陕西省西安市新城区西安中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题

绝密★启用前陕西省西安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理)试题一、单选题1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．2．复数A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选D.3．已知，且，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】【分析】根据，可得，即可求解，得到答案。

【详解】由题意，，且，则，解得或，故选B 。

【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记共线向量的概念以及坐标表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

4．在区间[]1,1-上随机选取一个实数x ，则事件"210"x -< 的概率为（ ） A ．12 B ．34 C ．23 D ．14【答案】B【解析】 由题意得，事件“210x -<”，即12x <， 所以事件“210x -<”满足条件是13122+=， 由几何概型的概率公式可得概率为()332114P ==--，故选B. 5．已知tan a =4,cot β=13,则tan （a + β）=（ ） A ．711 B ．711- C ．713 D ．713-【答案】B【解析】试题分析：由题意得， ()14tan tan 73tan 11tan tan 11143αβαβαβ+++===---⨯，故选B ．考点：两角和的正切函数．视频 6．的展开式中，的系数为（ ）A ．15B ．-15C ．60D ．-60 【答案】C 【解析】试题分析：依题意有，故系数为.考点：二项式．7．执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是（ ）A．2 B．1 C．D．-1【答案】A【解析】【分析】根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案。

陕西省西安中学2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程.【详解】抛物线x2=-8y可得2p=8所以故准线方程为y=2故选B【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. B.1， C. D. 1，【答案】C【解析】【分析】先根据题意，设出与共线的单位向量可为，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案. 【详解】因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为且解得所以可得与共线的单位向量为或故选C【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.3.下列说法中正确的是( )A. 若，则四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。

【详解】对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则不一定成立，故B错误；对于选项C，若方向不同，则，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确。

故答案为D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。

4.给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．正确的是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案．【详解】①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．是真命题，所以②正确．③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．故选：B．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即所以离心率故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.6.“”是“的最小正周期为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以周期为，当的最小正周期为时，，所以，因此“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件.故选A.7.若曲线表示椭圆，则的取值范围是( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.【详解】曲线表示椭圆，，解得，且，的取值范围是或，故选D．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（）A.4， B. 0， C. 3， D.【答案】C【解析】【分析】由题意，点P在平面内，可得，然后再验证答案，易知C选项可得，此时，得出答案. 【详解】因为点M、P是平面内的点，平面的一个法向量=（2，-1，2），所以对于答案C，此时故选C【点睛】本题主要考查了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为基础题.9.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A. [3-,）B. [3+,）C. [,）D. [,）【答案】B【解析】试题分析：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，所以当x0=时，取得最小值=，故的取值范围是[，+∞)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y 0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求．【详解】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA-d=1，即-（x+1）=1，化简得：y2=8x．故选C．【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1，属于中档题.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中，所以解得所以故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.12.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，本题选择A选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______；【答案】10【解析】【分析】先根据题意求出，再利用抛物线的焦点弦代入得出答案即可.【详解】抛物线y2=4x中，过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则焦点弦故答案为10【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题.14.已知，且，，，则=______；【答案】【解析】【分析】先求出，，，然后利用，展开计算即可。

西安中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学（理科实验班）试题答案13、3 14、7 15、6 16、417.（10（2）因为>3.841所以没有把握认为“手机控”与性别有关。

18.（12分）解：两个女生必须相邻而站；把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有．名男生互不相邻； 应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有．根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有1种，将4人排在剩余的4个空位上即可。

则共有371210A ⨯=种不同站法．19.（12分）解：（1）曲线1C 的直角方程为：22(1)1x y +-=所以曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρθ=（2）因为直线l 的斜率为：k =23πα=所以直线l 的极坐标方程为：23πθ=将23πθ=代入1C 的极坐标方程为：2sin ρθ=，得2)3A π将23πθ=代入2C 的极坐标方程为：cos 2ρθ=-，得2B(4,)3π所以4A B AB ρρ=-=20.（12分）解：（1）设表示事件“作物产量为”，由题设知， 设事件表示“作物市场价格为元”，由题设知，因为利润产量市场价格成本，所以所有可能的取值为，，，，，，，所以的分布列为的期望为：40000.320000.58000.22360EX =⨯+⨯+⨯=（元）（2）设表示事件“第季利润不少于元”（），由题意知，，相互独立，由（1）知：（），所以这季中至少有季的利润不少于元的概率为：。

.21.（12分）解：（1）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为由题设知：由，得则∴椭圆的方程为（Ⅱ）过点斜率为的直线即与椭圆方程联立消得由与椭圆有两个不同交点知其得或∴的范围是。

