最新必修一函数及其表示讲义资料

函数的概念及表示知识精讲一知识结构图二.学法指导1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．3．函数求值的方法（1）已知f x的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f a的值.（2）求f g a的值应遵循由里往外的原则.4.对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．5.函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.6.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．7.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.8.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．9．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内三.知识点贯通知识点1 函数的概念1.定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

2.三要素：对应关系，定义域，值域。

例1.下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2【答案】B【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.知识点二函数的定义域1.求函数定义域的常用方法：1若f x是分式，则应考虑使分母不为零.2若f x是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若f x是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若f x是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若f x是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.例题2：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.【答案】(1){x|x≠2} (2){x|x>－1且x≠1} (3){x|1≤x≤3}(4){x|x≤1且x≠－1}【解析】(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}． (3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．知识点三 求函数的解析式1.求函数解析式的四种常用方法1待定系数法：若已知fx 的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.2换元法：设t ＝g x ，解出x ，代入f gx，求ft的解析式即可. 3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示出来，再用x 代替两边所有的“gx ”即可.4方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.例题3 .(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【答案】(1)f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)f (x )＝23x －1【解析】(1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)2x ＋83或－2x －8 (3)23x －1 [(1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8， 即⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－8. 所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎨⎧f x －2f －x ＝1＋2x ，f－x －2fx ＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.]知识点四 分段函数的求值问题1.如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．例题4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 五 易错点分析易错一 函数的定义域例题5.将函数y ＝31－1－x 的定义域用区间表示为________．【答案】(－∞，0)∪(0,1]【解析】由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，函数的定义域用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．． 误区警示求函数的定义域应使得解析式有意义，式子有意义的几条准则应考虑全面。

第三讲： 函数及其表示1.函数的定义：映射的定义：设A 、B 时两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有一个唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的一个函数（function ），通常记为y f x x A =∈()，.其中，所有的输入值x 组成的集合叫做函数y f x =()的定义域（domain ）.函数是两个数集间的一种确定的对应关系.由函数的定义知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，因此如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等.注意问题：（1）“y f x =()”为“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是符号，不表示y 等于f 与x 的乘积.（2）给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.在函数定义中，所有能输入的值x 组成的集合A 叫做y f x =()的定义域，而对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成集合称为函数的值域.区间的概念：设a ，b 两个实数，且a<b ，规定有：(1)满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记为[a,b].(2)满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，记为(a,b).(3) 满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，记为[a,b)或(a,b].这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.符号“∞”读作“无穷大”，符号“∞-”读作“负无穷大”，符号“∞+”读作“正无穷大”.2.函数的图像将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f x ()0作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()x f x 00，().当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所以这些点组成的集合（点集）为(){}x f x x A ，()|∈，即{}()|()x y y f x x A ，，=∈，所有这些点组成的图形就是函数y f x =()的图象.3.函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.有两中比较特殊的函数：分段函数和复合函数.