2018-2019学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：(十九)-含解析

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-1 习题第一章检测 (A)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.命题“若A? B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4解析 :原命题为假 ,则其逆否命题为假;其逆命题为真 ,则其否命题为真.故共有 2 个真命题 .答案 :B2.设x∈ Z ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则()A. p:?x0∈A,2x0∈ BB.p:?x0? A,2x0∈ BC. p:?x0∈A,2x0?BD. p:? x?A,2x? B解析 :原命题的否定是?x0∈A,2x0? B.答案 :C3.已知命题p:?x0∈R,2x0+ 1≤ 0,则命题 p 的否定是 ()A. ?x0∈R ,2x0+1> 0B. ? x∈R ,2x+ 1> 0C.?x0∈R ,2x0+1≤0D. ?x∈R,2x+ 1≥0答案 :B4.如果命题“p∧q”是假命题,“p”是真命题,那么()A. 命题 p 一定是真命题B.命题 q 一定是真命题C.命题 q 一定是假命题D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题解析 :“ p”是真命题 ,p 一定是假命题 ,又“p∧q”是假命题 ,∴ q 可真可假 .答案 :D5.等差数列{ a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+ 1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 :C6.已知命题p:? x∈R ,2x2+ 2x命题? x0∈R,sin x0 -cos x0则下列判断正确的是1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-1 习题A. p 是真命题 B. q 是假命题C.p 是假命题D. q 是假命题解析 :∵ ? x∈R,2x2+ 2x≥ 0,∴ p 为假命题 ;∵当 x0时 ,sin x0 -cos x0-∴命题 q 为真命题 .答案 :D7.设命题p:若a>b ,则ac>bc ,q?ab< 0,给出下列四个由p,q 构成的新命题 :(1)p∨q;(2)p∧q;(3) p;(4)q.其中真命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :由已知可知 p 为假 ,q 为真 ,所以 (1) p∨ q 为真 ;(2)p∧ q 为假 ;(3)p 为真 ;(4) q 为假 ,故选 C.答案 :C8.已知命题p:“a= 1”是“?x> 0,x≥ 2的”充要条件 ;命题 q:?x0∈R则下列结论中正确的是A. 命题 p∧ q 是真命题B.命题 p∧ (q)是真命题C.命题 ( p)∧q 是真命题D.命题 ( p)∧( q)是真命题解析 :a= 1? x而当 a= 2 时 ,也推出 x≥2成立,所以“a= 1”是“?x> 0,x≥ 2的”充分不必要条件.故 p 为假命题 ,而 q 为真命题 .答案 :C9.下列命题中是假命题的是()A. 命题“若 x≠ 1,则 x2-3x+2≠ 0的”逆否命题是“若 x2-3x+ 2= 0,则 x= 1”B.若命题 p:? x∈R ,x2+x+ 1≠ 0,则 p:?x0∈RC.若 p∨ q 为真命题 ,则 p,q 均为真命题2人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-1D.“x> 2”是“x2 -3x+ 2> 0”的充分不必要条件答案 :C10.数x1,x2,⋯,x n中的最大数max{ x1,x2, ⋯,x n}, 最小数 min{ x1,x2, ⋯,x n} .已知△ABC 的三a,b,c(a≤b≤c),定它的斜度= ma, ,·mi, ,是△ABC等三角形”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件解析 :当△ABC 等三角形,然= 1; 当 a=b= 1,c,ma, ,,,此= 1,但△ABC 不等三角形.故 A.答案 :A二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)00,使得≤ 0,用符号“? ”或“?”可表示,其否定11.存在数x,y.答案 :?x0 ,y0∈R ,使≤0 ?x,y∈R,都有 2x2+ 3y2> 012.若“x∈[2,5]或x∈{ x|x< 1或x> 4}”是假命, x的取范是.解析 :由 x∈[2,5] 或 x∈ { x|x< 1 或 x> 4}, 得 x< 1 或 x≥2.∵此命是假命 ,∴ 1≤x< 2.答案 :[1,2)13. p:x> 2或x或p 是 q 的条件 .解析 : p≤x≤ 2, q:- 1≤x≤2.∵p?q,但q p,∴p 是q 的充分不必要条件.答案 :充分不必要14.已知p:|x2-x|≠6,q:x∈ N,若“p∧q”与“q”都是假命,x 的.解析 :∵ “p∧q”与“ q”都是假命 ,∴ p 是假命 ,q 是真命 ,2∴ |x -x|= 6,且 x∈N,即 x= 3.答案 :3315.(1)已知a,b,c∈R ,则“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的条件.(2)设集合 A= { x∈R|x- 2>0}, B= { x∈R|x< 0}, C= { x∈R |x(x-2)> 0}, 则“x∈ A∪B”是“x∈ C”的条件 .解析 :(1)b= 0,a= 0 或 c=0 时,b2=ac ,但 a,b,c 不成等比数列 ;若 a,b,c 成等比数列 ,则由等比中项的定义得b2=ac.∴ “b2=ac ”是“a,b,c 成等比数列”的必要不充分条件 .(2)化简得 A= { x|x> 2}, B= { x|x< 0}, C= { x|x< 0 或 x> 2} .∵ A∪ B=C ,∴ “x∈A∪ B”是“x∈ C”的充要条件 .答案 :(1)必要不充分(2) 充要三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)写出下列命题的“ p”命题,并判断它们的真假.(1)p:?x∈R,x2+ 4x+ 4≥ 0;(2)p:?x0∈R解 :(1) p:?x0∈R是假命题.(2)p:? x∈R ,x2-4≠ 0,是假命题 .17.(8分)写出命题:“若x2-3x+ 2= 0,则x=1或x= 2”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假 .解 :原命题为真 .