（Ⅲ）设，则是的二根则，则则由题设知，∴若，须得∴不存在满足题设条件的。

高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合U R =，集合{}2|40M x x =-≤，则U C M = A. {}|22x x -<< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|22x x x <->或 D.{}|22x x x ≤-≥或 2.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -3.为了判断两个分类变量X 与Y 之间是否有关系，应用独立性检验法算得2K 的观测值为6，附：临界值表如下：则下列说法正确的是A. 有95%的把握认为X 与Y 有关系B. 有99%的把握认为X 与Y 有关系C.有99.5%的把握认为X 与Y 有关系D. 有99.9%的把握认为X 与Y 有关系 4.设x R ∈，向量()()1,,2,6a x b ==-，且//a b ，则a b ⋅=A. -4B. 5.下列四个结论：①若“p q ∧”是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∃∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数ay x =在区间()0,+∞上单调递减.其中正确的结论个数是A.0个B.1个C. 2个D. 3个6.已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f xA. 是偶函数，且在R 上是增函数B. 是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D. 是奇函数，且在R 上是减函数7. 在单调递减等差数列{}n a 中，若32431,4a a a ==，则1a = A. 1 B. 2 C.32D. 38.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当()0,x ∈+∞时，()20182018log xf x x =+，则函数()f x 的零点的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 9.函数22sin 33,00,1441x y x xππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈-⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭+的图象大致是10.若将函数sin y x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =的图象，则ϕ的最小值为 A. 6π B. 2π C. 3πD.23π11.如果函数()f x 在区间D 上是增函数，且()f x x在区间上是减函数，则称函数()f x 在区间D 上是缓增函数，区间D 叫做缓增区间.若函数()21322f x xx =-+在区间D 上是缓增函数，则缓增区间D 是 A.[)1,+∞ B. ⎡⎣ C. []0,1 D.⎡⎣12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为 . 14.若曲线ln y x =的切线过原点，则此切线的斜率为 .15.已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f -=，则()2018f = .16.已知函数()ln 2x f x -=的定义域为A,不等式()21log a x x -<在x A ∈时恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设函数()()22280f x x ax aa =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A.（1）当1a =时，求集合A;（2）若()1,1A -⊆，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）若二次函数()()2,f x ax bx c a b R =++∈满足()()12f x f x x +-=，且()0 1.f =（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本题满分12分） 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为111,DD C D 的中点. （1）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （2）证明：1//B F 平面1A BE ；（3）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.20.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()2,0F -，且长轴与短轴长的比是2 （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(),0M m 在 椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当PM 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点上，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知()()2ln , 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（2）对一切实数()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l ，2l 的交点为P,当变化时，P 的轨迹为曲线.（1）写出曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()24,1 1.f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含，求实数a 的取值范围. 参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.D5.B6.B7.B8.C9.A10.D 11.D 12.A1．C 【解析】因为{}240M x x =-≤{}22x x =-≤≤，全集U R =，所以U C M ={}22x x x <->或，故选C.2．A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.3．A 【解析】依题意，K 2＝6，且P(K 2≥3．841)＝0．05，因此有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，选A ．4．D 【解析】∵a ＝(1，x)，b ＝(2，－6)且a ∥b ，∴－6－2x ＝0，x ＝－3，∴a ＝(1，－3)，a·b＝20，故选D ． 5．B 【解析】①若p q ∧是真命题，则p 和q 同时为真命题，p ⌝必定是假命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充分不必要条件；④ay x =1'a y a x-⇒=⋅，当0a <时，'0y <，所以在区间()0+∞，上单调递减. 选B ．6．B 【解析】()()113333xxx xf x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭ 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.7．B 【解析】由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32．∴公差d ＝a 4－a 22＝－12．∴a 1＝a 2－d ＝2．8．C 【解析】作出函数y ＝2 018x和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log 2 018x 在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3，故选C.9．A 【解析】因为函数22sin ()11xy f x x==+可化简为222sin ()1x x f x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+ 3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处 附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．10．D 【解析】因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．所 以选D 。

-------------------------密-------------------封-------------------线------------------------班级：_____________姓名：_____________考场：________学号：______________2018-2019学年度第二学期高二年级数学（理）学科期末试卷（注意：本试卷共4页，共22题，满分120分，时间100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设P 、Q 是两个非空集合，定义*{(,)|,}P Q a b a P b Q =∈∈，若{0,1,2}P =，{1,2,34}Q =，,则P*Q 中元素个数是（ ）A.4B.7C.12D.16 2.设离散型随机变量X 分布列如下表，则p 等于（ ）A.110 B. 5 C. 25D. 123．通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表:由22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++算得2110(40302020)=7.860506050χ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯. 附表：A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 5．设随机变量ξ的分布列为2=(1,2,3)3k P k m k ξ=（）=()，则m 的值为（ ）A.1738 B.2738 C.1719 D.27196．随机变量X 的分布列如下,若15()8E X =,则D (X)等于（ ）A.732 B.32 C.3364 D.55647．在如图所示的电路图中，开关a ,b ,c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是 （ ）A.18B.38C.14D.788．设1021022012100210139,x a a x a x a x a a a a a a =++++++++++）则（）-（）的值为（ ）A.0B.-1C.1 D(10）9．某篮球运动员在一次投篮训练中得分ξ的分布列如下表所示，其中a ,b ,c 成等差数列，且c =ab, 则这名运动员投中3分的概率是（ ）A.14B.17C.13D.1610.从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数有（ ）A.24108C AB.1599C AC.1589C AD.1588C A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.设231021001210(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x a x +++++++=++++，则2a 的值是__________.12.在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取出两支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________.13.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为__________.14.在25(32)x x ++的展开式中x 项系数为__________.15.某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的时间是相互独立的，且概率都是0.4，则此人在上班途中遇到红灯次数的均值为__________.三、简答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16.有0,1,2,3,4,5共6个数字(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数;(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数. 17.已知2nx）展开式中第三项系数比第二项系数大162，求 (1)n 的值;(2)展开式中含3x 的项.18.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

