，命题①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时， b，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命题④正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共5小题，共74分.17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【考点】HR：余弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系；GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB 的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得： =，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+）设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，进一步求得单调区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则： =msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得： =，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）19．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望． 【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X 的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3：0，概率为P 1=（）3=；②3：1，概率为P 2=C （）2×（1﹣）×=；③3：2，概率为P 3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．（2）乙队得分X ，则X 的取值可能为0，1，2，3．由（1）知P （X=0）=P 1+P 2=；P （X=1）=P 3=；P （X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P （X=3）=（1﹣）3+C （1﹣）2×（）×=；则X 的分布列为E （X ）=3×+2×+1×+0×=．20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式 （Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且（λ为常数）．令c n =b 2n ，（n ∈N *），求数列{c n}的前n项和R n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由于S4=4S2，a2n=2a n+1．利用等差数列的通项公式和前n项和公式可得解出即可．（II））由（I）可得T n．当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1．可得c n=b2n，n∈N*．再利用“错位相减法”即可得出R n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S4=4S2，a2n=2a n+1．得解得 a1=1，d=2．因此 a n=2n﹣1，n∈N*．（II）由（I）可得=．当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．故=，n∈N*．∴R n=0+…=，=++…+，两式相减得==﹣，∴R n=，∴R n=．∴数列{c n}的前n项和．21．设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．。

2020届湖北省武汉市2017级高三下学期3月质模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)本试卷共5页,23题（含选考题）,全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后,请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置,答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的,可在A4白纸上答题,选择题请标明题号,写清答案；非选择题请标明题号,自行画定答题区域,并在相应区域内答题,需要制图的请自行制图． 6．答题完毕,请将答案用手机拍照并上传给学校,原则上一张A4拍成一张照片,要注意照片的清晰,不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ）,若z ∈R ,则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】化简z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++,再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝（1+2i ）（1+ai ）=()()122a a i -++, 又因为z ∈R , 所以20a +=, 解得a ＝-2.故选：D2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2},N ＝{x |x （x +3）≤0},则M ∩N ＝（ ） A. [﹣3,2） B. （﹣3,2）C. （﹣1,0]D. （﹣1,0）【答案】C 【解析】先化简N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0},再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2},求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}, 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}, 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C3.同时抛掷两个质地均匀的骰子,向上的点数之和小于5的概率为（ ）A. 16B. 518C. 19D. 512【答案】A 【解析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况,满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况, 故61366p ==. 故选：A .4.在正项等比数列{a n }中,a 5-a 1=15,a 4-a 2 =6,则a 3=（ ） A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=,342116a a a q a q -=-=,解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=,342116a a a q a q -=-=,解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B .5.执行如图所示的程序框图,输出的s 的值为（ ）A. 53B. 85C.138D.2113【答案】C 【解析】根据循环结构依次进行,直至不符合4i ≤,终止循环,输出s .【详解】第一次循环,2,1s i ==,第二次循环,3,22s i ==,第三次循环,5,33s i ==,第四次循环,8,45s i ==,第四次循环,13,58s i ==,此时不满足4i ≤,输出138s =.故选：C6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1,且P 是圆τ上一点,则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） 2 B. 1 3 D. 2【答案】D 【解析】如图所示建立直角坐标系,设()cos ,sin P θθ,则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-,计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系,则1,0A ,13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ,13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,设()cos ,sin P θθ, 则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-,即()1,0P -时等号成立. 故选：D .7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）,则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.1432【答案】A 【解析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再求最值.