华师大数学九年级下第5讲 圆中的计算问题

华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》教学设计一. 教材分析《圆中的计算问题》这一节内容，主要让学生掌握与圆有关的一些计算公式和方法。

在本节课中，学生需要学习圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并能灵活运用这些公式解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这些计算方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的计算问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

三. 教学目标1.理解圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式。

2.能够运用这些计算公式解决实际问题。

3.提高学生的计算能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆的周长和面积的计算公式。

2.弧长和扇形的面积的计算公式。

3.如何运用这些公式解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解和掌握圆的计算公式和方法。

2.例题解析法：通过分析例题，让学生学会如何运用计算公式解决实际问题。

3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高计算能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆的计算公式和例题。

2.练习题：准备一些相关的练习题，供学生课堂练习和课后巩固。

3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书和展示解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾平面几何中与圆有关的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并简要讲解公式的推导过程。

3.操练（20分钟）教师给出一些例题，让学生运用所学知识解决问题。

学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生巩固所学知识。

学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。

27.3 圆中的计算问题 - 九年级下册数学教案教学设计（华东师大版）一. 教学目标1.了解圆的基本概念和性质；2.掌握计算圆的周长和面积的方法；3.能够解决与圆相关的实际问题。

二. 教学重点1.计算圆的周长；2.计算圆的面积；3.运用所学知识解决实际问题。

三. 教学准备1.教师准备：教案、课件、网站资源；2.学生准备：课本、作业、计算器。

四. 教学过程第一步：导入新知识（10分钟）1.教师向学生提问：什么是圆？圆的特点是什么？2.学生回答后，教师简要介绍圆的基本概念和性质，并通过课件展示相关图形。

第二步：学习计算圆的周长（20分钟）1.教师给出一个半径为r的圆，向学生提问：如何计算这个圆的周长？2.学生思考后，教师引导学生想到圆的周长公式C=2πr，并解释公式中各个符号的含义。

3.教师通过示例演示如何计算圆的周长，并让学生跟随计算。

第三步：学习计算圆的面积（20分钟）1.教师给出一个半径为r的圆，向学生提问：如何计算这个圆的面积？2.学生思考后，教师引导学生想到圆的面积公式S=πr^2，并解释公式中各个符号的含义。

3.教师通过示例演示如何计算圆的面积，并让学生跟随计算。

第四步：运用所学知识解决实际问题（30分钟）1.教师给出一些与圆相关的实际问题，并将问题展示在课件上。

2.学生根据所学知识，分小组解决实际问题，并记录解题过程和结果。

3.学生展示解题过程和结果，教师进行点评和纠正。

第五步：课堂小结（10分钟）1.教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重要知识点；2.学生回答问题，教师进行评价和指导。

五. 课后作业1.完成课本上相关练习题；2.根据课堂实际问题练习，完成相关作业。

六. 教学反思本节课通过引导学生思考和解决实际问题的方式，提高学生对圆的理解和应用能力。

教师在教学中注重激发学生的兴趣，并通过示例演示、分组讨论等方式培养学生的自主学习能力。

同时，教师适时进行点评和纠正，帮助学生更好地理解知识点。

《圆中的计算问题》教学设计本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，华师版九年级下册第27章《圆》中的“弧长和扇形的面积”，这节课是学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸。

本课时在中考，占一定的分值，掌握本节也是中考取胜的一点法宝，针对知识的形成过程，本节创造性地使用教材，利用“动态”解释弧长和扇形的面积，让学生充分体验知识的形成过程，对学生以后用动态解决数学问题的学习起到铺垫作用。

【知识与能力目标】（1）理解弧长公式、扇形面积公式的推导；（2）会运用公式计算弧长、扇形及简单组合图形的面积。

【过程与方法目标】通过运用弧长公式、扇形面积公式，发展学生的应用意识。

【情感态度价值观目标】（1）通过计算，提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力；（2）通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用。

【教学重点】弧长公式、扇形面积公式的推导及公式的应用。

【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算组合图形的面积。

三角板、小黑板、PPT课件。

知识回顾圆的周长公式C=2πr圆的面积公式S=πr 2一、发现弧长和扇形的面积的公式1、弧长公式的推导。

如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°。

你能求出这段铁轨的长度吗？（取3.14） 我们容易看出这段铁轨是圆周长的41，所以铁轨的长度 l ≈410032⨯⨯＝157.0（米）。

问题：上面求的是90︒的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。

等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是︒圆心角所对的弧长是多少，进而求出n ︒的圆心角所对的弧长。

