江苏2018版高考数学复习第十章计数原理10.2排列与组合教师用书理苏教版

第3讲 用样本估计总体考试要求 1.分布的意义和作用，样本估计总体的思想，A 级要求；2.频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图及各自特点， B 级要求；3.样本数据的数字特征(如平均数、标准差)的意义和作用，它们的计算并作出合理的解释，B 级要求；4.用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，B 级要求．知 识 梳 理1．频率分布表求一组数据的频率分布，可按以下三步进行；(1)数出落在各小组内的数据的个数，即频数；(2)每个小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的频率；(3)列出频率分布表．2．频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．4．样本的数字特征诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )解析 (2)错误．方差越大，这种数据越离散．(4)错误．相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(必修3P67练习3改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.解析 这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋922＝91.5， 平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5. 答案 91.5和91.53．(2017·常州期末)在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为________．解析 设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 80，解得x ＝16. 答案 164．(2016·江苏卷)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析 易求x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1， ∴方差s 2＝15[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1. 答案 0.15．(2017·南通调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．解析 全体志愿者共有：20＋＝50(人)，所以第三组有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．答案 12考点一 茎叶图及其应用【例1】 (2014·全国Ⅱ卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．规律方法 (1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．(2)①作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．②根据茎叶图中数据数字特征进行分析判断考查识图能力，判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息.【训练1】 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ＋y 的值为________．解析 由茎叶图及已知得x ＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，解得y ＝8，因此x ＋y ＝13.答案 13考点二 频率分布直方图(多维探究)命题角度一 用频率分布直方图求频率、频数【例2－1】 (2016·山东卷改编)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是________．解析 由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.答案 140命题角度二 用频率分布直方图估计总体【例2－2】 (2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，……，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解(1)由频率分布直方图可知：月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．规律方法(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率而和条形图混淆．(2)①“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键．②利用频率分布直方图可以估计总体分布．【训练2】(2017·无锡期末)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝15. ∴从月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户)． 考点三 样本的数字特征【例3】 (2017·连云港检测)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23. 方差s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35. 方差s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．因此事件E 发生的频率为715. 用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715. 规律方法 (1)平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式．(2)平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择．【训练3】 (2015·山东卷改编)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为________．解析 甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29； 方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6； 标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30； 方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2； 标准差为s 乙＝ 2.∴x 甲<x 乙，s 甲>s 乙．答案 ①④[思想方法]1．用样本估计总体是统计的基本思想．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．3．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律．[易错防范]1．在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点横坐标即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．直方图与条形图不要搞混频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.(建议用时：35分钟)1．(2015·重庆卷改编)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是________．解析 从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，中间两个数为20,20，故中位数为20.答案 202．(2017·南京调研)某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为________．解析 由题意得这组数据的平均数为15×(9.7＋9.9＋10.1＋10.2＋10.1)＝10，则其方差为15×[(9.7－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.1－10)2]＝0.032. 答案 0.0323．(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40,0.125，则n 的值为________．解析 由题意可得n ＝400.125＝320. 答案 3204．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)内，其中支出在[30,50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为________．解析 支出在[30,50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n ＝670.67＝100. 答案 1005．(2015·广东卷)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________．解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n＝5，则所求平均数 x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n n＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.答案 116．(2017·苏州调研)为了了解居民家庭网上购物消费情况， 某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在[0,4 500]上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的10 000户家庭中，有________户月消费额在1 000元以下．解析 由频率分布直方图可知月消费额在 1 000元以下的家庭户数为(0.000 05＋0.00010)×500×10 000＝750(户)．答案 7507．(2015·安徽卷改编)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.答案 168．(2017·扬州质检)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90 km/h ～120 km/h ，试估计2 000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．解析 由频率分布直方图可得，这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有(0.030＋0.035＋0.020)×10×2 000＝1 700辆． 答案 1 7009．(2017·苏北四市联考)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________.解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2. 答案 210．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 答案 2411．(2017·南京、盐城模拟)甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：解析由数据易得甲的成绩最稳定，平均数是10，方差为－2＋－2＋－2＋－2＋－25＝0.04＋0.01＋0.01＋0.045＝0.02.答案 0.0212．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是________．解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x ，则有0.1x ＝0.3，解得x ＝3，从而中位数是13. 答案 13,1313．(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为________．解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.答案36714．(2015·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.答案(1)3 (2)6 000。

