两个竖直上抛运动相遇条件的分析方法

专题六 自由落体与竖直上抛知识精讲一 知识结构图二 学法指导1.通过对自由落体运动定义的学习，理解物体做自由落体的条件，体会自由落体运动这个“理想模型2.运用分段法和整体法处理竖直上抛运动‘3.根据位移之间的关系解决竖直方向上两个物体相遇的问题’三 知识点贯通考点1 自由落体运动和竖直上抛运动 1．自由落体运动(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。

(2)特点：v 0＝0，a ＝g 。

①速度公式：v ＝gt 。

②位移公式：h ＝12gt 2。

③速度位移关系式：v 2＝2gh 。

2．竖直上抛运动(1)定义：将物体以初速度v 0竖直向上抛出后只在重力作用下的运动。

(2)特点：取竖直向上为正方向，则初速度为正值，加速度为负值。

(为方便计算，本书中g 表示重力加速度的大小)①速度公式：v ＝v 0－gt 。

②位移公式：h ＝v 0t －12gt 2。

③速度位移关系式：v 2－v 02＝－2gh 。

④上升的最大高度：H ＝v 022g 。

⑤上升到最高点所用的时间：t ＝v 0g。

例题1 一小石块从空中a 点自由落下，先后经过b 点和c 点，不计空气阻力。

经过b 点时速度为v ，经过c 点时速度为3v ，则ab 段与ac 段位移之比为( )A ．1∶3B ．1∶5C ．1∶8D ．1∶9【答案】D【解析】 物体做自由落体运动，2gh ab ＝v 2,2gh ac ＝(3v )2，解得h ab h ac ＝19，故D 正确。

例题2 .如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5、…所示小球运动过程中每次曝光的位置。

已知连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度均为d 。

根据图中的信息，下列判断正确的是( )A ．位置“1”是小球释放的初始位置B ．小球做匀加速直线运动C ．小球下落的加速度为d T 2D ．小球在位置“3”的速度为7d 2T【答案】BCD【解析】 从位置“1”开始连续相等时间内的位移之比为2∶3∶4∶5∶…，所以位置“1”不是小球释放的初始位置，A 错误；因为连续相等时间间隔内位移之差Δx ＝d ＝aT 2，所以小球做匀加速直线运动，且a ＝dT 2，小球在位置“3”的速度为v 3＝3d ＋4d 2T ＝7d2T ，B 、C 、D 正确。