）弧长的计算公式为1802360r n r n l ππ=⋅=练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》这一节主要讲述了圆中的计算问题，包括弧长、扇形的面积等计算。

这部分内容是圆的基础知识的进一步拓展，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解圆的性质和解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆中的计算问题，他们可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将以引导学生理解圆中的计算问题为主线，通过实例分析和练习，帮助学生掌握计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积等计算方法。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习圆的性质和计算问题的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法。

2.教学难点：如何引导学生理解圆中的计算问题，并能够运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法和练习法，引导学生主动探究圆中的计算问题。

2.教学手段：利用多媒体课件和板书，生动形象地展示圆中的计算问题。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何的基本知识，引导学生回顾圆的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲解：讲解圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法，并结合实例进行分析。

3.课堂练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。

4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：1.圆中的计算问题–弧长计算公式：弧长 = 半径 × 圆心角–扇形面积计算公式：扇形面积 = 1/2 × 半径² × 圆心角2.实例分析–通过具体的实例，展示弧长和扇形面积的计算过程。

27．3 圆中的计算问题 第1课时 弧长和扇形面积教学目标一、基本目标探索弧长公式和扇形面积公式推导过程，并会应用公式解决问题． 二、重难点目标 【教学重点】弧长及扇形面积计算公式． 【教学难点】弧长及扇形面积计算公式的推导过程．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P58～P61的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180，n °的圆心角所对的弧长是nπR180.2．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是πR 2360，n °的圆心角所对应的扇形面积是nπR 2360.3．半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR .4．已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧长AB 的长是3π. 5．一个扇形所在圆的半径为3 cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm 2. 6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm ，那么这个圆的半径r ＝18 cm. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB ︵的长(结果精确到0.1 mm)．【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解． 【解答】∵R ＝40 mm ，n ＝110，∴AB ︵ 的长＝nπR 180＝110×40π180≈76.8(mm)．∴管道的展直长度约为76.8 mm.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．【例2】扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求AB ︵的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)．【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出AB ︵ 的长，再直接运用扇形公式求解． 【解答】AB ︵ 的长＝120180π×12≈25.1(cm)．S 扇形＝120360π×122≈150.7(cm 2)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题求扇形的面积也可利用公式S ＝12lR 解决．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知半径为2的扇形，面积为43π，则它的圆心角的度数＝120°.2．已知半径为2 cm 的扇形，其弧长为43π cm ，则这个扇形的面积S ＝43π cm 2.3．已知半径为2的扇形，面积为43π，则这个扇形的弧长＝43π.4．已知扇形的半径为5 cm ，面积为20 cm 2，则扇形弧长为8 cm. 5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的AB ︵ 的长为6π cm ，CD ︵的长为10π cm ，又AC ＝12 cm ，求阴影部分的面积．【互动探索】图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD 的面积与扇形AOB 的面积之差．根据扇形面积S ＝12lR ，l 已知，则需要求两个半径OC 与OA ，因为OC ＝OA ＋AC ，AC 已知，所以只要能求出OA 即可．【解答】设OA ＝R cm ，OC ＝(R ＋12) cm ，∠O ＝n °.根据已知条件有⎩⎨⎧6π＝n180πR ，①10π＝n 180π(R ＋12)，②①②得，35＝R R ＋12，∴R ＝18.∴OC ＝18＋12＝30，∴S ＝S 扇形COD －S 扇形AOB ＝12×10π×30－12×6π×18＝96π cm 2.∴阴影部分的面积为96π cm 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)弧长和扇形面积⎩⎪⎨⎪⎧半径为R ，n °的圆心角所对的弧长l ＝nπR180半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S ＝nπR2360半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 圆锥的侧面积和全面积教学目标一、基本目标1．了解圆锥母线和高的概念，理解圆锥侧面积计算公式． 2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题． 二、重难点目标 【教学重点】圆锥侧面积和全面积的计算． 【教学难点】探索圆锥侧面积计算公式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的线段叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．2．沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.3．圆锥的母线为l ，圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，存在关系式：l 2＝h 2＋r 2，圆锥的侧面积S ＝πlr ；圆锥的全面积S 全＝S 底＋S 侧＝πr 2＋πlr .4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为12π.5．圆锥的底面半径为3 cm ，母线长为6 cm ，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°. 6．如果圆锥的高为3 cm ，母线长为5 cm ，则圆锥的全面积是36π cm 2. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学)【例1】圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm ，高为20 cm ，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1 cm 2)【互动探索】(引发学生思考)“圆锥形纸帽”的侧面展开图是什么？要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？【解答】设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm.则r ＝582π，l ＝⎝⎛⎭⎫582π2＋202≈22.03(cm)，S圆锥侧＝12lR ≈12×58×22.03＝638.87(cm 2).638.87×20＝12 777.4(cm 2)．即至少需要12 777.4 cm 2的纸．【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决实际问题时，首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积，确定好以后，找到需要的数据，代入公式计算即可．活动2 巩固练习(学生独学)1．圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°. 2．一个扇形，半径为30 cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为10 cm.3．如图所示，已知扇形AOB 的半径为6 cm ，圆心角为120°，现要将此扇形围成一个圆锥．(1)求围成的圆锥的侧面积； (2)求该圆锥的底面半径；解：(1)圆锥的侧面积＝120π×62360＝12π(cm 2)．(2)该圆锥的底面半径为r .根据题意，得2πr ＝120π×6180，解得r ＝2.即圆锥的底面半径为2 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13 cm ，一条直角边AC ＝5 cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．【互动探索】观察图形，几何体由两个圆锥组成，且共用圆锥底面，要求其表面积，只需求出两个圆锥的侧面积之和即可．【解答】在Rt △ABC 中，AB ＝13 cm ，AC ＝5 cm ， ∴BC ＝12 cm. ∵OC ·AB ＝BC ·AC ，∴r ＝OC ＝BC ·AC AB ＝5×1213＝6013，∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5)＝102013π(cm 2)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在计算组合体的表面积时，需要将其拆分成简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)圆锥的相关计算⎩⎪⎨⎪⎧圆锥的侧面展开图是一个扇形圆锥的侧面积S ＝πlr圆锥的全面积S 全＝S 底＋S 侧＝πr 2＋πlr练习设计请完成本课时对应训练！。

