电工技术基础第二章正弦交流电路2.

2018年12月9日星期日 6
正弦量三要素之二 -- 瞬时值、幅值与有效值
瞬时值
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
i I m sin t
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
解： (1) 采用相量运算 I1m = 20 60 A I2m = 10 – 45 A
(2) 相量图
+j I1m
Im
Im = I1m+ I2m 60° = 19.9 30.9 A 30.9° O 45° +1 i = Im sin(ωt +ψ) I2m = 19.9 sin(ωt + 30.9 ) A (3) 因为 i1 + i2 的初相位不同，故最大值和有效 值之间不能代数相加。
3
一、正弦量的三要素 i Im
ψ
t
i = Imsin(ωt +ψ)
瞬时值最大值
角频 初相位 ： 率
Im
最大值
正弦量的三要 素
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： 角频率（弧度/秒）
： 初相位
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正弦量三要素之一 -- 频率或周期 i
t
T
描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
311.1 U 60 220 60 110 j 190.5 V 2
I
100
/6
/ 3
220
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U
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例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 50 Hz 的正弦电流其相量形式 为：
I1 100 60 A
相位差 t
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i2 I m 2 sin t
2
1
2
14
t 1 2 1
规定： | | (180°)
i
u
0＜ ＜180°
i
u
－180°＜ ＜ 0°

O
ωt
O
ωt
u 超前于 i
i u

i u
a
欧 拉 公 式
e cos 2 j j e e sin 2j e
代数式 三角函数式 指数式
j
j
a jb U U (cos j sin ) U e
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j
U
极坐标形式
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相量的复数运算
1. 加 、减运算
j 1 设： U 1 a1 jb1 U 1e a jb U e j 2 U 2 2 2 2
A
141.4 I 30 10030 86.6 j 50 2
311.1 U 60 220 60 110 j 190.5 V 2
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141.4 I 30 10030 86.6 j50 A 2
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复数表示法
复数运算
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二、正弦量的相量计算法
将有效值相量
U
放到复平面上，可如下表示：
模
j
b
U
U
+1
幅 角
a
U a b 1 b tg a
2

a jb U cos jU sin U
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U
b
U
2 =ψ –ψ2
U2 ψ2 = 60
U2 = 60 – 60 A
U
相量图 U = U1 + U2 = （100 0 + 60 – 60 ）V = 140 – 21.79 V (2) 1 =ψ –ψ1= – 21.79 – 0 = – 21.79 2 =ψ –ψ2 = – 21.79 – ( – 60 ) = 38.21
U 2
U
同频率正弦量的 相量画在一起， 构成相量图。

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2
1
U 1
U U U 1 2
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注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 相量
U U1 j 1 2 U1 1 e 1 2 U U2 U2 2
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说明：
设：任一相量
I
90°旋转因子：+j表逆时针 转90°，-j表顺时针转90°
则： I e
j 90
I ( j )
)
由于： e±j90 = 1 ±90 =±j j90 jψ j90 j(ψ + 90 j I = I e = I e · e = I e 则
u 滞后于 i
= ±180°
= 0°
O
ωt
O
ωt
u 与 i 同相位
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u 与 i 反相
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例
已知：
最大值：
i sin 1000 t 30
1 I 0.707A 2
I m 1A
频率：
1000 rad/s 1000 f 159 Hz 2 2
则：
U U U 1 2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) Ue
j
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2. 乘法运算
U U U 1 2 U1 U 2 e
3. 除法运算
j ( 1 2 )
U1 U 2( 1 2 )
初相位：
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30
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2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
i

波形图
t

瞬时值表达式
i 2 sin1000 t 30
必须 小写
相量法
重点
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前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。17
一、 正弦量的相量表示法
（用来表示正弦量的复数称为相量 ）
j I1 +j I
－j I = I e j90 = I ejψ· e j90 = I ej(ψ 90 )
ψ
O
+1
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j I1
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相量法（用复数运算）应用举例 例1: 已知瞬时值，求相量。
已知:
解：
i 141.4 sin 314t A 求： 6 i 、u 的相量 u 311.1sin 314t V 3
(a) 旋转矢量 +j
ωt1 ωt2 ω
(b) 正弦交流电
ψ O +1
O
ψ
ωt1
ωt
正弦交流电可以用 一个固定矢量表示 最大值相量 Im 有效值相量 I
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ωt2 +j I +1
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Im ψ
O
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U 2 sin t 2
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例 4 已知 u1 和 u2 的有效值分别为U1 = 100 V， U2 = 60 V，u1 超前于 u2 60º ，求： (1) 总电压 u = u1 + u2 的有效值并画出相量图； (2) 总电压 u 与 u1 及 u2 的相位 差。 解： U1 ψ =ψ –ψ 1 1 (1) 选 u1为参考相量 ψ2 U1 = 100 0 A
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小结：正弦量的四种表示法
i
波形图
Im
T

t
瞬时值
u U m sin t
U
相量图
I
复数 符号法
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j U a jb U e U
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提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
3 j4 U
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i , Im , I ,
u , Um , U
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问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上? ~ 220V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
电器
最高耐压 =300V
幅度：相量大小 设： 相位： 2
U 2
2
1
U 2 U1
领先 U2 U1 落后
1
U 1
U 1
落后于
U 2
？
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同频率正弦量相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1 u2 2U 2 sin t 2
u 5 2 sin( t 531 )

3 j4 U
3 j 4 U
3 j 4 U
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u 5 2 sin( t 531 )
j 30
10 e I 2
求：