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10.2 用样本估计总体1．作频率分布直方图的步骤（1）求极差(即一组数据中最大值与最小值的差）．（2)决定组距与组数．(3)将数据分组．（4）列频率分布表．（5）画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线（1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．(2)总体分布的密度曲线：将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小,那么相应的频率折线图趋于一条光滑曲线,称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．标准差和方差（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．（2）标准差：s＝错误!.(3）方差：s2＝1n[(x1－错误!）2＋（x2－错误!)2＋…＋（x n－错误!）2](x n是样本数据,n是样本容量，x是样本平均数)．【知识拓展】1．频率分布直方图的特点（1）频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示错误!，频率＝组距×错误!。

(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确,后者直观．2．平均数、方差的公式推广(1）若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a,mx2＋a，mx3＋a,…，mx n＋a的平均数是m错误!＋a.(2）数据x1,x2，…，x n的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a,…，x n＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2。

1．(2016·丹东一模)(x 2－1x )6的展开式中的常数项为________． 2．(2016·扬州模拟)若C 1n ＋3C 2n ＋32C 3n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝85，则n 的值为________．3．(2016·贵阳一模)设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则a 8＋a 7＋…＋a 1＝________.4．(2016·苏州质检)(x 2－2)(1＋2x )5的展开式中x －1的系数为________．5．(2016·苏北联考)设二项式(x －12)n (n ∈N *)的展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝________. 6．(2016·广州五校联考)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b＝________.7．(2016·北京东城区期末)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．8．设x 6＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 6(1＋x )6，则a 1＋a 2＋…＋a 6＝________.9．(2016·镇江模拟)已知(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为________．10．(2016·枣庄二模)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy ＜0，则x 的取值范围是______________．11．(2016·银川质检)若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋a12＋a23＋…＋a1112＝________.12．(2016·海门中学月考)若等比数列{a n}的第5项是(x－13x)6展开式的常数项，则a3a7＝________.13．(2016·盐城模拟)若(x6＋1x x)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为________．14．(2016·盐城三模)设F(n)＝a1－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n a n＋1C n n(n≥2，n∈N*)．若数列{a n}的各项均为1，则F(n)＝________.答案精析1．15 2.4 3.255 4.605．2n ＋1解析 依题意，a n ＝2n ，b n ＝(12)n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2， b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n ＝2n －12n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2(2n －1)2n －1·2n ＝2n ＋1.6．0解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，∴(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1， ∴log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝log 21＝0.7．6解析 由二项式定理可知a n ＝C 11－n 10(n ＝1,2,3，…，11)，由C 510为C 11－n 10中的最大值知，a n 的最大值为a 6，即k 的最大值为6.8．－1解析 令x ＝－1，可得a 0＝1，再令x ＝0可得1＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1.9．70解析 由于展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，所以2n －1＝64，n ＝7，则(1－2x )7·(1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)×1＝70.10．(1，＋∞)解析 二项式(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r ， 依题意，有⎩⎨⎧ C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy ＜0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )＜0， 解得x ＞1，即x 的取值范围为(1，＋∞)．11．0解析 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，从而(2t －1)11＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 11t 11，即(2t －1)1224]′＝(a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c )′，即(2t －1)1224＝a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ，令t ＝0，得c ＝124，令t ＝1，得a 0＋a 12＋a 23＋…＋a 1112＝0.12.259解析 (x －13x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·(－13x )r ＝(－13)r C r 6·x 6－3r 2，其常数项(－13)2·C 26＝159＝53，即a 5＝53，所以a 3a 7＝a 25＝259. 13．5解析 T r ＋1＝C r n (x 6)n －r (1x x)r ＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5.14．0解析 因为数列{a n }的各项均为1，所以F (n )＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，而(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋C 3n x 3＋…＋C n n x n ，令x ＝－1，得0＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即F (n )＝0.。

