离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。

1.4 集合的运算习题1.41.全集},,,,,,,{h g f e d c b a U =，令集合A ，B ，C ，D 分别为},,,{g c b a A =，},,,{g f e d B =，},,{f c a C =，},{h f D =. 试分别计算(1)B A ⋃；(2)C B ⋂；(3)D A -；(4)C B A -⋂)(；(5)D ；(6)C B ⊕；(7))(C B A ⋃⋂；(8)C D A -⋃)(；(9)C A ⋃；(10)C B A ⋃⋃.解 (1)},,,,,,{g f e d c b a B A =⋃.(2)}{f C B =⋂.(3)},,,{g c b a D A =-.(4)}{},,{}{}{)(g f c a g C g C B A =-=-=-⋂. (5)},,,,,{g e d c b a D =.(6)},,,,{}{},,,,,{)()(g e d c a f g f e d c a C B C B C B =-=⋂-⋃=⊕.(7)},,{},,,,,{},,,{)(g c a g f e d c a g c b a C B A =⋂=⋃⋂. (8)},,{},,,,{},,,,,{)(f c a h g e d b h f g c b a C D A =-=-⋃. (9)},,{},,,,{h e d g f c b a C A ==⋃.(10)},,,,,,{g f e d c b a C B A =⋃⋃.2.设C A ⊆且C B ⊆，则C B A ⊆⋃，进而C B A ⊆⋂.证 对于任意B A x ⋃∈，则A x ∈或B x ∈. 因为C A ⊆且C B ⊆，所以有C x ∈，因此C B A ⊆⋃.由于A B A ⊆⋂且B A A ⋃⊆，而C B A ⊆⋃，所以C B A ⊆⋂.3.证明De Morgan 律.证 先证明B A B A ⋂=⋃. 对于任意B A x ⋃∈，则B A x ⋃∉，由此得出A x ∉且B x ∉，因此A x ∈且B x ∈，即B A x ⋂∈，所以B A B A ⋂⊆⋃. 另一方面，若B A x ⋂∈，则A x ∈且B x ∈，于是A x ∉且B x ∉，进而B A x ⋃∉，因此B A x ⋃∈，所以B A B A ⋃⊆⋂. 故B A B A ⋂=⋃.类似可证B A B A ⋃=⋂.4.对于集合B A ,，证明: B A ⊆当且仅当A B ⊆.证(⇒)假定B A ⊆. 若对于B x ∈，则B x ∉，因为B A ⊆，于是A x ∉，这时A x ∈，所以A B ⊆.(⇐)假定A B ⊆. 对于任意A x ∈，则A x ∉. 因为A B ⊆，所以B x ∉，即B x ∈，进而B A ⊆.5.设B A f →:，对于任意A X ⊆及A Y ⊆，证明: )()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂. 一般来说)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂，举例说明之.证 因为X Y X ⊆⋂，所以)()(X f Y X f ⊆⋂. 同样因为Y Y X ⊆⋂，所以)()(Y f Y X f ⊆⋂. 于是有)()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂.例如取},,{c b a A =，}2,1{=B ，令B A f →:，2)()(==b f a f ，1)(=c f . 再取},{c a X =，},{c b Y =，这时}2,1{)(=X f ，}2,1{)(=Y f ，因此}2,1{)()(=⋂Y f X f . 由于}1{})({)(==⋂c f Y X f ，所以有)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂.6.对于任意集合C B A ,,，证明: B C A C B A --=--)()(.证 )()()()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂=-⋂=-- = .)()(B C A B C A --=⋂⋂7.设C B A ,,是集合，下列命题是否成立，为什么?(1)若C A B A ⋃=⋃，则C B =.(2)若C A B A ⋂=⋂，则C B =.(3)若C A B A ⋃=⋃且C A B A ⋂=⋂，则C B =.解 (1)不成立. 例如，},,{c b a A =，},{b a B =，},{c b C =，这时显然有C A B A ⋃=⋃，但C B ≠.(2)不成立. 例如，}{a A =，},{b a B =，},{c a C =，这时显然有C A B A ⋂=⋂，但C B ≠.(3)成立. 