第九讲--函数[x]与{x}

第九讲：导数与函数的单调性【考点梳理】【典型题型讲解】考点一：求函数的单调区间（不含参）【典例例题】例1.函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）．A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭函数单调区间的求法：解不等式法，列表格法【变式训练】2.函数ln 2f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(),3-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,23.已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0) B ．(1,+∞) C ．(-∞,1)D ．(0,+∞) 4．函数()()3e x f x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，5．函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________． 【典型题型讲解】考点二：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【典例例题】例1.如果函数()22ln f x x a x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≤（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.【变式训练】1．若函数()2()e x f x x ax a =-+在区间(1,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2.已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-2．已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3.已知函数()2()()x f x e x bx b R =-∈在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．8(,)3-∞ B ．5(,)6-∞ C ．35(,)26- D ．8(,)3+∞ 4.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．函数321()53f x x x ax =-+-在区间[1,2]-上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)考点三：含参问题讨论单调性【典例例题】例3.已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k .讨论()f x 的单调性；例4.已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ．讨论函数()f x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明．【变式训练】1.已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；2．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在R 上的函数()()1e -=-∈ax f x x a R ．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)对于()0,x ∀∈+∞，若不等式()()21ln f x x x ax ≥--恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；4．已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；5.已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；6.（2022·广东深圳·一模）已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +>【巩固练习】一、单选题1．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-2．已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ） A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞ 3．“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2e D ．()0,e 二、多选题5．已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解6．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3三、填空题 7．写出一个具有性质①①①的函数()f x =____________. ①()f x 的定义域为()0,+∞；①()()()1212f x x f x f x =+；①当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.四、解答题8．已知函数()ln R k f x x k k x=--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．9.已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．10．已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ①R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；11．已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；12．已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；。

第九讲函数与方程知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．重要结论1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( √)(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( ×)(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( ×)[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．题组二走进教材2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5f(x) －4 －2 1 4 7在下列区间中，函数f(x)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点，故选B．3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375，1.437 5)内，故选C．题组三走向高考5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析]y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一,函数的零点考向1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( D )A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(3)(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点位于区间可能为( BC )A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0，4)内有零点．故选D．(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C．解法二：数形结合函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)·(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考向2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．7D ．0(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点个数为5．[解析] (1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝12，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝12时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.名师点拨 MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0，则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是( A )A ．5B ．4C ．3D ．6[解析] (1)由已知得y ＝f(x)＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，1＋1x＋3x ，x>0.令x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.令1＋1x ＋3x ＝0(x>0)可得3x 2＋x ＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x 2＋x ＋1＝0无实根．所以y ＝f(x)＋3x 的零点个数是2.(2)f(x)＝e x＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－52<0，f(1)＝e －2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C ．(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝23和f(x)＝2的根．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝23和f(x)＝2共有5个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点． 考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝x －log 12x ，h(x)＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 2>x 1>x 3C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f(x)＝2x＋x ＝0，g(x)＝x －log 12x ＝0，h(x)＝log 2x －x ＝0，得2x＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0，0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( C ) A ．[－1，0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)[解析]令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．由图知－a≤1，∴a≥－1.名师点拨 MING SHI DIAN BO 1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x ，g(x)＝log 3x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．a>b>cD ．c>a>b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x≤0，2x －1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1][分析] (1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1，∴a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＋13＝－23，g(1)＝1，∴b∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，显然c ＝0，∴a<c<b，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a<c<b ，故选B ．解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b 最大，选B ．(2)∵当x>0时，f(x)＝2x －1， 由f(x)＝0得x ＝12，∴要使f(x)在R 上有两个零点， 则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]． 故所求a 的取值范围是(0，1]．考点二 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)．(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2． (3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7．[解析] (1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0，0.5)；第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f(0.25)．(2)区间(1，2)的中点x 0＝32，令f(x)＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. (3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64，27＝128，知n ＝7. 名师点拨 MING SHI DIAN BO1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数零点的综合问题例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x≤0－x 2＋x ，x>0，若函数g(x)＝f(x)－a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 [解析] 解法一：显然x≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a 2(a≥0)，当x>0时－x 2＋x＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a>0，即a<14，从而－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0且x 2x 3＝a.∴x 1x 2x 3＝－a 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0，故选A ．解法二：作出y ＝f(x)及y ＝a 的图象，显然0<a<14，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－132.故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．〔变式训练3〕(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x≤0，|lg x|，x>0.若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围． 设四个根依次为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)， 则－2≤x 1<－1，－1<x 2≤0，x 1＋x 2＝－2， 由|lg x 3|＝|lg x 4|，得－lg x3＝lg x4，则lg x3＋lg x4＝lg(x3x4)＝0，∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)．故选B．。