竖直上抛运动1．分段法把竖直上抛运动分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．物体下降阶段的运动和上升阶段的运动互为逆运动．2．全程法由于竖直上抛运动上升阶段和下降阶段的加速度始终不变，所以可应用匀变速直线运动规律对全程列式求解，但要注意速度、位移、加速度的方向，若选向上为正方向，则v0为正值、g为负值，h为正值表示物体在抛出点上方，h 为负值表示物体在抛出点下方；v为正值则表示物体在上升，v为负值则表示物体在下降．研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经11 s产品撞击到地面．不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度．(g取10 m/s2，分别用分段法和全过程法解题)如图所示，在离地面一定高度处把4个水果以不同的初速度竖直上抛，不计空气阻力，若1 s后4个水果均未着地，则1 s后速率最大的是(g取10m/s^2)()气球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上脱落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2)如图所示，在离地面一定高度处把4个水果以不同的初速度竖直上抛，不计空气阻力，若1s后4个水果均未着地，则1 s后速率最大的是(g取10m/s^2)()(2020·济南模拟)表格内数据为做竖直上抛运动物体的离地高度与时间的关系.0时刻为初始时刻．(g取10 m/s2)试求：(1)物体竖直上抛运动的初速度及初始离地位置；(2)物体上抛的最大离地高度；(3)物体到达地面的时刻．考点三竖直上抛运动的两种解题方法一个从地面竖直上抛的物体两次经过一个较低的点A的时间间隔是T A，两次经过一个较高的点B的时间间隔是T B，重力加速度为g，则A、B之间的距离为()A.18g(T A2－T B2) B.14g(T A2－T B2)C.12g(T A2－T B2) D.12g(T A－T B)2考点四竖直上抛运动的对称性与多解性(多选)如图所示，在距地面h处以速度v竖直上抛一个小球，小球上升的最高点距地面2h.忽略空气阻力，重力加速度为g，从小球抛出开始计时，在整个运动过程中，当小球距抛出点距离为h2时，经历的时间可能是()A.2v2g B．(1－2 2)vgC．(1＋22)vg D．(1＋6 2)vg(2021·福州一模)如图所示，A球从光滑斜面顶端静止开始下滑，同时B 球从斜面底部以初速度v0冲上斜面．当两球同时运动到同一水平面时，速度大小相同均为v，且方向平行，此过程两小球运动的路程分别为s A、s B，则() A．A球到达底部的速度大小为v0B．A球到达底部前，B球已从顶端飞出C．v0∶v＝3∶1D．s A∶s B＝1∶1在竖直方向运动的相遇问题例自高为H的塔顶自由落下物体A，同时物体B自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，根据下面问题讨论H、v0和g的关系：(1)在什么条件下，两物体在B的最高点相遇？(2)在什么条件下，两物体在地面相遇？(3)在什么条件下，B正在上升途中两物体相遇？(4)在什么条件下，B正在下降途中两物体相遇？某人站在高楼的平台边缘，以20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子．不考虑空气阻力，取g＝10 m/s2.求：(1)石子上升的最大高度及回到抛出点所用的时间；(2)石子抛出后到达距抛出点下方20 m处所需的时间．(2021·上海模拟)以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，则小树高约为()A．0.8 m B．1.6 mC．2.4 m D．3.2 m(2021·河北模拟)(多选)建筑工地，工人往往徒手抛砖块，地面上的工人以10 m/s的速度竖直向上间隔1 s连续抛出两个砖块，每次抛砖时，楼上的工人在抛砖点正上方3.75 m处接砖，重力加速度取10 m/s2，空气阻力不计，设地面上的人抛出第一块砖的时刻记为t＝0时刻，则()A．t＝1 s时刻楼上的工人可接到砖B．楼上的工人在t＝0.5(2n＋1) s(n ＝0、1、2、3…)时刻都能接到砖C．楼上的工人两次接砖的最长时间为2 sD．楼上工人不可能同时接到两块砖。

两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。

对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，她取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔，如何分析此类问题呢？下面笔者就以一道例题谈一谈她的一些分析方法。

例题：将小球A以初速度V A=40 m/s竖直向上抛出，经过一段时间Δt后，又以初速度V B=30m/s将小球B从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析Δt 应满足的条件。

解析：由于是在同一点抛出且V A＞V B，故相遇的位置一定是在A球下降阶段，B球有可能是在下降或上升阶段，其抛出的时间间隔就由这两过程决定。

方法一：利用空中的运动时间分析要使两小球在空中相遇，Δt应满足的条件一定是介于某一范围内，因此，只要求出这个范围的最大值和最小值就可以了。

当小球B抛出后处于上升阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较大，故Δt的最大值为小球A刚要落回抛出点的瞬间将小球B抛出。

而小球A在空中运动的时间为：，即Δt的最大值为Δt max=8s。

当小球B抛出后处于下降阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较小，故Δt的最小值为A、B两小球同时落地，先后抛出的时间间隔。

而小球B在空中运动的时间为：，则Δt的最小值为Δt min=t A-t B=2s。

故要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。

方法二：利用位移公式分析A、B两小球在空中相遇，不管其是在上升还是下降阶段相遇，相遇时的位移必相等。

设小球B抛出后经时间t与小球A相遇，则小球A抛出后的运动时间为（t+Δt），由位移公式可得整理后可得，相遇时小球B所经过时间为：（1）考虑到A、B小球在空中相遇，则0＜t＜6s。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题04 竖直上抛运动规律及相遇问题导练目标 导练内容目标1 竖直上抛运动的规律（公式、图像、对称性） 目标2竖直上抛运动中的相遇问题（公式法和图像法）一、竖直上抛运动的规律1.研究竖直上抛运动的两种方法：（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。

（2）全程法：将全过程视为初速度为v 0，加速度a ＝－g 的匀变速直线运动。

①速度时间关系：0v v gt =-；②位移时间关系：2012h v t gt =-； ③速度位移关系：2202v v gh -=-。

④符号法则：1）v >0时，物体上升；v <0时，物体下降；2）h >0时，物体在抛出点上方；h <0时，物体在抛出点下方。

（3）两个重要结论：①最大高度：202m v h g =；②到达最高点的时间：0vt g=2.竖直上抛运动的图像v-t图像h-t图像3.竖直上抛运动的对称性时间对称物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的时间相等速度对称物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反能量对称竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等力加速度g取10m/s2，则下降过程的前2s内通过的位移是（设小球受到大小恒定的空气阻力）（）A ．8mB ．16mC ．20mD ．24m【答案】D【详解】利用竖直上抛运动的对称性规律，可知上升过程中的最后2s 内发生的位移与下降过程的前2s 内通过的位移通过的位移大小一样，所以D 正确；ABC 错误；故选D 。

