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第20章 狭义相对论

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狭义相对论知识点总结

狭义相对论知识点总结

dP dt

d (mv) dt

d dt
(
m0 v)
1 2
5、相对论的动量与能量的关系
E2 m2c4 p2c2 E02
x x vt
1 (v)2
逆
c y y
变
z z
换
t
t


v c2
x
1 (v)2
c
ux

dx dt

ux
1

v c2
v ux
速 度 正 变
uy

dy dt

uy
1

v c2
ux
1 2
换
uz

dz dt

uz
1

v c2
ux
1 2
三、狭义相对论时空观
四、狭义相对论动力学基础
1、相对论质量：
m m0
1
v2 c2
m0—静止质量
2、相对论动量： P mv m0 v 1 v2 / c2
3、相对论能量：
静能： E 0 m 0 c 2 总能量：E m c 2 动能： Ek mc2 m0c2
４、狭义相对论力学的基本方程
F

1、同时的相对性
只有在一个惯性系中同时同地发生的事件，在其它惯性 系中必同时发生．
2、长度的收缩
l l0
1
v2 c2
固有长度（原长）： 相对物体静止的惯性系 测得长度.
注意：测量长度一定是同时读取两端坐标取差。
3、时间的延缓
t
tt发生的两事件 的时间间隔 .
狭义相对论知识点总结
一、狭义相对论的两个基本假设 1、爱因斯坦相对性原理

狭义相对论

狭义相对论

狭义相对论狭义相对论是爱因斯坦在1905年提出的一种物理学理论，它主要研究的是在匀速直线运动的参考系中，时间和空间的变化规律。

下面将从四个方面详细回答这个问题。

一、狭义相对论的基本假设狭义相对论的基本假设有两个：一是物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，即物理学的基本规律具有相对性；二是光速在真空中是不变的，即光速是一个普遍不变的常数。

二、狭义相对论的主要内容狭义相对论的主要内容包括以下几个方面：1. 时间的相对性：不同的惯性参考系中，时间的流逝速度是不同的，即时间是相对的。

2. 长度的相对性：不同的惯性参考系中，长度的测量值是不同的，即长度也是相对的。

3. 质量的变化：物体的质量随着速度的增加而增加，当物体的速度趋近于光速时，质量无限增大。

4. 能量的等效性：质量和能量是可以相互转化的，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

三、狭义相对论的实验验证狭义相对论的假设和内容在很多实验中都得到了验证，例如：1. 米歇尔逊-莫雷实验：实验证明了光速在不同方向上的测量结果是相同的，即光速是不变的。