【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）, =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+, =1cos 232111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以f （x ）的最小值为12.故选：A8.已知数列{a n }满足a 1=1,(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1,且a n +1>a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】1=,故为首项是1,公差为1的等差数列,得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=,故11n n a a ++-=,即21-=,1=,11a =,故为首项是1,公差为1的等差数列.n =,2n a n =.故选：B .【点睛】本题考查了数列的通项公式,1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4,b =0. 40. 8,c = log 84,则（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a【答案】D 【解析】计算得到555b c a <<,得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈,故555b c a <<. 即b c a <<. 故选：D .10.青春因奉献而美丽,为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育”精神,现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教,每个学校至少去1人,则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ）A.25 B. 35C. 15D.215【答案】A 【解析】计算所有情况共有150种,满足条件的共有60种,得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种,故6021505p ==. 故选：A .11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上,点P 在第一象限,点P 关于原点O 的对称点为A ,点P 关于x 轴的对称点为Q ,设34PD PQ =,直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ,若PA ⊥PB ,则椭圆τ的离心率e =（ ） A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】设()11,P x y ,则()11,A x y --,()11,Q x y -,11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设()22,B x y ,根据PA PB ⊥化简得到2234a c =,得到答案.【详解】设()11,P x y ,则()11,A x y --,()11,Q x y -,34PD PQ =,则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设()22,B x y ,则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-, 2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+,AD AB k k =,即1121124y y y x x x +=+,()1211124PA y y y k x x x +==+, PA PB ⊥,故1PA PBk k ⋅=-,即2241b a -=-,故2234a c =,故e =.故选：C .12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ,+∞)恒成立,则实数a 的取值范围为（ ） A. （-∞,1-e] B. （-∞,-3] C. （-∞,-2] D. （-∞,2- e 2]【答案】B 【解析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤,根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1x f x e x =--,则()'1xf x e =-,则函数在(),0-∞上单调递减,在[)0,+∞上单调递增,故()()min 00f x f ==,故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+,3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-,故3a ≤-. 故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数,利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1),则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】设双曲线方程为224x y λ-=,代入点(4,1),计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=,则设双曲线方程为：224x y λ-=,代入点(4,1),则12λ=.故双曲线方程为：221123yx -=.故答案为：221123y x -=. 【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线,设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0,2π）上单调递减,则实数a 的取值范围为___． 【答案】a ≥﹣1． 【解析】 将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0,2π）上单调递减,转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0,2π）上恒成立 即1cos a x ≥-在（0,2π）上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0,2π）上单调递减,所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0,2π）上恒成立 , 即1cos a x ≥-在（0,2π）上恒成立 ,因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以()cos 0,1x ∈, 所以1(,1]cos x-∈-∞-, 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-15.根据气象部门预报,在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动,距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响,从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 【答案】9.14h. 【解析】先建立坐标系,设风暴中心最初在B 处,经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线,垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响,则AC ＝450,则有=450,即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处,经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线,垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响,则OC ＝450, 22AD DC +=450,22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或1025,1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．16.在三棱锥S- ABC 中,底面△ABC 是边长为3的等边三角形,SA 3SB 3若此三棱锥外接球的表面积为21π,则二面角S-AB-C 的余弦值为____．【答案】12-【解析】证明CD AB ⊥,2O D AB ⊥,得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角,计算故13ODO π∠=,23ODO π∠=,得到1223O DO π∠=,得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=,故212R =,222SA SB AB +=,故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ,23r = ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O ,1332r ==⨯.