因为)()()()(C B A B C A B B A B B ⋂⋃⋂=⋃⋂=⋃⋂= C C C A C B A C B C A =⋂⋃=⋂⋃=⋂⋃⋂=)()()()(.8.对于任意集合A 和B ，证明:(1))()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2))()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃，并举例说明)()()(B A P B P A P ⋃=⋃不成立.证(1)任意)()(B P A P X ⋂∈，则)(A P X ∈且)(B P X ∈，于是A X ⊆且B X ⊆，因此，B A X ⋂⊆，进而)(B A P X ⋂∈，所以)()()(B A P B P A P ⋂⊆⋂.又因为A B A ⊆⋂，于是)()(A P B A P ⊆⋂. 同样，)()(B P B A P ⊆⋂，所以)()()(B P A P B A P ⋂⊆⋂.故)()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2)因为B A A ⋃⊆，于是)()(B A P A P ⋃⊆. 同样，)()(B A P B P ⋃⊆，所以)()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃.例如},{b a A =，},{c b B =，于是{)(=A P ∅,}},{},{},{b a b a 且{)(=B P ∅,}},{},{},{c b c b ，因此{)()(=⋃B P A P ∅,}},{},,{},{},{},{c b b a c b a ，这时6|)()(|=⋃B P A P . 而},,{c b a B A =⋃，所以82|)(|3==⋃B A P . 显然有)()()(B A P B P A P ⋃≠⋃.9.设B A ,是集合，证明: B A ⊆当且仅当=-B A ∅.证(⇒)若B A ⊆，根据差运算的定义知=-B A ∅.(⇐)若=-B A ∅，对于任意A x ∈，则B x ∈，否则≠-B A ∅，因此B A ⊆.10.对于任意集合C B A ,,, 分别找出使下列等式成立的最简单的充要条件:(1)A C A B A =-⋃-)()(.(2)=-⋂-)()(C A B A ∅.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅.解 (1) )()()()()(C B A C A B A C A B A ⋃⋂=⋂⋃⋂=-⋃-)(C B A C B A ⋂-=⋂⋂=，而A C B A =⋂-)(的充要条件是A 与C B ⋂没有公共元素，即=⋂⋂C B A ∅.于是，A C A B A =-⋃-)()(的充要条件是=⋂⋂C B A ∅. (2))()()()()(C B A C A B A C A B A ⋂⋂=⋂⋂⋂=-⋂-)(C B A C B A ⋃-=⋃⋂=，而=⋃-)(C B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.于是，=-⋃-)()(C A B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅ 的充要条件是C A B A -=-，这就是最简单的=-⊕-)()(C A B A ∅的一个充要条件.11.设B A ,是集合，定义⊗运算(称为环积运算，cycle product)如下:B A B A ⊕=⊗.证明:)()(B A B A B A ⋃⋂⋃=⊗，并讨论⊗运算具有的性质.证 由于)()()()(B A B A A B B A B A ⋂⋃⋂=-⋃-=⊕，所以B A B A B A B A B A B A ⋂⋂⋂=⋂⋃⋂=⊕=⊗)()()()()()(B A B A B A B A ⋃⋂⋃=⋃⋂⋃=.利用对称差运算的性质，容易证明⊗运算具有以下性质:(1)A B B A ⊗=⊗.(2)U A A =⊗.(3))()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗.12.对于任意集合A ，B 和C ，证明:(1))()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)A C A B A C B ⋂⊕⋂=⋂⊕()()(.证 )]()[()(B C C B A C B A -⋃-⋂=⊕⋂)]([)]([)]([)]([B C A C B A B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=-⋂⋃-⋂= = )()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂.而))()(())()(()()(B A C A C A B A C A B A ⋂-⋂⋃⋂-⋂=⋂⊕⋂ ])[(])[(B A C A C A B A ⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂=)]()[()]()[(B A C A C A B A ⋃⋂⋂⋃⋃⋂⋂=)]()[()]()[(B C A A C A C B A A B A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂=)()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=所以)()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)类似可证.13. 设C B A ,,是集合，举例说明)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃不成立.解 例如}{a A =，}{b C B ==，则⋃=⊕⋃A C B A )(∅A =. 由于C A B A ⋃=⋃，所以=⋃⊕⋃)()(C A B A ∅，因此)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃≠⊕⋃.14.根据集合⋃和⋂相互可吸收证明⋃和⋂满足幂等性.证 对于任意集合A 以及B ，有A B A A =⋂⋃)( (1)A B A A =⋃⋂)( (2)由(1)得，A B A A A =⋃⋂⋃))((，再由(2)得A A A =⋃. 同理可得，A A A =⋂.15.设C B A ,,是集合，利用两个集合的容斥原理证明:|||)||||(||)||||(|||C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=⋃⋃ 你能推广到更一般的n 个集合的情形吗?证 |)(||||||)(|||C B A C B A C B A C B A ⋂⋃-+⋃=⋃⋃=⋃⋃|)()(||||)||||(|C B C A C B A B A ⋂⋃⋂-+⋂-+=-+⋂-+=|||)||||(|C B A B A|)()(||||(|C B C A C B C A ⋂⋂⋂-⋂+⋂|||)||||(||)||||(|C B A C B C A B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=. 设n A A A ,...,,21是集合，则∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑.16. (错排问题) 有1, 2, …, n 共n 个元素进行排列，若第i 个元素都没有排在第i 位置(i = 1, 2, …, n )，称这样的排列为错排(derangement). 利用n 个集合的容斥原理计算错排的个数.解 设U 表示1, 2, …, n 所有全排列构成的集合，用A i 表示第i 个元素恰好排在第i 位置的全体排列构成的集合(i = 1, 2, …, n ), 则.,,2,1,)!1(||n i n A i =-=.,,,2,1,,)!2(||j i n j i n A A j i ≠=-=⋂...!.1||21=⋂⋂⋂n A A A因为|U | = n !且∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，!1)1()!2()!1(!n n n n -++-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=!1)1(!21!111!n n n . 17.( Euler 函数) 对于大于1的正数数n ，若k r k r r p p p n 2121=，其中p 1，p 2，…，p k 是不同的素数，r 1，r 2，…，r k 是正整数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n n 111111)(21 ϕ. 证 设全集U = {1，2，…，n }，用A i 表示能被p i 整除的U 中元素组成的集合，则.,,2,1,||k i p n A ii == .,,,2,1,,||j i k j i p p n A A ji j i ≠==⋂ ....||2121kn p p p n A A A =⋂⋂⋂ 因为|U | = n 且 ∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ ∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，k n k k k p p p n p p n p p n p p n p n p n p n n 211312121)1(-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n 11111121 .。