九年级数学 圆中的计算问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§28.3 圆中的计算问题二. 重点、难点： 1. 重点：⑴弧长和扇形的面积； ⑵圆锥的侧面积和全面积 2. 难点：弧长和扇形面积公式的推导三. 知识梳理：（一）弧长和扇形的面积 1. 弧长的计算公式如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为：2360180n n rl r ππ=⋅=． 2. 扇形的面积公式如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形面积为213602n r S S lr π==或　说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．⑵在应用弧长公式180n rl π=或扇形面积公式2360n r S π=进行计算时，要注意公式中的n的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．⑶扇形的另一个面积公式12S lr =与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．⑵若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，122r l rl ππ⋅⋅=Ｓ＝；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是2rl r ππ+．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．【典型例题】例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ；B. 162 ；C. 8π ；D. 42π分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长是以A 为圆心，AC 长为半径的90°的弧长，因为AC ＝82，所以，ππ241802890=⋅⋅=l ，故选D ．例2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2π；B.π；C.32π ； D. 21π分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B ．例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB 的弧长，再利用弧长公式2360180n n rl r ππ=⋅=即可求扇形的圆心角的度数． 解：∵圆锥底面圆的半径是8，∴BC l r C ==⋅=ππ162 ∵母线长为15∵180Rn l BC ⌒π=∴1801516⋅=ππn 192=n∴圆心角的度数为192°．例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）分析：扇形面积公式有两个，一是2360n r S π=，另一个是12S lr =，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：2212025120(2517)360360ππ⋅⋅⋅⋅--＝187π（cm 2）．例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R ＝2rB. R ＝94r C. R ＝3r D. R ＝4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝90180πR∴R ＝4r ∴答案选D例6. 如图所示，半径是10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．解：如答图中的甲、乙图，∵n ＝360°－120°＝240°，R ＝10cm ，如图（甲）所示，24010401801803OAmB n r l πππ⨯===扇形（cm ） 如图乙中连结O ′P ，则O ′P ⊥CD ，设⊙O ′半径为r ， ∵'',2OAmB O O C l C r π==扇形，∴4023r ππ=，∴r ＝203（cm ） ∴ O ′P ＝22'22201010533PD O D ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭（cm ）例7. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径作41圆弧交AD 于F ，交BA 的延长线于E ，求阴影部分面积．分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF ，ABF BFE S S S △扇形阴-=解：连结BF∵BC ＝2，F 点在以B 为圆心，BC 为半径的圆上 ∴BF ＝2∵矩形ABCD ，AB ＝1，BF ＝2 ∴∠ABF ＝60° ∴ππ323602602=⋅⋅=BFES 扇形3BA BF AF ,BAF Rt 22=-=∆中231321=⨯⨯=ABF S △∴ABF BFE S S S △扇形阴-= ＝2cm )2332(-π 答：阴影部分面积为2cm )2332(-π．例8. 如图已知圆锥的底面半径r ＝10cm ，母线长为40cm ．⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B ，它所走的最短路程是多少？