离散数学第六章 集合 自然数与自然数集

第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。

证明：设R和S是集合A上的关系。

因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。

因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。

因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。

因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。

离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。

直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。

例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。

例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。

谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。

许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。

但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。

集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。

自然数集概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述自然数集是数学中一个非常基础和重要的概念，它是由0、1、2、3、4、5……组成的无限集合，用符号N表示。

自然数集是最基本的数学对象之一，在数学理论和实际问题中都具有重要的地位和应用价值。

本文将围绕自然数集的定义、性质和应用展开讨论，探究自然数集在数学中的地位和未来的发展前景。

通过深入了解自然数集的相关知识，可以有效提升数学思维能力，增强对数学世界的认识。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分，我们将概述自然数集的概念，并介绍本文的结构和目的，为读者提供对后续内容的整体认识。

在正文部分，我们将着重阐述自然数集的定义、性质和应用，帮助读者深入理解自然数集在数学领域中的重要性和应用价值。

在结论部分，我们将对自然数集的重要性进行总结，并探讨自然数集在数学中的地位以及未来发展的展望。

通过对自然数集的全面讨论，希望读者能够对自然数集有更深刻的理解，并认识到其在数学领域中的重要作用和发展潜力。

1.3 目的：本文的目的在于深入探讨自然数集的概念、定义、性质和应用，以全面了解自然数集在数学中的重要性和地位。

通过对自然数集的研究，我们可以更好地理解数学基础知识，为数学学习打下坚实的基础。

同时，也可以探讨自然数集在实际生活和其他学科中的应用，从而更好地认识数学与现实的联系。

最后，本文也旨在展望自然数集未来的发展方向，探讨其在数学领域中可能的新应用和进展，为数学研究提供一定的参考和启发。

通过本文的撰写，希望能够引起对自然数集的关注和思考，进一步推动数学研究的发展。

2.正文2.1 自然数集的定义自然数集是最基本的数学概念之一，它是用来描述自然现象和计数的集合。

自然数集通常用符号N来表示，其中包括0、1、2、3、4……，一直延伸到无穷大。

在数学中，自然数集是非负整数的集合，它是整数集的一个子集。

自然数集的定义可以用归纳法来描述，按照以下步骤来定义自然数集N：1. 0属于自然数集，即0是自然数。

离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。

在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。

一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。

我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。

（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。

例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。

（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。

例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。

（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。

例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。

例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。

三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。

离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。

2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。

任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。

任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明：采用反证法。

假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。

3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。