设球心为O ,则2OO ⊥平面SAB ,1OO ⊥平面ABC ,1CO 与AB 交于点D , 易知D 为AB 中点,连接DO ,2DO ,易知CD AB ⊥,2O D AB ⊥, 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故221132OO R r =-=,222232OO R r =-=,11332DO CD ==,21322DO SA ==.1tan 3ODO ∠=,故13ODO π∠=,2tan 3ODO ∠=,故23ODO π∠=.故1223O DO π∠=,121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知a =4,tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）12；（2）3【解析】（1）根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-,故sin 2sin cos B B A =,得到答案.（2）计算16bc ≤,再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+,则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+,即()()sin sin sin A B A B B -=+-,故sin 2sin cos B B A =,sin 0B ≠,故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-,故22162b c bc bc bc +-=≥-,故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =,故3sin A =,1sin 432S bc A =≤,故△ABC 面积的最大值为43. 18.如图,在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P,Q,L 分别为棱A 1D 1,C 1D 1,BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）作QM CD ⊥于M ,证明AC ⊥平面QML 得到答案.（2）取AB 中点N ,连接,PN LN ,利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作QM CD ⊥于M ,易知M 为CD 中点,L 为BC 中点,故AC ML ⊥.QM CD ⊥,故QM ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,故QM AC ⊥. QMML M =,故AC ⊥平面QML ,QL ⊂平面QML ,故AC QL ⊥.（2）取AB 中点N ,连接,PN LN ,易知//PQ LN ,AC QL ⊥,故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故3 1113322224P ANLa a aV Sh a-==⨯⋅⋅⋅=.22211232222PNLaS NL NP a a a∆=⋅=⋅⋅+=,P ANL A PNLV V--=,即32133424aa d⋅⋅=,故36d a=.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F,P是抛物线Γ上一点,且在第一象限,满足FP=（3）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3,﹣2）的直线交抛物线Γ于M,N两点,经过定点B（3,﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3,0）,理由见解析.【解析】（1）根据抛物线的方程,求得焦点F（2p,0）,利用FP=（3）,表示点P的坐标,再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0,y0）,N（x1,y1）,L（x2,y2）,表示出MN的方程y01014x y yy y+=+和ML的方程y02024x y yy y+=+,因为A （3,﹣2）,B （3,﹣6）在这两条直线上,分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12,然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -）,代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p,0）,满足FP =（）的P 的坐标为（22p+,P 在抛物线上, 所以（2＝2p （22p+）,即p 2+4p ﹣12＝0,p ＞0,解得p ＝2,所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0,y 0）,N （x 1,y 1）,L （x 2,y 2）,则y 12＝4x 1,y 22＝4x 2, 直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+, 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -）,即y 01014x y y y y +=+①,同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②,将A （3,﹣2）,B （3,﹣6）分别代入①,②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩,消y 0可得y 1y 2＝12,易知直线k NL 124y y =+,则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -）,即y 124y y =+x 1212y y y y ++,故y 124y y =+x 1212y y ++,所以y 124y y =+（x +3）, 因此直线NL 恒过定点（﹣3,0）．20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101i i x =∑= 380.0（1）求第10年的年收入x 10；（2）收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . （i ）10年的销售额y 10；（ii ）居民收入达到40.0亿元,估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆybx a =+中,11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑,ˆˆay bx =-. （2）1022110254.0i i x x =-=∑,9112875.0i i i x y ==∑,921340.0i i y ==∑【答案】（1）46；（2）1051y =,41.96y = 【解析】（1）直接根据101380i i x ==∑计算得到答案.（2）利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx==-⋅==-∑∑得到1051y =,得到中心点()38,39.1,代入计算得到答案.【详解】（1）10101323133363738394345380i i x x ==+++++++++=∑,故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑,即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=,解得1051y =,故38x =,2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-,当40x =时,41.96y =. 21.（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π,0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）求出函数导数,根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息,对函数进行二次求导,判断单调性及函数的零点,综合分析,再利用定义域计算函数值的取值范围,即可得证. 【详解】（1）对函数求导,得,'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0xe >,且在区间(,)2ππ--上, 1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0x y e x x x =-+>,即函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导,得()()2212cos 'x x e x x f x x --=, 令()()212cos x g x e x x x =--,则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,由（1）知,4cos 2sin 0x e x x x -+>,则()'0g x <故()g x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得()00g x =,即()()02000012cos x g x e x x x =--当()0,x x π∈-时,()00g x >,即()'0f x >,()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()00g x <,即()'0f x <,()f x 为减函数.