河北省武邑中学2016届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题 Word版缺答案[ 高考]

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}N n n x x A ∈+==,23，{}14,12,10,8,6=B ，则集合B A 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A考点：集合的交集运算．2.设i 是虚数单位，复数i ia -+2是纯虚数，则实数=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-【答案】B 【解析】试题分析：i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴且20a +≠，12a =∴，故选B ．考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算. 3.已知⎰+=111dx x M ，⎰=20cos πxdx N ，由程序框图输出S 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．2ln【答案】D考点：1.定积分；2.程序框图．4.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21 B ．22C ．2D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：根据等比数列的性质，由23952a a a ⋅=可得22652a a =，即22q =，又因为公比为正数，22a =，所以1a C ． 考点：等比数列的性质． 5.已知圆04122=-++mx y x 与抛物线241x y =的准线相切，则=m （ ） A ．22± B ．3± C ．2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：抛物线的准线为1y =-，将圆化为标准方程222124m m x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心到直线的距离为1=m ⇒=考点：1.圆的方程；2.抛物线的方程.6.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 7.下列命题正确的个数是（ ）(1)命题“若0>m 则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实根则0≤m ”(2)对于命题p ：“R x ∈∃使得012<++x x ”，则p ⌝：“R x ∈∀，均有012≥++x x ”(3)“1≠x ”是“0232≠+-x x ”的充分不必要条件 （4）若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C考点：命题的真假判断与应用．【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说是的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说是的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说是的既不充分也不必要条件.8.对于数列{}n a ，定义数列{}n n a a -+1为数列{}n a 的“差数列”，若21=a ，{}n a 的“差数列”的通项公式为n2，则数列{}n a 的前2015项和=2015S （ ）A ．122016- B ．20162 C ．122016+ D ．222016-【答案】D 【解析】试题分析：∵12n n n a a +-=，∴()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12222...222n n --=+++++222222212nn n -=+=-+=-．设n S 是数列{}n a 的前n 项和， ∴12122212()n n n S +-==--，所以2016201522S =-，故选D. 考点：数列的求和． 9.已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，),(01x x -∞∈，)0,(02x x ∈，则（ ） A ．0)(,0)(21<<x f x f B ．0)(,0)(21>>x f x f C ．0)(,0)(21<>x f x f D ．0)(,0)(21><x f x f 【答案】C考点：1.函数零点的概念；2.函数单调性10.已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（）A ．π40321 B ．40321 C ．π20161D ．20161【答案】B 【解析】 试题分析：因为111()cos (sin )sin 22sin 22232f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭根据题意可得:函数在0x x =处取得最小值，在02016x x π=+处取得最大值，所以要使得ω的值最小，即区间[]00,2016x x π+只为半个周期，即121.2016224032ππωω=⇒=，故选择B ．考点：三角形函数的性质.11.已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+-0)1(log 12221y y x x 上的一个动点，则⋅的取值范围是（ ）A ．]0,2[-B ．)0,2[-C ．]2,0[D ．]2,0( 【答案】B考点：1.解不等式；2.线性规划；3.平面向量的数量积的几何意义.【思路点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z 的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z AO OM =⋅，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．12. 正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．π767 D ．π19619 【答案】A 【解析】考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．【思路点睛】三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD DC DA ⊥⊥、，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量)sin ,(cos θθ=，向量)1,3(=，且⊥，则θtan 的值是________. 【答案】3- 【解析】试题分析：依题意可得，sin 0a b θθ⋅=+=，所以s i n c o sθθ=，则s i nt a n c o sθθθ== 考点：1.平面向量的数量积；2.同角的基本关系.14. 若函数x a x x f ln )(+=不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】)0,(-∞ 【解析】试题分析：试题分析：由题意知0x >，()1af x x'=+，要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则需方程10ax+=在0x >上有解，即x a =-，所以0a <，故选C ． 考点：利用导数研究函数的单调性．15. 若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_______. 【答案】15- 【解析】考点：二项式定理．【思路点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质.根据nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为41024n=，求得5n =．在53)x展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求得r 的值，可得展开式中x 项的系数．16. 点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且M F OF 22=，则该双曲线的离心率为______.【答案】213+ 【解析】试题分析：由题意得：222||||120||OF F M c OF M OM ==∠=︒=，，∴，设左焦点为1F ，连接1PF ，则OM 为12PF F △的中位线，1||PF =∴，又2||2P F c =，由双曲线定义，得12||2PF PF a -=，1)c a =，c e a ===∴．考点：1、双曲线的定义；2、直线斜率；3、双曲线的离心率.【思路点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.求与圆锥曲线的离心率的关键是怎样列出关于a 和c 的方程式，本题根据三角形中位线、等腰三角形性质以及双曲线的定义，分别求出1||PF =，22PF c =，利用双曲线定义即可求得离心率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅. (1)求A 2tan 的值；(2)若4π=B 3=，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）43-；（2）3考点：1.正弦定理；2.平面向量数量积的运算． 18. （本小题满分12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在80~20岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示.若规定年龄分布在80~60岁（含60岁和80岁）为“老年人”.（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （2）将上述人口分布的频率视为该城市在80~20年龄段的人口分布的概率.从该城市80~20年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）48；（2）35∴随机变量X 的分布列如下表：∴随机变量X 的数学期望5312513125122125481125640=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ................12分. 考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.离散型随机变量的期望与方差． 19. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC∠的平分线上.(1)求证：∥DE 平面ABC ； (2)求二面角A BC E --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）1313试题解析：（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，又∵平面⊥ACD 平面ABC ，∴⊥DO 平面ABC ，作⊥EF 平面ABC ，那么DO BF ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60，∴60=∠EBF ，∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE ∥， ∵DE 不包含于平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴∥DE 平面ABC .考点：1.线面平行；2.二面角.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中||||cos 2121n n ⋅=ωω θ βlαn 2n 1图1 图220. （本小题满分12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且BF AB 25=. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点)172,1716(-M 在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OQ OP ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程.【答案】（1）2；（2）1422=+y x 【解析】试题分析：（1）由已知BF AB 25=，即222544a b a =+，再根据椭圆的性质即可求出椭圆的离心率；(2)由（1）知224b a =，可得椭圆14:2222=+by b x C .设),(),,(2211y x Q y x P ，然后再利用点差法即可求出22121=--=x x y y k PQ ，可得直线l 的方程为022=+-y x ，根据直线与椭圆的位置关系，以及垂直向量的数量积为0，即可求出b ，进而求出椭圆的方程.考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的性质. 21. （本小题满分12分） 已知函数)ln(141)(2a x x ax x f ++-=，其中常数0>a . (1)当10<<a 时，求函数)(x f 的单调区间；(2)已知210<<a ，)(x f '表示)(x f 的导数，若2121),,(,x x a a x x ≠-∈，且满足0)()(21='+'x f x f ，试比较)(21x x f +'与)0(f '的大小，并加以说明.【答案】（1）在),2(2+∞-a a ，)0,(a -上为增函数，在)2,0(2aa -上为减函数；（2）)0()(21f x x f '<+'依题意，不妨设21x x <，又因为0)0(='f ，0)()(21='+'x f x f ， ..............8分 所以a x x a <<<<-210，∴a a x <+<10且a x x a <+<-21，由0)()(21='+'x f x f ，得ax a x a x x +-+-=+21211122，考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数在某点取得极值的条件．【方法点睛】求函数的单调区间的方法：（1）求导数()y f x ''=；（2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 和点C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 和E . (1)证明：AED ADE ∠=∠； (2)若AP AC =，求PAPC的值.【答案】（1）详见解析；（2【解析】试题分析：本题主要考查弦切角、三角形相似、三角形内角和定理等基础知识，考查学生的逻辑思维能力、推理证明能力、计算能力．第一问，先利用弦切角与弦所对的圆周角相等得BAP C ∠=∠，又由于PE 是APC ∠的角平分线，所以APD CPE ∠=∠，所以得到BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠，而ADE C CPE ∠=∠+∠∴，即ADE AED ∠=∠；第二问，利用两组角相等得APC ∆和BPA ∆相似，从而得到边的比例关系，由于三角形内角和为0180，再根据角之间的度数转化得190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒，最后在直角三角形ABC 中解出比例值．考点：1.弦切角；2.三角形相似；3.三角形内角和定理． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆1C 的极坐标方程为],2[,sin 4ππθθρ∈=.(1)求半圆1C 的普通方程；(2)设动点A 在半圆1C 上，动线段OA 的中点M 的轨迹为2C ，2C 与直线23+=x y 交点为D ，求点D 的直角坐标.【答案】（1）)40,02(4)2(22≤≤≤≤-=-+y x y x ；（2）)21,23(-D 或)2,0(D 【解析】试题分析：（1）由极坐标和直角坐标的互化公式,sin ,cos θρθρ==y x 且],2[ππθ∈，可得半圆1C 的普通方程； (2)设),(y x M ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为)20,01(1)(22≤≤≤≤-=-+y x y x .与直线23+=x y 联立，即可求出结果.试题解析：解：（1）由互化公式,sin ,cos θρθρ==y x 且],2[ππθ∈得，半圆1C 的普通方程：)40,02(4)2(22≤≤≤≤-=-+y x y x . ....................5分(2)设),(y x M ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为)20,01(1)(22≤≤≤≤-=-+y x y x .与直线23+=x y 联立，所以点)21,23(-D 或)2,0(D . ..................10分. 考点：1.极坐标公式；2.直线与圆的位置关系. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知+∈R n m ,，n x m x x f -++=2)(. (1)求)(x f 的最小值；(2)若)(x f 的最小值为2，求422n m +的最小值.【答案】（1）2nm +；（2）2即2,1==n m 时，取等号，∴)4(422n m +的最小值为2. ..............................10分. 考点：1.绝对值函数；2.基本不等式.。

