初中数学专题复习与圆有关的计算问题(含答案)

中考数学专题训练：与圆有关的计算（附参考答案）1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，B 为AC⏜上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300√3 m，BD＝150 m，则AC⏜的长为( )A．300π m B．200π mC．150π m D．100√3π m2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )A．30°B．60°C．105°D．210°3．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的两点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从点A走到点B，走便民路比走观赏路少走( )A．(6π－6√3)米B．(6π－9√3)米C．(12π－9√3)米D．(12π－18√3)米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )A．8－πB．4－πC．2－π4D．1－π45．如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形FCD的圆心C 是AB⏜的中点，且扇形FCD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．π2－1 B ．π2－2 C ．π－1D ．π－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点M 在AB⏜上，则∠CME 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，C 为圆上的一点，BC⏜＝3AC ⏜，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G .若H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为( )A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r ＋l ＝6，这样的圆锥的侧面积( ) A ．有最大值94π B ．有最小值94π C ．有最大值92πD ．有最小值92π9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面圆的半径是( )A ．π4 B ．√24 C ．12D ．110．圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为( ) A ．2π B ．3π C ．32πD ．12π11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA .若∠CAO ＝40°，∠ACB ＝70°，则阴影部分的面积是( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π12．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( )A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍13．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A ′，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4√3B ．6C ．43πD ．83π14．如图，要用一张扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)．若该圆锥的底面圆周长为20π cm ，侧面积为240π cm 2，则这个扇形的圆心角的度数是_______度．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝2√3，半径为1的⊙O 在Rt △ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)17．已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，C 为⊙O 上一点，连接CA ，CB .(1)如图1，若C 为AB⏜的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长； (2)如图2，若AC ＝2，OD 为⊙O 的半径，且OD ⊥CB ，垂足为点E ，过点D 作⊙O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．18．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin ∠MFG的值为______．19．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．20．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线⏜的中点，弦CE，BD相交于点F.交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是BD(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O的直径长．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.(1)求证：CF是⊙O的切线．(2)如果AB＝10，CD＝6.①求AE的长；②求△AEF的面积．参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．D6．D 7．C8．C 9．B10．C 11．C 12．B 13．D14．150 15．2√7＋1 16．4－π17．(1)∠CAB＝45°AC＝3√2(2)FD＝2√2 18．√5519.2620．(1)∠OCB＝60°(2)⊙O的直径长为6√321．(1)证明略(2)①AE＝454②△AEF的面积为2258。

与圆有关的计算问题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知圆心角为120°，所对的弧长为5 cm，则该弧所在圆的半径R=（）A．7.5cm B．8.5cm C．9.5cm D．10.5cm2．一条弦分圆周为5：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（）A．80° B．100° C．80°或100° D．以上均不正确3．⊙O的半径R=3cm，直线L与圆有公共点，且直线L和点O的距离为d，则（） A．d=3cm B．d≤3cm C．d>3cm D．d<3cm4．如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A，•B•两点到直线CD 的距离之和为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm（1）（2）（3）（4）5．如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2 D．5：46．正三角形的外接圆的半径为R，则三角形边长为（）A．3R B．32R C．2R D．12R7．已知如图3，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是（）A．12cm B．1cm C．2cm D．2.5cm8．∠AOB=30°，P为OA上一点，且OP=5cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为（）A．5cm B．532cm C．52cm D．533cm9．如图4，∠BAC=50°，则∠D+∠E=（）A．220° B．230° C．240° D．250°10．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面高2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（）A．π米 B．2π米 C．π米 D．32π米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．已知两圆的直径分别为5+a与5-a，如果它们的圆心距为a，则这两个圆的位置关系是_________．12．两等圆半径为5，圆心距为8，则公共弦长为__________．13．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，则AB•和CD•之间的距离为_________14．如图5，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，那么拱形的半径为_______m．（5）（6）（7）（8）15．