陕西省西安中学2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. B. 1， C. D. 1，3.下列说法中正确的是（）A. 若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线4.给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．正确的是（）A. 0B. 1C. 2D. 35.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C. D. 或8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（）A. 4，B. 0，C. 3，D.9.若点O和点F（-2，0）分别是双曲线＞的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A. B. C. D.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A. 1B.C.D.12.方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______；14.已知，且＜，＞，＜，＞，＜，＞，则=______；15.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是______．16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|=3．（1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线C与直线l：y=kx+1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有k PM+k PN=0？说明理由．21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．22.已知椭圆C：＞＞的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线m过点（-1，0），且与椭圆C交于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：抛物线x2=-8y可得2p=8，∴=2．∴此抛物线的准线方程是y=2．故选：B．抛物线x2=-8y可得2p=8，解得p，即可得出准线方程．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】解：对于C：向量（，，0）=，并且向量（，，0）的模为=1．故选：C．利用向量共线定理、模的计算公式即可判断出结论．本题考查了向量共线、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：若=，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形或共线，故A错误；若，，则，或，不共线，比如=，故B错误；若和都是单位向量，可得，的模相等，不能判断共线或相等，故C错误；零向量与任何向量都共线，故D正确．故选：D．由向量相等，可判断A；由零向量与任何向量共线，可判断B；由单位向量的定义可判断C；由零向量的性质可判断D．本题考查向量的基本概念，主要是向量共线和零向量的性质，考查判断能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．是真命题，所以②正确．③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．故选：B．①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识．5.【答案】A【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a∴e==故选：A．根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c=a，然后根据离心率e=，即可得到答案．此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．6.【答案】A【解析】解：函数y=cos2ax-sin2ax=cos2ax ，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选：A．化简y=cos2ax-sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：若点P在平面α内，则=0，经过验证只有点（2，3，3）满足．故选：C．若点P在平面α内，则=0，经过验证即可判断出结论．本题考查了向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、线面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选：B．先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．10.【答案】C【解析】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA-d=1，即-（x+1）=1，化简得：y2=8x．故选：C．令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求．本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1．11.【答案】B【解析】解：如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=++=+-，与=x +2y+3z比较可得：x=1，2y=1，-1=3z．则x+y+z=1+-=．故选：B．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=++=+-，与=x +2y+3z比较即可得出．本题考查了空间平行六面体法则、空间向量基本定理、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：方程mx+ny2=0 即y2=-，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=-开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=-开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．13.【答案】10【解析】解：抛物线y2=4x中，p=2；过焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=8，则|AB|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=8+2=10．故答案为：10．根据抛物线的定义，结合题意求出弦长|AB|的值．本题考查了抛物线的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：，，，，则=+4++4•-2•-4•=1+4+1+4×cos-0-0=8，∴=2．故答案为：2．根据平面向量的数量积与模长公式，计算即可．本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题．15.【答案】x+2y-8=0【解析】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==-=-=-=-．由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0．设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==-=-=-=-．再由由点斜式可得l的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．16.【答案】【解析】解：取CD、AB的中点分别为O，E，连结OP，OE，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则N（1，-1，0），M（0，，），B（2，1，0），D（0，-1，0），=（1，0，0），=（0，，），=（2，2，0），设平面MBD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，-），∴点N到平面MBD的距离：d===．故答案为：．取CD、AB的中点分别为O，E，连结OP，OE，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点N到平面MBD的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）由16x2-9y2=144得-=1，∴a=3，b=4，c=5．焦点坐标F1（-5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x．（2）||PF1|-|PF2||=6，cos∠F1PF2====0．∴∠F1PF2=90°．【解析】（1）向将双曲线转化为标准形式，得到a，b，c的值，即可得到焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）先根据双曲线的定义得到||PF1|-|PF2||=6，再由余弦定理得到cos∠F1PF2的值，进而可得到∠F1PF2的大小．本题主要考查双曲线的基本性质和余弦定理的应用，考查基础知识的简单应用．18.【答案】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1-----------------（1分）由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC-----------------（2分）∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C----------------（3分）∴AE⊥B1C-----------------（4分）解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．----------------（6分）设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==------------------（8分）所以异面直线AE与A1C所成的角为．------------------（9分）（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC----（10分）又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1-------------（11分）而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．-------------（12分）由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角C-AG-E的平面角正切值是-----------（13分）【解析】（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E 的平面角．本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．19.【答案】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），则，，，，，，，，设平面A1DE的法向量是，，则，取，，，∴，，，，所以CF∥平面A1DE．解：（2），，是面A1DA的法向量，∴ ＜＞，，，，即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．【解析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）∵，∴，即p=2，故抛物线的方程为x2=4y．（2）设P（0，b）为符合题意的点，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．将y=kx+1代入抛物线C的方程得x2-4kx-4=0，故x1+x2=4k，x1x2=-4，∴=，当b=-1时，即p（0，-1），有k PM+k PN=0．【解析】（1）利用抛物线的定义可得出p的值，进而得出抛物线C的方程；（2）设点P（0，b），并设点M（x1，y1），N（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并将韦达定理代入等式k PM+k PN=0可计算出b的值．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，同时也考查了韦达定理设而不求法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．设AB=a，则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），，，，，，…（2分）（1）由题意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0∴EF⊥PA，EF⊥PB．∴EF⊥平面PAB．…（6分）（2）AB=2．由上，，，，=（0，1，1）．设平面AEF的法向量n=（x，y，z），则即令y=1，则x=，，所以，，…（9分）又，，，所以＜，．…（11分）所以sinθ=1cos＜，＞．…（12分）【解析】（1）求出直线EF所在的向量，再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直．（2）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题．22.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，得c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为；（2）设直线m的方程为：x=ty-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（4+3t2）y2-6ty-9=0．，．∴△ ==．令，则n≥1，∴△ ，而3n+在[1，+∞）上单调递增，∴△ ．当n=1时取等号，即当t=0时，△PQF2的面积最大值为3．【解析】（1）由题意知，4a=8，则a=2，结合椭圆离心率及隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设直线m的方程为：x=ty-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得P，Q纵坐标的和与积，再由三角形面积公式得到△PQF2面积关于t的关系式，换元后利用函数单调性求最值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．。