逆命题 :若 x= 1 或 x= 2,则 x2-3x+ 2=0,是真命题 ;否命题 :若 x2-3x+ 2≠ 0,则 x≠ 1,且 x≠ 2,是真命题 ;逆否命题 : 若 x≠1,且 x≠2,则 x2 -3x+2≠ 0,是真命题 .18.(9分)指出下列各题中p 是 q 的什么条件 :(1)p:(x-2)(x-3)= 0,q:x-2= 0;(2)p:四边形的对角线相等 ,q:四边形是平行四边形 ;(3)p:(x-1)2+ (y-2)2= 0,q:(x-1)(y-2)= 0.解 :(1)∵ ( x-2)(x-3)= 0 x-2= 0(可能 x-3=0),而x-2= 0? (x-2)(x-3)= 0,∴ p 是 q 的必要不充分条件.(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴ p 是 q 的既不充分也不必要条件.(3)∵ (x-1)2+ (y-2)2= 0? x= 1,且 y= 2? (x-1) ×(y-2)= 0,而 (x-1)(y-2)= 0(x-1)2+ (y-2)2 =0,∴ p 是 q 的充分不必要条件 .419.(10 分 )设命题 p:实数 x 满足 x 2- 4ax+ 3a 2< 0,其中 a> 0,命题 q: 实数 x 满足- -,-.(1) 若 a= 1,且 p ∧ q 为真 ,求实数 x 的取值范围 ;(2) 若 p 是 q 的充分不必要条件 ,求实数 a 的取值范围 .解 :(1)由 x 2 -4ax+3a 2< 0,得(x-3a)(x-a)< 0.又因为 a> 0,所以 a<x< 3a.当 a= 1 时 ,1<x< 3,即 p 为真命题时 ,实数 x 的取值范围是 1<x< 3.由,,,解得或.即 2<x ≤3.所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x ≤3.若 p ∧q 为真 ,则,? 2<x< 3,故实数 x 的取值范围是 (2,3). (2) p 是 q 的充分不必要条件 ,即p? q,且 q p.设 A= { x|x ≤a 或 x ≥3a},B= { x|x ≤2或 x>3}, 则 A? B.所以 0<a ≤2,且 3a> 3,即 1<a ≤2.故实数 a 的取值范围是 (1,2] .20.(10 分 )设命题 p:函数 f(x)= l- 的定义域为 R ;命题 q:不等式对一切正实数均成立 如果 或 为真命题且 为假命题 求实数 的取值范围解 :命题 p 为真命题 ? 函数 f(x)= l -的定义域为 R ? ax 2-x对任意实数 x 均成立.当 a= 0 时 ,-x> 0,其解集不为 R ,所以 a ≠0,则,-得a> 2.,所以命题 p 为真命题 ? a> 2.5命题 q 为真命题 ?-对一切正实数 x 均成立 ? a对一切正实数 x 均成立 .因为 x>0,所以所以所以所以命题 q 为真命题 ? a≥1.根据题意 ,知命题 p 与 q 有且只有一个为真命题,当命题 p 为真命题且命题q 为假命题时 ,a 不存在; 当命题 p 为假命题且命题q 为真命题时 ,a 的取值范围是[1,2] .综上所述 ,命题 p 或 q 为真命题 ,命题 p 且 q 为假命题时 ,实数 a 的取值范围是 [1,2] .6。

【人教A版】2018版高中数学选修1-1全一册专题特色训练汇编目录2018版高中数学专题01解密命题充分必要性之含参问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题02或且非命题的真假判断特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题03探索否命题和命题的否定的区别特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题05探索离心率问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题06探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题07解锁圆锥曲线中的定点与定值问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题10解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练新人教A版选修1含答案专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。

根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。

2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程2ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。

2018高二数学下选修1-1课时达标训练含答案（人教A版18份）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址阶段质量检测（三）一、选择题．已知f＝lnxx2，则f′＝A.1e3B.1e2c．－1e2D．－1e32．若函数f＝13x3－f′&#8226;x2－x，则f′的值为A．0B．2c．1D．－13．曲线y＝xx＋2在点处的切线方程为A．y＝2x＋1B．y＝2x－1c．y＝－2x－3D．y＝－2x－24．已知对任意实数x，有f＝－f，g＝g．且x&gt;0时，f′&gt;0，g′&gt;0，则x&lt;0时A．f′&gt;0，g′&gt;0B．f′&gt;0，g′&lt;0c．f′&lt;0，g′&gt;0D．f′&lt;0，g′&lt;05．函数f＝lnxxA．在上是增函数B．在上是减函数c．在上是增函数，在上是减函数D．在上是减函数，在上是增函数6．若函数y＝a的递增区间是－∞，－33，33，＋∞，则a的取值范围是A．a＞0B．－1＜a＜0c．a＞1D．0＜a＜17．已知函数f＝x有两个极值点，则实数a的取值范围是A．B.0，12c．D．8．方程2x3－6x2＋7＝0在内根的个数为A．0B．1c．2D．39．函数y＝12x－2sinx的图象大致是0．若函数f在R上可导，且f&gt;f′，则当a&gt;b时，下列不等式成立的是A．eaf&gt;ebfB．ebf&gt;eafc．ebf&gt;eafD．eaf&gt;ebf1．设函数f′是奇函数f的导函数，f＝0，当x&gt;0时，xf′－f&lt;0，则使得f&gt;0成立的x的取值范围是A．∪B．∪c．∪D．∪2．若定义在R上的函数f满足f＝－1，其导函数f′满足f′&gt;k&gt;1，则下列结论中一定错误的是A．f1k&lt;1kB．f1k&gt;1k－1c．f1k－1&lt;1k－1D．f1k－1&gt;kk－1二、填空题3．若曲线y＝ax2－lnx在点处的切线平行于x轴，则a ＝________．4．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．5．