(1)分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)复合函数：设 f(x)=2x -3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)-3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x -3)2+2=4x2-12x+11）为复合函数.例1．下列各组函数中，两个函数是相同的函数是（ ） A. 2)(x y = 2x y = B. 2x y = x y = C. 112-+=x x y 11-=x y D. 121--=x x y 211--=x y 【解析】： A. 定义域不同B. 值域不同C. 定义域不同D. 正确 例2. 求下列函数的定义域：（1）y x x =+-22· （2）y x x =--223（3）()y x x x =+-20【解析】： （1）为使函数有意义，则x x +≥-≥⎧⎨⎩2020解得：x ≥2所以定义域为{}x x |≥2（2）为使函数有意义，则20230-≥-≠⎧⎨⎩x x解得：x ≤2且x ≠32所以定义域为x x x |≤≠⎧⎨⎩⎫⎬⎭232且 （3）为使函数有意义，则x x x +≠->⎧⎨⎩200 解得：x <0且x ≠-2所以定义域为{}x x x |<≠-02且评析：一般地，求函数定义域，归结为解不等式组成的混合组，要注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根被开方数非负；（3）零次幂的底数不为0.例3. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围【解析】解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ②①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二：如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax , ∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0例4. 对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和【解析】：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题，把证明图象对称问题转化到点的对称问题(1)证明：设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0), ∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称， 又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解：由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根，∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8即f (x )=0的四根之和为8评析：本题提供了数形结合、等价转化的数学思想.1.已知()f x x x x x ()()()=>=<⎧⎨⎪⎩⎪20000π，则{}f f f [()]-2等于（ ）A. 0B. πC. π2D. 42. 求下列函数解析式 （1）一次函数)(x f y =满足1)1(=f ，3)1(=-f ，求)(x f 解析式（2）二次函数)(x f y =对任意R x ∈，有x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 解析式（3）)(x f y =满足17)1(2--=+x x x f ，求)(x f 解析式 （4）)(x f y =满足221)1(x x x x x f ++=+，求)(x f 解析式（5）)(x f y =满足23)1()(2x x f x f =-，求)(x f 解析式3. 画出函数f x x ()=的图象，并求f f f f ()()()()--3311，，，的值. 1. 判断下列对应是为集合A 到集合B 的函数的是（ ）A ．AB R ==，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →-12B ．{}A B ==⎧⎨⎩⎫⎬⎭0120121，，，，，，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →1 C ．(){}A x y x y R B R =∈=，，，，对于任意的()x y A ，∈，对应法则f 是：()x y x y ，→+D ．A B R ==，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →±-12〖本题考查：函数〗2. 如果f t t tg t t t ()()=+=-11，，证明：f t g t g t ()()()-=-22 〖本题考查：函数〗3. 已知()f x x x ()=≠10，画出它的图象，并求出f f f f ()()()()--2211，，，及f x ()-. 〖本题考查：函数〗4. 已知某皮鞋厂一天的生产成本C（元）与生产数量n（双）之间的函数关系是400050.C n=+（1）求一天生产1000双皮鞋的成本.（2）如果某天的生产成本是48000元，问：这一天生产了多少双皮鞋？（3）若每双皮鞋售价为90元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润P关于这一天生产数量n的函数关系式.〖本题考查：函数〗1·2 函数及其表示1.C 本题为分段函数，依据x 的不同取值判断所在区间球的函数值.2.【解析】：（1）设)(x f b ax +=（待定系数法）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+-=+2131b a b a b a ∴ 2)(+-=x x f（2）设c bx ax x f ++=2)( ∴x x c x b x a c x b x a 42)1()1()1()1(222-=+-+-+++++ 即：x x c a bx ax 42)22(2222-=+++ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-==1210224222c b a c a b a ∴12)(2--=x x x f （3）（凑数法，换元法） 29)1(17)1(22--+=--=+x x x x x f 7)1(9)1(2++-+=x x∴79)(2+-=x x x f 令t x =+1 ∴ 1-=t x 代入791)1(7)1()(22+-=----=t t t t t f∴79)(2+-=x x x f （4）令t x x =+1 ∴ 11-=t x 代入 ∴ 1)1()1(1)1(11)1(1)1(1)(2222+-=-+-+=-+-+-=t t t t t t t t f∴1)(2+-=x x x f （5）（方程法）由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-=-22)1(3)11()1(23)1()(2x x f x f x x f x f即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(3)()1(2)1(3)1()(222x x f x f x x f x f（1）+⨯2（2）2236)(3x x x f += ∴ 2212)(x x x f +=3.【解析】：（图略）f x x x x x x ()==-<≥⎧⎨⎩00，其中f f f f ()()()()-==-==33331111，，，1.A 说明：构成函数的三要素为:定义域、对应关系和值域.2. 证明：f t g t t t t t t t g t ()()()-=+--=--=-11212222 3.21)2(-=-f ，21)2(=f ，1)1(-=-f ,1)1(=f ,)0(1)(≠-=-x xx f )(x f 的图像如下图所示 yy x=1O x4.【解析】：（1）400050100054000+⨯=（2）48000400050880=+=n n ，（3）P n =-404000。