西安中学2018—2019学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.抛物线的准线方程是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线的性质，写出它的准线方程即可。

【详解】由于抛物线的准线方程为，故抛物线的准线方程是，故答案为C.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题。

2.已知向量，则与共线的单位向量 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由与平行可设，结合是单位向量可得，即可求出，从而得到。

【详解】由题意，设，则，解得，故或，只有选项B满足题意。

【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示，平行向量的性质及向量的模，属于基础题。

3.下列说法中正确的是( )A. 若，则四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。

【详解】对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则不一定成立，故B错误；对于选项C，若方向不同，则，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确。

故答案为D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。

4.给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“，”的否定是“，”；其中正确的命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】结合命题相关知识，对选项逐个分析即可得到答案。

【详解】对于①，可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；对于②，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故②错误；对于③，“，”的否定是“，”，正确。

故只有③正确，答案为B.【点睛】本题考查了复合命题的性质，考查了命题的否定、原命题的否命题，属于基础题。

5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由为正三角形，可知，，从而可得到，再结合，可求出离心率。

长安2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（） ①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C.12 D.225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若2a =，B A 2=，则Bcos 等于（）俯视图A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ．63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A.18 B.24 C.30 D.367.若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k >8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm9.下列说法中，正确的是（）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件 10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A.()0,+∞ B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________ 14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()axx -的展开式中的常数项为. 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为. 16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列109,10,}{11+==+n n n n S a a S n a 项和为的前 9，9991++=+n S a n n（1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点. （Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的 成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.FE C 1B 1A 1CBA20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 21.（本小题共12分）已知函数()1x f x e x =-- （Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值.23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 二、CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25-15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n q a a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n ()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，E C 1B 1A 1∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ， ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. 设11AB AA ==，则113,222B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. 又AFEF F =，∴1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),(0,)2F A B E ，1(,)222AE =--，1(22AB =-.由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF的法向量1(0,m FB ==.设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z=，由110,0,0,222020,0x y z nAE z nAB z x y z ⎧--+=⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩++=⎪⎩∴可取(3,1,n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|6||||m nm n m n θ⨯+-+⨯=<>===. CC∴所求锐二面角1B AE F --19. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分 第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴抛物线x y 42=的焦点为20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x，∴得上交点为)22,1(-，∴121122=+b a ②由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去），从而2122=+=b a∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵倾斜角为45的直线l 过点F ，∴直线l 的方程为)1(45tan -=x y ，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(201110000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称. 21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1x f x e '=-()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10x f x e '=-=0x =0x >时，()0f x '>，0x <时，()0f x '<()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln 333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ， 故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210x e x tx ---≥恒成立，设()21.x g x e x tx =---()'12.x g x e tx ∴=-- 由(Ⅱ)知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥ 即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。