如图6，⊙O的半径OA与弦AB和切线BC的长都相等，AC、OC与圆分别相交于D、E，那么BD的度数是__________．16．如图7，半圆的直径AB=8cm，∠CBD=30°，则弦DC=________．17．如图8，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围为________．18．某人用如下方法测一槽钢的内径：将一小段槽钢竖直放在平台上，•向内放入两个半径为5cm的钢球，测得上面一个钢球顶部高CD=16cm（槽钢的轴截面如图所示），则槽钢的内直径AD长为________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，半径为4的⊙O中有弦AB，以AB为折痕对折，劣弧恰好经过圆心O，•则弦AB的长度是多少？20．如图，已知点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB=10，tan ∠BAC=34，求阴影部分的面积．21．如图21-12所示，有一弓形钢板ACB ，AB 的度数为120°，弧长为L ，•现要用它剪出一个最大的圆形板料，求这个圆形板料的周长．22．已知如图21-13，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．24．若⊙O 的直径AB 为2，弦AC 为2，弦AD=3，求S 扇形OCD ．（其中2S 扇形OCD <S ⊙O ）25．如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r=2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA•没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM=3cm ，设OP=xcm ，OQ=ycm ．（1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围．（2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP ？若存在，求相应x 的值，若不存在，•请说明理由．一、选择题1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．B二、填空题11．内切 12．6 13．22cm 或8cm 14．10 15．30° 16．4cm 17．3cm<r<5cm •18．18cm三、解答题19．解：过点O 作OC ⊥AB ，由题意知，OC=12×4=2， 连结OA ，在Rt △AOC 中，AC 2=A O 2-OC 2=16-4=12，AC=23．∵OC ⊥AB ⇒AC=BC ⇒AB=2AC=43．20．解：tan ∠BAC=34BC AC =，可设BC=3x ，AC=4x ， AB 是直径⇒∠ACB=90°⇒A B 2=9x 2+16x 2=100⇒x=2．∴AC=8，BC=6．S 阴=S 半圆-S △ACB =12π×（102）2-12×6×8=252π-24． 21．解：L=120360·2πR ⇒R =32l π，则弓形的高为34l π，故周长为34L ． 22．解：连结OD ，由四边形ABCD 内接于⊙O 可知∠DAE=∠DCB ．∵AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，∴DB=2DM ，AD=AB ．∴∠DCA=∠BCA ，AD=AB ，又∠DOA=2∠DCA ．∴∠DOA=∠DCB=∠DAE ．∴tan ∠DOA=tan ∠DAE=43． 在Rt △ODM 中，可设DM=4x ，OM=3x ，由勾股定理得DM 2+OM 2=OD 2，得x=1．∴OM=3，DM=4，DB=2DM=8．23．解：连结O 1、O 2，则O 1O 2=R+r=13mm ．O 1A=D-R-r=D-13，O 2A=a +2R-b-r-R=5，在Rt △O 1O 2A 中，O 1O 22=O 1A 2+O 2A 2，即132=52+（D-13）2，∴D=25mm ．24．解：①当点C 、点D 在直径AB 的异侧时，过点O 作OE ⊥AC ，过点O 作OF ⊥AD ，则AE=22，AF=32， 故cos ∠OAC=AE AO =22 ，∴∠OAC=45°；cos ∠OAD=32，∴∠COD=150°． S 扇形OCD =150360·π·12=512π． ②当点C 、点D 在直径AB 的同侧时，同法可得∠COD=30°． 此时S 扇形OCD =30360·π·12=112π. 25．解：（1）过点M 作MD ⊥OA ，垂足为D ，显然ODMQ 为矩形，∴OD=MQ=2，MD=OQ=•y ，•∴PD=x-2．在Rt △MDP 中，y 2+（x-2）2=32，∴x 2-4x+y 2=5．∴x 取值范围为2<x ≤25．（2）若△MOP 为等腰三角形，①若OM=MP ，此时x=4；②若MP=OP 时，x=3；③若OM=OP 时，∵OM=4+y 2，∴4+y 2=x 2，于是22224,45,y x x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得x=2222+ （3）分三种情况依次讨论：①假设两三角形相似，若∠OPM=90°，则MP=y ，OP=2=x ，得x=2， 不是大于2的实数，故∠OPM 不可能是90°；②若∠MOP=90°，由于圆M 在第一象限，所以这不可能．③假设△QMO ∽△MOP ，此时∠OMP=90°，则OQ OM MQ MP OP OM ==，∴3y =24y x +=224y+． 得4+y 2=2x ，于是22242,45,y x x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 得x=1+10<25． ∴存在这样的实数x ，并且x=1+10．。

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且⊙ACB =35°，则⊙AOB 的度数是（ ）A ．35°B ．65°C ．70°D ．90°【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得．【详解】解：由圆周角定理得：223570AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．2．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，⊙然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（ ）A ．RB ．（12）RC ．（12）n －1RD ．n R3．如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分⊙BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：⊙AD平分⊙BAC，⊙BAD CAD∠=∠，故C正确；在⊙ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．4．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若⊙D＝40°，则⊙A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出⊙DOC =50°是解题关键．5．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，65∠=︒ABO ，则ACB ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．25︒C ．35︒D ．20︒6．如图4，在Rt ABC △中，90C =∠，3AC =．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )AB ．3πC ．3πD ．3π 【答案】C 【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC 的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．【详解】解：圆环的面积为πAB 2-πBC 2，=π（AB 2-BC 2），=πAC 2，=32π，=9π．故选C．7．已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2，如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面O中阴影部分的弧长为（）A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，点A，B，C都在圆O上，若⊙C=34°，则⊙AOB为（）A．34⊙B．56⊙C．60⊙D．68⊙【答案】D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解．【详解】解：⊙⊙C=34°，⊙⊙AOB=2⊙C=68°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．