学习目标核心素养１．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．（重点，难点）２．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．（重点、难点）３．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．（重点）１．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．２．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．１．下列给出的式子是分段函数的是（）１f（x）＝错误!２f（x）＝错误!３f（x）＝错误!４f（x）＝错误!Ａ．１２Ｂ．１４Ｃ．２４Ｄ．３４B[结合分段函数的定义可知１４是分段函数，２３中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选Ｂ．]２．函数y＝错误!的值域是________．[答案] [0，＋∞）３．函数f （x ）＝错误!则f （f （４））＝________.0 [∵f （４）＝—４＋３＝—１，f （—１）＝—１＋１＝0， ∴f （f （４））＝f （—１）＝0．]分段函数的求值问题【例１】 已知函数f （x ）＝错误!（１）求f （—５），f （—错误!），f 错误!的值； （２）若f （a ）＝３，求实数a 的值．[解] （１）由—５∈（—∞，—２]，—错误!∈（—２,２），—错误!∈（—∞，—２]，知f （—５）＝—５＋１＝—４，f （—错误!）＝（—错误!）２＋２×（—错误!）＝３—２错误!.∵f 错误!＝—错误!＋１＝—错误!， 而—２<—错误!<２，∴f 错误!＝f 错误!＝错误!２＋２×错误!＝错误!—３＝—错误!. （２）当a ≤—２时，a ＋１＝３， 即a ＝２>—２，不合题意，舍去． 当—２<a <２时，a ２＋２a ＝３， 即a ２＋２a —３＝0． ∴（a —１）（a ＋３）＝0， 解得a ＝１或a ＝—３．∵１∈（—２,２），—３∉（—２,２）， ∴a ＝１符合题意．当a ≥２时，２a —１＝３，即a ＝２符合题意． 综上可得，当f （a ）＝３时，a ＝１或a ＝２．１．分段函数求函数值的方法：（１）确定要求值的自变量属于哪一段区间．（２）代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值．２．已知函数值求字母取值的步骤：（１）先对字母的取值范围分类讨论．（２）然后代入不同的解析式中．（３）通过解方程求出字母的值．（４）检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．１．函数f（x）＝错误!则f（7）＝________.8[∵函数f（x）＝错误!∴f（7）＝f（f（１２））＝f（9）＝f（f（１４））＝f（１１）＝8．]分段函数的解析式【例２】如图所示，已知底角为４５°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为２错误!cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为４５°，AB＝２错误!cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝２cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝３cm.（１）当点F在BG上，即x∈[0,２]时，y＝错误!x２；（２）当点F在GH上，即x∈（２,５]时，y＝错误!×２＝２x—２；（３）当点F在HC上，即x∈（５,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD—S Rt△CEF＝错误!（7＋３）×２—错误!（7—x）２＝—错误!（x—7）２＋１0．综合（１）（２）（３），得函数的解析式为y＝错误!图象如图所示．１．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．２．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．２．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（１）５公里以内（含５公里），票价２元；（２）５公里以上，每增加５公里，票价增加１元（不足５公里按照５公里计算）．如果某条线路的总里程为２0公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,２0]．由题意得函数的解析式如下：y＝错误!函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]１．函数f（x）＝|x—２|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f（x）＝错误!函数f（x）的图象如图所示．２．结合探究点１，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例３】已知函数f（x）＝１＋错误!（—２<x≤２）．（１）用分段函数的形式表示f（x）；（２）画出f（x）的图象；（３）写出函数f（x）的值域．[思路点拨] （１）分—２<x<0和0≤x≤２两种情况讨论，去掉绝对值可把f（x）写成分段函数的形式；（２）利用（１）的结论可画出图象；（３）由（２）中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．[解] （１）当0≤x≤２时，f（x）＝１＋错误!＝１，当—２<x<0时，f（x）＝１＋错误!＝１—x，∴f（x）＝错误!（２）函数f（x）的图象如图所示．（３）由（２）知，f（x）在（—２,２]上的值域为[１,３）．把本例条件改为“f（x）＝|x|—２”，再求本例的３个问题．[解] （１）f（x）＝|x|—２＝错误!（２）函数的图象如图所示．（３）由图可知，f（x）的值域为[—２，＋∞）．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.１．分段函数是一个函数，而不是几个函数．２．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．３．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．１．思考辨析（１）分段函数由几个函数构成．（ ） （２）函数f （x ）＝错误!是分段函数．（ ） [答案] （１）× （２）√２．设函数f （x ）＝错误!则f （f （３））＝（ ） Ａ．错误! Ｂ．３ Ｃ．错误! Ｄ．错误! D [∵f （３）＝错误!≤１， ∴f （f （３））＝错误!２＋１＝错误!.]３．函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则其解析式为________．f （x ）＝错误! [当0≤x ≤１时，设f （x ）＝kx ，又过点（１,２），故k ＝２，∴f （x ）＝２x ；当１<x <２时，f （x ）＝２；当x ≥２时，f （x ）＝３． 综上f （x ）＝错误!] ４．已知f （x ）＝错误! （１）画出f （x ）的图象； （２）求f （x ）的定义域和值域．[解] （１）利用描点法，作出f （x ）的图象，如图所示．（２）由条件知，函数f （x ）的定义域为R .由图象知，当—１≤x ≤１时，f （x ）＝x ２的值域为[0,１]， 当x >１或x <—１时，f （x ）＝１， 所以f （x ）的值域为[0,１]．。