SAB分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA 展开，如图 则⋂'AA 的长为2πr ＝20π，SA ＝40 所以20π＝40180n π⋅所以n ＝90°所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S 表面＝S 侧＋S 底＝29040360π⋅＋π·102＝500π（cm 2）⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长在Rt △ASB 中，∠ASB ＝90°，SA ＝40，SB ＝20所以AB ＝22SA ＋SB ＝205cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π2cm ，甲虫所走的最短路程长205cm ．例9. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个封闭图形的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A. P ＝Q ；B. P ＞Q ；C. P ＜Q ；D. 无法确定．分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M ，再设OA ＝2r ，由图形可得M ＋Q ＝221r ⋅π，2M ＋P ＋Q ＝2r ⋅π，解得P ＝Q ，故选A ．[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．例10. 如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？解析：由题意要求圆弧BF 的长，只要求得圆心角∠BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B 作BE ⊥地面于点E ，作BG ⊥AD 于点G ，则有GD ＝BE ＝2，又AD ＝AC ＋CD ＝3.5，所以AG ＝1.5，则在Rt ΔABG 中，AB ＝3，AG ＝1.5，所以∠BAC ＝60°，所以∠BAF ＝120°．则弧BF 的长＝1203180π⋅⋅＝2π≈6.3（米）．例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC 的长为86.96米，跑道的宽为1米（π＝3.14，结果精确到0.01米） ⑴求第一条跑道的弯道部分⋂AB 的半径；⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角∠FOA 的度数．解析：⑴弯道的半圆周长为400286.962-⨯＝113.04（米），由圆周长L ＝2πr ，所以半圆弧线长'l r π=，则第一道弯道部分的半径r ＝'113.043.14l π=＝36.00（米）⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即2π（r ＋1）－2πr ＝2π＝6.28（米）．⑶从第一道200米，是以A 点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米， 由弧长与半圆、圆心角的关系得n ＝，所以∠FOA ＝180°°°．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240π2cm ，则扇形的半径是（ ）A. 6cmB. 21cmC. 24 cmD. 62 cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°3. 底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5π2cmB. 12π2cmC. 15π2cmD. 24π2cm4. 扇形的半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）A. B. C. 15cm D. 30cm5. 如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.12π2cm B.8π2cm C. 6π2cm D.4π2cm6. 一个圆锥的底面积是25π2cm ，母线长13cm ，则这个圆锥的侧面积是 ．7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________． 8. 如图所示，已知⊙1O 内切于扇形AOB ，切点为C 、D 、E ，⊙1O 的面积为16π，∠AOB ＝60°，求扇形AOB 的周长和面积．9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A 、B 两点，测量结果为AB ＝30cm ， 求管道阴影部分的面积为多少？【试题答案】1. C2. C3. C4. B5. B6. 65π2cm7.12π8. 24π提示：连结O 1C ，OO 1并延长OO 1，则必过切点E ，设⊙O 1的半径为r ∴1O S 圆21,16r S O ππ==圆，∴216r ππ=，r ＝4， ∴O 1C ＝4， ∵OA ，OB 切圆1O 于C ，D ，∠AOB ＝60°， ∴∠AOE ＝30° ∵∠COO 1＝30°，O 1C ＝4，∴O 1O ＝8， ∴R ＝OE ＝OO 1＋O 1E ＝8＋4＝12 ∴24412242,41801260+=⨯+=+==⨯=⋂⋂ππππr l l lAOB OAB AOB扇形∴224360OABn R S ππ==扇形． 9. 解：设钢尺AB 与管道内圆相切于C 点，连结OC 、OA ，则OC ⊥AB ，设OC ＝r ，OA ＝R ，∵AB ＝30cm ，OC ⊥AB ，∴AC ＝152AB=， ∴222222()15225S OA OC R r AC ππππππ=⋅-⋅=-=⨯=⨯=阴影（cm 2）。