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2019-2020年高中数学_2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件_新人教A版必修2ppt课件

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课件直线与平面垂直平面与平面垂直的性质

课件直线与平面垂直平面与平面垂直的性质
2.类比两个性质定理，你发现它们之间 有何联系？
3.课后阅读教材第70～73页.
4.设平面α ⊥平面β ,点P在平面α 内, 过点P作平面β 的垂线a,直线a与平面α 具有什么位置关系？
过点假O设与b直与线a不a平平行行的,且直b线∩,α即=mO∥,m是a 经βm 直线b与m确定平面β ， a b
设α ∩β =c, 则O∈c， α c O 因为a⊥α ,b⊥α , 所以 a⊥c,b⊥c. 又因为m∥a, 所以 m⊥c 这样在平面β 内,经过直线c上同一点 O就有两条直线b、m与c垂直,显然不可能. 因此b∥a
α
β
思考2:足为B，那么直线
AB与平面 的位置关系如何?为什么?
在β 内引直线BE⊥CD, α
垂足为B，
A D
则∠ABE是二面角
B
E
α -CD-β 的平面角,β C
由α ⊥β 知, ∠ABE =90°即AB⊥BE
又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直
l m
巩固练习
两个平面互相垂直,下列命题中,正确的在 括号内画“√”，错误的画“×”
1.一个平面内的已知直线必垂直于另一个
平面内的任意一条直线(×)
2.一个平面内的已知直线必垂直于另一个
平面内的无数条直线(×)
3.一个平面内的任意一条直线必垂直于另
一个平面(×)
4.过一个平面内任意点作交线的垂线，则
(3) 一条直线在平面内，另一条直线与这个
平面垂直，则这两条直线互相垂直.
(√ )
2.已知直线a、b和平面α ，且a⊥b,a⊥α ,
则b与α 的位置关系是_a_∥__α__,_或___a__α____
知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理

直线与平面、平面与平面垂直的性质 课件

直线与平面、平面与平面垂直的性质 课件
直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线 平行 ． (2)图形语言：
a⊥α
(3)符号语言：
b⊥α
⇒a∥b.
(4)作用：
பைடு நூலகம்
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直 线与另一个平面 垂直 ．
[一点通] 已知条件是线面垂直和面面垂直，要 证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平 面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得 到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系 蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面 垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
[例3] (12分)已知：如图，平面 PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足．
[例2] 如图所示，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥ 平面PBC. 求证：BC⊥AC.
[思路点拨] 若BC⊥AC，则会有BC⊥平面PAC，故 只要在平面PAC内再找一线与BC垂直即可．由已知平面 PAC⊥平面PBC.故可由两平面垂直的性质在面PAC中作 交线PC的垂线可证．
[精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且 AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β.

高一数学2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

高一数学2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

知 ， AB ⊥ BE, 又 AB ⊥
CD,BE 与 CD 是 内的两条相 交直线，所以 AB⊥
3．平面与平面垂直的性质
定理
两个平面垂直，则一个平
面内垂直于交线的直线与另一
个平面垂直
简记为：面面垂直
线面
垂直 .
例 2 如图，已知平面 , ，
师投影例 2 并读题
，直线 a
生：平行
满足 a
，
师：证明线面平面 的位置关系 . 解：在 内作垂直于 交线的直线 b， 因为 a ，所以 b
生：转证线线平行
师：假设内一条直线 b∥a 巩 固 所 学
与 则 b 与 的位置关系如何？
知识， 训练
生：垂直
化归能力 .
师：已知 b ,
，怎
因为 a ，所以 a∥ b. 又因为 a ，所以 a∥ . 即直线 a 与平面 平行 .
然后教师给予评注 .
证明： 如图 ， 设
= c，过
师：利用“同一法”证明 问题主要是在按一般途径不易 完成问题的情形下，所采用的
2
随堂练习
点 P 在平面 内作直线 b⊥ c， 根据平面与平面垂直的性质定 理有 b .
一种数学方法，这里要求做到 两点 .一是作出符合题意的直线 不易想到，二是证直线 b 与直
那么平面 平面 .
内所有直线垂直于
B ．如果平面 ⊥平面 ，
那么平面 内一定存在直线平 行于平面 .
巩固、 所学 知识
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直 线垂直于平面 .
D ．如果平面 平面 ⊥平面 ， 么l .
⊥平面 ， l ，那
（ 2）已知两个平面垂直，
下列命题（ B ） ①一个平面内已积压直线