2. 布拉格实验：实验证明了快速运动的电子具有更大的质量，证明了质量的变化。

3. 电子加速器实验：实验证明了质子在高速运动时具有更大的质量，证明了质量的变化。

四、狭义相对论的应用狭义相对论在现代物理学中有着广泛的应用，例如：1. GPS导航系统：GPS导航系统需要考虑相对论效应，才能准确测量卫星和接收器之间的距离。

2. 粒子物理学：狭义相对论对粒子物理学的研究有着重要的影响，例如粒子加速器和粒子探测器的设计和使用。

3. 核能技术：狭义相对论对核能技术的发展也有着重要的推动作用，例如核反应堆的设计和核武器的制造。

总之，狭义相对论是现代物理学的基础之一，它的理论和实验研究对于我们对自然界的认识和技术的发展都有着重要的影响。

狭义相对论讲义课件

狭义相对论讲义课件
光速不变原理在现代物理学中有着广泛的应用，如量子力学 、广义相对论等。同时，它也是现代通信技术、激光技术等 领域的基础之一。
04
狭义相对论的时空观
同时性的相对性
01
同时性的相对性是狭义相对论 中的一个基本概念，指的是观 察者在不同参考系中观察到的 事件发生顺序可能会不同。
02
在相对论中，两个事件在不同 的参考系中同时发生，并不意 味着它们在所有参考系中都是 同时发生的。
狭义相对论的基本原理
相对性原理
物理规律在所有惯性参考系中形 式都保持不变。
光速不变原理
光在真空中的速度在所有惯性参 考系中都是相同的，约为每秒 299,792,458米。
02
洛伦兹变换
洛伦兹变换的定义
洛伦兹变换是用来描述不同惯性参考系之间坐 标和时间的变换。
在狭义相对论中，所有惯性参考系都是等价的 ，因此可以通过洛伦兹变换将一个惯性参考系 中的事件变换到另一个惯性参考系中。
3
通过洛伦兹变换，我们可以更好地理解狭义相对 论中的基本原理和概念，从而更深入地了解这个 理论。
03
光速不变原理
光速不变原理的表述
光速不变原理是狭义相对论的基本假设之一，它指出在任何惯性参考系中，真空 中光的传播速度都是恒定不变的，约为每秒299,792,458米。
光速不变原理可以表述为：无论观察者的运动状态如何，光的速度在真空中总是 相同的。
狭义相对论的质量和能量 质量与能量的关系
质量和能量是等价的：在狭义相对论中，质量和能量被视 为同一事物的两个方面，它们之间可以相互转换。
核能释放：核反应过程中，原子核中的质量会转化为能量 释放出来。
质能方程E=mc²：该方程表达了质量和能量之间的关系 ，其中E代表能量，m代表质量，c代表光速。

狭义相对论和广义相对论的主要内容

狭义相对论和广义相对论的主要内容

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狭义相对论原文

狭义相对论原文

狭义相对论原文
【实用版】
目录
1.狭义相对论的概述
2.狭义相对论的基本原理
3.狭义相对论的数学表达式
4.狭义相对论的实际应用
正文
【1.狭义相对论的概述】
狭义相对论，是爱因斯坦于 1905 年提出的一种物理学理论。

这一理论的基本思想是，物理定律的形式必须在所有惯性参考系中相同。

换句话说，如果我们在两个不同的运动状态下观察同一事件，那么我们得到的物理定律应该是一致的。

【2.狭义相对论的基本原理】
狭义相对论有两个基本原理，分别是相对性原理和光速不变原理。

相对性原理：所有惯性参考系中，物理定律的形式是相同的。

光速不变原理：在任何惯性参考系中，光在真空中的传播速度都是一个常数，约为每秒 3*10^8 米，通常用字母 c 表示。

【3.狭义相对论的数学表达式】
狭义相对论的数学表达式主要包括洛伦兹变换和时间膨胀公式。

洛伦兹变换：描述在两个不同运动状态下，空间和时间如何相互转换的公式。

时间膨胀公式：描述在高速运动状态下，时间如何变慢的公式。

【4.狭义相对论的实际应用】
狭义相对论虽然主要研究的是高速运动物体的性质，但是其影响已经深入到我们的日常生活中。

例如，GPS 定位系统就需要考虑狭义相对论的效应，因为卫星的运行速度非常快，而地面的观察者速度相对较慢。

如果不考虑狭义相对论，GPS 定位的误差会非常大。

此外，狭义相对论还揭示了质量和能量的等价性，为核能的研究和利用提供了理论基础。

第二十章 第二十章狭义相对论基础

第二十章 第二十章狭义相对论基础

r r r r d ( mv ) d (γ m 0 v ) dv r dm F= = =m +v dt dt dt dt
（ 2）动能。 同样地，代入相对论的质量公式，可以得到静质量为m 0，运动速率为v的相对论动 能表达式为： E k=mc2 -mc 02 特别的，定义 mc 0 2为物体的 静能，而 E=Ek+mc 02= mc 2为物体的总能量。 （ 3）质能关系。 从 E= mc2就可以知道 质量变化意味 着能量的 变化：
∆t = γ∆t`
可见，参照系相对于事件的速度越快，测量得到的时间间隔越长。 （ 3） 不存在绝对同时性。 按照经典的 观念，在 一个惯 性参照系里，两个 不同地点的两 个事件，如果通过测 量发现是同时发 生 的，那 么对于一切惯性参照系来说，通 过测量可以发现这两 个事件也都是同时的，因 为测量是可以超距而 即时地进行，也就不需要 对同一个测量事件 进行不同惯性参照系之 间的坐标变换。但以狭义相 对论的观 念， 除了同一 个地点，同一个时刻所发生的事件可以称为对 于任何惯性参照系来说都是同时，不同地点所 发生的事件就无法作到对于所有的 惯性参照系来说都是同时的 。不过，按照经典的时空观念，在同一个地 点，同一个时刻，就只是存在一个质点而已，说一个质点在一个时刻发生了两个事件是没有意 义的。因此 在狭义相对论的意义下， 不存在绝对的对于所有惯性参照系都成立的同时性 。 相对论动力学基础。 既然时间间隔 与空间长度都发生了本 质上的变化，可以想象牛顿力 学的其它概念也会发生相 应的改 变，才能保证 在洛伦兹变换下形式不变 。 （ 1）动量守恒定律。 如果要求 动量守恒定律在洛 伦兹变换下保持不 变，则必须使得质量在不同的参照系下的测量值满足如
∆E = c 2 ∆m