已知a&lt;0，函数f＝ax3＋12alnx，且f′的最小值是－12，则实数a的值为________．6．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________．三、解答题7．设定义在上的函数f＝ax＋1ax＋b．求f的最小值；若曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．8．已知a∈R，函数f＝ex.当a＝2时，求函数f的单调区间；若函数f在上单调递增，求实数a的取值范围．9．设函数f＝e2x－alnx.讨论f的导函数f′零点的个数；证明：当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20．已知函数f＝lnxx.判断函数f的单调性；若y＝xf＋1x的图象总在直线y＝a的上方，求实数a 的取值范围．21．已知函数f＝lnx－ax.若f存在最小值且最小值为2，求a的值；设g＝lnx－a，若g&lt;x2在＝ln1＋x1－x.求曲线y＝f在点)处的切线方程；求证：当x∈时，f＞2x＋x33；设实数k使得f＞kx＋x33对x∈恒成立，求k的最大值．.解析：选D ∵f′＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′＝1－2lnee3＝－1e3.2.解析：选A ∵f＝13x3－f′&#8226;x2－x，∴f′＝x2－2f′&#8226;x－1，∴f′＝1－2f′－1，∴f′＝0.3.解析：选A ∵y′＝x′（x＋2）－x（x＋2）′（x ＋2）2＝2（x＋2）2，∴k＝y′|x＝－1＝2（－1＋2）2＝2，∴切线方程为：y＋1＝2，即y＝2x＋1.4.解析：选B f为奇函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递增，f′&gt;0;g为偶函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递减，g′&lt;0.5.解析：选c 由f′＝1－lnxx2，令f′＞0，得0＜x ＜e；令f′＜0得e＜x＜10，故选c.6.解析：选A 依题意得y′＝a＞0的解集为－∞，－33，33，＋∞，∴a＞0.7.解析：选B 由题知，x&gt;0，f′＝lnx＋1－2ax，由于函数f有两个极值点，则f′＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点，则a&gt;0.设函数y＝lnx＋1上任一点处的切线为l，则kl＝y′＝1x0，当l过坐标原点时，1x0＝1＋lnx0x0&#8658;x0＝1，令2a＝1&#8658;a＝12，结合图象知0&lt;a&lt;12.8.解析：选B 设f＝2x3－6x2＋7，则f′＝6x2－12x＝6x．∵x∈，∴f′&lt;0.∴f在上递减，又f＝7，f＝－1，∴f在上有且只有一个零点，即方程2x3－6x2＋7＝0在内只有一个根．9.解析：选c 因为y′＝12－2cosx，所以令y′＝12－2cosx＞0，得cosx＜14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cosx＜0，得cosx＞14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项c正确．0.解析：选 D ∵f（x）ex′＝exf′（x）－exf（x）（ex）2＝ex[f′（x）－f（x）]（ex）2&lt;0，∴y＝f（x）ex单调递减，又a&gt;b，∴f（a）ea&lt;f（b）eb，∴eaf&gt;ebf．1.解析：选A 当x&gt;0时，令F＝f（x）x，则F′＝xf′（x）－f（x）x2&lt;0，∴当x&gt;0时，F＝f（x）x 为减函数．∵f为奇函数，且由f＝0，得f＝0，故F＝0.在区间上，F&gt;0；在上，F&lt;0.即当0&lt;x&lt;1时，f&gt;0；当x&gt;1时，f&lt;0.又f为奇函数，∴当x∈时，f&gt;0；当x∈时，f&lt;0.综上可知，f&gt;0的解集为∪．2.解析：选c 构造函数F＝f－kx，则F′＝f′－k&gt;0，∴函数F在R上为单调递增函数．∵1k－1&gt;0，∴F1k－1&gt;F．∵F＝f＝－1，∴f1k－1－kk－1&gt;－1，即f1k－1&gt;kk－1－1＝1k－1，∴f1k－1&gt;1k－1，故c错误．3.解析：由曲线在点处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.答案：124.解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为－1，－1e，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－1e.答案：y＝－1e5.解析：f′＝3ax2＋12ax，则f′＝3a＋12a.∵a&lt;0，∴f′＝－（－3a）＋21－a≤－2（－3a）×12－a＝－12.当－3a＝12－a，即a＝－2时，取“＝”．答案：－26.解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0&#8658;a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11.当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝32≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.答案：47.解：法一：由题设和均值不等式可知，f＝ax＋1ax＋b≥2＋b，当且仅当ax＝1等号成立，即当x＝1a时，f取最小值为2＋b.法二：f的导数f′＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，当x&gt;1a时，f′&gt;0，f在1a，＋∞上单调递增；当0&lt;x&lt;1a时，f′&lt;0，f在0，1a上单调递减．所以当x＝1a时，f取最小值为2＋b.由题设知，f′＝a－1ax2，f′＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12．将a＝2代入f＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.8.解：当a＝2时，f＝ex，f′＝ex.令f′&gt;0，即ex&gt;0，注意到ex&gt;0，所以－x2＋2&gt;0，解得－2&lt;x&lt;2.所以，函数f的单调递增区间为．同理可得，函数f的单调递减区间为和．因为函数f在上单调递增，所以f′≥0在上恒成立．又f′＝[－x2＋x＋a]ex，所以[－x2＋x＋a]ex≥0，注意到ex&gt;0，因此－x2＋x＋a≥0在上恒成立，也就是a ≥x2＋2xx＋1＝x＋1－1x＋1在上恒成立．