绝密★启用前陕西省西安中学2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题一、单选题1．点P 的直角坐标为(-，则点P 的极坐标可以为（ ）A ．23π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．56π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．56π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论． 【详解】∵点P 的直角坐标为(-，∴ρ===y tan x θ==． ∵点P 在第二象限， ∴取θ56π=．∴点P 的极坐标方程为（56π）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，，属于基础题．2．极坐标方程()()()100ρθπρ--=≥，表示的图形是（ ） A ．两个圆B ．一个圆和一条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线【答案】C 【解析】 【分析】结合极坐标方程以及互化公式，将其转化为直角坐标方程，即可判断曲线类型. 【详解】因为()()()100ρθπρ--=≥，，所以可得1(0)ρρ=≥或(0)θπρ=≥，1(0)ρρ=≥利用互化公式即可转化为221x y +=，表示一个圆； (0)θπρ=≥即可转化为0(0)y x =≤，表示一条射线.故选C. 【点睛】主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.3．已知直线:40l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（）A ．2 BC ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r.已知直线:40l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为d r ==> ，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为2d r -=. 故答案为A. 【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型. 4．下列命题中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由于本题是考查不等式的性质比较大小，所以一般要逐一研究找到正确答案.详解：对于选项A ，由于不等式没有减法法则，所以选项A 是错误的.对于选项B ，如果c 是一个负数，则不等式要改变方向，所以选项B 是错误的. 对于选项C,如果c 是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C 是错误的. 对于选项D ，由于此处的，所以不等式两边同时除以，不等式的方向不改变，所以选项D 是正确的. 故选D.点睛：本题主要考查不等式的基本性质，不等式的性质主要有可加性、可乘性、传递性、可乘方性等，大家要理解掌握并灵活运用. 5．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（）A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的定义域，计算()2f x 定义域，再考虑分母不为0，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤< 故答案为C 【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.6．设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可． 【详解】①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确； ④不满足函数的定义，故选：C ． 【点睛】本题考查函数的图象以及函数的定义的判断与应用，是基础题．7．不等式20ax bx c ++>的解集为()4,1-，则不等式()()2130b x a x c +-++>的解集为（） A ．4,13⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()41,,3⎛⎫--∞⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到,,a b c 的关系，判断a 为负数，将,,a b c 的关系代入后一个不等式，解得答案. 【详解】由题意知：4,1-是方程20ax bx c ++=的两个解，代入方程得到413,441b ab ac a c a ⎧-+=-⎪⎪⇒==-⎨⎪-⨯=⎪⎩，0a < 不等式()()2130b x a x c +-++>可化为：()()231340a x a x a +-+->即()()231340x x +-+-<解得41,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭故答案选B 【点睛】本题考查了解不等式，抓住不等式与对应方程的关系得到系数关系是解题的关键.8．已知命题2:,210p x R x ax ∀∈-+>；命题2:,20q x R ax ∃∈+≤．若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．[]1,1- B ．(]1,--∞ C ．(],2-∞- D ．[)1,+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】由p q ∨为假命题，知,p q 均为假命题，再分别计算,p q 命题范围得到答案. 【详解】由p q ∨为假命题，知,p q 均为假命题.命题2:,210p x R x ax ∀∈-+>244011a a ⇒-<⇒-<<p 为假命题(,1][1,)a ⇒∈-∞-⋃+∞命题2:,200q x R ax a ∃∈+≤⇒<q 为假命题0a ⇒≥综上知：1a ≥ 故答案选D 【点睛】本题考查命题的真假判断，将命题转化为等价的取值范围是解题的关键. 9．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=．当31x -<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+=（）A ．335B ．336C ．338D ．2016【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知函数周期为6，再计算一个周期内的所有值，将2019按照6个一组分成多份，计算得到答案. 【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=,则函数()f x 的周期是6, 当31x -<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =(3)(3)1,(2)(4)0(1)1(0)0(1)1(2)2f f f f f f f f ⇒-==--==-=-=== 则在一个周期内:(3)(2)(1)(0)(1)(2)1010121f f f f f f -+-+-+++=-+-+++=201963363=⨯+(1)(2)(2019)33612338f f f ++⋯+=⨯+=所以答案选C. 【点睛】本题考查函数值的计算,利用函数的周期性推导抽象函数的周期是解决本题的关键.10．设函数()24,1{1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．(],5-∞ D ．[)5,+∞【答案】B 【解析】 【分析】当1x ≥时，()ln 1f x x =+的最小值是1，因此在1x <时，2()41f x x x a =-+≥，由单调性可得. 【详解】1x ≥时，ln 1x +的最小值为1,∴要使()24,1{1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥的最小值是1，必有1x <时，24y x x a =-+的最小值不小于1，因为24y x x a =-+在(),1-∞ 上递减，所以1x <时，3y a >-，则31,4a a -≥≥，实数a 的取值范围是[)4,+∞，故选B ． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，解题时需要分段讨论，这样二次函数2()4f x x x a =-+在(,1)-∞上不小于1恒成立，由单调性易得结论.11．定义在R 上的偶函数()f x ，当12,0x x ≤，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且(1)0f -=，则不等式0)(<x xf 的解集是（ ）A ．(1,1)-B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(1,0)(1,)-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得函数()f x 在(,0]-∞上为减函数，在(0,)+∞上为增函数，且()(1)10f f -==，再由0)(<x xf ，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，对于任意12,(,0]x x ∈-∞，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在(,0]-∞上为递减函数，又由函数()f x 是R 上的偶函数，所以函数()f x 在(0,)+∞上为递增函数， 且()(1)10f f -==， 由0)(<x xf 可得： 当0x >时，()0f x <，即()()1f x f <，可得01x <<，当0x <时，()0f x >，即()()1f x f >-，可得1x <-， 综上可得不等式0)(<x xf 的解集为(,1)(0,1)-∞-，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断和应用，其中解答中根据函数的奇偶性和单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档试题.12．