第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y ＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相等.3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)函数y＝x0的定义域是{x|x∈R且x≠0}.4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法.5. 映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B 的一个映射.二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】(1)已知f(x)＝2x＋3，求f(x－1)的表达式；(2)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f(x)的表达式.【解析】(1)把f(x)中的x换成x－1，得f(x－1)＝2(x－1)＋3＝2x＋1.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f(x)＝x2－x＋1. (3)由f(x)＋2f(－x)＝3x 2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)＝3x 2－5x ＋3，解得f(x)＝x 2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x 1+)＝221x x x ++，求f(x).【解析】设u ＝x x 1+，则x 1＝u －1 (u≠1). 由f(u)＝1＋x 1＋21x ＝1＋(u －1)＋(u －1)2＝u 2－u ＋1. 所以f(x)＝x 2－x ＋1 (x≠1).题型二：求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2，4]，求f(x 2－3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义，则只要⎪⎩⎪⎨⎧--0＞90,＞　222　x x x 即⎩⎨⎧-＜3,＜30＜2＞x x x ，或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3. 故所求的定义域为(－3，0)∪(2，3).(2)依题意，只需－2≤x 2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4. 故f(x 2－3x)的定义域为[－1，1]∪[2，4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解. 对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知f(x)的定义域为(－1，1)，求函数F(x)＝f(1－x)＋f(x 1)的定义域. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧---＜111＜＜1,1＜1x x 得1＜x ＜2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ，所以y ＝2π2x +(2l －2πx －x)·2x ＝－(2＋2π)x 2＋lx. 由实际意义知2l －2πx －x ＞0，因为x ＞0，解得0＜x ＜π2+l. 即函数y ＝－(2＋2π)x 2＋lx的定义域是{x|0＜x ＜π2+l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.题型四：分段函数【例4】 已知函数⎩⎨⎧++=.0 ≥1,0＜3,)(2x x x x x f ，求(1) f(1)＋f(－1)的值；(2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.(2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a 2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0.(3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0；当x≥0时，f(x)＝x 2＋1＞2，解得x ＞1.所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理.第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数(减函数)的定义：设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＜f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是增函数. 当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是减函数.如果函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间.2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法：函数f(x)在区间D 上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数；(2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x 1、x 2，作差比较f(x 1)与f(x 2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设y ＝f(u)，u ＝g(x)(x ∈[a ，b])都是单调函数，则y ＝f[g(x)]的单调性由“同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例1】讨论函数f(x)＝21++x ax (a ≠21)在(－2，＋∞)上的单调性.【解析】设x 1，x 2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝2111++x ax －2122++x ax ＝)2)(2()12)((2121++--x x a x x ，因为x 1∈(－2，＋∞)，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，所以当a ＜21时，1－2a ＞0，f(x 1)＞f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a ＞21时，1－2a ＜0，f(x 1)＜f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x 1，x 2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断.【变式训练1】讨论函数f(x)＝ax 2+bx+c 的单调性.题型二：函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y ＝|x －1|；(2)y ＝x 2＋2|x －1|；(3)y ＝2342-+-x x .【解析】(1)y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧--.1＜,1,1 ≥,1x x x x 所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).(2)y ＝x 2＋2|x －1|＝⎪⎩⎪⎨⎧+--+.1＜ ,22,1 ≥ ,2222x x x x x x 所以函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (3)由于t ＝－x 2＋4x －3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.题型三：函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1，1]，且对于任意的x 1，x 2∈[－1，1]，当x 1≠x 2时，都有2121)()(x x x f x f --＞0. (1)试判断函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x －1)＜f(6x 2).【解析】(1)当x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2时，2121)()(x x x f x f --，得f(x 1)＜f(x 2)，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数. (2)因为f(x)在[－1，1]上是增函数. 所以，由f(5x －1)＜f(6x 2)知，⎪⎩⎪⎨⎧----226＜15,1 ≤ 6 ≤ 1,1 ≤ 15 ≤ 1x x x x ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-2131＜,66 ≤ ≤ 66,52 ≤ ≤ 0x ＞x x x 或所以0≤x ＜31，所求不等式的解集为{x|0≤x ＜31}.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.