设y＝x＋1－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2&gt;0，即y＝x＋1－1x＋1在上单调递增，则y&lt;1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a的取值范围为32，＋∞.9.解：f的定义域为，f′＝2e2x－ax.当a≤0时，f′&gt;0，f′没有零点；当a&gt;0时，设u＝e2x，v＝－ax，因为u＝e2x在上单调递增，v＝－ax在上单调递增，所以f′在上单调递增．又f′&gt;0，当b满足0&lt;b&lt;a4且b&lt;14时，f′&lt;0，故当a&gt;0时，f′存在唯一零点．证明：由，可设f′在上的唯一零点为x0，当x∈时，f′&lt;0；当x∈时，f′&gt;0.故f在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝x0时，f取得最小值，最小值为f．由于2e2x0－ax0＝0，所以f＝a2x0＋2ax0＋aln2a≥2a＋aln2a.故当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20.解：f′＝1－lnxx2.当0&lt;x&lt;e时，f′&gt;0，f为增函数；当x&gt;e时，f′&lt;0，f为减函数．依题意得，不等式a&lt;lnx＋1x对于x&gt;0恒成立．令g＝lnx＋1x，则g′＝1x－1x2＝1x1－1x.当x∈时，g′＝1x1－1x&gt;0，则g是上的增函数；当x∈时，g′&lt;0，则g是上的减函数．所以g的最小值是g＝1，从而a的取值范围是．21.解：f′＝1x＋ax2＝x＋ax2，当a≥0时，f′&gt;0，f在上是增函数，f不存在最小值；当a&lt;0时，由f′＝0得x＝－a，且0&lt;x&lt;－a，时f′&lt;0，x&gt;－a时，f′&gt;0.∴x＝－a时，f取得最小值，f＝ln＋1＝2，解得a＝－e.g&lt;x2即lnx－a&lt;x2，即a&gt;lnx－x2，故g&lt;x2在＝lnx－x2，则h′＝1x－2x＝1－2x2x，由h′＝0及0&lt;x≤e得x＝22.当0&lt;x&lt;22时，h′&gt;0，当22&lt;x≤e时，h′&lt;0，即h在0，22上为增函数，在22，e上为减函数，所以当x＝22时h取得最大值为h22＝ln22－12.所以g&lt;x2在因为f＝ln－ln，所以f′＝11＋x＋11－x，f′＝2.又因为f＝0，所以曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝2x.证明：令g＝f－2x＋x33，则g′＝f′－2＝2x41－x2.因为g′&gt;0，所以g在区间上单调递增．所以g&gt;g＝0，x∈，即当x∈时，f&gt;2x＋x33.由知，当k≤2时，f&gt;kx＋x33对x∈恒成立．当k&gt;2时，令h＝f－kx＋x33，则h′＝f′－k＝kx4－k＋21－x2.所以当0&lt;x&lt;4k－2k时，h′&lt;0，因此h在区间0，4k－2k上单调递减．故当0&lt;x&lt;4k－2k时，h&lt;h＝0，即f&lt;kx＋x33.所以当k&gt;2时，f&gt;kx＋x33并非对x∈恒成立．综上可知，k的最大值为2.。

1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a <b ；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可．给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x 的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题． 对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列C ．若|x |<y ，则x 2<y 2D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题． 对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<y 2是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．]4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．四种命题的概念及表示形式”；否命题为“若p 则，则p(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 思考：(1)“a ＝b ＝c ＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析](1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x －6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{aΔ＝4a2＋12a≤0，即{a－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件p的充分条件(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p ；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )[答案](1)√(2)√(3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .【导学号：97792015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合 作 探 究·攻 重 难]条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； ，且qp ，则p 是q 的必要不充分条件；⇔q 互为充要条件；pq ，且q跟踪训练1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：97792016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件；②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0.所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：97792017】A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.①证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A 、B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？