2.3.3-4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

2.3.3-4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

有时候利用面面垂直的性质定理来寻找垂线， 但是证明 时要分清求证的结论与题设．
证明
(1)∵ADD1A1 为正方形，
∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1， ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D， ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC， ∴MN∥AD1.
(2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC， 1 1 ∴ON 綉 CD 綉 AB， 2 2 ∴ON∥AM， 又∵MN∥OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM. 1 ∵ON＝2AB， 1 ∴AM＝2AB，∴M 是 AB 的中点．
垂直于 β 与 γ 的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ. ∴m∥n.又 n⊂β，∴m∥β.又 m⊂α，α∩β＝l， ∴m∥l.∴l⊥γ.
规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法， 因此， 在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面 垂直的性质．
【变式 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
证明 在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB， ∴BC⊥AB.
解
(1)如图， 在菱形 ABCD 中， 连接 BD， 由已知∠DAB＝60° ，
∴△ABD 为正三角形， ∵G 是 AD 的中点，∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD. (2)如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG.而 PB⊂平面 PBG.∴AD⊥PB.

直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 课件

直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 课件

(2)AD⊥PB. 证明 由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG， 所以AD⊥PB.
类型三 线线、线面、面面垂直的综合问题 例 3 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， 平 面 ABC⊥ 平 面 BCD ， AB⊥AC ， DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直 线与地面垂直？ 答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在 黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.
两个平面垂直，则_一__个__平__面__内__垂直于_交__线___的直线与 文字语言
另一个平面_垂__直__
1. 已 知 △ABC 所 在 的 平 面 为 α ， 直 线 l⊥AB ， l⊥AC ， 直 线 m⊥BC ，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( C )
A.相交
B.异面
C.平行
D.不确定
解析 因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，
同理可证m⊥α，所以l∥m.
2.已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( D )
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，_a_⊂_α_，_a_⊥__l__⇒a⊥β
图形语言
类型一 直线与平面垂直的性质定理 例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD， AD ＝ AP ， E 是 PD 的 中 点 ， M ， N 分 别 在 AB ， PC 上 ， 且 MN⊥AB ， MN⊥PC.证明：AE∥MN. 解 因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质知识点1 直线与平面垂直的定义如果一条直线与平面内内任意一条直线都垂直，那么直线与平面垂直。

知识点2 线线垂直判定依据如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内任意一条直线。

知识点3 直线与平面垂直判定定理如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

知识点4 平面与平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角是直角的两个平面互相垂直。

面面垂直的判定：一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

知识点5 平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直。

知识点6 空间中的角异面直线所成角：经过空间一点引两平行线，所成锐角或者直角为异面直线所成角。

取值范围：(0°，90°]。

直线和平面所成角：取值范围[0°,90°]，在线上一点作垂线，垂足与斜足相连为直线在平面上的投影，斜线及其投影所成角就是直线与平面所成角。

知识点7 二面角及二面角的平面角半平面：一条直线把平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。

二面角：由一条直线发出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。

二面角的大小用它的平面角来衡量。

二面角的平面角：棱上取点，作棱的垂射线OA,OB，∠AOB叫做二面角的平面角，取值范围是[0，π]平面角具有的性质：1、二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。

2、从平面角的任意一边上取一点向另外一个半平面作垂线，垂足必在另一条射线上。

3、是直线与平面所成的最小角。

知识点8 空间中的距离点到平面的距离：作垂线，垂线段的距离就是点到平面的距离。

直线到平面的距离：一条直线直线与一个平面平行，直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面间的距离。