【例4】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3与g(x)＝1+x a在区间[1，2]上都是减函数，求a 的取值范围.【解析】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3在区间[1，2]上是减函数，则a≤1；若g(x)＝1+x a在区间[1，2]上是减函数，则a ＞0. 所以，a 的取值范围为0＜a ≤1.【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定.第三次课函数的奇偶性一、知识要点1. 函数的奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.2. 奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝(x －1)x x -+11；(2)f(x)＝22)1lg(22---x x ；(3)f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-+；，)0( )0＜( 22x ＞x x x x x (4)f(x)＝23x -+32-x . 【解析】(1)由x x-+11≥0，得定义域为[－1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠---0220＞122x x ，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，因为f(x)＝2)2()1lg(22----x x =－22)1lg(x x -，f(－x)＝[]22)()(1lg x x ----＝－22)1lg(x x -＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x 2＋x)＝－f(x)；当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2－x ＝x 2－x ＝－f(x). 所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.(4)由⎪⎩⎪⎨⎧--0 ≥30 ≥322x x ，得x ＝3- 或x ＝3，所以函数f(x)的定义域为{3-，3}，又因为对任意的x ∈{3-，3}，－x ∈{3-，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例2】若函数f(x)＝12+++nx x mx 是定义在(－1，1)上的奇函数，求f(x)的解析式.【解析】因为函数f(x)＝12+++nx x m x 是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，从而得m ＝0；又f(21)＋f(－21)＝0，得n ＝0. 所以f(x)＝12+x x (－1＜x ＜1).【变式训练1】已知定义域为R 的函数f(x)＝a bx x ++-+122是奇函数. 求a ，b 的值.【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即21+-a b ＝0，得b ＝1，所以f(x)＝1221++-x x a .又由f(1)＝－f(－1)，知1211421+-=+-a a ，得a ＝2. 故a ＝2，b ＝1. 题型三：函数奇偶性的应用【例3】设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x ＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求证：函数f(x)为奇函数；(2)求证：函数f(x)在R 上是增函数；(3)在区间[－4，4]上，求f(x)的最值.【解析】(1)证明：令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0；令y ＝－x 有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)，又x ＞0时，f(x)＞0，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)＞0，即f(x 2)＞f(x 1)，所以函数f(x)在R 上是增函数.(3)因为函数f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[－4，4]上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4). 因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，故函数f(x)在区间[－4，4]上的最大值为12，最小值为－12.【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.【变式训练2】函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1、x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2). (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.【解析】(1)令x 1＝x 2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，得f(－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3. 所以f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，即f[(3x ＋1)(2x －6)]≤f(64).因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧-+-+64 ≤ )62(130＞)62)(13(x x x x ）（，或⎩⎨⎧-+--+64 ≤ )62(130＜)62)(13(x x x x ）（，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⇒5 ≤ ≤ 3731＜3＞x x x ，或或⎪⎩⎪⎨⎧∈-,3＜＜31R x x ，所以3＜x≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. 故x 的取值范围为{x|3＜x≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3}.第四次课二次函数一、知识要点1. 二次函数的解析式：(1)一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)；(3)零点式：f(x)＝ a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0，x 1，x 2是方程f(x)＝0的两个根).2. 二次函数的图象特征：a ＞0时，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向上的抛物线；a ＜0时，二次函数f(x)＝ ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线. 二次函数图象的对称轴是直线a bx 2-=.3. 二次函数的定义域和值域：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的定义域为R ，当a ＞0时，其值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,442a b ac ；当a ＜0时，其值域为 ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ac 44 ,2 .4. 二次函数的单调性：设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，当a ＞0时，f(x)在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是增函数；当a ＜0时，f(x)在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2 ,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是减函数.