提示：若p 是q 的充分不必要条件，则AB ，若p 是q 的必要不充分条件，B A .2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝N 呢？提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路探究][解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qp .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))p q>0}1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2<x <0 C ．0<x ≤2D ．1<x <3A [由x 2<4得－2<x <2，必要不充分条件的x 的范围真包含{x |－2<x <2}，故选A.] 4．若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分不必要条件，则m 的取值范围是________.【导学号：97792018】(－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1， 由已知条件，知{x |x ＜m x |x ＞2或x ＜1}，∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2. [证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎨⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎨⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and) 1.3.2 或(or) 1.3.3 非(not)学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题：用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p1．思考辨析(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]3．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则( )【导学号：97792023】A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D.][合作探究·攻重难](1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.【导学号：97792024】[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋x 的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．则其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[思路探究] 判断p ，q 的真假→判断p ，q 的真假 →判断所给命题的真假[解析] 由于Δ＝(－2a )2－4×1×(－1)＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x<0，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(q )，(p )∨(q )是真命题，故选C.[答案] C”还是“p 2．(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④C [由不等式的性质可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③q 为真命题，则p ∧(q )为真命题，④p 为假命题，则(p )∨q 为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”形式的命题的真假.【导学号：97792025】①p ：1∈{2,3}，q ：2∈{2,3}； ②p ：2是奇数，q ：2是合数； ③p ：4≥4，q ：23不是偶数；④p ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |－2<x <5}，q ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |x >5或x <－2}．[解] ①∵p 是假命题，q 是真命题，。

课时达标训练（十九）［即时达标对点练］题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) A。

错误!错误!π B.错误!错误!πC.错误!错误!πD.错误!错误!错误!π2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（)A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm题组2 成本最低（费用最省）问题3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m4．某公司一年购买某种货物2 000吨,每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为错误!x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元)关于速度v（千米/时)的函数是P＝错误!v4－错误!v3＋15v，(1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系:Q ＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出）( )A．30 元B．60 元C．28 000 元D．23 000 元8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0)，贷款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈(0，0。