第2讲 排列与组合考试要求 1.排列、组合的概念，B 级要求；2.排列数公式、组合数公式以及利用排列、组合解决简单的实际问题，B 级要求．知 识 梳 理1．排列一般地说，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．2．排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．这里m ≤n ，其中等式的右边是m 个连续的自然数相乘，最大的是n ，最小的是n －m ＋1.3．全排列 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作n 个不同元素的一个全排列，全排列数用A n n 表示，它等于自然数从1到n 的连乘积，即A n n ＝n (n －1)(n －2)·…·3·2·1，A n n 称为n 的阶乘，通常用n ！表示，即A n n ＝n ！.4．组合一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．5．组合数公式C m n ＝A m n A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！. 6．组合数性质(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＝C m n －1＋C m －1n －1；(3)C m n ＝n m C m －1n －1；(4)C m n ＝C m －1n －1＋C m －1n －2＋C m －1n －3＋…＋C m －1n －m (m ≤n )；(5)C m n ＝C m r C 0n －r ＋C m －1r C 1n －r ＋…＋C 1r C m －1n －r ＋C 0r C m n －r .诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(3)若组合式C x n ＝C m n ，则x ＝m 成立．( )(4)k C k n＝n C k－1n－1.( )解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C x n＝C m n，则x＝m或n－m，故(3)不正确．答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数为________(用数字作答)．解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24. 答案243．(2017·苏北四市期末)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是________．解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.答案304．(选修2－3P18习题10改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答)．解析末位数字排法有A12，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种．答案485．(2017·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答)．解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种．甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法．法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法．其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种)．答案49考点一排列问题【例1】 3名女生和5名男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A 55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同排法．(3)法一 (位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400(种)不同排法．法二 (元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400(种)不同排法．(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12， ∴符合要求的排法种数为12A 88＝20 160(种)． (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一 (特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时：可从余下6个位置中任选一个，有A 16种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种；其余人6个人进行全排列，有A 66种．共有A 16·A 16·A 66种．由分类加法计数原理，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960(种)．法二 (特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960(种)．法三 (间接法)8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960(种)．规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．【训练1】 (1)(2017·苏州期末)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为________(用数字作答)．(2)(2017·南通测试)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种(用数字作答)．解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．(2)若只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种方法；若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法．答案(1)360 (2)720考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100种．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【训练2】 (1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数为________(用数字作答)．(2)(2017·武汉二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种(用数字作答)．解析 (1)分三类，任取4球中，含2个黑球的取法有C 24C 26＝90种，含3个黑球的取法有C 34C 16＝24种，含4个黑球的取法有C 44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法．(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种)．答案 (1)115 (2)66考点三 排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)． 规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．【训练3】 (1)(2017·泰州检测)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________(用数字作答)．(2)(2017·济南模拟)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析 (1)法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种)．所以不同的安排方法有12C 24A 26＝90(种)． 法二 先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24＝90(种)．(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案 (1)90 (2)60[思想方法]1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．[易错防范]1．区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．4．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·四川卷改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________(用数字作答)．解析由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72.答案722．(2017·南京质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种(用数字作答)．解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60(种)方法．法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．答案603．(2017·南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种(用数字作答)．解析甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C24C22＝6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：①从4门中选1门作为相同的课程，有C14＝4种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有C13C12＝6种选法，由分步乘法计数原理此时共有C14C13C12＝24种方法．综上，共有6＋24＝30种方法．答案304．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种(用数字作答)．解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案．答案425．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答)．解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种)．答案206．(2017·南通测试)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答)．解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法．答案707．(2017·南京师大附中检测)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数为________(用数字作答)．解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”．有A22A34＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．答案1208．(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种(用数字作答)．解析一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种)．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．答案36二、解答题9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端．解(1)∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A66A22＝1 440种站法．(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A33A44＝144种站法．(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A66＝720种站法，当老师不站在左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A55×5×5＝3 000种站法．根据分类计数原理知共有720＋3 000＝3 720种站法．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2017·镇江调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数为________．解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有C13A22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12 A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种．答案28812．(2017·黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答)．解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C12C13A33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24种．故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.答案6013．(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？(2)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点．②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个．∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点．14．(2017·苏州调研)设集合M＝{－1,0,1}，集合A n＝{(x1，x2，x3，…，x n)|x i∈M，i＝1,2，…，n}，集合A n中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋…＋|x n|≤m”的元素个数记为S n m.(1)求S22和S42的值；(2)当m<n时，求证：S n m<3n＋1＋2m＋1－2n＋1.(1)解S22＝8，S42＝32.(2)证明设集合P＝{0}，Q＝{－1,1}．若|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝1，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－1)个取自集合P,1个取自集合Q，故共有C n－1n21种可能，即为C1n21，同理，|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝2，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－2)个取自集合P,2个取自集合Q，故共有C n－2n22种可能，即为C2n22，……若|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝m，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－m)个取自集合P，m个取自集合Q，故共有C n－m n2m种可能，即为C m n2m，所以S n m＝C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m，因为当0≤k≤n时，C k n≥1，故C k n－1≥0，所以S n m＝C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m<C0n20＋(C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m)＋(C m＋1n－1)2m＋1＋…＋(C nn－1)2n＝(C0n20＋C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m＋C m＋1n2m＋1＋…＋C nn2n)－(2m＋1＋2m＋2＋…＋2n)＝(1＋2)n－(2n＋1－2m＋1)＝3n－2n＋1＋2m＋1.。