下列命题中，真命题的个数是（）⊙同位角相等⊙经过一点有且只有一条直线与这条直线平行⊙长度相等的弧是等弧⊙顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】解：两直线平行，同位角相等，⊙错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，⊙错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，⊙错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，⊙正确．故选A．【点睛】本题考查命题与定理．10．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD AB∥，若PB＝AB＝10，则CD的长为（）A ．6B C ．D ．3 OCF CPE ，四边形12BE OF OF ==，【详解】解：过点⊙OCF CPE ， OF OC CE PC ＝， PB 、PC 分别切⊙O PB PC =，10PB AB ==，11．如图，AB 是O 的直径，ACD 是O 的内接三角形，若6AB =，105ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】C【分析】连接OC 、BC ，根据四边形ABCD 是圆的内接四边形和⊙D 的度数，即可求出303602π=，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识，根据圆12．将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B ，与直角三角板相切于点C ，且3AB =，则光盘的直径是（ ）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D13．如图，正五边形ABCDE，则⊙DAC的度数为()A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【分析】根据正五边形和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】⊙在正五边形ABCDE中，AE＝DE＝AB＝BC，⊙E＝⊙B＝⊙EAB＝108°，⊙⊙EAD＝⊙BAC＝36°，⊙⊙DAC＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：B.【点睛】此题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，然后根据等面积法得出斜边的高相等，这样问题就容易解决了.【详解】如图：⊙菱形对角线互相垂直平分，⊙AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA.⊙⊙ABO⊙⊙BCO⊙⊙CDO⊙⊙DAO.⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又⊙AB=BC=CD=DA，⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.⊙O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是画出图形进行分析.15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG ，CD ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．CE =DEB ．⊙ADG =⊙GABC ．⊙AGD =⊙ADC D ．⊙GDC =⊙BAD 【答案】D 【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙CE =DE ，A 成立；⊙G 是AB 的中点，⊙AG BG =，⊙⊙ADG =⊙GAB ，B 成立；⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙AC AD =，⊙⊙AGD =⊙ADC ，C 成立；⊙GDC =⊙BAD 不成立，D 不成立，故选D ．16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（ ）A ．24.25m πB ．23.25m πC ．23m πD ．22.25m π【答案】D 【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可．17．下列命题为真命题的是（ ）A ．同旁内角互补B ．三角形的外心是三条内角平分线的交点C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．若甲、乙两组数据中，20.8S =甲，2 1.4S =乙，则乙组数据较稳定【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差一一判断即可．【详解】解：A 、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；B 、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；D 、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S 甲2=0.8，S 乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差解答．18．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D ，E 两点，且⊙ACD=45°，DF⊙AB 于点F ，EG⊙AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )A．B．C．D．19．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE 的中点，连接DF.给出以下四个结论：⊙BD＝DC；⊙AD＝2DF；⊙BD DE；⊙DF是⊙O的切线.其中正确结论的个数是：（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【详解】连接AD，OD，⊙AB是直径，⊙⊙ADB=⊙AEB=90°，又⊙AB=AC，⊙BD=DC，故⊙正确；⊙F是CE中点，BD=CD，⊙BE//DF，BE=2DF，但没有办法证明AD与BE相等，故⊙错误；⊙AB=AC，BD=CD，⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙BD=DE，⊙BD=DE，故⊙正确；⊙⊙AEB=90°，⊙⊙BEC=180°-⊙AEB=90°，⊙BE//DF，⊙⊙DFC=⊙BEC=90°，⊙O为AB的中点，D为BC的中点，⊙OD//AC，⊙⊙ODF=⊙DFC=90°，⊙OD是半径，⊙DF是⊙O的切线，故⊙正确，所以正确的结论有3个，故选B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的中位线等，能根据具体的图形选择和灵活运用相关性质解题是关键.二、填空题20．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则⊙BAC＝_____．【答案】132°##132度【详解】解：⊙正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，⊙⊙BAC=360°－108°－120°=132°．故答案为132°．21．已知直角⊙ABC中，⊙C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.【答案】1【分析】O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：⊙ODC=⊙OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.【详解】解：如图所示，O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF⊙⊙ODC=⊙OEC=90°22．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，则BC ＝_______．【答案】10【分析】从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，据此分析解答．【详解】⊙AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，⊙BF ＝BE ＝4，CF ＝CG ＝6，⊙BC ＝BF ＋FC ＝10，故填：10．【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．23．