离散数学课后答案详解第二版离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书，在学习离散数学的过程中能够提供很大的帮助。

下面就是本书中的一些重要知识点和解答，希望对各位读者有所帮助。

一、命题逻辑1.什么是命题？命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。

2.什么是合取和析取？合取是将两个命题连接起来，且要求两者同时成立，符号用“∧”表示；析取是也将两个命题连接起来，但是只要求其中一个成立即可，符号用“∨”表示。

3.什么是条件和双条件？条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假，符号用“→”表示；双条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假；同时后者为真则前者也为真，反之后者为假则前者也为假，符号用“↔”表示。

4.什么是命题公式？命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式，构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。

二、谓词逻辑1.什么是一阶逻辑？一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。

除了命题外，一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系，以及用于描述这些关系的“量词”。

2.什么是量词？量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”，前者表示存在至少一个使谓词成立的个体，后者表示所有个体都满足该谓词。

3.什么是命题函数？命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。

4.什么是名词？名词是指代对象的标签，它是一般化的名词。

例如，女人是一般化的名词，梅丽莎是特定的名词。

三、集合论和图论1.什么是集合？集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。

2.什么是集合的理论？集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。

3.什么是图？图是用来描述一些个体之间的关系的工具，由节点和边构成。

其中节点表示个体，边表示个体之间的某种关系。

4.什么是路径？路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。

四、树和排序1.什么是树？树是一种数据结构，它由一组节点和边构成。

节点可以包含数据，边用于连接节点并表示关系。

2.什么是排序？排序是一种对数据进行重新排列的操作，目的是使数据具有某种有序结构。

离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。

答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。

1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。

b) 不是命题。

c) 是命题，真值要根据具体情况确定。

d) 不是命题。

e) 是命题，真值为T。

f) 是命题，真值为T。

g) 是命题，真值为F。

h) 不是命题。

i) 不是命题。

（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。

R:我有时间。

P:天下雨。

Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R:我在看电视。

Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。

R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

(5) 解：a) 设P：王强身体很好。

Q：王强成绩很好。

P∧Qb) 设P：小李看书。

Q：小李听音乐。

P∧Qc) 设P：气候很好。

Q：气候很热。

P∨Qd) 设P： a和b是偶数。

Q：a+b是偶数。

P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。

Q ：四边形ABCD的对边平行。

PQf) 设P：语法错误。

Q：程序错误。

R：停机。

（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。

Q:正在下雨。

P∧Qb) P:天气炎热。

R:湿度较低。

P∧Rc) R:天正在下雨。

S:湿度很高。

R∨Sd) A:刘英上山。

B:李进上山。

A∧Be) M:老王是革新者。

N:小李是革新者。

M∨Nf) L:你看电影。

M:我看电影。

┓L→┓Mg) P:我不看电视。

Q:我不外出。

R:我在睡觉。

P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。

Q:控制台打字机作输出设备。

P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。

习题 1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴ 中国有四大发明。

⑵ 计算机有空吗?⑶ 不存在最大素数。

⑷ 21+3 < 5。

⑸ 老王是山东人或河北人。

⑹ 2 与 3 都是偶数。

⑺ 小李在宿舍里。

⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀!⑼ 请勿随地吐痰!⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以p。

⑾只有 6 是偶数， 3 才能是 2 的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺ ⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴ 李辛与李末是兄弟。

⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶ 天正在下雨或湿度很高。

⑷ 刘英与李进上山。

⑸ 王强与刘威都学过法语。

⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶ p：天在下雨；q：湿度很高；⑷ p：刘英上山；q：李进上山；⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹ p：你看电影；q：我看电影；⑺ p：我看电视；q：我外出；r ：我睡觉；⑻ p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴ 他一面吃饭，一面听音乐。

⑵ 3 是素数或 2 是素数。

⑶ 若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷ 8 是偶数的充分必要条件是 8能被 3 整除 ⑸ 停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹ 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 它的对边平行 ⑺ 如果 a 和 b 是偶数，则 a +b 是偶数。

解：⑴ p ：他吃饭； q ：他听音乐；原命题符号化为： p ∧ q ⑵ p ：3 是素数； q ： 2是素数；原命题符号化为： p ∨q ⑶ p ：地球上有树木； q ：人类能生存；原命题符号化为： p → q⑷ p ：8 是偶数； q ：8能被 3整除；原命题符号化为： p ?q⑸ p ：停机； q ：语法错误； r ：程序错误；原命题符号化为： q ∨r →p⑹ p ：四边形 ABCD 是平行四边形； q ：四边形 ABCD 的对边平行；原命题符号化为： p ?q 。