设函数()f x x =-，()()2lg 41g x ax x =-+，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4-∞ B ．(]0,4 C ．(]4,0- D ．[)4,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：设函数()f x 的值域为A ，设函数()g x 的值域为B ，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使等价于A B ⊆，又因为{}|()(,0]A y y f x ===-∞，即(,0]B -∞⊆，所以2()41h x ax x =-+的值必能取遍区间(0,1]的所有实数，当0a <时，函数()h x 的图象开口向下，且(0)1h =,符合题意；当0a =时，上()41h x x =-+符合题意；当0a >时，函数()h x 的值要想取遍(0,1]的所有实数，当且仅当1640a ∆=-≥，即4a ≤，综上所述，a 的取值范围为(],4-∞.故选A.考点：1.函数的值域；2.全称量词与特称量词的意义；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了函数的性质、值域求法以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题；全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．“若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.14．已知实数,x y满足不等式组30330xx yx y≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2x y-的最大值是_____．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【详解】设z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y＝2x﹣z 的截距最小，此时z最大．z的最大值为z＝2×3＝6，．故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．已知函数()3f x x =，若实数,a b 满足()()20f a f b ++=，则a b +等于_____．【答案】2- 【解析】 【分析】判断函数()3f x x =为奇函数和增函数，再根据奇函数单调函数性质得到2a b +=-【详解】函数()3f x x =，易知函数()3f x x =为奇函数，且单调递增.()()20(2)()()22f a f b f a f b f b a b a b ++=⇒+=-=-⇒+=-⇒+=-故答案为-2 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，利用函数性质是解题的关键.16．已知关于x 的方程222520kx x k ---=的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】将方程转化为对应函数，根据函数值与开口方向的关系解得答案. 【详解】关于x 的方程222520kx x k ---=的两个实数根一个小于1，另一个大于1.则0k ≠根据函数的零点存在定理：1:当0k >时，只需满足4(1)3403f k k =--⇒-即0k >2:当k 0<时，只需满足4(1)3403f k k =-->⇒<-即43k <- 综上所诉：()4,0,3k ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了方程的根的分布求参数范围，转化为函数的零点存在定理是解题的关键. 17．已知函数()211f x x x =+--．（1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123a f x x x -≥+-+-的解集非空，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(,3][5,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）讨论x 范围去掉绝对值符号，再解不等式.（2）将函数代入不等式化简，再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值，转化为存在问题求得答案.【详解】 解：（1）()12,212113,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩或1{22x x >+<， 解得：142x -<<-或1223x -<或无解， 综上，不等式的解集是（4-，23）． （2）()()123212321234f x x x x x x x +-+-=++-+--= （当1322x -时等号成立）， 因为不等式()1123a f x x x -+-+-解集非空， ∴()1123min a f x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦， ∴14a -，∴14a --或14a -，即3a-或5a ， ∴实数a 的取值范围是(,3][5,)-∞-⋃+∞ ．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，存在问题，题型比较综合，意在考查学生的计算能力.三、解答题18．已知集合{|15}A x x =<≤，集合21{|0}3x B x x -=>-. （1）求A B ；（2）若集合{|143}C x a x a =+≤≤-，且C A A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(]3,5；（2）2a ≤【解析】【分析】（1）先解分式不等式得集合B,再根据交集定义得结果，（2）先根据条件得C A ⊆，按C 是否为空集分类讨论，再结合数轴得不等式，解得结果.【详解】（1）()1,3,2B ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，(]3,5A B ∴⋂= （2）由C A A ⋃=可得C A ⊆若C =∅，则143a a +>-，即43a < 若C ≠∅，则43111435a a a a -≥+⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，即423a ≤≤， 综上所述，2a ≤【点睛】本题考查分式不等式以及交集，考查基本分析求解能力，属基础题.19．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，()21f =.（1）求()8f ；（2）求不等式()()23f x f x -->的解集．【答案】（1）3 （2）1627x <<【解析】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f （8）=f （4）+f （2），f （4）=f （2）+f （2）求解f （8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f （x ）+f （x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集试题解析：（1）由题意可得f （8）=f （4×2）=f （4）+f （2）=f （2×2）+f （2）=3f （2）="3"（2）原不等式可化为f （x ）＞f （x-2）+3=f （x-2）+f （8）=f （8x-16）∵f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：1627x << 考点：抽象函数及其应用，函数的单调性的应用20．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为(32x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos ρθθ=-．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA +PB 的值．【答案】（1）30x y -+=,()()22125x y ++-=；（2）. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）将直线的参数方程代入曲线C ，利用直线参数方程的几何意义算得PA +PB .【详解】 解：（1）由直线l的参数方程x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得普通方程为30x y -+=；由曲线C 的极坐标方程为=4sin -2cos ρθθ，得2=4sin -2cos ρρθρθ， 将222=cos ,=sin ,+=x y x y ρθρθρ代入上式可得：()()22125x y ++-=. 所以曲线C 的直角坐标方程为()()22125x y ++-=； （2）将=2=3+2x t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入()()22125x y ++-=，得22+1+3+-2=522⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230t +-=.设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-1230t t =-<.所以1212PA +PB =+=-t t t t 【点睛】 本题考查了参数方程，极坐标方程，利用直线参数方程的几何意义是解题的关键.21．已知函数()242x x a a f x a a-+=+ (0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，2()20x t f x +⋅-≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】 （1）利用奇函数的性质00f =（），代入计算得到答案. （2）将函数分离常数，根据指数函数范围推导分式的范围，最后得到答案.（3）将函数代入不等式，判断正负，参数分离，用换元法取21x u =-，根据函数的单调性得到最值，最后得到答案.