第九讲 函数与方程【说明】函数是自主招生的一个非常重要内容！1.就近几年考试情况来看，复旦和交大（“华约”）自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。

2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。

而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。

【知识引入】一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：2b x a-±=2.根与系数的关系：12bx x a+=-，12c x x a =（韦达定理）3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥． （2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤． 2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥． （2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()xf x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.【知识拓展】一．方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

第九讲 一次函数的图象与性质一.考点分析考点一.一次函数的图象和性质例题1.一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A.B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积是（ ）A.2B.4C.6D.8例题2.若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y ax b =+的图象可能是（ ）A B C D例题3.已知点A （11,x y ），B （22,x y ）是一次函数25y x =-+图象上的两点，当12x x ＞时，1y 2y .（填“＞”，“=”或“＜”）例题4.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（m ，3），（3m-1,3），若线段AB 与直线21y x =+相交，则m 的取值范围为 .考点二.一次函数解析式的确定（待定系数法）例题1.一次函数图象经过（3, 5）和（-4，-9）两点.求（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值.例题2.已知一次函数的图象与12y x =-的图象平行，且与y 轴交点（0，-3），求此函数关系式.例题3.已知点A（3，0），B（0，-3），C（1，m）在同一条直线上，求m的值.考点三.一次函数图象的平移例题1.直线y kx b=+是由直线2y x=-平移得到的，且经过点P（2，0），求k+b的值.例题2.将直线8y x=-+向下平移m个单位后，与直线36y x=+的交点在第二象限，求m的取值范围.考点四.一次函数与方程（组）、不等式的关系例题1.直线3y kx=+与3y x=-+的图象如图所示，则方程组33y kxy x=+⎧⎨=-+⎩的解为 .例题2.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .例题3.若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为 .例题4.如图，函数12y x=-与23y ax=+的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式23x ax-+＞的解集是（）A.x＞2B.x＜2C.x＞-1D.x＜-1例题5.如图，已知直线l1：24y x=-+与直线l2：(0)y kx b k=+≠在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A（-2，0），则k的取值范围是（）A.-2＜k＜2B.-2＜k＜0C.0＜k＜4D.0＜k＜2二.同步练习1.已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ） A.y=8x B.y=2x+6 C.y=8x+6 D.y=5x+32.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） A.一象限 B.二象限 C.三象限 D.四象限3.已知直线y=kx+b 经过点(-5，1)和点(3，4)，那么k 和b 的值依次是（ ）A.323,88k b ==B.323,88k b =-=C.323,88k b ==-D.323,88k b =-=-4.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A.4 B.6 C.8 D.165.若甲，乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＞y 2B.y 1=y 2C.y 1＜y 2D.不能确定6.设b ＞a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）A B C D7.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四8.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范是( )A.34m <B.314m -<< C.1m <- D.1m >-9.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ） A.y 随x 的增大而增大 B.y 随x 的增大而减小 C.图像经过原点 D.图像不经过第二象限10.无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.要得到3-42y x =-的图像，可把直线3=-2y x （ ）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位 12.如果21(1)a a y a x--=+是正比例函数，那么a 的值是（ ）A.-1B.2C.-1或2D.0或113.已知一次函数211()()2k k y k xk +-=+为整数. (1)k 为 时，函数是正比例函数；(2)k为时，正比例函数的图象经过第二、四象限；(3)k为时，正比例函数值y随着x的增大而减小.14.已知一次函数y=-3x+6.