第1章集合、映射与运算1 1.1 集合的有关概念11.1.1 集合11.1.2 子集31.1.3 幂集41.1.4 n元组51.1.5 笛卡儿积6习题1.161.2 映射的有关概念71.2.1 映射的定义71.2.2 映射的性质91.2.3 逆映射101.2.4 复合映射11习题1.2131.3 运算的定义及性质14 1.3.1 运算的定义141.3.2 运算的性质17习题1.3211.4 集合的运算221.4.1 并运算221.4.2 交运算231.4.3 补运算241.4.4 差运算261.4.5 对称差运算27习题1.4281.5 集合的划分与覆盖29 1.5.1 集合的划分291.5.2 集合的覆盖32习题1.5321.6 集合的对等321.6.1 集合对等的定义331.6.2 无限集合331.6.3 集合的基数341.6.4 可数集合341.6.5 不可数集合351.6.6 基数的比较35习题1.636第2章关系37 2.1 关系的概念372.1.1 n 元关系的定义37 2.1.2 2元关系382.1.3 关系的定义域和值域41 2.1.4 关系的表示422.1.5 函数的关系定义43习题2.1442.2 关系的运算462.2.1 关系的集合运算462.2.2 关系的逆运算462.2.3 关系的复合运算472.2.4 关系的其他运算51习题2.2512.3 关系的性质522.3.1 自反性522.3.2 反自反性532.3.3 对称性542.3.4 反对称性552.3.5 传递性56习题2.3582.4 关系的闭包592.4.1 自反闭包 r(R )592.4.2 对称闭包 s(R )602.4.3 传递闭包 t(R )61习题2.4642.5 等价关系652.5.1 等价关系的定义652.5.2 等价类66习题2.5682.6 相容关系692.6.1 相容关系的定义692.6.2 相容类70习题2.6712.7 偏序关系712.7.1 偏序关系的定义712.7.2 偏序集的哈斯图732.7.3 偏序集中的特殊元素74习题2.776第3章命题逻辑783.1 命题的有关概念78习题3.1803.2 逻辑联结词803.2.1 否定联结词瘙 綈 p813.2.2 合取联结词p ∧q813.2.3 析取联结词p∨q813.2.4 异或联结词p q823.2.5 条件联结词p →q823.2.6 双条件联结词p q833.2.7 与非联结词p↑q833.2.8 或非联结词p↓q843.2.9 条件否定联结词p → n q84习题3.2843.3 命题公式及其真值表853.3.1 命题公式的定义853.3.2 命题的符号化863.3.3 命题公式的真值表863.3.4 命题公式的类型87习题3.3883.4 逻辑等值的命题公式893.4.1 逻辑等值的定义903.4.2 基本等值式913.4.3 等值演算法923.4.4 对偶原理93习题3.4933.5 命题公式的范式953.5.1 命题公式的析取范式及合取范式953.5.2 命题公式的主析取范式及主合取范式98 习题3.51033.6 联结词集合的功能完备性1043.6.1 联结词的个数1043.6.2 功能完备联结词集105习题3.61073.7 命题逻辑中的推理1083.7.1 推理形式有效性的定义1083.7.2 基本推理规则1093.7.3 命题逻辑的自然推理系统110习题3.7114第4章谓词逻辑1164.1 个体、谓词、量词和函词1164.1.1 个体1164.1.2 谓词1174.1.3 量词1174.1.4 函词119习题4.11194.2 谓词公式及命题的符号化1204.2.1 谓词公式1204.2.2 命题的符号化1204.3 谓词公式的解释及类型1244.3.1 谓词公式的解释1244.3.2 谓词公式的类型125习题4.31254.4 