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以00f =（），即4102a-=+， 解得2a = ，当2a =时， 经验证()22221212222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++是奇函数， 故2a =;（2）由（1）知()22221212222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++， 220,211,2021x x x >∴+>∴-<-<+， ∴211121x -<-<+． 所以()f x 的值域为11-（，）（3）当[]1,2x ∈时， ()2-1=>02+1x x f x ． 由题意得 212221x x x t -⋅-+ 在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221x x x t +--在[]1,2x ∈时恒成立．令21x u =-，()13u ，则有()()2121u u t u u u+-=-+， ∵函数21y u u=-+在[1，3]上单调递增， ∴当3u =时，103max y =. ∴103t . 故实数t 的取值范围为[103，+∞）． 故答案为：[103，+∞）. 【点睛】本题考查了奇函数性质与计算，分离常数法求值域，参数分离，换元法，函数的单调性，综合性很强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．.【解析】【分析】（1）先确定每套丛书定价为100元时的销售量，从而可得时每套供货价格，根据销售每套丛书的利润=售价一供货价格，可求得书商能获得的总利润；（2）先确定每套丛书售价范围，再确定单套丛书利润，利用基本不等式，可求单套丛书的利润最大值．【详解】(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由得0＜x＜150.设单套丛书的利润为P元，则P＝x－＝x－－30，因为0＜x＜150，所以150－x＞0，所以P＝－＋120，又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，所以P max＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立单套丛书利润函数，再利用基本不等式确定其最值．。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.椭圆的焦点坐标是__________.【答案】【解析】【分析】从椭圆方程中得出、的值，可得出的值，可得出椭圆的焦点坐标.【详解】由题意可得，，，因此，椭圆的焦点坐标是，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出、、的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.2.若复数满足，则的实部是_________.【答案】【解析】【分析】由得出，再利用复数的除法法则得出的一般形式，可得出复数的实部.【详解】，，因此，复数的实部为，故答案为：.【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.球表面积是其大圆面积的________倍．【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为，则球的表面积为，球的大圆面积为，因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.棱长为的正四面体的高为__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径，再利用公式可得出正四面体的高.【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为，由正弦定理得，，因此，正四面体的高为，故答案为：.【点睛】本题考查正四面体高计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.5.展开二项式，其常数项为_________.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式展开式的常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，得.所以，二项式展开式的常数项为，故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.从、、、、中取个不同的数组成一个三位数，且这个数大于，共有_____不同的可能．【答案】【解析】【分析】由题意得知，三位数首位为、、中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比大，则三位数首位为、、中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为，故答案为：.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.圆锥的母线长是，高是，则其侧面积是________.【答案】【解析】【分析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.【详解】由题意知，圆锥的底面半径为，因此，圆锥的侧面积为，故答案为：.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.【答案】60°．【解析】【分析】计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为和，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．【答案】【解析】【分析】设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出的值，从而可求出的值.【详解】设锐二面角的大小为，则，，故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号、、，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．【答案】【解析】【分析】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.【详解】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，现从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有：、、、、、，因此，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有种，故答案为：.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11.已知点，，，，复数、在复平面内分别对应点、，若，则的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，点在曲线内，点在圆上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【详解】由题意知，点在曲线内，点在圆上，如下图所示：由三角不等式得，当点为正方形的顶点，且点、方向相反时，取最大值，故答案为：.【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知点在二面角的棱上，点在半平面内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.【答案】【解析】【分析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【详解】如下图所示，过点在平面内作，垂直为点，点在二面角的棱上，点在平面内，且，若对于平面内异于点的任意一点，都有.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即是直线与平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案为：.【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A. 杨辉B. 刘微C. 祖暅D. 李淳风【答案】C【解析】【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.14.已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选：B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.15.在复数范围内，多项式可以因式分解为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将代数式化为，然后利用平方差公式可得出结果.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.16.已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，由韦达定理得，.对于甲条件，，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”必要不充分条件；对于丁条件，，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有个，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．【答案】【解析】【分析】先由求出复数，再由求出复数，计算出其复数，可得出以复数为根的实系数方程为，化简后可得出结果.【详解】由，得，，.，，因此，以复数为一个根实系数方程为，即，即.【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18.在平面直角坐标系中，椭圆，右焦点为．（1）若其长半轴长为，焦距为，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点到点的距离的最大值是．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件可得出、的值，进而可求出的值，由此得出椭圆的标准方程；（2）设点，将该点代入椭圆的方程得出，并代入的表达式，转化为关于的函数，利用函数的性质求出的最大值.