第二十章 狭义相对论

一.电磁理论的相对性讨论 1) 麦克斯韦方程不服从伽利略变换。 因为真空中电磁波的传播速度为光速c，按照 伽利略变换，在不同的参考系下光速不同，则麦 克斯韦方程会不同。因此电磁学不满足伽利略相 对性原理。 2) 高速运动的粒子.
二.“以太”模型 当时科学家认为：光波的传播需要一种弹性介质， 光速就是光振动的相位相对于介质的传播速度。 在真空中也存在这种介质，这种介质叫以太。
三.爱因斯坦的狭义相对论原理 狭义：指参考系都是惯性参考系（静止或匀速）
1.在一切惯性系中，真空中的光速度都具有相同的值c —— 光速不变原理
8
真空中的光速c 3 10 m / s
2.在一切惯性系中，物理规律都是相同的
-----狭义相对性原理
Einstein 的相对性理论是Newton理论的发展
三、长度收缩效应
1、本征长度（固有长度） 在相对于被测物体静止的参照系中测量的物体长度叫 做物体的固有长度或本征长度；而在相对被测物体运动的 参照系测量的物体长度叫运动长度。
在月台参照系（S系）上看，火车司机驾驶火车经过月 台A端点的时间为 t1，经过B端点的时间为 t2，则月台长度为：
L v(t2 t1 ) vt
如果以太存在，地球在以太中运动，地球上的观察 者会感受到以太风。
光对地球上的观察者的速度（以太为静止参考系）：
c c v
c为光对以太的速度 v为地球相对以太的速度
迈克尔逊-莫雷实验
迈克尔逊-莫雷实验的零结果
导致两种理解： （1）没有以太 （2）以太和迈克尔逊仪干涉仪一起运动 但第二种理解与光行差实验矛盾。 光行差实验结果表明如果有以太，以太并没有 被拖动，以太是绝对静止的。 结合迈克耳逊-莫雷实验和光行差实验的结果，得 到如下结论：没有以太，电磁规律对所有惯性系等 价，真空中的光速在任何惯性参考系下都是c .

狭义相对论主要内容

狭义相对论主要内容狭义相对论是由德国物理学家爱因斯坦于1905年提出的物理理论，通过引入相对性原理，重新定义了时间、空间和质量的概念。

狭义相对论的主要内容包括以下几个方面：1. 相对性原理：狭义相对论的基础是相对性原理，即物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。