逻辑等值的谓词公式1274.4.1 谓词公式等值的定义1274.4.2 基本等值式127习题4.41294.5 谓词公式的前束范式1294.5.1 谓词公式的前束范式的定义1294.5.2 谓词公式的前束范式的计算130习题4.51304.6 谓词逻辑中的推理1314.6.1 逻辑蕴涵式1314.6.2 基本推理规则1314.6.3 谓词逻辑的自然推理系统132习题4.6134第5章代数结构1365.1 代数结构简介1365.1.1 代数结构的定义1365.1.2 两种最简单的代数结构: 半群及独异点137 5.1.3 子代数1385.1.4 代数结构的同态与同构138习题5.11405.2 群的定义及性质1415.2.1 群的有关概念1415.2.2 子群1435.2.3 群的同态144习题5.21445.3 环和域1455.3.1 环的定义1455.3.2 几种特殊的环1465.3.3 域的定义1475.3.4 有限域148习题5.31495.4 格与布尔代数1505.4.1 格的定义和性质1505.4.2 分配格1535.4.3 有补格1545.4.4 布尔代数155习题5.4157第6章图论1596.1 图的基本概念1596.1.1 图的定义1596.1.2 邻接1616.1.4 简单图161习题6.11626.2 节点的度数163习题6.21656.3 子图、图的运算和图同构1656.3.1 子图1656.3.2 图的运算1666.3.3 图同构167习题6.31686.4 路与回路1686.4.1 路1696.4.2 回路169习题6.41706.5 图的连通性1716.5.1 无向图的连通性1716.5.2 无向连通图的点连通度与边连通度172 6.5.3 有向图的连通性173习题6.51756.6 图的矩阵表示1766.6.1 图的邻接矩阵1766.6.2 图的可达矩阵1776.6.3 图的关联矩阵178习题6.61796.7 赋权图及最短路径1806.7.1 赋权图1806.7.2 最短路径180习题6.7182第7章几类特殊的图1837.1 欧拉图1837.1.1 欧拉图的有关概念1837.1.2 欧拉定理1837.1.3 中国邮递员问题184习题7.11857.2 哈密尔顿图1867.2.1 哈密尔顿图的有关概念1867.2.2 哈密尔顿图的必要条件1877.2.3 哈密尔顿图的充分条件1877.2.4 旅行商问题189习题7.21897.3 无向树1907.3.1 无向树的定义1907.3.2 无向树的性质1917.3.3 生成树1927.3.4 最小生成树193习题7.31947.4 有向树1957.4.1 有向树的定义1957.4.2 根树1957.4.3 m叉树1967.4.4 有序树1997.4.5 定位二叉树199习题7.42017.5 平面图2027.5.1 平面图的有关概念2037.5.2 欧拉公式2047.5.3 库拉托夫斯基定理2057.5.4 平面图的对偶图205习题7.52067.6 平面图的面着色2077.6.1 平面图的面着色定义2087.6.2 图的节点着色2087.6.3 任意图的边着色209习题7.62107.7 二部图及其匹配2107.7.1 二部图2117.7.2 匹配211习题7.7212第8章组合计数2148.1 排列组合与二项式定理2148.1.1 排列2148.1.2 组合2158.1.3 二项式定理216习题8.12178.2 生成函数2178.2.1 组合计数生成函数2178.2.2 排列计数生成函数219习题8.22218.3 递归关系2218.3.1 递归关系的概念2218.3.2 常用的递归关系求解方法223习题8.3227附录A符号索引228附录B 中英文名词索引231附录C 习题答案及提示236参考文献259。