课时达标训练（十）[即时达标对点练]题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.142．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±25x B ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 2 C.52 D.22题组2 由双曲线的几何性质求标准方程4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝46．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程． 题组3 求双曲线的离心率7．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.178．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________．题组4 直线与双曲线的位置关系9．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．[能力提升综合练]1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 2－y 2＝ 2C ．x 2－y 2＝1D ．x 2－y 2＝123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．8．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m ＝1，则a 2＝1，a ＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m＝b 2＝4， ∴m ＝－14. 2. 解析：选A 由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x . 3. 解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a ＝ 2. 4. 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 5. 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 6. 解：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1. 7. 解析：选D 由双曲线的定义知，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即b 2a 2－3·b a ＝4， 解得b a＝4(－1舍去)． 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2， 所以e ＝17，故选D.8. 解析：依题意知，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，不妨设M 在x 轴上方，则M (0，3c )，所以MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程可得 c 24a 2－3c 24b 2＝1，又c 2＝a 2＋b 2，所以c 24a 2－3c 24（c 2－a 2）＝1， 整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23(e 2＝4－23<1舍去)，所以e ＝3＋1.答案：3＋19. 解析：选B ∵双曲线方程为x 2－y 24＝1，故P (1，0)为双曲线右顶点，∴过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．10. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6. 则(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎨⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1. 答案：⎝⎛⎭⎫－153，－1 能力提升综合练1. 解析：选C 直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b＝1，若a >0，b >0，则曲线表示椭圆，可排除A 、B 、D ，若a >0，b <0，C 符合．2. 解析：选A 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y ＝±x ，焦点到渐近线的距离c 2＝2，∴c ＝2.∵2λ＝c 2＝4，∴λ＝2. 3. 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x . 4. 解析：选C 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设直线AB ：y ＝2x 与椭圆C 1的一个交点为C (第一象限的交点)，则|OC |＝a 3， ∵tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 35，2a 35， 代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b2＝1，∴a 2＝11b 2. ∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12. 5. 解析：由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ≥3，∴e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥4.答案：[2，＋∞)6. 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 答案：x 24－y 25＝1 7. 解：由l 过两点(a ，0)，(0，b )，设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得 16⎝⎛⎭⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 因为e ＝c a ，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因为0<a <b ，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，所以离心率e 为2. 8. 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ， 解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2， 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×10×4×35＝12.。

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课时达标训练
.下列说法正确的是( )
.对所有的正实数,有<
.存在实数,使
.不存在实数,使<且
.存在实数,使得≤且>
【解析】选时,此时>,所以选项错;
由,得或,因此当或时,故选项正确;
由,得或,所以选项错;
由≤,得≤≤,由>,得<或>,所以选项错.