河北省武邑中学2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设是虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵复数∴∴故选A2.已知复数为纯虚数虚数单位，则实数A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解.【详解】为纯虚数，，，，故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】给已知式子两边同时平方，然后两相减即可.【详解】由已知可得，两束相减可得=1.故选A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属基础题.4.已知实数a，b满足，，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，.所以零点在区间.考点：零点与二分法.5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A. y＝xB. y＝lg xC. y＝2xD. y＝【答案】D【解析】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，，∴.当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.故选A.考点：1、函数的最值；2、导数及其应用.【方法点晴】本题考查导函数的最值导数及其应用，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.本题的关键是利用分类讨论思想进行解题，即：当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设，则，在上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有解，∴，得.7.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为．故选C．【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．8.设变量x，y满足则2x+3y的最大值为A. 20B. 35C. 45D. 55【答案】D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.考点：线性规划.9.已知的三边满足条件，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.设，函数，则的值等于A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】先求出，从而，由此能求出结果．【详解】，函数，．故选：C．【点睛】本题考查分段函数值的求法，考查指对数函数运算求解能力，属基础题．11.已知平面向量满足且,则向量与夹角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：选D．考点：向量夹角12.设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立直线方程与椭圆方程可解得C点坐标，而四边形面积用两种方法表示中可得的等量关系，从而中求得离心率．【详解】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立椭圆、直线方程，可得，则可得故选：A．点睛：本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中求出C点的坐标，是解答本题的关键．属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】.【解析】【分析】先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.【详解】因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3. 故答案为：y＝－5x＋3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是14.不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．详解：原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，填．点睛：一般地，对于不等式，（1）如果，则原不等式等价于；（2）如果，则原不等式等价于 .15.已知满足约束条件，且的最小值为2，则常数__．【答案】－2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，然后代入，由的最小值为求得的值。

河北省武邑中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z=()A. 12−12i B. 1+12i C. 1−12i D. 12+12i【答案】A【解析】解：由z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+12i，得z=12−12i．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，然后求出z即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知复数为纯虚数z=a+i1+i(i虚数单位)，则实数a=()A. 1B. −1C. 2D. −2【答案】B【解析】解：∵z=a+i1+i =(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=(a+1)+(1−a)i2为纯虚数，∴a+12=0，1−a2≠0，∴a=−1，故选：B．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设向量a⃗，b⃗满足|a⃗+b⃗|=√10，|a⃗−b⃗|=√6，则a⃗⋅b⃗=()【答案】A【解析】解：∵|a⃗+b⃗|=√10，|a⃗−b⃗|=√6，∴分别平方得a⃗2+2a⃗⋅b⃗+b⃗2=10，a⃗2−2a⃗⋅b⃗+b⃗2=6，两式相减得4a⃗⋅b⃗=10−6=4，即a⃗⋅b⃗=1，故选：A．将等式进行平方，相加即可得到结论．本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是()A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B【解析】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间(−1,0)，故选：B．根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A. y=xB. y=lgxC. y=2xD. y=√x【答案】D【解析】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞)，函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为(0,+∞)，值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为(0,+∞)，不满足要求；的定义域和值域均为(0,+∞)，满足要求；函数y=√x故选：D．分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．6.已知函数f(x)=ae x−x2−(2a+1)x，若函数f(x)在区间(0,ln2)上有极值，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−2,−1)D. (−∞,0)∪(0,1)【答案】A【解析】解：f′(x)=ae x−2x−(2a+1)=g(x)，由函数f(x)在区间(0,ln2)上有极值⇔g(x)在区间(0,ln2)上单调且存在零点．∴g(0)g(ln2)=(a−2a−1)(2a−2ln2−2a−1)<0，可得a+1<0，解得a<−1．∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选：A．f′(x)=ae x−2x−(2a+1)=g(x)，由函数f(x)在区间(0,ln2)上有极值⇔g(x)在区间(0,ln2)上存在零点.利用函数零点存在定理即可得出．本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为()A. 25B. 1225C. 1625D. 45【答案】C【解析】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P(A)=410=25，P(B)=410=25，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p(A+B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=25+25−25×25=1625．故选：C．设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P(A)=P(B)=410=25，p(A+B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)，能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．理运用．8. 设变量x ，y 满足{x −y ≤100≤x +y ≤200≤y ≤15，则2x +3y 的最大值为( )A. 20B. 35C. 45D. 55 【答案】D【解析】解：满足约束条件 {x −y ≤100≤x +y ≤200≤y ≤15.的平面区域如下图所示：令z =2x +3y 可得y =−23x +z 3，则z 3为直线2x +3y −z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线l ：2x +3y =0把直线向上平移可得过点D 时2x +3y 最大，由{x +y =20y=15可得x =5，y =15，此时z =55故选：D ．先画出满足约束条件 的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z =2x +3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．9. 已知△ABC 的三边满足条件a 2−(b−c)2bc =3，则∠A =( ) A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘【解析】解：∵a 2−(b−c)2bc =3，整理可得：b 2+c 2−a 2=−bc ，∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， ∵A ∈(0∘,180∘)，∴A =120∘．故选：D ． 由已知整理可得：b 2+c 2−a 2=−bc ，由余弦定理可得cosA =−12，结合范围A ∈(0∘,180∘)，可求A 的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10. 设a =sin390∘，函数f(x)={log ax x ≥0a x x<0，则f(18)+f(log 218)的值等于( ) A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】C【解析】解：∵a =sin390∘=sin30∘=12，函数f(x)={log ax x ≥0a x x<0， ∴f(18)+f(log 218)=log 1218+(12)−3=3+8=11． 故选：C ．先求出a =sin390∘=sin30∘=12，从而f(18)+f(log 218)=log 1218+(12)−3，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，则向量a ⃗ 与b⃗ 夹角的正弦值为( )A. −12B. −√32C. 12D. √32【解析】解：a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3，且|a ⃗ |=2，|b⃗ |=1， ∴a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b⃗ =3， ∴a ⃗ ⋅b⃗ =−1， 设向量a ⃗ 与b⃗ 夹角为θ， ∵两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0,π]，∴cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=−12， ∴sinθ=√1−cos 2θ=√32， 故选：D ． 根据向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系计算即可．本题考查了向量的数量积的运算和同角的三角函数的关系，属于基础题．12. 设F ，B 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线y =b a x 与椭圆在第一象限内的交点，若FO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则椭圆的离心率是( )A. 2√2+17B. 2√2−17C. 2√2−13D. √2−1【答案】A【解析】解：联立椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与直线y =b a x 方程，可得C(√2,√2).⇒线段OC 的中点P(2√2,2√2).∵FO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，则线段OC 的中点P 在BF 上， 又直线BF 的方程为：x c +y b =1．∴2√2c +2√2b =1⇒c a =2√2−1=2√2+17．故选：A ．在BF上，即可得椭圆离心率．