又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()2212cos '0xx e x x f x x --=< 所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数, 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时, 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上,函数()2sin xe f x x x=-在(-π,0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<（二）选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）,以坐标原点O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上,点Q 曲线C 2上,求|PQ |的最小值．【答案】（1）2212516x y +=,（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【解析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数）,消去参数即可转换为直角坐标方程,根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ,4sinθ）,根据点Q 在圆上,先求点P 到圆心的距离,然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数）, 两式平方相加整理得2212516x y +=．将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0, 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ,4sinθ）在曲线C 1上,圆心O （2,0）,所以：PO ===当cosθ＝1时,|PO |min ＝3, 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2． [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时,求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立,求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5,+∞）∪（∞,13-]；（2）[﹣2,1].【解析】（1）根据a ＝4时,有f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|,然后利用绝对值的几何意义,去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ,分a ﹣112a =,a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a ＝4时,f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|, （i ）当x ≥3时,原不等式可化为3x ﹣7≥8,解可得x ≥5, 此时不等式的解集[5,+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时,原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8,解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii ）当x ≤2时,原不等式可化为﹣3x +7≥8,解可得x 13≤-,此时不等式的解集（∞,13-],综上可得,不等式的解集[5,+∞）∪（∞,13-],（2）（i ）当a ﹣112a =即a ＝2时,f （x ）＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立, （ii ）当a ﹣112a ＞即a ＞2时,()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，,结合函数的单调性可知,当x 12a =时,函数取得最小值f （12a ）112a =-, 若f （x ）22a ≥在R 上恒成立,则211122a a -≥,此时a 不存在,（iii）当a﹣112a＜即a＜2时,f（x）3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f（x）22a≥在R上恒成立,则121122a a-≥,解得﹣2≤a≤1,此时a的范围[﹣2,1],综上可得,a的范围围[﹣2,1]．。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉中学 戚国勇 审题人： 武汉四中 彭朝军 考试时间：11月14日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1+310y -=的倾斜角是 ( )A ．120ºB ．135ºC ．150ºD ．30º2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 33. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取得2个球，那么互斥而不对立的两 个事件是（ ）A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个红球与都是黑球C ．至少有1个黑球与至少有1个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球4．对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所 示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为83； ②众数为83；③平均数为85； ④极差为12.其中，正确说法的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④5．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则 由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A ．y ^＝－2x ＋9.5 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－0.3x －4.4 D ．y ^＝0.4x ＋2.3 6. 某三棱锥的三视图如下左图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．30＋6 5B ．28＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57.若某程序框图如下右图所示，则输出的p 的值是（ ）A ．21B ．28C ．30D ．558．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、A D 两两互相垂直，且5AB =，4=AC ，AD =( )A.π36B.π64C. π100D. π1449．过点（1，2）总可以作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则k 的取值范围是( ) A ．3-<k 或2>k B ．3-<k 或3382<<kC ．2>k 或3338-<<-k D ．3338-<<-k 或3382<<k10．设点P是函数2)1(4---=x y 图象上的任意一点，点)3,2(-a a Q (R ∈a )，则||PQ 的最小值为( )A.2 C.2- 2- 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应．．．．．．．．．．．题号的位．．．．置上．．． 11．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为23，则第10组抽出的号码应是 .12. 若数据组128,,,k k k ⋅⋅⋅的平均数为4，方差为2，则12832,32,,32k k k ++⋅⋅⋅+的平均数为________，方差为________．13. 若直线x+my +6=0与直线(m －2)x +3y +2m =0平行，则m 的值为________.14. 设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，此点到坐标原点的距离不小于2的概率是________.15. 