第二节 排列与组合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．排列与组合的概念(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A m n 表示。

(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C mn 表示。

3．排列数、组合数的公式及性质(1)A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！(2)C m n＝A mn A m m＝nn －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！n微点提醒1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题要先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍缩法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化。

小|题|快|练一 、走进教材1．(选修2－3P 25练习T 4改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．6B ．8C ．12D ．16【解析】 由于lg a －lg b ＝lg a b，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个。

故选C 。

【答案】 C2．(选修2－3P 27A 组T 5改编)2015年北京国际田联世界田径锦标赛，要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．60种【解析】 分两类：第1类：有1名女生的有C 12·C 26＝2×15＝30种， 第2类：有2名女生的有C 22·C 16＝6，由分类加法计数原理得共有30＋6＝36(种)。

第4讲 随机变量的概率分布考试要求 1.取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念，A 级要求；2.概率分布对于刻画随机现象的重要性，A 级要求；3.超几何分布及其简单应用，A 级要求．知 识 梳 理1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，的概率分布，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.3．常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其概率分布为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件“X ＝r ”发生的概率为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －M C n N ，r ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布.1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (3)如果随机变量X 的概率分布由下表给出，则它服从两点分布．( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) 解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X 的取值不是0,1，故不是两点分布，所以(3)不正确． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是________(填序号)． ①至少取到1个白球；②至多取到1个白球； ③取到白球的个数；④取到的球的个数．解析 ①，②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2. 答案 ③3．(选修2－3P48练习3改编)设随机变量X 的概率分布如下：则p 为________．解析 由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.答案 144．已知离散型随机变量ξ的概率分布为则k 的值为________．解析 由k n ＋k n ＋…＋k n ＝1，即nk n＝1，∴k ＝1. 答案 15．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X ＝1的概率为________． 解析 P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案 35考点一 离散型随机变量概率分布的性质 【例1】 设离散型随机变量X 的概率分布为求：(1)2X ＋1(2)|X －1|的概率分布． 解 由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 首先列表为(1)2X ＋1的概率分布(2)|X －1|规律方法 (1)个概率值均为非负数．(2)若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的概率分布可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出概率分布．【训练1】 (2017·苏州期末)设随机变量X 的概率分布如下表，则P (|X －2|＝1)＝________.解析 由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋4＋3＝4，∴P (|X －2|＝1)＝P (X ＝1)＋P (X＝3)＝16＋14＝512.答案512考点二 离散型随机变量的概率分布【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的概率分布为规律方法 求离散型随机变量(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用概率分布的性质检验所求的概率分布或某事件的概率是否正确． 提醒 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】 (2017·常州期末)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的概率分布为考点三 超几何分布【例3】 (2017·苏州测试)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 解 (1)设事件A ：选派的三人中恰有2人会法语，则 P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知X 的取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为规律方法 超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．【训练3】 (2017·南通调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的概率分布．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则 P (A )＝C 13·C 27C 310＝2140.(2)依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.因此X 的概率分布为[思想方法]1．对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率． [易错防范]掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．2．要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．3．超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．某射手射击所得环数X 的概率分布为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 0.792．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________．解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝13.答案 133．(2017·常州期末)设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为：则q 的值为________．解析 由概率分布的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.答案 32－3364．设离散型随机变量X 的概率分布为若随机变量Y ＝|X －2|解析 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5. 答案 0.55．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”事件可以表示为________．解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 ξ＝66．(2017·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是________．解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.答案12357．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析 设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分辊为a －b ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.答案1335二、解答题9．(2017·苏北四市调研)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名， ∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”， ∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的概率分布为300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的概率分布． 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， 则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c＝23. 答案 2312．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为________． 解析 因为P (X ＝n )＝an n ＋(n ＝1,2,3,4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.所以a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.答案 5613．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的概率分布为________．解析 η的所有可能值为0,1,2. P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为答案149个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X 为取出的3个球中白色球的个数，求X 的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)X 可能的取值为0,1,2,3，X 服从超几何分布，所以 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 36C 39＝521，P (X ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的概率分布为。