(1)直线与x，y轴交点坐标分别为，；(2)求出直线与坐标轴所围成的三角形的面积是；(3)x 时，y＜0；x 时，y=0；x 时，y＞0；(4)若-3≤x≤3,则y的范围是；(5)若-2≤y≤2，则x的范围是 .15.当b为时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上.16.若三点(1，3)，(2，p)，(0，6)在同一直线上，则p的值是 .17.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .18．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 .19.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是 .20．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，•则点P的坐标为 .21.过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为 .22.23y x=与y=-2x+3的图像的交点在第象限.23.如图，若一次函数2y x b=-+的图象与y轴交于点A（0，3），则不等式组的解集-23 -20x bx b+⎧⎨+⎩≤＞的解集为 .24.如图，点A的坐标为(-2,0)，点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 .（第23题图）（第24题图）25.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．26.已知y=p+z ，这里p 是一个常数，z 与x 成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果x 的取值范围是1≤x ≤4，求y 的取值范围.27.正比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+（k ≠0）的图象交于点A （m ，2），一次函数的图象经过点B （-2，-1）.（1）求一次函数的解析式；（2）求不等式-1＜kx+b ＜2x 的解集.28.求直线y=2x+6，y=-2x-8与y 轴所围成图形的面积.29.已知一次函数()0y kx b k =+≠图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式.30.已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B 在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．31.如图，一束光线从y 轴上的点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），求光线从A 点到B 点经过的路线的长．三.拓展提高一.选择题1.若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜13B.13＜k ＜1C.k ＞1D.k ＞1或k ＜132.若一次函数()()2122236y m x m m y m x m =++-=++-与的图象与y 轴交点的纵坐标互为相 反数，则m 的值为（ ）A.-2B.3C.-2或3D.-33.过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条4.已知abc ≠0，而且a b b c c ac a b+++===p ，那么直线y=px+p 一定通过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 5.当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y ＜10，则常数a 的取值范围是（ ） A.-4＜a ＜0 B.0＜a ＜2 C.-4＜a ＜2且a ≠0 D.-4＜a ＜26.在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个8.如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按照如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线(0)y kx b k =+＞和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A.1(21,2)n n --B.-11(21,2)n n -+C.(21,21)n n --D.(21,)n n -9.若k ，b 是一元二次方程x 2+px-│q │=0的两个实根（kb ≠0），在一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（ ） A.第一、二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限10.若一次函数y=kx+b ，当-3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 .11.设直线kx+(k+1)y-1=0（k 为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k （k=1，2，3，……，2008），那么S 1+S 2+…+S 2008= . 12.如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点M 在x 轴上要使△ABM 是以BM 为底边的等腰三角形，那么点M 的坐标是 .13.在直角坐标系x0y 中，一次函数223y x =+的图象与x 轴，y 轴，分别交于A ，B 两点，点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图象经过B ，D 两点的一次函数的解析式．14.已知，如图一次函数y=12x-3的图象与x 轴，y 轴分别交于A.B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D ，E 的坐标．15.已知直线y=43x+4与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，又P ，Q 两点的坐标分别为P （•0，-1），Q （0，k ），其中0＜k ＜4，再以Q 点为圆心，PQ 长为半径作圆，则当k 取何值时，⊙Q 与直线AB 相切？16.画出函数32y x x =+-的图象，利用图象回答： (1)x 在哪个范围，y 随着x 的增大而减小？(2)函数图象上最低点的坐标是什么？函数y 的最小值是多少？17.由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？。