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________.16．已知P 是直线34110x y -+=上的动点，PA ，PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是___________. 17．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥平面CB 1D 1；③AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2；④二面角C —B 1D 1－C 1的正切值是2； ⑤过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有2条．三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量(,1)a x =-，(2,)b y =，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{2,26}-，，（Ⅰ）求//a b 的概率； （Ⅱ）求a b ⊥的概率． 19．（本小题满分13分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分20．（本小题满分13分）已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，求：（Ⅰ）直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正切值； （Ⅱ）二面角11B AC B --的大小． 21．（本小题满分13分）已知曲线C ：22240x y x y m +--+=，O 为坐标原点（Ⅰ）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（Ⅱ）若曲线C 与直线 230x y +-=交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．1D 1C 1B DC1A _aAB22．14分）已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为D 是AB 的中点． （ⅠD 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ， ① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 试问在x 轴上是否存在点E (m,0)，使PE ·QE 恒为定值？若存在，求出E 点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期中考试文科数学参考答案一、选择题(每小题5分,共50分)二、填空题(每小题5分,共35分)48 14,18 1m =- 14π-51①②④ 三、解答题（共65分）18．解：则基本事件空间包含的基本事件有：(-1，-2)，(-1，2)，(-1，6)，(1，-2)，(1，2)，(1，6)，(3，-2)，(3，2)，(3，6)，共9种．…………………4分 （Ⅰ）设“//a b ”事件为A ，则2xy =-．事件A 包含的基本事件有(-1，2)，(1，-2) 共2种．∴//a b 的概率为()29P A =． …………………8分 （Ⅱ）设“a b ⊥” 事件为B ，则2y x =．事件A 包含的基本事件有(-1，-2), (1，2)，(3，6)共3种． ∴a b ⊥的概率为()3193P B ==． …………………12分 19． 解：（Ⅰ）由题意得100.01100.02100.03100.035101a +⨯+⨯+⨯+⨯=，所以005.0=a ． …………………3分 （Ⅱ）由直方图分数在[50,60]的频率为0.05，[60,70]的频率为0.35, [70,80]的频率为0.30, [80,90]的频率为0.20, [90,100]的频率为0.10, 所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05650.35750.30850.20950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分 （Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为301003.0=⨯， 第4组人数为201002.0=⨯人， 第5组人数为101001.0=⨯人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为：第3组:306360⨯=人， 第4组:206260⨯=人， 第5组:106160⨯=人． 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． …………………9分 设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：11(,)A C ，21(,)A C ，31(,)A C ，11(,)B C ，21(,)B C ，共5种．…………………13分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为51153= 20 . 解：（Ⅰ）连结1AB ，∵1111ABCD A B C D -是正方体∴1111B C ABB A ⊥平面，1AB 是1AC 在平面11AA B B 上的射影 ∴11C AB ∠就是1AC 与平面11AA B B 所成的角在11C AB ∆中，11tan C AB ∠== ∴直线1AC 与平面11AA B B…………………6分 （Ⅱ）过1B 作11B E BC ⊥于E ，过E 作1EF AC ⊥于F ，连结1B F 下证1B FE ∠是二面角11B AC B --的平面角：由题意11AB BCC B ⊥平面，又111B E BCC B ⊂平面，1AB B E ∴⊥ 又11B E BC ⊥，1AB BC B =，11B E ABC ∴⊥平面，11AC ABC ⊂，11B E AC ∴⊥，又1EF AC ⊥，从而11AC B EF ⊥ 1111,B F B EF AC B F ⊂∴⊥平面,故1B FE ∠是二面角11B AC B --的平面角BA1D D1C 1B C1A FE_a在11Rt BB C ∆中，，11112B E C E BC ===，在1Rt ABC ∆中，1sin BC A ∠=11sin EF C E BC A =⨯∠=∴11tan B EB FE EF∠== ∴160B FE ∠=，即二面角11B AC B --的大小为60…………………13分 21．解：（Ⅰ）由题意可知： 22224(2)(4)42040D E F m m +-=-+--=->5m ∴< …………………3分 （Ⅱ ）设11(,y )M x ，22(,y )N x ，由题意OM ⊥ON ，则0OM ON ⋅=，即12120y y x x += (1)联立直线方程和圆的方程：22240203x y x y m x y ⎧+--+=+-=⎨⎩消去x 得到关于y 的一元二次方程：251230y y m -++=直线与圆有两个交点，22412450b ac m ∴∆=-=-⨯⨯>，即36213,55m m +<< 又由（Ⅰ）5m <， 215m ∴< 由韦达定理：1212123,55m y y y y ++== ……………（2） 又点11(,y )M x ，22(,y )N x 在直线230x y +-=上，112232,32x y x y ∴=-=- 代入（1）式得：1212(320)(32y )y y y -+=-，12126()950y y y y -++= 将（2）式代入上式得到：1235690m +⨯-+=, 122155m <= 125m ∴=…………………13分 22. 解：（Ⅰ）设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ), ∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -，∵ |AB |＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12，∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3. …………………5分（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时，P (1，Q (1，此时|PQ |＝ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－3＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝2221kk+，x1x2＝2231kk-+，则PE＝(m－x1，－y1)，QE＝(m－x2，－y2)，∴PE·QE＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－2221mkk+＋2231kk-+＋k2 (2231kk-+－2221kk+＋1)＝2222(21)31m m k mk--+-+要使上式为定值须22213m mm---＝1，解得m＝1，∴PE·QE为定值－2，当直线l的斜率不存在时P(1，Q(1，由E(1，0)可得PE＝(0，QE＝(0，∴PE·QE＝－2，综上所述当E(1，0)时，PE·QE为定值－2 . …………………14分。