.下列命题不是“∃∈,>”的表述方法的是( )
.有一个∈,使>
.有些∈,使>
.任选一个∈,使>
.至少有一个∈,使>
【解析】选.“任选一个∈,使>”是全称命题,不能用符号“∃”表示. .下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )
.对任意的∈,都有<
.菱形的两条对角线相等
.∃∈
.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选是特称命题都是全称命题,但为假命题,只有既为全称命题又是真命题.
.下列全称命题为真命题的是( )
.所有的素数是奇数
.∀∈≥
.对每一个无理数也是无理数
.所有的能被整除的整数,其末位数字都是
【解析】选是素数,但不是奇数,所以是假命题;
≥⇔≥,显然∀∈≥,故为真命题均是假命题.
.命题“∃∈()”是真命题,则的取值范围是.
【解析】设(),则()在()内有零点,
所以()()<,解得<<.
答案<<
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模块综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R,2x －3>1 C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．函数y ＝－1x的图象在点(1，－1)处的切线的方程是( )A ．x －y －2＝0B ．2x －2y ＋3＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y ＝0解析：选A ∵y ′＝1x2，∴y ′| x ＝1＝1，∴y ＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，∴切线的方程为y －(－1)＝x －1， 即x －y －2＝0，故选A.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ,∴1a ＝－8，∴a ＝－18.4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D. 5．已知甲：a ，b ，c 成等差数列；乙：a b ＋cb＝2.则甲是乙的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a b ＋c b＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ， 但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1. 所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1. ①又双曲线的离心率e ＝c m＝ m ＋nm＝2， ② 联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316. 7．下列命题的否定是真命题的是( )A ．存在向量m ，使得在△ABC 中，m ∥AB ―→且m ∥AC ―→B ．对所有正实数x ，都有x ＋1x≥2 C ．对所有第四象限的角α，都有sin α<0 D ．有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析：选D A 中，当m ＝0时，满足m ∥AB ―→且m ∥AC ―→， 所以A 是真命题，其否定是假命题； B 中，由于x >0，所以x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，所以B 是真命题，其否定是假命题；C 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数f (x )＝x α，均有f (1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)， 所以D 是假命题，其否定是真命题．故选D.8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15.10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得c a＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝14.故选A.11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋x －x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4. 故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x1f (x 2)＞e x2f (x 1) B ．e x1f (x 2)＜e x2 (x 1) C ．e x1f (x 2)＝e x2f (x 1)D ．e x1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1ex 1＜f x 2ex 2，所以e x1f (x 2)＞e x2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：314．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]15．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线x 2＝4y 的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ， 抛物线的准线方程是y ＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b，－1，(0,0)，该三角形的面积等于2×12×a b ×1＝ab ＝2，因此该双曲线的离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. 答案：5216．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为 ______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 000三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)把M (m,4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4， 所以M 点的坐标为(±4,4)，∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，∴a ＝1，∴双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b ＞0)，代入M (±4,4)得b 2＝1615，b ＝415，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ， 即为y ＝±154x . 19．(本小题满分12分)已知a ＜2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )·e x. (1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的极大值是6e －2，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x， 则f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x. 由f ′(x )≥0得x 2＋3x ＋2≥0， 即x ≥－1或x ≤－2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)． (2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x.