本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据平行四边形的性质，求出C点的坐标，是解答本题的关键.属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=e−5x+2在点(0,3)处的切线方程为______．【答案】y=−5x+3【解析】解：y=e−5x+2的导数y′=−5e−5x，则在x=0处的切线斜率为−5，所以曲线y=e−5x+2在点(0,3)处的切线方程为：y=−5x+3．故答案为：y=−5x+3．求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程．本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．14.不等式(12) x2−3<2−2x的解集是______．【答案】{x|x>3或x<−1}【解析】解：∵(12) x2−3<2−2x，∴(12) x2−3<(12)2x，∵y=(12)x在R上单调递减，∴x2−3>2x，解得：x>3或x<−1，∴不等式(12) x2−3<2−2x的解集是{x|x>3或x<−1}．故答案为：{x|x>3或x<−1}．先将指数不等式两边化成同底，然后根据指数函数的单调性化简不等式，最后解一元二次不等式，可求出所求．本题主要考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，以及指数函数的单调性，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y +k ≥0，且z =x +3y 的最小值为2，则常数k =______．【答案】−2【解析】解：由x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y +k ≥0作可行域如图，由z =x +3y ，得直线方程y =−13x +13z ，由图可知，当直线y =−13x +13z 过可行域内的点A 时，z最小．联立{x +3y =2x=2，得A(2,0).A 在直线x +y +k =0上，可得：2+0+k =0，解得k =−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入x +y +k =0后由z 的值等于2求得k 的值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16. 设函数f(x)=x 3−3x 2−ax +5−a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是______．【答案】(13,54]【解析】解：设g(x)=x3−3x2+5，h(x)=a(x+1)，则g′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，∴当0<x<2时，g′(x)<0，当x<0或x>2时，g′(x)>0，∴g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，∴当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=1，作出g(x)与h(x)的函数图象如图：显然当a≤0时，g(x)>ℎ(x)在(0,+∞)上恒成立，即f(x)=g(x)−h(x)<0无正整数解；要使存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，显然x0=2．∴{g(1)≥h(1)g(2)<ℎ(2)g(3)≥h(3)，即{3≥2a1<3a5≥4a，解得：13<a≤54；故答案为：(13,5 4 ].设g(x)=x3−3x2+5，h(x)=a(x+1)，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．题；属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n2(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a n⋅3a n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(Ⅰ)∵数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n2(n∈N∗)．∴a1=S1=1+12=1，当n≥1时，a n=S n−S n−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，当n=1时，上式成立，∴数列{a n}的通项公式a n=n．(Ⅱ)∵a n=n，b n=a n⋅3a n(n∈N∗)，∴b n=n⋅3n，∴数列{b n}的前n项和：T n=1×3+2×32+3×33+⋯+n×3n，①3T n=1×32+2×33+3×34+⋯+n×3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+34+⋯+3n−n×3n+1=3(1−3n)1−3−n×3n+1=(12−n)×3n+1−32，∴T n=(n2−14)×3n+1+34．【解析】(Ⅰ)由数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n2(n∈N∗)，利用a n={Sn −S n−1,n≥2S1,n=1，能求出数列{a n}的通项公式．(Ⅱ)推导出b n=n⋅3n，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和．本题考查查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．18. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率．(Ⅱ)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ． 【答案】解：(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P(M)=C 84C 105=518．(II)X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P(X =0)=C 65C 105=142，P(X =1)=14C 64CC 105=521，P(X =2)=24C 63CC 105=1021， P(X =3)=34C 62CC 105=521， P(X =4)=44C 61CC 105=142．∴X 的分布列为X的数学期望EX=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2．【解析】(1)利用组合数公式计算概率；(2)使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120∘，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1，所成的角的正弦值．【答案】(I)证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴AA1//BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1=√(AB)2+(AA1−BB1)2=2√2，又AB1=√AB2+BB12=2√2，∴AA12=AB12+A1B12，∴AB1⊥A1B1，同理可得：AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．(II)解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交A 1C 1于D ， ∵AB =BC ，∴OB ⊥OC ，∵AB =BC =2，∠BAC =120∘，∴OB =1，OA =OC =√3，以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A(0,−√3,0)，B(1,0，0)，B 1(1,0，2)，C 1(0,√3,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1)， 设平面ABB 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{x +√3y =02z =0，令y =1可得n ⃗ =(−√3,1，0)，∴cos <n ⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×√13=√3913． 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3913． ∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913．【解析】(I)利用勾股定理的逆定理证明AB 1⊥A 1B 1，AB 1⊥B 1C 1，从而可得AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(II)以AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB 1的法向量n ⃗ ，计算n ⃗ 与AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即可得出线面角的大小．本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20. 已知函数f(x)=lnx +ax 2+bx(其中a ，b)为常数且a ≠0)在x =1处取得极值． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0,e]上的最大值为1，求a 的值．【答案】解：(I)因为f(x)=lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，…(2分) 因为函数f(x)=lnx +ax 2+bx 在x =1处取得极值f′(1)=1+2a+b=0…(3分)当a=1时，b=−3，f′(x)=2x2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：…(5分)所以f(x)的单调递增区间为(0,12)，(1,+∞)单调递减区间为(12,1)…(6分)(II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)=0，x1=1，x2=12a…(7分)因为f(x)在x=1处取得极值，所以x2=12a≠x1=1，当12a<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1)，令f(1)=1，解得a=−2…(9分)当a>0，x2=12a>0当12a <1时，f(x)在(0,12a)上单调递增，(12a,1)上单调递减，(1,e)上单调递增所以最大值1可能在x=12a或x=e处取得而f(12a )=ln12a+a(12a)2−(2a+1)12a=ln12a−14a<0所以f(e)=lne+ae2−(2a+1)e=1，解得a=1e−2…(11分)当1≤12a <e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,12a)上单调递减，(12a,e)上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f(1)=ln1+a−(2a+1)<0所以f(e)=lne+ae2−(2a+1)e=1，解得a=1e−2，与1<x2=12a<e矛盾…(12分)当x2=12a≥e时，f(X)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f(1)=ln1+a−(2a+1)<0，矛盾综上所述，a=1e−2或a=−2.…(13分)【解析】(I)由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f(x)的一个极值点f′(1)=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f(x)的单调区间；(II)对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键.属于中档题．21.设f(x)=x3−x．(1)求曲线在点(1,0)处的切线方程；(2)设x∈[−1,1]，求f(x)最大值．【答案】解：(1)f(x)=x3−x，f′(x)=3x2−1，切线斜率f′(1)=2，∴切线方程y=2(x−1)，即2x−y−2=0；(2)令f′(x)=3x2−1=0，x=±√33，列表：故x =−√33，f(x)max =2√39．【解析】(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．(2)求出导函数，得到极值点，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值与端点值，即可得到函数的最大值．本题考查了导数的综合应用及函数的最值问题，属于中档题． 22.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√32t +my =12t(m >0,t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于点A ，B ，且|PA|⋅|PB|=1，求实数m 的值．【答案】选修4−4：坐标系与参数方程[来解：(Ⅰ)直线L 的参数方程是{x =√32t +my =12t，(m >0,t 为参数)， 消去参数t 可得x =√3y +m ． 由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，∴C 的直角坐标方程：x 2+y 2=2x.--------(5分)(Ⅱ)把{x =√32t +my =12t(t 为参数)，代入x 2+y 2=2x ， 得t 2+(√3m −√3)t +m 2−2m =0．由△>0，解得−1<m <3，∴t 1t 2=m 2−2m ， ∵|PA|⋅|PB|=1=|t 1t 2|，∴m 2−2m =±1， 解得m =1±√2或1.又满足△>0，m >0， ∴实数m =1+√2或m =1.--------------(10分)【解析】(Ⅰ)直线L 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程.由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C 的直角坐标方程．(Ⅱ)把{x =√32t +my =12t(t 为参数)，代入x 2+y 2=2x ，得t 2+(√3m −√3)t +m 2−2m =0.由|PA|⋅|PB|=1=|t 1t 2|，能求出实数m 的值．本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23.已知实数m ，n 满足2m −n =3．(1)若|m|+|n +3|≥9，求实数m 的取值范围； (2)求|53m −13n|+|13m −23n|的最小值．【答案】解：因为2m −n =3，所以2m =n +3．(1)|m|+|n +3|=|m|+|2m|=3|m|≥9，∴|m|≥3，∴m ≤−3或m ≥3． (2)|53m −13n|+|13m −23n|=|53m −13(2m −3)|+|13m −23(2m −3)|=|m +1|+|m −2|≥3，当且仅当−1≤m≤2(或−5≤n≤1)时等号成立，所以|53m−13n|+|13m−23n|的最小值是3．【解析】(1)由条件利用绝对值三角不等式可得|m|≥3，由此求得实数m的取值范围．(2)由条件利用绝对值三角不等式求得|53m−13n|+|13m−23n|的最小值．本题主要考查绝对值三角不等式的应用，式子的变形是解决问题的关键，属于中档题．。