这意味着没有一个特定的惯性参考系是绝对的，所有的物理过程都是相对于观察者而言的。

这与牛顿力学中的绝对时间和绝对空间观念相反。

2. 空间与时间的相对性：狭义相对论指出，空间和时间并不是独立存在的，它们是相互关联的。

根据爱因斯坦的观点，空间和时间应该被统一起来，构成了四维时空的概念。

同时，狭义相对论提出了著名的洛伦兹变换，描述了时空坐标之间的转换关系。

3. 光速不变原理：狭义相对论中的一个重要假设是光速不变原理。

即光在真空中的速度是恒定不变的，不受观察者的运动状态的影响。

这个假设对物质运动速度的上限也产生了限制，即不可能超过光速。

这一原理对于解释电磁现象和构建相对论力学模型起到了关键作用。

4. 时间膨胀和长度收缩：狭义相对论提出了时间膨胀和长度收缩的概念。

根据相对性原理，观察者的时间和空间测量是相对的。

当一个物体以接近光速的速度移动时，它的时间会相对静止观察者而言变慢，这被称为时间膨胀。

同时，物体的长度也会在同一速度下相对静止观察者而言变短，这被称为长度收缩。

这些效应在微观领域中发挥着重要作用，如高速粒子加速器和宇宙射线等领域。

5. 质能等价原理：狭义相对论质能等价原理指出，质量和能量是等价的，并可以相互转换。

根据质能等价原理，质量可以看作是能量的一种形式，而能量也可以转化成质量。

这可以通过著名的质能方程E=mc²来描述，其中E表示能量，m表示质量，c表示光速。

总结起来，狭义相对论主要内容包括相对性原理、空间与时间的相对性、光速不变原理、时间膨胀和长度收缩，以及质能等价原理。

这些原理的提出和发展对于解释和理解宏观和微观物理现象都具有重要意义，对于现代物理学的发展产生了深远影响。

狭义相对论的主要内容

狭义相对论的主要内容
狭义相对论（Special Theory of Relativity）是阿尔伯特·爱因斯坦在1905年发表的题为《论动体的电动力学》一文中提出的区别于牛顿时空观的新的平直时空理论。

“狭义”表示它只适用于惯性参考系。

这个理论的出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。

理论的核心方程式是洛伦兹变换（群）（见惯性系坐标变换）。

狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等。

狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。

这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实。

狭义相对论不仅包括如时间膨胀等一系列推论，而且还包括麦克斯韦－赫兹方程变换等。

狭义相对论需要使用引入张量的数学工具。

狭义相对论是对艾萨克·牛顿时空理论的拓展，要理解狭义相对论就必须理解四维时空，其数学形式为闵可夫斯基几何空间。

现在对于物理理论新的分类标准，是以其理论是否是决定论来划分经典与非经典的物理学，非量子理论都可以叫经典或古典理论。

在此意义上，狭义相对论仍然是一种经典的理论。

狭义相对论两个基本内容

狭义相对论两个基本内容由于20世纪初物理学界对微观结构的扩展与彻底调整，狭义相对论成为最值得探讨的一门重要物理学理论，可以说，它对物理世界的认识及未来的发展产生了深远的影响。