第九讲:函数的奇偶性——单纯奇偶性问题比较简单，高考题中多把奇偶性与单调性、周期性、反函数及图象变换联系,综合命题一．建构知识网络1.函数的奇偶性的定义:由定义知：定义域必关于原点对称;2.奇偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;这也是判奇偶函数的依据；3.若奇函数f（ｘ)的定义域包含0，则ｆ(０）=0;ｆ（x）为偶函数 f(x）＝f(|x｜)４.判断函数的奇偶性,先看定义域，再看是否f(-x)＝±f(ｘ或等价形式:()()0 f x f x±-=，()1 ()f xf x=±-５.设f(ｘ),g(x)的定义域分别是Ｄ1,D２，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇＝偶,偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇6.若函数ｇ(x),f(x)，f[ｇ（ｘ)]的定义域都是关于原点对称的,则u＝ｇ(x)，y＝f(ｕ)都是奇函数时，ｙ=f[ｇ(x)]是奇函数；ｕ=g（ｘ)，ｙ=f（u)都是偶函数，或者一奇一偶时,y=f[g（ｘ)]是偶函数．７.奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a）与(a，ｂ)上增减性相同。

偶函数在对称区间(-ｂ，-a）与(a，b)上增减性相反。

二．双基题目练练手1.已知函数ｆ（x）=aｘ２＋ｂx＋ｃ(a≠0）是偶函数，那么g（x)=ax3+bｘ２+ｃx是( )Ａ.奇函数Ｂ.偶函数C.既奇且偶函数D．非奇非偶函数2.（2005重庆)若函数f(ｘ)是定义在R上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数,且ｆ（2)=０，则使得ｆ（ｘ）<0的ｘ的取值范围是( ）A.(-∞,2) B．（2,+∞)C. (-∞,-2）⋃(2,+∞) Ｄ.(-2,2)3.设f(ｘ)是定义在R上的增函数，又f(x)＝f（ｘ)-f(-x),那么Ｆ(x)一定是 ( )A.奇函数，且在(-∞,+∞)上是增函数Ｂ.奇函数，且在（-∞,+∞)上是减函数C .偶函数，且在(-∞,＋∞)上是增函数D .偶函数,且在(-∞，＋∞)上是减函数4.已知22()21x x a a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a = 5．(2006春上海) 已知函数ｆ（x )是定义在(-∞,＋∞)上的偶函数. 当x ∈（－∞,０)时，ｆ(ｘ)＝x -x 4,则 当x ∈(0.+∞)时，f （x )= .6．已知y=f (x )是偶函数,且在),0[+∞上是减函数,则ｆ(1-ｘ2)是增函数的区间是 简答：1-３、A ＤA ；４、由f (0)=0得a =1；５、4x x --；6.画出u =１-x 2的图象，在［-1，１]上,ｕ≥０,其它ｕ<０，在结合f(ｘ）的单调性可得f (１-x 2)的单调区间为(,1](0,1]-∞-；三．经典例题做一做【例１】判断下列函数的奇偶性：(1）ｆ（x )=lg (12+x -x ）;（２)f (x )=2-x +x -2(３) ｆ（x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 解：(1)此函数的定义域为Ｒ.∵ｆ(-ｘ）＋f (x )＝lg x )+ｌg x )=lg 1=0∴f （-ｘ)＝-f (ｘ)，即f (x )是奇函数。

数论专题：[x ]与{x }一、[x ]与{x }的定义：[x ]：表示不大于x 的最大整数，又称高斯取整函数。

如[3.14]=3, [6]=6, [0]=0； {x}：表示x 的小数部分。

0≤{x}<1,x =[x]+{x}。

{0}=0，{3.14}=0.14；二、性质：1、[x ]≤x <[x ]+1，x -1< [x ]≤x ；2、[n +x ]=n +[x ]，[x ]+[y ]≤[x +y ]，{x }+{y }≥{x +y }；3、[x ]=[y ]则|x -y |<1；三、例题：例1：计算[6.45]=_____，[10]=_____，{8}=_____，{6.32}=______；例2：北京市现在出租车的定价是：3公里以内（包括3公里）的是10元，以后每1公里2元，不足1公里的按1公里计算。

如果一个人乘车的费用是20元，那么他行驶的路程的范围是_____公里；（不考虑等待时间）例3：1⨯2⨯3⨯⋯⨯100计算结果的末尾有______个“0”；例4：求使10110210007k⨯⨯⨯ 为整数时，k 的最大值是______；例5：如果规定[]x 是不大于x 的最大整数，那么在1232007200820082007200621⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，，中，共有______个值是1；例6：计算23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=_______；例7：解方程：（1）[]1.910x ＝（2）[]1625x x －＝ （3）[]13x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝ （4）[]2{}x x x +＝3例8：解不等式[]x x x {}<－1例9：证明n 整数，[]121[]n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++++＝数论专题：[x]与{x}测试1.[]1.919x ＝2.316123x x +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 3. 在数列22221231991[][][][]1991199119911991，，，，中有_____个不同的数；4. []2x x x ＝+2{}5. 一个非零数A 的整数部分减去小数部分后结果是B ，如果A ＝2007×B ，那么A 是______；6. []1220073.14 3.14 3.14 3.14200820082008⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++++=_______；。