绝密★启用前【百强校】2016届河北省武邑中学高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：196分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（）A ．B ．C ．D ．2、已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已函数知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．4、已知是的一个零点，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5、对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的前项和（ ）A ．B ．C ．D ．6、下列命题正确的个数是（ ） （1）命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则” （2）对于命题：“使得”，则：“，均有”（3）“”是“”的充分不必要条件 （4）若为假命题，则均为假命题A ．B ．C ．D ．7、如图，正方体中，为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）8、已知圆与抛物线的准线相切，则（）A ．B ．C ．D ．9、已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A ．B ．C ．D ．10、已知，，由程序框图输出的值为（）A ．B ．C ．D ．A． B． C． D．12、已知集合，，则集合中的元素个数为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、点为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为______．14、若展开式的各项系数绝对值之和为，则展开式中项的系数为_______．15、若函数不是单调函数，则实数的取值范围是_______．16、已知向量，向量，且，则的值是________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知，．（1）求的最小值；（2）若的最小值为，求的最小值．18、选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．（1）求半圆的普通方程；（2）设动点在半圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，求点的直角坐标．19、选修4-1：几何证明选讲 已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，的平分线分别交、于点和．（1）证明：；（2）若，求的值．20、已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．21、如图，椭圆的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点、，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且．求直线的方程及椭圆的方程．22、在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值．23、退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在岁（含岁和岁）之间的人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示．若规定年龄分布在岁（含岁和岁）为“老年人”．（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在年龄段的人口分布的概率．从该城市年龄段市民中随机抽取人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．24、已知的面积为，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．参考答案1、A2、B3、B4、C5、D6、C7、A8、B9、C10、D11、B12、A13、14、15、16、17、（1）；（2）18、（1）；（2）或19、（1）详见解析；（2）20、（1）在，上为增函数，在上为减函数；（2）21、（1）；（2）22、（1）详见解析；（2）23、（1）；（2）24、（1）；（2）【解析】1、试题分析：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且，三棱柱中，底面边长为，外接圆的半径为∴球的半径为四面体外接球表面积为：．考点：1．球内接多面体；2．球的体积和表面积．【思路点睛】三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．2、试题分析：根据题意，可行域为，画出可行域，同时其中，的几何意义为向量在向量方向上的投影，显然在和（注：取不到点）处投影达到最大值和最小值（取不到），进而求得的范围是B．考点：1．解不等式；2．线性规划；3．平面向量的数量积的几何意义．【思路点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设，3、试题分析：由题，又，分别为函数的最小值和最大值。

河北武邑中学2015-2016学年高三年级第二次考研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，集合，则A． B． C． D．2、，若，则的值是A．-1 B．2 C．1 D．-23、设是等差数列的前n项和，，则A． B． C． D．4、已知，，则（ ）A． B． C． D．5、已知向量，其中，且，则在上的投影为A． B． C． D．6、设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则（ ）A．的图象过点B．在上是减函数C．的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位得到的图象7、的大致图象是8、偶函数满足条件，当，当，则A． B． C． D．19、一艘海轮从A处出发，以每小时40海轮的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向白北偏东，那么B、C两点间的距离是A．海里 B．海里 C．海里 D．海里10、设函数，则函数的最小值是A． B．0 C． D．11、点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是A． B． C． D．12、函数，若都满足，则A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13函数的单调递减区间是14、已知，则的值是15、已知函数，且的图象与的图象关于对称，则当时，函数的值域为16、设函数在区间上不是单调函数，则a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）设向量（1）若，求的值；（2）设，求函数的值域。

18、（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且，令（1）证明：数列成等差数列；（2）若当且仅当时前n项和取最小值，求的取值范围。

19、（本小题满分12分） 在中，内角所对的边分别为，已知，且（1）求的值；（2）若，求的面积20、（本小题满分12分）如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数的一部分，后一段DBC是函数时 的图象，图象的最高点为，垂足为。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}N n n x x A ∈+==,23，{}14,12,10,8,6=B ，则集合B A 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A考点：集合的交集运算．2.设i 是虚数单位，复数i ia -+2是纯虚数，则实数=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-【答案】B 【解析】试题分析：i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴且20a +≠，12a =∴，故选B ．考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算. 3.已知⎰+=111dx x M ，⎰=20cos πxdx N ，由程序框图输出S 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．2ln【答案】D考点：1.定积分；2.程序框图．4.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21B ．22C ．2D ．2【答案】C 【解析】试题分析：根据等比数列的性质，由23952a a a ⋅=可得22652a a =，即22q =，又因为公比为正数，22a =，所以1a C ． 考点：等比数列的性质． 5.已知圆04122=-++mx y x 与抛物线241x y =的准线相切，则=m （ ） A ．22± B ．3± C ．2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：抛物线的准线为1y =-，将圆化为标准方程222124m m x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心到直线的距离为1=m ⇒=考点：1.圆的方程；2.抛物线的方程.6.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 7.下列命题正确的个数是（ ）(1)命题“若0>m 则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实根则0≤m ”(2)对于命题p ：“R x ∈∃使得012<++x x ”，则p ⌝：“R x ∈∀，均有012≥++x x ” (3)“1≠x ”是“0232≠+-x x ”的充分不必要条件 （4）若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C考点：命题的真假判断与应用．【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说是的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说是的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说是的既不充分也不必要条件.8.对于数列{}n a ，定义数列{}n n a a -+1为数列{}n a 的“差数列”，若21=a ，{}n a 的“差数列”的通项公式为n2，则数列{}n a 的前2015项和=2015S （ ）A ．122016-B ．20162C ．122016+D ．222016- 【答案】D 【解析】试题分析：∵12nn n a a +-=，∴()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12222...222n n --=+++++222222212nn n -=+=-+=-．设n S 是数列{}n a 的前n 项和， ∴12122212()n n n S +-==--，所以2016201522S =-，故选D. 考点：数列的求和． 9.已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，),(01x x -∞∈，)0,(02x x ∈，则（ ） A ．0)(,0)(21<<x f x f B ．0)(,0)(21>>x f x f C ．0)(,0)(21<>x f x f D ．0)(,0)(21><x f x f 【答案】C考点：1.函数零点的概念；2.函数单调性10.已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（）A ．π40321 B ．40321 C ．π20161 D ．20161【答案】B 【解析】 试题分析：因为111()cos (sin )sin 2cos 2sin 222232f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭根据题意可得:函数在0x x =处取得最小值，在02016x x π=+处取得最大值，所以要使得ω的值最小，即区间[]00,2016x x π+只为半个周期，即121.2016224032ππωω=⇒=，故选择B ．考点：三角形函数的性质.11.已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+-0)1(log 12221y y x x 上的一个动点，则OM ⋅的取值范围是（ ）A ．]0,2[-B ．)0,2[-C ．]2,0[D ．]2,0( 【答案】B考点：1.解不等式；2.线性规划；3.平面向量的数量积的几何意义.【思路点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z 的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z AO OM =⋅，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．12. 正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．π767 D ．π19619 【答案】A 【解析】考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．【思路点睛】三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD DC DA ⊥⊥、，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量)sin ,(cos θθ=，向量)1,3(=，且⊥，则θtan 的值是________. 【答案】3- 【解析】试题分析：依题意可得，sin 0a b θθ⋅=+=，所以s i nc o s θθ=，则s i nt a n c o sθθθ== 考点：1.平面向量的数量积；2.同角的基本关系.14. 若函数x a x x f ln )(+=不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】)0,(-∞ 【解析】试题分析：试题分析：由题意知0x >，()1af x x'=+，要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则需方程10ax+=在0x >上有解，即x a =-，所以0a <，故选C ． 考点：利用导数研究函数的单调性．15. 若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_______. 【答案】15- 【解析】考点：二项式定理．【思路点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质.根据nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为41024n=，求得5n =．在53)x展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求得r 的值，可得展开式中x 项的系数．16. 点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且M F OF 22=，则该双曲线的离心率为______.【答案】213+ 【解析】试题分析：由题意得：222||||120||OF F M c OF M OM ==∠=︒=，，∴，设左焦点为1F ，连接1PF ，则OM 为12PF F △的中位线，1||PF =∴，又2||2P F c =，由双曲线定义，得12||2PF PF a -=，1)c a =，c e a ==∴．