离散数学 第1章 集合论

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和离散结构的性质。

而离散数学中的集合论则是其中的重要内容之一。

集合论是数学中最基础、最基本的一门学科，它研究的是对象组成的整体。

1. 集合的基本概念在集合论中，首先需要了解集合的一些基本概念。

集合是由确定的对象组成的整体，集合中的对象称为元素。

例如，可以将所有大写英文字母组成一个集合A，其中的元素就是大写英文字母A、B、C等等。

2. 集合的表示方法在集合论中，有多种不同的表示方法来表示一个集合。

最常用的是列举法和描述法。

列举法就是直接将集合中的元素一一列举出来，例如集合A可以表示为A={A, B, C, ...}。

描述法则是通过给出一个描述条件，来表示集合中的元素满足该条件，例如可以用描述法表示所有大写英文字母组成的集合为A={x|x是大写英文字母}。

3. 集合的运算集合论中有多种运算，包括并运算、交运算、差运算和补运算。

并运算用来找出两个集合的所有元素，交运算用来找出两个集合共有的元素，差运算用来找出一个集合中减去另一个集合后的元素，补运算用来找出一个集合中不包含在另一个集合中的元素。

4. 集合的性质集合论中有很多有趣的性质和定理。

比如，集合的并运算满足交换律和结合律，集合的交运算也满足交换律和结合律。

此外，集合的幂集即为包含该集合的所有子集的集合。

5. 集合的关系在集合论中，还有一些重要的概念是集合之间的关系。

常见的集合关系有包含关系、相等关系和互斥关系。

包含关系表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，相等关系表示两个集合包含了完全相同的元素，互斥关系表示两个集合没有共同的元素。

6. 应用举例离散数学中的集合论有着广泛的应用。

例如，在计算机科学中，集合论是构建数据结构和算法的基础。

在人工智能中，集合论被用来表示概念和关系，进行知识表示和推理。

在统计学中，集合论被用来描述样本空间和事件的概率。

总结：离散数学集合论是离散数学中的重要内容，它研究的是由确定的对象组成的整体。

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支，研究离散化的结构和对象，其中最基础的概念就是集合。

集合是一种包含元素的对象，元素可以是任何事物，例如数字、字母、颜色、人、动物等等。

在集合论中，我们将集合看作一个整体，而不考虑其中元素的顺序和重复。

集合的基本运算在集合论中，我们有以下基本的集合运算：1. 并集：将两个集合中的所有元素合并成一个集合，记作A∪B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集：从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合，记作A-B。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集：对于一个集合A，在全集中去掉A所包含的元素所得到的集合，记作A'。

例如，在全集U={1,2,3,4,5}中，A={1,2,3}，则A'={4,5}。

集合的基本性质在集合论中，我们有以下基本的性质：1. 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4. 对偶律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。

集合的应用在实际应用中，集合论有很广泛的应用。

例如，在计算机科学中，集合论被广泛用于数据库的查询和数据分析中。

在概率论和统计学中，集合论被用于描述事件的概率和概率的计算。

在图论中，集合论被用于描述图的节点和边的关系。

在逻辑学中，集合论被用于描述命题和谓词的关系。

在数学中，集合论是许多学科的基础，例如数学逻辑、代数学、拓扑学等等。

总结集合论是离散数学的基础，是许多学科的基础。

第一章集合论基础§ 1.1基本要求1.掌握集合、子集、超集、空集、幕集、集合族的概念。

懂得两个集合间相等和包含关系的泄义和性质，能够利用泄义证明两个集合相等。

熟悉常用的集合表示方法。

2.掌握集合的基本运算：并、交、余、差、直乘积、对称差的左义以及集合运算满足的基本算律，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。

3.掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质：自反性、对称性、反对称性、传递性。

会做关系的乘积。

了解关系的闭包运算：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

4.掌握等价关系、等价类、商集的概念，了解等价关系和划分的在联系。

5.掌握部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素：最大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的左义。

能画岀有限部分序集的Hasse 图，并根据图讨论部分序集的某些性质。

6.掌握映射、映像、1-1映射等概念，会做映射的乘枳。

了解可数集合的槪念，掌握可数集合的判定方法。

7.了解关系在数据库中的应用（数据的增、删、改）以及划分在计算机中的应用。

§ 1.2主要解题方法1.2.1证明集合的包含关系方法一.用泄义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。

要证明ACB,首先任取xeA,再演绎地证出xeB成立。

由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。

当A是无限集时，因为我们不能对xwA,逐一地证明xeB成立，所以证明时的假设“x是任取的” 就特别重要。

例121设A, B, C, D是任意四个非空集合，若ACC, BCD,则AxBcCxDo证明：任取(x, y) e AxBt 往证(x, y) e CxD°由(x, y) e AxB 知，xe A, K ye Bo 又由AcC, BcD 知，xeC,且ye D,因此，(Xt y) e CxDo 故，AxBcCxDo方法二.还有一种证明集合包含关系的方法，基于集合的交和并运算的两个基本性质ACB<=> AnB=A <=> AuB=B以及一些已经证岀的集合等式。

离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。

以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。

如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。

集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。

此外，还有补集的概念。

如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。

集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。

例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。

2015春课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。

1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．Ø。

1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。

否［错］1-4 设集合 B = {4，3} ∩Ø， C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ]A. C;B. D;C. E;D. F.1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ]A. N;B. Z;C. Q;D. Z+1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)按照所研究的问题来确定集合的元素。

而我们所要研究的问题当然是随意的。

所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。

第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题）求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。

所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。

有的书上称其为抽象原则。

反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下：R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}；(3)R 的性质:自反,对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，试给出 dom（R 。