1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布，均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，试求a，b的值．2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是35，乙、丙两人同时闯关成功的概率是310，甲、丙两人同时闯关失败的概率是625，且三人各自能否闯关成功相互独立．(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的概率分布和均值．3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布和均值．4．(2016·徐州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.(1)求A(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．答案精析1．解 (1)ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32，V (ξ)＝(0－32)2×12＋(1－32)2×120＋(2－32)2×110＋(3－32)2×320＋(4－32)2×15＝114.(2)由题意可知V (η)＝a 2V (ξ)＝a 2×114＝11，∴a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，∴当a ＝2时，1＝2×32＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，1＝－2×32＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.2．解 (1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件分别为A 1、A 2、A 3，由已知A 1、A 2、A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P (A 1)＝35，[1－P (A 1)][1－P (A 3)]＝625，P (A 2)P (A 3)＝310，解得P (A 2)＝34，P (A 3)＝25.所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为34、25. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25×14×35＝6100＝350，P (ξ＝1)＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25 ＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝31100，P(ξ＝2)＝35×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＋35×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋25×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝45100＝920，P(ξ＝3)＝35×34×25＝18100＝950.所以随机变量ξ的概率分布为所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×350＋1×31100＋2×920＋3×950＝175100＝74.3．解(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1 4.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝1 8，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝14，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－18－14＝58.∴X的概率分布为∴E(X)＝0×18＋1×58＋2×14＝98.4．解(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0，∴P(A0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41105.(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P(ξ＝3)＝23×25×37＝12105＝435，P(ξ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝40105＝821，P(ξ＝1)＝41 105，P(ξ＝0)＝13×35×47＝12105＝435，∴ξ的概率分布为E(ξ)＝0×435＋1×41105＋2×821＋3×435＝157105.∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝158 105.由于E(η)＞E(ξ)，故B队的实力较强．。