考点：1、双曲线的定义；2、直线斜率；3、双曲线的离心率.【思路点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.求与圆锥曲线的离心率的关键是怎样列出关于a 和c 的方程式，本题根据三角形中位线、等腰三角形性质以及双曲线的定义，分别求出1||PF =，22PF c =，利用双曲线定义即可求得离心率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅. (1)求A 2tan 的值；(2)若4π=B 3=，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）43-；（2）3考点：1.正弦定理；2.平面向量数量积的运算． 18. （本小题满分12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在80~20岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示.若规定年龄分布在80~60岁（含60岁和80岁）为“老年人”.（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （2）将上述人口分布的频率视为该城市在80~20年龄段的人口分布的概率.从该城市80~20年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）48；（2）35∴随机变量X 的分布列如下表：∴随机变量X 的数学期望5312513125122125481125640=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ................12分. 考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.离散型随机变量的期望与方差． 19. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.(1)求证：∥DE 平面ABC ； (2)求二面角A BC E --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）1313试题解析：（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，又∵平面⊥ACD 平面ABC ，∴⊥DO 平面ABC ，作⊥EF 平面ABC ，那么DO BF ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60，∴60=∠EBF ，∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE ∥， ∵DE 不包含于平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴∥DE 平面ABC .考点：1.线面平行；2.二面角.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中||||cos 2121n n ⋅=ωω θ βlαn 2n 12图1 图220. （本小题满分12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且BF AB 25=. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点)172,1716(-M 在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ的中点，且OQ OP ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程.【答案】（1；（2）1422=+y x 【解析】试题分析：（1）由已知BF AB 25=，即222544a b a =+，再根据椭圆的性质即可求出椭圆的离心率；(2)由（1）知224b a =，可得椭圆14:2222=+by b x C .设),(),,(2211y x Q y x P ，然后再利用点差法即可求出22121=--=x x y y k PQ ，可得直线l 的方程为022=+-y x ，根据直线与椭圆的位置关系，以及垂直向量的数量积为0，即可求出b ，进而求出椭圆的方程.考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的性质. 21. （本小题满分12分） 已知函数)ln(141)(2a x x ax x f ++-=，其中常数0>a . (1)当10<<a 时，求函数)(x f 的单调区间；(2)已知210<<a ，)(x f '表示)(x f 的导数，若2121),,(,x x a a x x ≠-∈，且满足0)()(21='+'x f x f ，试比较)(21x x f +'与)0(f '的大小，并加以说明.【答案】（1）在),2(2+∞-a a ，)0,(a -上为增函数，在)2,0(2aa -上为减函数；（2）)0()(21f x x f '<+'依题意，不妨设21x x <，又因为0)0(='f ，0)()(21='+'x f x f ， ..............8分 所以a x x a <<<<-210，∴a a x <+<10且a x x a <+<-21，由0)()(21='+'x f x f ，得ax a x a x x +-+-=+21211122，考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数在某点取得极值的条件．【方法点睛】求函数的单调区间的方法：（1）求导数()y f x ''=；（2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 和点C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 和E . (1)证明：AED ADE ∠=∠； (2)若AP AC =，求PAPC的值.【答案】（1）详见解析；（2 【解析】试题分析：本题主要考查弦切角、三角形相似、三角形内角和定理等基础知识，考查学生的逻辑思维能力、推理证明能力、计算能力．第一问，先利用弦切角与弦所对的圆周角相等得BAP C ∠=∠，又由于PE 是APC ∠的角平分线，所以APD CPE ∠=∠，所以得到BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠，而A D E C C P E ∠=∠+∠∴，即A D E A E D ∠=∠；第二问，利用两组角相等得APC ∆和BPA ∆相似，从而得到边的比例关系，由于三角形内角和为0180，再根据角之间的度数转化得190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒，最后在直角三角形ABC 中解出比例值．考点：1.弦切角；2.三角形相似；3.三角形内角和定理． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆1C 的极坐标方程为],2[,sin 4ππθθρ∈=.(1)求半圆1C 的普通方程；(2)设动点A 在半圆1C 上，动线段OA 的中点M 的轨迹为2C ，2C 与直线23+=x y 交点为D ，求点D 的直角坐标.【答案】（1）)40,02(4)2(22≤≤≤≤-=-+y x y x ；（2）)21,23(-D 或)2,0(D 【解析】试题分析：（1）由极坐标和直角坐标的互化公式,sin ,cos θρθρ==y x 且],2[ππθ∈，可得半圆1C 的普通方程； (2)设),(y x M ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为)20,01(1)(22≤≤≤≤-=-+y x y x .与直线23+=x y 联立，即可求出结果.试题解析：解：（1）由互化公式,sin ,cos θρθρ==y x 且],2[ππθ∈得，半圆1C 的普通方程：)40,02(4)2(22≤≤≤≤-=-+y x y x . ....................5分(2)设),(y x M ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为)20,01(1)(22≤≤≤≤-=-+y x y x .与直线23+=x y 联立，所以点)21,23(-D 或)2,0(D . ..................10分. 考点：1.极坐标公式；2.直线与圆的位置关系. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知+∈R n m ,，n x m x x f -++=2)(. (1)求)(x f 的最小值；(2)若)(x f 的最小值为2，求422n m +的最小值.【答案】（1）2nm +；（2）2即2,1==n m 时，取等号，∴)4(422n m +的最小值为2. ..............................10分. 考点：1.绝对值函数；2.基本不等式.。

河北武邑中学2015～2016学年下学期高三周日试题数学（理科）（2016-4-17）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数iiz -=12（i 是虚数单位），则z = A.-1+i B. -1-i C.1+i D. 1-i2.已知集合A={}0652<--x x x ，B={}33<<-x x ，则B A =A.(-3，3)B.(-3，6)C.(-1，3)D.(-3，1)3.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为A.1B.3C.326D. -194.函数()x f =)sin(ϕω+x A （0>A ,0>ω）的部分图象如右上图所示，则⎪⎭⎫⎝⎛2411πf 的值为 A.26-B.23-C.22- D.-15．程序框图如右图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为A.81B.1C. 2D. 4 6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确的结论的编号为A.①③B. ①④C.②③D.②④7. 过点A （0,1）作直线，与双曲线1922=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为A. 0B.2C. 4D. 无数8如图所示的数阵中，用A （m ，n ）表示第m 行的第n 个数，则依此规律A （15,2）为A.4229 B.316 C.2417 D.10273 9.已知函数)2(+=x f y 的图像关于直线x=-2对称，且当x ()∞+∈，0时，()x x f 2log =，若)3(-=f a ，b=⎪⎭⎫⎝⎛41f ，c=f （2），则a ，b ，c 的大小关系是A.a>b>cB. b>a>cC.c>a>bD.a> c>b10.某几何体的三视图如图所示图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（ ）A.4B.316 C.320 D.12 11.A,B,C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若→OC =),(R OB OA ∈+→→μλμλ，则μλ+的取值范围是A.（0,1）B.（1，+∞）C.]21，（D. （-1,0） 12.如图所示，一个圆柱兵乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球筒的上底面和下底面分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）。

河北武邑中学2015-2016学年高三周日考试（2016.1.17） 数学试题 满分150分 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方． 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（） A. B. C. D. 2. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（） A． B． C．2 D．1 3.在等差数列中，,则此数列前30项和等于（ ） A．810 B．840 C．870 D．900 4. 设，则p是q成立的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 5. 设函数,( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 6.将函数的图像左移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是（） A．是奇函数 B．的周期是 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于对称 A．2或 B． C．-2或D． 7.. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何 体的体积等于（） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D． cm3 8. 下列命题中正确的个数是（） ①过异面直线a,b外一点P有且只有一个平面与a,b都平行； ②异面直线a,b在平面α内的射影相互垂直则a⊥b； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④直线a,b分别在平面α，β内，且a⊥b则α⊥β； A．0 B．1 C．2 D．3 9．等比数列的各项均为正数，且，则＝( ) A． 12 B．10 C．8 D．2＋ 10．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间上单调递减，则实数a的取值范围 是 ( ) A．10)的最小正周期为3π. (1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值； (2)在△ABC中，若f (C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值． 17.（本小题满分12分）已知函数，其图象与轴相邻两个交点的距离为． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个长度单位得函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调增区间． 18. 已知函数，. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值. 19.（本小题满分12分） 如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知数列满足：，数列满足：，，数列的前项和为. （1）求证：数列为等比数列； （2）求证：数列为递增数列； （3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围． 21.（本小题满分14分）已知函数 （1）求的单调区间； （2）设，是曲线的一条切线，证明上的任意一点都不能在直线的上方； （3）当时，方程有唯一实数解，求正数m的值． 河北武邑中学2015-2016学年高三周日考试（1.17）数学试题答案 D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A 12.3 13. 13.　9 14.　6 15. 16. .解∵f(x)＝sin(ωx)－2·＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1， 由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1. (1)由≤x≤得≤x＋≤， ∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1. …………6分 (2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得sin(C＋)＝1， 而≤C＋≤，所以C＋＝，解得C＝. 在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)， ∴2cos2A－sinA－sinA＝0，∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝. ∵0<sinA<1，∴sinA＝. …………12分 17. 17.解：（1）函数，．．．．．．．．．．4分 根据图象与轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小周期为，求得，故函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象，．．．．．．．．．．．．．．．7分 再根据的图象恰好经过点，可得，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 再结合，可得增区间为、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18. 18. （1）（2） 19.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，………2分 故四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面. ……………5分 (2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。