【例2】在足够高的塔顶上以v 0= 20m/s 的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力，g = 10m/s 2），从抛出至位移大小为15m 这段时间内，小球（ ） A ．平均速度可能为7.5m/s ，方向竖直向上 B ．平均速率可能为11m/s C ．通过的路程可能为55mD ．平均速度可能为2m/s ，方向竖直向下 【答案】C【详解】BC ．当位移方向向上时，即位移115m x =路程可能为115m s =，20221525m 2v s g=⨯-= 设用时为t ，由位移公式得212x v t gt =-代入得215205t t =-解得121s 3s t t ==当位移方向向下时，即215m x =-路程20321555m 2v s g =⨯+=设用时为t '，由位移公式得2012x v t gt ='-'代入得215205t t '-='- 解得(27s t '=（另一值不合理舍去）根据平均速率sv t=率可得：平均速率可能为11115m/s s v t ==率 22225m/s 3s v t ==率；33 27s v t =='+率，B 错误，C 正确； AD ．平均速度可能为1111515m/s 1x v t ===，12115'35m/s x v t ===方向竖直向上22 '27x v t ==+方向竖直向下，AD 错误。

第02讲 匀变速直线规律的应用知识图谱追击、相遇问题的分析知识精讲1．追击和相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。

2．几种典型的追击、相遇问题在讨论A 、B 两个物体的追击问题时，先定义几个物理量，0x 表示开始追击时两物体之间的距离，x ∆表示开始追及以后，后面的物体因速度大而比前面物体多运动的位移；1v 表示运动方向上前面物体的速度，2v 表示后面物体的速度。

下面分为几种情况：（1）特殊情况：同一地点出发，速度小者（初速度为零，匀加速运动）追击速度大者（匀速运动）。

（1）当12v v =，A 、B 距离最大。

（2）当两者位移相等时,有 122v v =且A 追上B 。

（3）A 追上B 所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍，122t t =。

（4） 两者运动的速度时间图像（2） 速度小者（2v ）追击速度大者（1v ）的一般情况总结：速度较小的物体以匀速，或者匀加速，追击匀速或者匀减速的物体，两者在速度相同时，其距离最远；之后，两者的距离在减小，并能相遇一次，但需要注意被追物体已经停止的情况。

（2）速度大者（2v ）追速度小者（1v ）的一般情况类型图象说明匀加速追匀速①t =t 0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t =t 0时，两物体相距最远为x 0+Δx③t =t 0以后，后面物体与前面物体间距离减小④当两者的位移相同时，能追及且只能相遇一次。

匀速追匀减速匀加速追匀减速匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t =t 0时刻：①若Δx =x 0,则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；②若Δx <x 0，则不能追及，此时两物体最小距离为x 0-Δx ； ③若Δx >x 0，则相遇两次，设t 1时刻Δx 1=x 0，两物体第一次相遇，则t 2时刻两物体第二次相遇。

竖直上抛运动规律集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-竖直上抛运动规律1定义：将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出去，物体只在重力作用下的运动。

特点：是加速度为－g （取竖直向上方向为正方向）的匀变速直线运动，运动到最高点时，v=0，a=－g 。

2分析方法及规律：（1）分段分析法：（取竖直向上方向为正方向） ②下落过程：自由落体运动，，。

v gt s gt t==122 （取竖直向下方向为正方向）（2）整过程分析法：全过程是加速度为－g （取竖直向上方向为正方向）的匀变速负，s 为正值表示质点在抛出点的上方，s 为负值表示质点在抛出点的下方，v 为正值，表示质点向上运动，v 为负值，表示质点向下运动。

由同一位移s 求出的t 、v t 可能有两解，要注意分清其意义。

=v 0/g ；下落过程是上升过程的逆过程，所以质点在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度大小相等，物体在通过同一段高度过程中，上升时间与下落时间相等。