平行平面间的距离：同时垂直于两个平面的垂线段的长度。

异面直线之间的距离：作同时垂直于两条直线的公垂线（唯一），两直线间的线段长度为异面直线间的距离。

2.3.3-2.3.4线面垂直,面面垂直的性质定理-悠


已知正方形ABCD和矩形 和矩形ACEF所在的平面互相垂 练 已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂 直，AB= 2 ，AF=1，M是线段 的中点。 ， 是线段EF的中点。 是线段 的中点 平面BDE； （1）求证 ）求证AM//平面 平面 ； 的大小； （2）求二面角 −DF−B的大小； ）求二面角A− − 的大小 上确定一点P，使得PF与 所成的 （3）试在线段 上确定一点 ，使得 与BC所成的 ）试在线段AC上确定一点 E 角是60° 角是 °。
注1：① α ：
⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
证明： 在平面 内过B点作 ⊥ l， 证明： 在平面β内过 点作 内过 点作BE⊥ ， 又∵AB⊥ l， ⊥ ， ∴∠ABE就是二面角 -l -β的平面角 就是二面角α∴∠ 就是二面角 的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE ∴∠ ⊥ 又∵l∩BE=B， ， ∴AB⊥β ⊥
如图， 于点A， 于点B， 例 如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α于点 ，CB ⊥ β于点 ， 求证： a ⊂ α, a ⊥ AB, 求证：a // l .
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立 注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.
C β B α l A a
。
α
a
A
l
B E
β
面面垂直⇒ 面垂直” ②该定理作用：“面面垂直⇒线面垂直”，是判定线面垂 该定理作用： 面面垂直 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线——平面内垂 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线 平面内垂 直于两平面的交线的直线. 直于两平面的交线的直线
例 判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么 内的所有直线都垂直于 内的所有直线都垂直于β. 若 ⊥ ，那么α内的所有直线都垂直于

2.3.3直线与平面垂直的性质

α
思考
如图,a⊥α, b⊥ α .那么 a, b一定平行吗? a b
b
o
β
1
c
α
反证法的步骤
用反证法证明命题“如A则B”的步骤： （1）假设结论的反面B1情况成立。 （2）在B1成立的前提下，推出结论A1 （3）结论A1与已知条件A相矛盾（或与定义、 定理、公理相矛盾） （4）驳倒假设，即肯定结论正确。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行
a ⊥α ⇒ a // b b ⊥α
作用： 作用：判定两条直线平行的又一个方法 简称： 简称：线面垂直 ⇒ 线线垂直
例题 下列哪些命题是正确的( B )
(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (3)平行于同一个平面的两条直线互相平行 (4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A.仅(2)不正确 B.仅(1)、(4)正确 C.仅(1)正确 D.四个命题都正确
复习回顾
3、直线与平面垂直的判定方法 （1）利用定义；垂直于平面内任意一条直 ）利用定义； 线 m ⊂α （2）利用判定定理． ）利用判定定理． l
m
B
n
（3） ）
a // b, a ⊥ α ⇒ b ⊥ α
n ⊂α m ∩ n = B ⇒ l ⊥ α l⊥m l⊥n
思考
1、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中， 棱 AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于 平面ABCD，它们之间有什么位置关系？
D
1
C
1
A
1
B
D
1
C
B
A
2、如图（教科书第65页例1） a//b, a⊥α ⇒ b⊥ α

2.3.3 直线、平面与平面垂直的性质

4
5
达标检测
6
7
归纳延伸
1．直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面 垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系， 体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
课后作业：1.完成学业达标限时自测（十四）
2.预习《章末小结》
2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质
1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 2.能应用直线与平面、平面与平面的性质定理证明空间中线面垂直 关系．(重点) 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．(难点)
预习检测
平行 a//bห้องสมุดไป่ตู้
2
探究展示
3
精讲点拨