外…………○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：内…………○…………装…………○…河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高考理数三模考试试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题M={x|x ＞1}，p={x|x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ） A.M=P B.P ⊂M C.M ⊂PD.（∁U M ）∩P=∅2.已知函数f （x ）=x 2+ ax ，则“0＜a ＜2”是“函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 43和log 34，则输出M 的值是（ ） A.0 B.1 C.3 D.﹣14.已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=（ ） A.152 B.314答案第2页，总18页……装…………○…………订…………○…………线…※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………○…………订…………○…………线…C.334 D.1725.函数y=sin （2x ﹣ π3 ）在区间[﹣ π2 ，π]的简图是（ ）A.B.C.D.6.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ﹣4）=﹣f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A.f （2）＜f （5）＜f （8）B.f （5）＜f （8）＜f （2）C.f （5）＜f （2）＜f （8）D.f （8）＜f （2）＜f （5）7.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则 EB →+ FC →=（ ） A.AD →B.12AD →…………外…………………内……… C.BC →D.12BC →8.设D 为不等式组 {x +y ≤12x −y ≥−1x −2y ≤1，表示的平面区域，点B （a ，b ）为第一象限内一点，若对于区域D 内的任一点A （x ，y ）都有 OA →⋅OB →≤1 成立，则a+b 的最大值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线分别交于O 、A 、B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为 √3 ，则p=（ ） A.1 B.32C.2D.310.下列有关结论正确的个数为（ ） ①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则 P =(A|B)=29 ；②设函数f （x ）存在导数且满足 lim△x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =−1 ，则曲线y=f （x ）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1；③设随机变量ξ服从正态分布N （μ，7），若P （ξ＜2）=P （ξ＞4），则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7． A.0 B.1 C.2 D.311.如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）答案第4页，总18页……外…………○…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※……内…………○…………装…………○…B.M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C.当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D.当AB ，CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行 12.设函数f （x ）= {e x ，x ≥0x 2，x <0，若方程f （f （x ））=a （a ＞0）恰有两个不相等的实根x 1 ， x 2 ， 则e x 1 •e x 2 的最大值为（）A.1e 2B.2（ln2﹣1）C.4e 2D.ln2﹣1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.设z= 11+i +i ，则|z|= ．14.二项式（ax ﹣ √36 ）3（a ＞0）的展开式的第二项的系数为﹣√32，则 ∫−2a x 2dx= ．15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由长为a 个物体，宽为b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层成为长为c 个物体，宽为d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S= n6[(2b +d)a +(b +2d)c]+n6(c −a) ．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为 ．16.数列{a n }中， a 1=12，a n+1=nan(n+1)(nan+1)(n ∈N ∗) ，若不等式 3n 2+1n +ta n ≥0 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………装…………○…………订…………○…………线…………三、解答题（题型注释）17.如图，在△ABC 中， B =π4，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设∠BAD=α， sinα=√55．（Ⅰ）求sinC ；（Ⅱ）若 BA →⋅BC →=28 ，求AC 的长．18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A 、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率； （3）主持人从A 、B 两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19.如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为菱形，底面△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A 1B⊥B 1C ．（1）求证：直线AC⊥直线BB 1；（2）若直线BB 1与底面ABC 成的角为60°，求二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值． 20.已知A为椭圆 x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）上的一个动点，弦AB ，AC 分别过左右焦点F 1 ， F 2 ，且当线段AF 1的中点在y 轴上时，cos∠F 1AF 2= 13 ． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设 AF 1→=λ1F 1B →，AF 2→=λ2F 2C →，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．答案第6页，总18页21.在直角坐标系xOy 中，已知圆C 1的参数方程为 {x =1+cosϕy =2+sinϕ（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+2=0． （1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R) ，设C 3与C 1的交点为M ，N ，P 为C 2上的一点，且△PMN 的面积等于1，求P 点的直角坐标． 22.已知函数f （x ）=|2x ﹣1|，x∈R． （1）解不等式f （x ）≥2﹣|x+1|；（2）若对于x ，y∈R，有 |x −y −1|≤13， |2y +1|≤16，求证：f （x ）＜1．…………外…………内参数答案1.C【解析】1.解：∵全集U=R ，集合M={x|x ＞1}， p={x|x 2＞1}={x|x ＞1或x ＜﹣1}，∴M ⊂P ，（∁U M ）∩P={x|x≤1}∩{x|x＞1或x ＜﹣1}={x|x ＜﹣1}， 故选：C ． 2.A【解析】2.解：f′（x ）=2x ﹣ ax 2 ≥0，即2x 3≥a 在区间（1，+∞）上恒成立， 则a≤2，而0＜a ＜2⇒a≤2， 故选：A ． 3.D【解析】3.解：∵log 34＞1，0＜log 43＜1， ∴log 34＞log 43，∴M=log 34•log 43﹣2=﹣1， 故选：D ．【考点精析】通过灵活运用程序框图，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明即可以解答此题． 4.B【解析】4.解：由已知得：{a 1q ⋅a 1q 3=1a (1−q 3)11−q=7q >0，解得a 1=4，q= 12 ， ∴ S 5=a 1(1−q 5)1−q=4(1−125)1−12= 314 ．故选：B ． 【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．5.B答案第8页，总18页……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…【解析】5.解：当x=﹣ π2 时，y=sin[（2× (−π2) ﹣ π3 ]=﹣sin （ π+π3）=sin π3 = √32 ＞0，故排除A ，D ；当x= π6 时，y=sin （2× π6 ﹣ π3 ）=sin0=0，故排除C ；故选：B ． 6.B【解析】6.解：∵f（x ）满足f （x ﹣4）=﹣f （x ）， ∴取x=5，得f （1）=﹣f （5），即f （5）=﹣f （1）取x=8，得f （4）=﹣f （8）．再取x=4，得f （0）=﹣f （4），可得f （8）=f （0） ∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴f（0）=0，得f （8）=0∵函数f （x ）在区间[0，2]上是增函数， ∴f（0）＜f （1）＜f （2），可得f （1）是正数，f （5）=﹣f （1）＜0，f （2）＞0， 因此f （5）＜f （8）＜f （2） 所以答案是：B【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性． 7.A【解析】7.解：∵D，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴ EB →+ FC →=（ EF →+ FB →）+（ FE →+ EC →）= FB →+ EC →= 12 （ AB → + AC → ）= AD →，故选：A8.C【解析】8.解：∵点B （a ，b ）为第一象限内一点，∴a＞0，b ＞0， 又区域D 内的任一点A （x ，y ）， ∴z= OA →⋅OB →=ax +by ，由约束条件 {x +y ≤12x −y ≥−1x −2y ≤1作出可行域如图：装…………○………线…………○…_姓名：___________班级：__装…………○………线…………○…化z=ax+by 为y= −abx +zb，由图可知，当 −ab≤−1 ，即a≥b 时，直线y= −a bx +zb过A （1，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为a ，则a≤1；当 −1<−a b<0 ，即a ＜b 时，直线y= −a bx +zb过C （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为b ，则b≤1．∴点B （a ，b ）满足 {0<a ≤1b >0a ≥b 或 {a >00<b ≤1a <b．作出可行域如图：令t=a+b ，化为b=﹣a+t ，由图可知，当直线b=﹣a+t 过D （1，1）时，直线在b 轴上的截距最大，t 有最大值为1+1=2． 故选：C ． 9.C【解析】9.解：∵双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 ，∴双曲线的渐近线方程是y=± ba x又抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x=﹣ p2 ，故A ，B 两点的纵坐标分别是y=± pb2a ，双曲线的离心率为2，所以 ca =2 ，∴ b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3 则 ba =√3 ，答案第10页，总18页A ，B 两点的纵坐标分别是y=± pb 2a = ±√3p 2，又，△AOB 的面积为 √3 ，x 轴是角AOB 的角平分线 ∴ 12×√3p ×p2=√3 ，得p=2．故选C ．10.D【解析】10.解：对于①，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”， 则P （A ）= 4!44 = 332 ，P （B ）= 4⋅3344 = 2764 ，P （AB ）= 4×3!44 = 332 ，则P （A|B ）= P(AB)P(B) = 29 ，故①错；对于②，设函数f （x ）存在导数且满足 lim △x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =−1 ，可得f′（2）= lim3△x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =﹣1，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为f′（2）=﹣1，故②正确；对于③，设随机变量ξ服从正态分布N （μ，7），若P （ξ＜2）=P （ξ＞4），则曲线关于x=3对称，则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7．