第十章 计数原理 10.3 二项式定理教师用书 理 苏教版1．二项式定理2.二项式系数的性质 (1)C 0n ＝1，C nn ＝1. C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 为偶数时，二项式系数中，以2Cnn最大；当n 为奇数时，二项式系数中以12Cn n-n 和12Cn n+n (两者相等)最大． (4)C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n. 【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( × )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( ×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( ×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是________．答案(－1)m－1C m－1n解析(x－y)n展开式中第m项的系数为m－1.C m－1n(－1)2．(2016·四川改编)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为__________．答案－15x4解析由题意可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.3．(2016·徐州模拟)已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝________.答案63解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.4．(2016·苏州模拟)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．答案168解析∵(1＋x)8的通项为C r8x r，(1＋y)4的通项为C t4y t，∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为C r8C t4x r y t，令r＝2，t＝2，得x2y2的系数为C28C24＝168.题型一 二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________． 答案 (1)10 (2)30解析 (1)(2x ＋x )5展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝C r 525－r52r x-，r ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－r2＝3，解得r ＝4，得T 5＝C 4525－4452x-＝10x 3，∴x 3的系数是10.(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30. 方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________.答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a＝3.(2)∵T r ＋1＝C r5(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝a 5－r C r 55102rx -，∴10－52r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．(1)(2016·连云港模拟)(2x＋x )(1－x )4的展开式中x 的系数是________．(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)3 (2)12解析 (1)(1－x )4展开式的通项公式T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r42r x ，(2x＋x )(1－x )4的展开式中含x 的项为2x ·(－1)4C 44x 2＋x ·(－1)0C 0402x ＝2x·x 2＋x ·1＝3x ，故系数是3.(2)设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7，∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210. (2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1 ＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1 －f －12.(1)(2017·淮安月考)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析 由题意得a ＝C m2m ，b ＝C m ＋12m ＋1， ∴13C m2m ＝7C m ＋12m ＋1， ∴13· 2m ！m ！·m ！＝7· 2m ＋1 ！m ！· m ＋1 ！，∴7 2m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意． (2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016. 即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 题型三 二项式定理的应用 例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)12 (2)1.172 解析 (1)512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋…＋C 2 0152 016×52·(－1)2 015＋C 2 0162 016·(－1)2 016＋a ，∵C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋…＋C 2 0152 016×52·(－1)2 015能被13整除且512 016＋a 能被13整除，∴C 2 0162 016·(－1)2 016＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是________． 答案 1解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)已知2n ＋2·3n＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解 原式＝4·6n＋5n －a ＝4(5＋1)n＋5n －a ＝4(C 0n 5n＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.13．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·江苏镇江中学质检)若(x －3x)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示解析 (1)(x ＋3x )n 展开式中，令x ＝1可得4n＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x)n 展开式的通项T r ＋1＝(－3)r·C r5·532r x-，令5－3r 2＝1，得r ＝1.故展开式中含x 项的系数为C 15＝5. (2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1. 答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x)n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x)5展开式的通项为T r ＋1＝(－3)r·C r5·532r x-，令5－3r2＝1，得r ＝1， 故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中， 令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为________． 答案 15解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2015·湖南改编)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a ＝________.答案 －6解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5 (－1)r a r ·2r x -＝(－1)r a r C r 5 52r x -，令52－r ＝32，则r ＝1， ∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________． 答案 15解析 设展开式中的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx·2－rx＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx，∵12x －3rx ＝0恒成立，∴r ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15.4．(2015·湖北改编)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项52r x -的二项式系数和为________． 答案 512解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29＝512.5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________． 答案 4解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝____________. 答案 32(3n－1)解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3 1－3n1－3＝32(3n－1)． 7．(2016·扬州模拟)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a＝________. 答案1285解析 由题意可得a ＝C 48＝70，再根据⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧r ≥5，r ≤6，求得r ＝5或6，此时，b ＝7×28，∴b a ＝1285. 8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r·(－2x )r ＝C r 6(－2)r ·x r .令r ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)答案 －56解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1xr ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5， 它的通项为T r ＋1＝C r5(1＋x )5－r·(－1)r，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.11．(2016·苏锡常联考)已知(ax －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋32x 5，则二项式(ax －1)5展开后的各项系数之和为________． 答案 1解析 ∵(ax －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋32x 5，∴x 5的系数为C 05·a 5＝32，解得a ＝2. 在(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋32x 5中，令x ＝1可得二项式(2x －1)5展开后的各项系数之和为1.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．*14.若(x ＋124x )n展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n .据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 8(x )8－r (124x )r ＝(12)r C r81634rx -，∴r 为4的倍数，又0≤r ≤8，∴r ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 08x 16304x -⨯＝x 4， T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ， T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x .(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12 r C r 8≥ 12 r ＋1C r ＋18，12 r C r 8≥ 12 r －1C r －18⇒r ＝2或r ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ， T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。