狭义相对论是由爱因斯坦提出的，其核心思想是物理量的绝对值与位置的相对性。

在这里，我们可以总结出狭义相对论的两个基本内容：一是时间和空间密不可分，即“时空二体统一”。

爱因斯坦把时间与空间融为一体，说明了它们的同等重要性和可交换性。

时空就像被织成同一条绳子，任何事物都不能独立存在，而是在时空二体统一基础上互相联系影响。

第二，光速是一切粒子的最高速度，并且是任意参考系内不变的。

狭义相对论认为，光速是一切粒子的最高速度，它不受物理参考系统的影响，而是恒定不变。

由此，爱因斯坦给出了相对论的核心思想：观察运动物体的人观察不到物体本身的速度，只是通过观察物体的位置变化来评价，甚至是相对的。

进一步说，时空和光速的相对性涉及到速率和距离的概念，这些概念对我们理解物体的运动状态有着重要的作用。

比如，物体运动的距离大小，说明它以多快的速度运动；而光速它的相对性，解释了微观世界里最快的运动速度。

这些概念构成了分析物体运动所需要的基本框架，并且为理解物体运动物理现象服务。

此外，狭义相对论中还强调了物质的绝对量的相对性与变形的概念。

它的主要思想是，任何物体的特性都不能独立存在，而是根据参照系而受到影响，即物质的绝对性与位置的相对性。

比如，根据不同的观察角度，光在宇宙里分别呈现出不同的特性；同样，根据不同的参照系，物体的特性也可能有所不同，甚至有些物体可能被视为是不变的。

总而言之，狭义相对论是一门非常重要的物理学理论，核心思想是时空和光速的相对性，它为我们更好地理解物体运动提供了重要的视角，有助于我们更好地理解物理宇宙的真相。

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矢量式：
即
a x ax a y ay a z a z
a a
表明：不同惯性系的观察者测量同一质点的加速 度是相同的。也就是说，物体运动的加 速度对伽利略变换是不变的。 2、 力学相对性原理 （1） 牛顿运动定律具有伽利略不变性
力 F 在牛顿定律成立的领域内， 质量 m 与参照系无
u x v u x v 1 2 u x c u y u y v (1 2 u x) c u z u z v (1 2 u x) c
上式称为洛仑兹速度变换式。 讨论： 1）在低速情况下，洛仑兹速度变换又可过渡到伽
1、相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都有 相同的数学形式。 内涵： 即所有的惯性系对研究物理现象都是等 价的。物理定律从一个惯性系变换到另一 个惯性系，物理规律的数学表达式不 变。它间接地表明，无论用什么物理实验方 法都不能找到绝对静止的参照系， 因此
绝对静止的参照系是根本不存在的。 2、光速不变原理：在所有惯性系中，真空中光速 都具有相同的值。 内涵：真空中的光速是常量，它与光源或观察 者的运动无关，即不依赖惯性系的选择。 无论顺着光传播方向运动的参照系中的 观察者，还是逆着光传播方向运动的参照 系中的观察者测待光速都是一样的。它 也间接否定了绝对时空观---同时的绝对性。
S S’ V
xA A
v v t xBA ) ( 2 x BA ( t BA 2 c c t BA t B t A 0 t B tA
即在 S’（列车）看，B 钟走得比 A 钟快。 3、事件发生的因果顺序不会颠倒 设质点从 A 点运动到 B 点，质点在 A 点出现为事 件 A，在 B 点出现为事件 B 由洛仑兹时间间隔变换公式
第二十章
狭义
相对论 20—1 经典力学与经典时空观
一、 伽利略变换与经典时空观
1、伽利略变换
在两个以相对速度 V 运动的惯性系 S 和 S 系中的两 个观察者，对同一运动质点 P 的运动状态所测得的时间、空间（即坐标）之间 的变换关系。 （1） 伽利略时空变换关系 设惯性系 S 和 S 对应坐标轴相互平行， S 系相对 S 系以速度 V 沿 OX 轴的正方向运动， o 和 o’重合时作为记时开始。 设运动质点 P 在空间 A 点发生一事件 S 系中观察者测出这一事件的时空坐标为（x，y， z，t） S 系 中 观 察 者 测 出 这 一 事 件 的 时 空 坐 标 为 （ x， y， z ， t ）
t BA
v (t x BA BA ) t BA 2 c
V<C, ux’<C，则 t BA 与 t BA 始终同号，表明有因果关 系的两事件，在 s 和 s’系中看，其发 生的先后顺序相同。
二、长度的收缩（空间间隔的相对性）
设一刚性杆沿 ox’轴放置且相对于 s’系不 动。 设测量 A 端坐标为事件 A，测量 B 端坐标为事
或
u x u x v u y u y z u z u
矢量式：
u u v
（绝对速度
＝相对速度＋牵连速度） （3） 加速度变换式 若质点作变速运动，上式两边对时间求导可得加速 度变换式：
dux du x dt dt du y du y dt dt duz du z dt dt
式中：

1 1 2
逆变换为

v c
上式称为洛仑兹变换式。 若发生了 A1、A2 两个事件，由洛仑兹变换可得两个 事件的时间间隔和空间间隔的变换公式
x (x vt ) y y z z t (t v x) c2
lv 2 3 t12 时间差为： c
v2 l 2 ct12 两束光的光程差为： 12 c
仪器旋转 90 ，前后两次光程差的改变为：
12 v2 12 2l 2 12 c
。
4 、光程差改变引起条纹移动数目的计 算公式
N
实
l 10m`
利略速度变换式。
u x ux v
u y uy
u x c
测 得 光
u z
2）设想在 s’系中沿 ox 轴正向发射一光信号 在 s’系中测得光速 在 s 系 中
速
u cv x v ux c 2 2 1 u 1 cv c xv c
由于 v 是任意的（即使 v=c） ，因而在任一惯性 系中光速都是 c，说明洛伦兹速度变换 遵从光速不变原理。
2 2 光从 G—M2 的速度： C3 c v
2 2 光从 M2--G 的速度： C4 c v
光 从
t2
G — M2 — G
2l 2l v2 2 c(1 2 ) c
1
所 需 时 间 为 ：
c2 v2
从 s’看，G 点发出的 1、2 两束光到达望远镜的 时间差为： 2l 2l 2l v t12 t1 t 2 (1 2 2 1 c c v 2 v c(1 2 ) c(1 2 ) c c
dx u x dx dt
( dx vdt) ( dt
v c
2