故③正确． 其中正确的个数为3． 故选：D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 11.B【解析】11.解：对于A 选项，当|CD|=2|AB|时，若A ，B ，C ，D 四点共面AC∥BD 时，则M ，N 两点能重合．故A 不对对于B 选项，若M ，N 两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC 与直线l 不可能相交，故B 对对于C 选项，当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 平行，故C 不对 对于D 选项，当AB ，CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行， 故选B ．【考点精析】掌握异面直线是解答本题的根本，需要知道不同在任何一个平面内，没有公共点． 12.C【解析】12.解：令g （x ）=f （f （x ））= {e e x，x ≥0e x 2，x <0，∵y=f（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，外…………装………………○…………线…………_姓名：_________________内…………装………………○…………线…………∴g（x ）=f （f （x ））在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增． 做出g （x ）=f （f （x ））的函数图象如图所示：∵方程f （f （x ））=a （a ＞0）恰有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则x 1≤﹣1，x 2≥0，且f （x 1）=f （x 2），即x 12=e x 2 ． ∴e x 1 •e x 2 =e x 1 •x 12，令h （x 1）=e x 1 •x 12，则h′（x 1）=e x 1 （x 12+2x 1）=e x 1 •x 1•（x 1+2）， ∴当x 1＜﹣2时，h′（x 1）＞0，当﹣2＜x 1＜﹣1时，h′（x 1）＜0， ∴h（x 1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减， ∴当x 1=﹣2时，h （x 1）取得最大值h （﹣2）= 4e 2 ． 故选C ．13.【解析】13.解：z= 11+i +i= 1−i(1+i)(1−i) +i= 12+12i ．|z|= √(12)2+(12)2= √22 ．所以答案是： √22 ．【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的模（绝对值）的相关知识，掌握复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1) (2)(3)若为虚数,则．14.3【解析】14.解：二项式（ax ﹣ √36 ）3（a ＞0）的展开式的第二项的系数为 C 31 •a 2•（﹣ √36 ）=﹣ √32 ，答案第12页，总18页…○……订………内※※答※※题…○……订………∴a2=1，∴a=1，∴ ∫−2a x 2dx= ∫−21 •x 2•dx= x 33|−21 = 13 ﹣ −83 =3，所以答案是：3．15.85【解析】15.解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S= n 6 [（2b+d ）a+（b+2d ）c]+ n 6 （c ﹣a ）= 56 [3×（2+5）+7×（1+10）]+ 56 （7﹣3）=85，所以答案是：85．【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理． 16.[﹣ ,+∞）【解析】16.解：∵a n+1= nan(n+1)(nan+1)（n∈N *）， ∴ 1an+1=(n+1)na n +(n+1)na n =（n+1）+ n+1na n，即 1(n+1)an+1﹣ 1na n=1，又 11⋅a 1=2，∴数列{ 1na n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴ 1na n=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n = 1n(n+1) ．∵不等式 3n 2+1n +ta n ≥0 化为：t≥﹣（n+ 3n +4）． ∵n+ 3n +4≥2 √n ×3n +4=4+2 √3，当且仅当n= 3n 时取等号， 由n∈N*，则当n=2时，n+ 3n +4取最小，最小值为 152 ∴t≥﹣ 152 ，所以答案是：[﹣ 152 ，+∞）．【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．17.解：（Ⅰ）∵α∈（0， ），sinα ，外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…∴cosα= = ，∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2× × = ，cos∠BAC=cos2α=2cos 2α﹣1=2× ﹣1= ，∴sinC=sin[π﹣（ +2α）]=sin （ +2α）= （cos2α+sin2α）= ×（+ ）= ；（Ⅱ）由正弦定理，得 = ，即 = ，∴AB= BC ， 又•=28，∴AB×BC× =28，由上两式解得：BC=4，由 = ，得： = ，∴AC=5．【解析】17.（Ⅰ）由α为三角形BAD 中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC 与cos∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin[π﹣（ π4 +2α）]，利用诱导公式，以答案第14页，总18页…………外…………○…………装……○………………○………线…………○※※请※※不※※※※装※※订※※线※※题※※…………内…………○…………装……○………………○………线…………○及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值； （Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin∠BAC 的值代入得出AB=7√28BC ，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长．【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．18.（1）解：设A 队第六位选手的成绩为x ， 由题意得：（9+11+13+24+31+x=（11+12+21+25+27+36），解得x=20，∴A 队第六位选手的成绩为20．（2）解：由（1）知A 队6位选手中成绩不少于21分的有2位，即A 队6位选手中有2人获得“晋级”．主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，基本事件总数n==15，至少有一个为“晋级”的概率p=1﹣ = ．（3）解：由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，主持人从A 、B 两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P （ξ=0）= = ，P （ξ=1）= + = ，P （ξ=2）= + + = ，P （ξ=3）= + = ，P （ξ=4）= = ，∴ξ的分布列为：…………外…………○线………学…………内…………○线………Eξ=+3×+4×=2．【解析】18.（1）设A 队第六位选手的成绩为x ，利用茎叶图及平均数的定义能求出A 队第六位选手的成绩．（2）A 队6位选手中有2人获得“晋级”．主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，先求出基本事件总数，再由对立事件概率计算公式能求出至少有一个为“晋级”的概率．（3）由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【考点精析】根据题目的已知条件，利用频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 19.（1）解：证明：连接AB 1， ∵侧面AA 1B 1B 为菱形， ∴AB 1⊥A 1B ，又AB 1与BC 1相互垂直，AB 1∩B 1C=B 1， ∴A 1B⊥平面AB 1C ，∴A 1B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A 1B=B ， ∴AC⊥平面AA 1B 1B ，∵BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴直线AC⊥直线BB 1；（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，由B 1作AB 的垂线，垂足为D ，则BD⊥平面ABC ，∴∠B 1BA=60°，得D 为AB 的中点，答案第16页，总18页…………外…………○……订…………○…………线………※线※※内※※答※※题※※…………内…………○……订…………○…………线………过A 作DB 1的平行线，交A 1B 1于E 点，则AE⊥平面ABC ， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2， 则为平面AB 1B 的一个法向量，则B （2，0，0），C （0，2，0）， ，设平面AB 1B 的法向量，由 ，取x= ，得 ，∴cos＜ ＞= ，故二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值为 ．【解析】19.（1）连接AB 1，由已知可得AB 1⊥A 1B ，进一步得到A 1B⊥平面AB 1C ，可得A 1B⊥AC，结合AC⊥AB，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面AA 1B 1B ，则直线AC⊥直线BB 1；（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，由B 1作AB 的垂线，垂足为D ，则BD⊥平面ABC ，可得∠B 1BA=60°，得D 为AB 的中点，过A 作DB 1的平行线，交A 1B 1于E 点，则AE⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，可得 AC →=(0，2，0) 为平面AB 1B 的一个法向量，再求出平面AB 1B 的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值． 【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．20.解：（Ⅰ）当线段AF 1的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，△AF 1F 2为直角三角形．因为cos∠F 1AF 2= ，所以|AF 1|=3|AF 2|，易知|AF 2|= ，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a ，则4• =2a ，即a 2=2b 2=2（a 2﹣c 2），即a 2=2c 2，即有e= = ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，焦点坐标为F 1（﹣b ，0），F 2（b ，0）， ⑴当AB ，AC 的斜率都存在时，设A （x 0，y 0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），○…………外…………○……………○…………线…………○…学校:_____________○…………内…………○……………○…………线…………○…则直线AC 的方程为y= （x ﹣b ），代入椭圆方程得（3b 2﹣2bx 0）y 2+2by 0（x 0﹣b ）y ﹣b 2y 02=0，可得y 0y 2=﹣ ，又λ2= = = ，同理λ1= ，可得λ1+λ2=6；⑵若AC⊥x 轴，则λ2=1，λ1= =5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x 轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6； 综上所述，λ1+λ2是定值6．【解析】20.（Ⅰ）当线段AF 1的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，△AF 1F 2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF 1|=3|AF 2|，易知|AF 2|= b 2a ，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，焦点坐标为F 1（﹣b ，0），F 2（b ，0），（1）当AB ，AC 的斜率都存在时，设A （x 0，y 0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），求得直线AC 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x 轴，若AB⊥x 轴，计算即可得到所求定值． 21.（1）解：C 1的普通方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1，即x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，C 2的直角坐标方程为x=﹣2；（2）解：将 代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0， 得 得，所以，因为△PMN 的面积等于1，所以P 点到直线 即x ﹣y=0距离为 ，设P （﹣2，y ），则或﹣4，答案第18页，总18页……装…………○…………订…………○…※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………○…………订…………○…【解析】21.（1）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（2）将 θ=π4 代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，根据韦达定理，即可求出|MN|的值，根据三角形的面积公式可得P 点到直线 θ=π4距离为 √2，设P （﹣2，y ），即可求出答案 22.（1）解：不等式化为|x+1|+|2x ﹣1|≥2， ①当时，不等式为3x≥2，解得，故；②当 时，不等式为2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x ＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得 ，故x ＜﹣1，综上，原不等式的解集为 ；（2）解：证明：f （x ）=|2x ﹣1|=|2（x ﹣y ﹣1）+（2y+1|≤2|x﹣y ﹣1|+|2y+1|≤2× += ＜1．【解析】22.（1）通过讨论x 的范围，解不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．。