直线与平面、平面与平面的垂直的判定与性质

直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质及应用、求角一、知识要点1.直线和平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α记做α⊥l ，l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，它们的交点P 叫垂足.如右图所示. 2．直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理一览表3．直线与平面所成的角：如图直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面α的斜线， PA 和平面的交点A 叫斜足；PO ⊥α，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角。

当直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是o0角.因此直线和平面所成角的范围是 。

4．求直线和平面所成的角步骤：①一般先定斜足；②再作垂线找垂足；③斜足垂足连线得射影——找到了角；然后通过解直角三角形求角；写结论。

可以简述为“作→证→求→结论”。

5.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

右图中的二面角可记作：二面角α-AB-β 或 α-l -β或P - AB - Q 。

6。

二面角的平面角：如图在二面角α-l -β的l 棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内 分别作垂直于棱l 的射线OB OA ,,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠（1（2）二面角平面角的做法：例1.如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D AC E --的余弦值．DBACO例2.如右图，把边长为1的正方形ABDC 沿对角线BC 折起得到三棱锥ABC D -，O 是BC 边上一点． (1) 求DO 的取值范围； (2) 当DO 取最小值时，证明：⊥BC 平面DAO ； (3) 若1=DA ，求二面角B CD A --的余弦值．例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．例4．已知直角梯形ABCD 的上底BC 1//,2BC AD BC AD =，CD AD ⊥，平面PDC ⊥平面ABCD ，PCD ∆是边长为2的等边三角形。

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3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形， ∠PAC＝∠PBC＝90°.
(1)证明：AB⊥PC；
学习目标
(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥 PABC的体积．
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
证明：过点B引直线a′∥a，a′ 与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′， 又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c.①
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.
又a′∥a，∴a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
题型二 面面垂直性质的应用
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.
PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
栏
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.
(2)当∠PDA＝45°时，Rt△PAD 为等腰直角三角形，
则 AE⊥PD.又 MN∥AE， ∴MN⊥PD. 又 PD∩CD＝D， ∴MN⊥平面 PCD.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
点评：线面垂直是空间垂直关系的核心，是线线垂直，面面垂直，
线面、面面平行相互转化的桥梁．
►跟踪训练
1．如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b， 平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
2．3.3 直线与平面垂直、 平面与平面垂直的性质
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面 垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问 题．
2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理 和性质定理间的相互联系．
典例精析
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
题型一 线面垂直性质的应用
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
∴BO＝ 2.
在△PAC
中，OOCE＝PPAC⇒OE2 ＝31⇒OE＝
2 3.
∴tan∠BEO＝BOOE＝3.
∴二面角 BPCA 的平面角的正切值为 3.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
题型三 综合应用
例3 如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F， 使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
(1)证明：设G为AD的中点，连接PG， ∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点， ∴BG⊥AD. 又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB. ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB. (2)解析：当F为PC的中点时， 满足平面DEF⊥平面ABCD. 取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
又∵AM∥CD，AM＝12CD，∴AM NE.
∴四边形 AMNE 为平行四边形． ∴MN∥AE.
∵ PA⊥平面ABCD ⇒ CD⊥PA
⇒
CD⊂平面ABCD CD⊥AD，PA∩AD＝A
CADE⊂⊥平平面面AADDPP⇒CD⊥AE.
∴MN⊥CD.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.
∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. 又∵PC∩PA＝P. ∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. (2)设AC与BD交于点O，连接OE， ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∵OE∩BO＝O ∴∠BEO为二面角BPCA的平面角． ∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD为正方形
例1 如右图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在 平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
证明：(1)如图，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，又 N 为 PC 中点，
则 NE∥CD，NE＝21CD.
点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限 于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．
►跟踪训练
2．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩 形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面 BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二接
点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的
一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，
如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对
角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些
题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应
用转化思想解决问题．
学习目标 预习导学 典例精析
►跟踪训练
例2 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面 PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直 角三角形．
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预习导学
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典例精析
证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来 解． (1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于 F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC， ∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP. DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC. (2)如图，连接BE并延长交PC于H. ∵E是△PBC的垂心，