二、典例精析题型一：求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y ＝f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－2，在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式.【解析】设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，由已知有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-224,1)0(,222a ac b f a b ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒,84,1,422a a b c a b解得a ＝21，b=2，c ＝1，所以f(x)＝21x 2＋2x ＋1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝a acb 42-.【变式训练1】若二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为？ .【解析】此题可选用一般式解决，但计算复杂. 对称轴为x ＝2，最小值是－1，可知其顶点为(2，－1)，从而，可选用顶点式求解. 设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2－1，将(0，1)代入得1＝4a －1，所以a ＝21，所以所求的函数解析式为y ＝21(x －2)2－1.题型二：求二次函数的值域或最值【例2】某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳销售价应为多少？【解析】设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y 元，则y ＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900，当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳销售价应为70元. 题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，x 1＜x 2，f(x 1)≠f(x 2)，对于方程f(x)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，证明：(1)方程在区间(x 1，x 2)内必有一解；(2)设方程在区间(x 1，x 2)内的根为m. 若x 1，m －21，x 2成等差数列，则－a b2＜m 2.【证明】(1)令g(x)＝f(x)－21[ f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)g(x 2)＝21[ f(x 1)－f(x 2)]·21[ f(x 2)－f(x 1)] ＝－41[ f(x 1)－f(x 2)]2＜0，所以方程g(x)＝0在区间(x 1，x 2)内必有一解.(2)依题意2m －1＝x 1＋x 2，即2m －x 1－x 2＝1，又f(m)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，即2(am 2＋bm ＋c)＝a 21x ＋bx 1＋c ＋a 22x ＋bx 2＋c ，整理得a(2m 2－21x －22x )＋b(2m －x 1－x 2)＝0，a(2m 2－21x －22x )＋b ＝0，－a b 2＝m 2－22221＜2m x x .【点拨】二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3)相应二次函数的对称轴x ＝－a b2与区间的位置关系.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0)满足条件f(－x ＋5)＝f(x －3)，且方程f(x)＝x 有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m 、n (m ＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m ，n]和[3m ，3n]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)函数f(x)满足f(－x ＋5)＝f(x －3)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称， 故－a b 2＝1，即b ＝－2a. 又方程f(x)＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，所以b ＝1，a ＝－21，所以f(x)＝－21x 2＋x.(2)因为f(x)＝－21x 2＋x ＝－21(x －1)2＋21在区间[m ， n]上的值域为[3m ， 3n]，则3n≤21，n≤61，故m ＜n≤61，所以f(x)在[m ，n]上是增函数，所以f(m)＝3m ，且f(n)＝3n ，所以m 、n 是方程f(x)＝3x 的两个不等实根，所以－21x 2＋x ＝3x ，即x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或－4，又m ＜n ，所以m ＝－4，n ＝0.第五次课指数与指数函数一、知识要点1. n 次方根的定义：若x n ＝a ，则称x 为a 的n 次方根. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根.2. 方根的性质：当n 为奇数时，n n a ＝ a ；当n 为偶数时，n n a ＝ a＝⎩⎨⎧-.0＜,,0 ≥,a a a a3. 分数指数幂的意义：若a ＞0，m ，n 都是正整数，n ＞1，则nma ＝n ma ，n m a-＝nm a 1；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.4. 有理数指数幂的运算性质：a r ·a s ＝a r+s (a ＞0)；a r ÷a s ＝a r －s (a ＞0)；(a r )s ＝a rs (a ＞0)； (ab)r ＝a r b r (a ，b ＞0).5. 指数函数的概念：函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量.6. 指数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1 图象 定义域 RR值域(0， ＋∞ ) (0， ＋∞ )函数值分布当x ＞0时y ＞1，当x ＝0时y ＝1，当x ＜0时0＜y ＜1当x ＞0 时0＜y ＜1， 当x ＝0 时y ＝1， 当x ＜0时y ＞1 单调性在R 上是增函数在R 上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算 【例1】计算：(1) 214-·2133231)()1.0()4(---b a ab ；(2)(0. 027)31-－2)71(--＋(972)21－0)12(-【解析】(1)原式＝23232323232110044b b a a ∙-∙-∙∙∙-＝251.(2)原式＝1)925()71()1()100027(212231-+-----＝13549310-+-＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同. 题型二：指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝1212+-xx ，其中x ∈R ，(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝x xxx 21211212+-=+---＝－f(x)， 所以f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝)12)(12(22121212122121221111++-=+--+-++x xx x x x x x ＜0， 所以f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围，应分类讨论.【变式训练1】已知a ＞0，且a≠1，函数f(x)＝a x －a －x ，其中x ∈R.。