河北武邑中学2015-2016学年高三年级期末考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}N n n x x A ∈+==,23，{}14,12,10,8,6=B ，则集合B A 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.设i 是虚数单位，复数i ia -+2是纯虚数，则实数=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-3.已知⎰+=111dx x M ，⎰=20cos πxdx N ，由程序框图输出S 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．2ln4.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21B ．22C ．2D ．25.已知圆04122=-++mx y x 与抛物线241x y =的准线相切，则=m （ ） A ．22± B ．3± C ．2 D ．36.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,C E A 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）7.下列命题正确的个数是（ ）（1）命题“若0>m 则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实根则0≤m ”（2）对于命题p ：“R x ∈∃使得012<++x x ”，则p ⌝：“R x ∈∀，均有012≥++x x ” （3）“1≠x ”是“0232≠+-x x ”的充分不必要条件 （4）若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题 A ．4 B ．3 C ．2 D ．19.已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点，),(01x x -∞∈，)0,(02x x ∈，则（ ） A ．0)(,0)(21<<x f x f B ．0)(,0)(21>>x f x f C ．0)(,0)(21<>x f x f D ．0)(,0)(21><x f x f10.已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ） A ．π40321 B ．40321 C ．π20161 D ．2016111.已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+-0)1(log 12221y y x x 上的一个动点，则OM ⋅的取值范围是（ ）A ．]0,2[-B ．)0,2[-C ．]2,0[D ．]2,0(12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．π767 D ．π19619 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量)sin ,(cos θθ=，向量)1,3(=，且⊥，则θtan 的值是________. 14.若函数x a x x f ln )(+=不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______.15.若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_______.16.点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且M F OF 22=，则该双曲线的离心率为______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为S ，且S =⋅. （1）求A 2tan 的值； （2）若4π=B3=，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在80~20岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示.若规定年龄分布在80~60岁（含60岁和80岁）为“老年人”.（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在80~20年龄段的人口分布的概率.从该城市80~20年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：∥DE 平面ABC ； （2）求二面角A BC E --的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且BF AB 25=. （1）求椭圆C 的离心率； （2）若点)172,1716(-M 在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OQ OP ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程.21.（本小题满分12分） 已知函数)ln(141)(2a x x ax x f ++-=，其中常数0>a . （1）当10<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）已知210<<a ，)(x f '表示)(x f 的导数，若2121),,(,x x a a x x ≠-∈，且满足0)()(21='+'x f x f ，试比较)(21x x f +'与)0(f '的大小，并加以说明.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 和点C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 和E . （1）证明：AED ADE ∠=∠； （2）若AP AC =，求PAPC的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆1C 的极坐标方程为],2[,sin 4ππθθρ∈=.（1）求半圆1C 的普通方程；（2）设动点A 在半圆1C 上，动线段OA 的中点M 的轨迹为2C ，2C 与直线23+=x y 交点为D ，求点D 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知+∈R n m ,，n x m x x f -++=2)(. （1）求)(x f 的最小值；（2）若)(x f 的最小值为2，求422n m +的最小值.河北武邑中学2015-2016学年高三年级期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：1-5ABDCB 6-10ACDCB 11-12BA二、填空题：13.3- 14.)0,(-∞ 15.15- 16.213+ 三、解答题：（23=3==c ， ..................7分∵2tan =A ，20π<<A ，∴552sin =A ，55cos =A . ∴10103225522552sin cos cos sin )sin(sin =⋅+⋅=+=+=B A B A B A C . ...........9分 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ， ............10分 35523521sin 21=⋅⋅==A bc S . .....................12分 18.解：（1）由频率分布直方图，估算所调查的600人的平均年龄为：481.0751.0652.0553.0452.0351.025=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）.（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率51， ∴该城市8020-年龄段市民中随机抽取3人，抽到“老年人”的概率为51. 由题意知，)51,3(~B X ， ∴12564)54()51()0(33===C X P ，12548)54)(51()1(213===C X P ，12512)54()51()2(223===C X P ，1251)51()0(333===C X P ， ∴随机变量X 的分布列如下表：∴随机变量X 的数学期望5312513125122125481125640=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ................12分 19.（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，又∵平面⊥ACD 平面ABC ，∴⊥DO 平面ABC ，作⊥EF 平面ABC ，那么DO BF ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为60，∴60=∠EBF ，∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE ∥， ∵DE 不包含于平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴∥DE 平面ABC .（2）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，∵⊥EF 平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角.EFG RT ∆中，3,2130sin ==⋅=EF FB FG ，213=EG ，∴1313cos ==∠EG FG EGF ， 即二面角A BC E --的余弦值为1313. 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，)3,13,0(),0,0,1(),0,3,0(--E C E ，∴)3,1,0(),0,3,1(-=--=BE BC ，平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n n ，∴⎩⎨⎧=--=--0303z y y x ，∴)1,3,3(2-=n .所以1313,cos 21=>=<n n ， 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角A BC E --的余弦值为1313.20.解：（1）由已知BF AB 25=，即a b a 2522=+，222544a b a =+， 22225)(44a c a a =-+，∴23==a c e . （2）由（1）知224b a =，∴椭圆14:2222=+by b x C .设),(),,(2211y x Q y x P ，由14221221=+b y b x ，14222222=+b y b x ，可得042222122221=-+-by y b x x ， 即0))((4))((2212122121=-++-+b y y y y b x x x x ，即0)(1744)(17322121=-+--y y x x ，从而22121=--=x x y y k PQ ，所以直线l 的方程为)]1716([(2172--=-x y ，即022=+-y x . 由04)22(4140222222222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-b x x b y b x y x ，即0416321722=-++b x x . 171720)4(17163222>⇔>-⨯+=∆b b ，173221-=+x x ，17416221b x x -=.∵OQ OP ⊥，∴0=⋅OQ OP ，即02121=+y y x x ，0)22)(22(2121=+++x x x x ，04)(452121=+++x x x x ，从而041712817)416(52=+--b ，解得1=b ，∴椭圆C 的方程为1422=+y x . 21.解：（1）函数)(x f 的定义域为),(+∞-a ，)0,()(2)2(1121)(2>->++-=++-='a a x a x a a ax x a x a x x f ， ...........................2分由0)(='x f 得01=x ，aa x 222-=， .......................3分当10<<a 时，022>-a a ，所以)(x f 在),2(2+∞-a a ，)0,(a -上为增函数，在)2,0(2aa -上为减函数，............................................................... ...6分 （2）令)(1121)()(a x a ax a x x f x g <<-++-='=，则222)(22)()(121)(a x a x a x x g +-+=+-='，∵a x a <<-，∴a a x 20<+<，∴)210(14)(22<<<<+a a a x ， ∴0)(<'x g ，∴)(x g 在),(a a -上为减函数，即)(x f '在),(a a -上为减函数，依题意，不妨设21x x <，又因为0)0(='f ，0)()(21='+'x f x f ， ..............8分 所以a x x a <<<<-210，∴a a x <+<10且a x x a <+<-21， 由0)()(21='+'x f x f ，得ax a x a x x +-+-=+21211122， ∴ax a x a x x a a x x a x x x x f +-+-+++=+++-+=+'21212121211111112)(， ............10分令a x t +=1，)0(1111)(22a t ax t x t a t h <<+--++=， 则0)()2()()(1)(1)(22222222222222>⋅++=⋅+-+=++-='t x t x x t t x t t x t t x t t h ， ......................11分所以)(t h 在),0(a 内为增函数，又因为),0(1a a x t ∈+=，所以0)()(=<a h t h ， 即011112121<+-+-+++ax a x a x x a ，所以)0()(21f x x f '<+'. ....................12分22.解：（1）∵PE 为APC ∠的平分线，∴BPD APD ∠=∠，又∵直线PA 是圆O 的切线，∴ACB PAB ∠=∠；又∵BPD ACB AED ∠+∠=∠，APD PAB ADE ∠+∠=∠，∴ADE AED ∠=∠.（2）过A 作BC AF ⊥于F ，∵BC 为圆O 的直径，∴ACB BAF ∠=∠，又ACB PBA ∠=∠，由AP AC =，则ACB APC ∠=∠，而 90=∠+∠+∠APB ACB BAF ，∴ 30=∠=∠=∠APB ACB BAF ，则23=PA PF ，得PA PF PC 32==，所求即3=PAPC . 23.解：（1）由互化公式,sin ,cos θρθρ==y x 且],2[ππθ∈得， 半圆1C 的普通方程：)40,02(4)2(22≤≤≤≤-=-+y x y x . (5)分（2）设),(y x M ，由中点坐标公式得曲线2C 的普通方程为)20,01(1)(22≤≤≤≤-=-+y x y x . 与直线23+=x y 联立，所以点)21,23(-D 或)2,0(D . ..................10分24.解：（1）∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+<<-++--≤+--=2,32,,3)(nx n m x n x m n m x m x n m x x f ，∴)(x f 在)2,(n -∞是减函数，在),2(+∞n 是增函数.∴当2n x =时，)(x f 取最小值2)2(n m n f +=. ........................5分 （2）由（1）知，)(x f 的最小值为2n m +，∴22=+n m . .......................6分∵+∈R n m ,，2)4(21)4(221)4(22222=+≥+⋅=+n m n m n m ，当且仅当2n m =， 即2,1==n m 时，取等号，∴)4(422n m +的最小值为2. ..............................10分。