由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝－a ， 因为a ＜2，所以－a ＞－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：即(4－2a ＋a )e －2＝6e －2，所以a ＝－2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA ―→·OB ―→＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.21．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为a 2＞1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2， 则a 2＝58，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )， 则F 2P ―→＝(x －c ，y )，QF 2―→＝(c ，－m )， F 1P ―→＝(x ＋c ，y )，F 1Q ―→＝(c ，m )． 由F 2P ―→∥QF 2―→，F 1P ―→⊥F 1Q ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧m c －x ＝yc ，c x ＋c ＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1， 所以x 2－y 2＝2a 2－1, 即y 2＝x 2－2a 2＋1.将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a2＝1， 解得x 2＝a 4.因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x＋4x －3，则h ′(x )＝e x＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x .令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e xx －－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e －94.。

2018-2019年高中数学新课标人教A版《选修一》《选修1-1》《第三章导数及其应用》课后练习试卷【8】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题，1.命题“”的否定是（）A．，B．， C．，D．，【答案】D 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故选D.考点：含有一个量词的命题的否定，容易题. 2.有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②“且”是“”的必要不充分条件；对任意的，都有，则“是：存在，使得”；③已知命题，则角等于或。

④在中，若其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】试题分析：对于①求出函数，相邻两个对称中心的距离为，①错；对于②：a≠5且b≠5，推不出a+b≠0，例如a=2,b=-2时，a+b=0；a+b≠0推不出a≠5且b≠5，例如a=5，b=-6,故“a≠5且b≠5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件，故②错；对于③，很明显是对的；对于④，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1得（两式平方和）：sin（A+B）= ，3sinA+4cosB=6，则A+B=或，而3sinA+4cosB=6≤4+3sinA，故，∴，故，故④错，故选A考点：本题考查判断命题的真假点评：解决本题的关键是掌握三角函数的性质及函数的性质，以及命题的否定3.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或同是偶函数”是“是偶函数”的（）A．充分非必要条件.B．必要非充分条件.C．充要条件.D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】试题分析：若与同是定义在上的奇函数或同是偶函数，则或，即是偶函数，充分性成，满足是偶函数，但与立；必要性不成立，如都不是奇函数或偶函数，选A.考点：函数奇偶性【名师点睛】1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断． 2. 充分、必要条件的三种判断方法．(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与非q⇒非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A 是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．24.（2014秋•龙口市校级期末）“m=1”是“函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】2试题分析：根据二次函数的图象和性质，求出函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数的m的取值，进而根据充要条件的定义，得到答案．2 解：若函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3m≥3，解得：m≥1，2 故“m=1”是“函数f（x）=x﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为，双曲线焦点在轴上，且，又渐近线方程为，可得，所以，故选A．考点：1．双曲线的性质与方程．6.设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2} A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．7.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是（）A．有些相互垂直的两直线相交B．有些不相互垂直的两直线不相交C．任意相互垂直的两直线相交D．任意相互垂直的两直线不相交【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据命题否定的概念可知，命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是“任意相互垂直的两直线相交”，故选C.考点：命题的否定.8.已知为等差数列数列的前n项和.给出下列两个命题：命题：若大于11.都大于9，则中至少有1个不小于9.命题：若不小于12，则那么，下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由等差数列的性质知，则，命题为真，若、都小于9，则，因此命题为真，所以为真，故选C．考点：等差数列的性质，复合命题的真假．9.设，，则“”是“”的（）C．必要而不充分条D．既不充分也不必B．充分而不必要条A．充要条件件要条件件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.10.“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件评卷人得分二、填空题11.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】（﹣∞，2ln2）【解析】2xx 试题分析：∵函数f（x）=x﹣e﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e﹣a，2xxx∵函数f（x）=x﹣e﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e﹣a＞0，即a＜2x﹣e有解，xxxx令g′（x）=2﹣e，g′（x）=2﹣e=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．max 考点：利用导数研究函数的单调性．12.如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是。