离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。

解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。

假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。

表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。

解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。

第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。

又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是… … ”、“不仅……，而且… … ”、“一面……，一面… … ”、“……和… … ”、“……与……”等。

但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。

例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。

1．2 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。

（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。

（6）p →q 。

其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。

由于p 与q 都是真命题，因而p →q 为假命题。

（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。

由于p 为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。

（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定，是确定的。

第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0；r、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。

( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。

并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。

另外6 能被2 整除，6 才能被4 整除。

答：p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为：p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1，所以这一段的论述为真19．用真值表判断下列公式的类型：4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答： ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答：(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式：⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解：( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式：( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为：(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明： ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) ：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提：p(q r),s p,q结论：s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s 结论： p证明：① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥ r ￢s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x)，在( a)中为假命题，在(b) 中为真命题。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案21、分别计算⎡1、5⎡，⎡-1⎡，⎡-1、5⎡，⎡1、5⎡，⎡-1⎡，⎡-1、5⎡、解⎡1、5⎡=2，⎡-1⎡=-1，⎡-1、5⎡=-1，⎡1、5⎡=1，⎡-1⎡=-1，⎡-1、5⎡=-2、2、下列映射中，那些是双射? 说明理由、(1)f :Z →Z , f (x )=3x 、(2)f :Z →N , f (x )=|x |+1、(3)f :R →R , f (x )=x3+1、(4)f :N ⨯N →N , f (x1, x2)=x1+x2+1、(5)f :N →N ⨯N , f (x )=(x , x +1)、解 (1)对于任意对x1, x2∈Z ，若f (x1)=f (x2)，则3x1=3x2，于是x1=x2，所以f 是单射、由于对任意x ∈Z ，f (x )≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射、(2)由于2,2) =3，因此f 不是单射、又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x )=|x |+1≠0，于是f 不是满射、显然，f 不是双射、(3)对于任意对x1, x2∈R ，若f (x1)=f (x2)，则x1+1=x2+1，于是x1=x2，所以f 是单射、对于任意y ∈R ，取x =(y1)3⎡+1=(y1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f )f =(f f )I A ，f1 (f I A )，进而I A f =I A I A ，因此f =IA 、所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在、6、设f :A →B , g :B →C 、若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明、证因为f 是满射，所以f (A )=B 、又因为g 是满射，所以g (B )=C 、于是(f g )(A )=g (f (A ))=g (B )=C ，因此f g 是A 到C 的满射、另证对于任意z ∈C ，因为g 是满射，于是存在y ∈B 使得g (y )=z 、又因为f 是满射，存在x ∈A 使得f (x )=y 、因此，(f g )(x )=g (f (x ))=g (y )=z ，所以f g 是A 到C 的满射、7、设f :A →B , g :B →C 、试证明: 若f g 是单射，则f 是单射、试举例说明，这时g 不一定是单射、证对于任意x1, x2∈A ，假定f (x1) =f (x2)，则显然g (f (x1))=g (f (x2))，即(f g )(x1)=(f g )(x2)、因为f g 是单射，所以x1=x2，于是f 是单射、例如A ={a , b }，B ={1,2,3}，C ={α, β, γ, δ}，令f (a ) =1, f (b )=2，g (1)=α, g (2)=β, g (3)=β，则显然有(f g )(a )=g (f (a ))=g (1)=α, (f g )(b )=g (f (b ))=g (2)=β, 于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射、8、设f :A →B , 若存在g :B →A ，使得f g =I A 且g f =IB ，试证明: f 是双射且f1-1存在、因为f g =I A ，于是f1 IA 、 f )g =f1，所以有f1=g1、-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射、下证(f g )=g f1 f1)f1=f f1 f1 (f1 I B g =g1=g1-1、∈G 且f f1 f =IA 、证 (1)由定理5、(2)由定理7、(3)由第3题、(4)由定理4、11、若A = {a , b , c }, B = {1,2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论、解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射)、由于|A |=3, |B |=2，所以A到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有、假设|A |=m , |B |=n 、(1)A到B 的满射若m (2)A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n ，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个、(3)A 到B 的双射若m ≠n ，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个、12、设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射，g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B ⨯D ，对任意(a , c )∈A ⨯C , h (a , c )=(f (a ), g (c ))、证明:h 是双射、证对于任意(a1, c1) ∈A ⨯C ，(a2, c2)∈A ⨯C ，假定h (a1, c1)=h (a2, c2)，即(f (a1), g (c1))=(f (a2), g (c2))，于是f (a1)=f (a2)且g (c1)=g (c2)，根据已知条件有a1=a2且c1=c2，进而(a1, c1)=(a2, c2)，因此h 是单射、任意(b , d )∈B ⨯D ，则b ∈B , d ∈D ，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C 使得f (a ) =b , g (c )=d ，因此h (a , c )=(f (a ), g (c ))=(b , d )，所以h 是满射、故h 是双射、13、设f :A →B , g :B →C , h :C →A ，若f g h =IA ，g h f =IB ，h f g =IC ，则f , g , h 均可逆，并求出f1, h1=g h 且h1=h f 、14、已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N 的定义为(1)A (0, n )=n +1, n ≥0;(2)A (m , 0)=A (m1, A (m , n -1)), m >0, n >0、分别计算A (2,3)和A (3,2)、解由已知条件有A (0,1)=2，A (1, 0)=A (0,1)=2，于是A (1,1)=A (0, A (1, 0))=A (0,2)=2+1=3，A (1,2)=A (0, A (1,1))=A (0,3)=3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0)=A (1,1)=3，A (2,1)=A (1, A (2, 0))=A (1,3)=3+2=5，A (2,2)=A (1, A (2,1))=A (1,5)=5+2=7， A (2,3)=A (1, A (2,2))=A (1,7)=7+2=9、因此有A (2, n )=2n +3，A (3, 0)=A (2,1)=2⋅1+3=5，A (3,1) =A (2, A (3, 0))=A (2,5)=2⋅5+3=13， A (3,2) =A (2, A (2,2))=A (2,13)=2⋅13+3=29、所以有A (2,3) =9, A (3,2)=29、。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。