【详解】（1）由题意，，，则，．椭圆的标准方程为；（2）设，，，当时，．【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.19.推广组合数公式，定义，其中，，且规定．（1）求的值；（2）设，当为何值时，函数取得最小值？【答案】（1）；（2）当时，取得最小值.【解析】【分析】（1）根据题中组合数的定义计算出的值；（2）根据题中组合数的定义求出函数，然后利用基本不等式求出函数的最小值，并计算出等号成立对应的的值.【详解】（1）由题中组合数的定义得；（2）由题中组合数的定义得．因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以当时，取得最小值．【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线和的所成角；（3）求直线和平面的所成角．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线和的所成角；（3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出直线和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.【详解】（1）在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点，该方灯体的体积：；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，、、、，，，设直线和的所成角为，则，直线和的所成角为；（3），，，，设平面的法向量，则，得，取，得，设直线和平面的所成角为，则，直线和平面的所成角为．【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21.双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．（1）若的倾斜角为，，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；（2），，若斜率存在，且，求的斜率；（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.【详解】（1）直线的倾斜角为，，可得直线，代入双曲线方程可得，是等腰直角三角形可得，即有，解得，，则双曲线的方程为；（2）由，，可得，直线的斜率存在，设为，设直线方程为，，可得，由，联立双曲线方程，可得，可得，线段的中点为，由，可得，解得，满足，故直线的斜率为；（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，可得到渐近线的距离的乘积为，即为，可得，可得在双曲线或上，即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.椭圆的焦点坐标是__________.【答案】【解析】【分析】从椭圆方程中得出、的值，可得出的值，可得出椭圆的焦点坐标.【详解】由题意可得，，，因此，椭圆的焦点坐标是，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出、、的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.2.若复数满足，则的实部是_________.【答案】【解析】【分析】由得出，再利用复数的除法法则得出的一般形式，可得出复数的实部.【详解】，，因此，复数的实部为，故答案为：.【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.球表面积是其大圆面积的________倍．【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为，则球的表面积为，球的大圆面积为，因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.棱长为的正四面体的高为__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径，再利用公式可得出正四面体的高.【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为，由正弦定理得，，因此，正四面体的高为，故答案为：.【点睛】本题考查正四面体高计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.5.展开二项式，其常数项为_________.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式展开式的常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，得.所以，二项式展开式的常数项为，故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.从、、、、中取个不同的数组成一个三位数，且这个数大于，共有_____不同的可能．【答案】【解析】【分析】由题意得知，三位数首位为、、中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比大，则三位数首位为、、中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为，故答案为：.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.圆锥的母线长是，高是，则其侧面积是________.【答案】【解析】【分析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.【详解】由题意知，圆锥的底面半径为，因此，圆锥的侧面积为，故答案为：.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.【答案】60°．【解析】【分析】计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，因此，两渐近线的夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为和，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．【答案】【解析】【分析】设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出的值，从而可求出的值.【详解】设锐二面角的大小为，则，，故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号、、，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．【答案】【解析】【分析】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.【详解】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，现从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有：、、、、、，因此，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有种，故答案为：.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11.已知点，，，，复数、在复平面内分别对应点、，若，则的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，点在曲线内，点在圆上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【详解】由题意知，点在曲线内，点在圆上，如下图所示：由三角不等式得，当点为正方形的顶点，且点、方向相反时，取最大值，故答案为：.【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知点在二面角的棱上，点在半平面内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.【答案】【解析】【分析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【详解】如下图所示，过点在平面内作，垂直为点，点在二面角的棱上，点在平面内，且，若对于平面内异于点的任意一点，都有.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即是直线与平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案为：.【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A. 杨辉B. 刘微C. 祖暅D. 李淳风【答案】C【解析】【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.14.已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选：B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.15.在复数范围内，多项式可以因式分解为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将代数式化为，然后利用平方差公式可得出结果.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.16.已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，由韦达定理得，.对于甲条件，，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”必要不充分条件；对于丁条件，，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有个，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．【答案】【解析】。