例1:将一个物体竖直向上抛出后，物体在2s 末和4s 末通过同一位置，求物体抛出时的初速度很上升的最大高度（g 取10m/s 2）。

（45m ）例2气球以10 m/s 的速度匀速上升，当它上升到 175m 的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面到达地面时的速度是多大(g 取10m/s2)（ 7s 、60m/s ）例3、不计空气阻力，竖直上抛的小球抛出时为t=0时刻，若t 1=3s ，t 2=7s 两时刻距抛出点高度相同，则上抛初速度大小为多少m/s ，由抛出到落地共经历时间为多少s 。

（g=10m/s 2）(10s)例4 、某物体被竖直上抛，空气阻力不计，当它经过抛出点之上0.4米处时速度为3米/秒，当它经过抛出点以下0.4米时，速度应是多少 (5m/s)练习1. 、以ν0初速度竖直上抛一个小球，当小球经过A 点时速度为40 ，那么A 点高度是最大高度的( )A ．43B ．161C ．41D ．16152.、关于竖直上抛运动的上升过程和下落过程(起点和终点相同)，下列说法正确的是：( )A ．物体上升过程所需的时间与下降过程所需的时间相同B ．物体上升的初速度与下降回到出发点的末速度相同C ．两次经过空中同一点的速度大小相等方向相反D ．上升过程与下降过程中位移大小相等、方向相反3. 一物体从离地H 高处自由下落x 时，物体的速度恰好是着地时速度的一半，则它落下的位移x 等于___________。

用位移时间图像巧妙解决竖直上抛相遇问题
解决追击相遇问题可以用图像法，解决平面上的追击相遇问题，用速度时间图像解决较简单，而解决竖直上抛的追击相遇问题用位移时间图像解决则显得非常简单明了，本文就以竖直上抛为例，列举一道用位移时间图像解决问题的实例，来共同讨论和学习：
解析：本题可以用常规方法，即解析方法解题，进行分时间节点讨论，不过很复杂，这里就不再写了。

下面就介绍一种图像法，用位移时间图像解决这道题，两个小球都是做竖直上抛运动，竖直上抛运动是一种匀变速直线运动，其位移时间图像是抛物线，如下图：
大的抛物线表示初速度为2v0的小球位移图像，小的抛物线表示初速度为v0的小球位移图像，用绿色，红色，蓝色，紫色的抛物线分别表示初速为v0的小球在不同抛出时刻的位移时间图像，根据位移时间图像交点意义知道，只有小的抛物线和大的抛物线有交点才表示两小球相遇，标出时刻是小球运动到最高点或落到初位置对应的时刻，由图可知，当Δt=2v0
两小球会在初位置相遇，只有，两小球g，
才会在空中相遇，所以本题选择AD。

，。

专题：竖直上抛运动和追及相遇问题一、竖直上抛运动1.定义：物体具有竖直向上的初速度，只在重力作用下的运动。

2.运动性质，先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程加速度始终为g ，全过程为匀变速直线运动。

3.处理方法（1）分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下落阶段的自由落体运动。

上升阶段：20021,gt t v h gt v v -=-= 下落阶段：221,gt h gt v == （2）整体法：将全过程视为初速度为0v ,加速度为-g 的匀变速直线运动。

选竖直向上为正方向，则有20021gt t v h gt v v -=-=，. 4.竖直上抛的特点：（1）时间的对称性物体上升过程中从A →C 所用时间和下降过程从C →A 所用时间相等。

（2）速度的对称性物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等。

5.几个典型的物理量 上升的最大高度：g v g v h 22020202=--= 上升时间：gv g v t 000=--= 在gv t 02=时刻，整个过程位移为零，即回到抛出点。

例1： 一个氢气球以8m/s 2的加速度由静止从地面竖直上升，5s 末从气球上掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多高处？此重物从气球上掉下后，经多长时间落回地面（忽略空气阻力，g=10m/s 2）练习1.从地面上竖直上抛一个小球,通过楼上高l=1.5m的窗口的时间为0.1s,当物体落回时,从窗口下沿落到地面的时间为0.25s,取g=10m/s2,则物体抛出的初速度v0为多少?练习2.将两个小球同时从地面竖直上抛,A上升的最大高度比B上升的最大高度高出35m,返回地面的时间比B迟2s，求两球的初速度各为多少？A和B分别达到的最大高度。

（不计空气阻力，g=10m/s2）二、追及和相遇问题追及相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。