dt 1
v
dx)
v dx c 2 dt
同法可得：
ux v u x v 1 2 ux c uy u y v (1 2 u x ) c uz u z v (1 2 u x ) c
v2 ct12 l 2 于是两束光的光程差为： 12 c
3、 让整个装置绕过 G 点垂直于水平面的轴转动 。 90 则 1、2 两束光由 G 分两路经 M1、M2 反射回到 G 的时间分别为：
t1 2l v c (1 2 ) 2 c
2
1
t2
2l v2 c (1 2 ) c
的。
三、洛仑兹速度变换式
设质点 P 在运动， S 系看 P 点速度为 u(ux,uy,uz)， s’ 看速度为 u’(ux’,uy’,uz’) 设质点运动过程中发生一段无限小位移，以位移的 起始和终结作为两个事件，由公式有
dx (dx vdt) dy dy dz dz
表明伽利略变换并不是错了，它是洛仑玆变换在低 速情况下的近似，因此相对论并没有 推翻经典力学，而只是限制了它的适用范围。当速 度可与光速相比时就要用洛仑兹变换。 2）当 v>c 时，洛伦兹变换失去意义，所以相对论还 指出物体的速度不能超过真空中的光速。 现代实验都发现，高能粒子的速度是以 c 为极限
y
y ’
A
( x, y,
z, t
)
r r’
(x’ , y’ , z’, t’ )
o z
Z ’
O’
X
x’
这两组坐标应有如下变换关系： 矢量式： 分量式：
r r ro
x x vt y y z z t t
或
x x vt y y z z t t
B
( x B , yB , z B , t )
事 件 时 空 坐 标 为 A 事件时空坐标为 事 件 时 空 坐 标 为
在 S 系测得：
( xA , y A , z A , t A )
B
( xB , y B , z B , t B )
由洛仑兹时间间隔变换公式
t BA
( t BA
关，即
F F , m m 对 S 系有： F ma
对 S 系有：
F ma
说明在所有惯性系中，牛顿定律具有相同数学表 达形式。 （2） 力学相对性原理 在所有惯性系中，力学定律具有相同数学表达 形式。它说明在描述力学现象时所有惯性系 是平权等价的，不存在任何一个惯性系比其它 惯性系更为优越。
二、洛仑兹变换
1、洛仑兹变换公式 若有一个事件在 A 点发生 S 系测得事件的时空坐标为（x,y,z,t） S’系测 得时空坐标为(x’,y’,z’,t’) 由狭义相对论的相对性原理和光速不变原理，可导 出该事件在 s 和 s’系中的时空坐标变 换式如下：
x ( x vt ) y y z z t (t v x ) c2 x ( x vt ) y y z z t (t v x) c2
20—4 狭义相对论的时空观 一、同时的相对性
设想在高速列车（s’）上，车头车尾有光信号接 收装置 A 和 B，现在列车中间发出一 闪电。
S
S’
V
A
B
设 A 端接收到光信号称为事件 A，B 接收到光 信号称为事件 B 在 S’ 系 测 得 ： A 事 件 时 空 坐 标 为
(x A , y A , z A ,t )
v V xBA ) 2 x BA 2 c C
结论： 1、 一般情况，在一个惯性系 S’观测到同时，不同 地发生的两事件，在另一惯性 系 S 来观测就不再是同时的了。 特殊情况，在一个惯性系 S’观测到同时，又同 地发生的两事件，在另一惯性 系 S 来观测也一定是同时的。 2、时钟不同步问题 在 S 系（如地面）中己校准的两时钟 A 和 B，在 S’系（如列车）上看沒有校准。 设 A 钟短针指向 12 点为事件 A， 设 B 钟短针指向 12 点为事件 B。
x ( x vt ) y y z z t ( t v x) c2
讨论： 1） 当 v<<c 时， 可忽略 因子中的 ( c ) 和它的更高次
v
2
项，这时洛仑兹变换又过渡 到伽利略变换。
x x vt y y z z t t