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为26cm π，则这个扇形的弧长为__________ cm（结果保留π）24．如图，在O 中，弦AC =B 是圆上一点，且=45ABC ∠︒,则O 的半径R =_____．25．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，⊙A =45°，则⊙C 的度数 _____________ ．【答案】135°【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得结论．【详解】∵⊙O的内接四边形ABCD中，⊙A＝45°，⊙⊙C＝135°．故答案为135°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的度数是________°．【答案】105【详解】⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙DAB+⊙DCB=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DCB+⊙DCE=180°，⊙⊙DCE=⊙DAB=105°．故答案为10527．如图，圆O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是____cm．【答案】3【分析】由当OP⊙AB时，OP最短，根据垂径定理，可求得AP的长，然后由勾股定28．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB 沿着AP 翻折到⊙PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得⊙B CD 为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 __．为直径作O ，当点为直角三角形且唯一，在Rt ADO 中，根据22OD OA ，可得，计算可得答案． 为直径作O ，当点到O 的最小距离等于得B CD '为直角三角形且唯一，Rt ADO 中，2AD OD +22211())22b a a +=+，整理得22b =，a>，∴=2b29．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：⊙将半径2的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；⊙分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；⊙连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案是_________2222OA，(23)222.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理解直角三30．半径为O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若⊙OBD是直角三角形，则弦BC的长为_______________．31．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上异于A、B的一点，若⊙P＝40°，则⊙ACB的度数为_________________.【答案】110°【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出⊙AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出⊙ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出⊙ACB的度数．【详解】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示：⊙PA、PB是⊙O的切线，⊙OA⊙AP，OB⊙BP，⊙⊙OAP=⊙OBP=90°，又⊙⊙P=40°，⊙⊙AOB=360°-（⊙OAP+⊙OBP+⊙P）=140°，32．如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =．将矩形沿EF 折叠，使点A 落在CD 边中点M 处，点B 落在N 处．连接EM ，以矩形对称中心O 为圆心的圆与EM 相切于点P ，则圆的半径为________．33．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．34．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，⊙ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则⊙ABD=_________ 度．【答案】45.【详解】试题解析：⊙CD 平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD=45°⊙⊙ABD=⊙ACD=45°．考点：圆周角定理．35．如图，在平面直接坐标系xOy 中，()40A ，，()03B ，，()43C ，，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点'I 的坐标为________．【答案】（-2，3）【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【详解】解：过点作IF⊙AC于点F，IE⊙OA于点E，⊙A（4，0），B（0，3），C（4，3），⊙BC=4，AC=3，则AB=5，⊙I是⊙ABC的内心，⊙I到⊙ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，⊙IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），⊙⊙ABC绕原点逆时针旋转90°，⊙I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故答案为：（-2，3）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．36．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2．S=ABC⊙内接正六边形的面积是故答案是：37．圆心角为40°，半径为2的扇形面积为________．38．如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为_____【答案】【详解】连接OC，过O点作BC垂线，设垂足为F，根据垂径定理、勾股定理可以得到OC=5，CF=4，OF=3，在等腰三角形CDE中，高=OF=3，底边长DE=10-8=2，根据勾股定理即可求出CE．解：连接OC，过O点作OF⊙BC，垂足为F，交半圆与点H，⊙OC=5，BC=8，⊙根据垂径定理CF=4，点H为弧BC的中点，且为半圆AE的中点，⊙由勾股定理得OF=3，且弧AB=弧CE⊙AB=CE，又⊙ABCD为平行四边形，⊙AB=CD，⊙CE=CD，⊙⊙CDE为等腰三角形，在等腰三角形CDE中，DE边上的高CM=OF=3，⊙DE=10-8=2，⊙由勾股定理得，CE2=OF2+（DE）2，⊙CE=，故答案为．本题考查了勾股定理和垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．39．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则⊙BAC的度数是_____．三、解答题40．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，交⊙O于点E.（1）求证：AC平分⊙DAB；（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.41．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使⊙ACD＝⊙B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．42．如图，已知、是⊙的切线，、为切点．直径的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号与）．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）连接，根据是⊙的切线，由切线长定理得到AP=BP,OP平分⊙APB，根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊙AB，再根据AC是⊙O的直径，得到⊙ABC=90°，即AB⊙BC，BC⊙OB，得到内错角相等，由等量代换得到结果.（2）根据切线长定理和三角形全等，S△OPA=S△OPB，通过解直角三角形得到OB,PB,再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论.试题解析：(1)证明：连接. 1分⊙是⊙的切线,⊙平分. 2分.⊙是⊙的直径,⊙, 即：. 3分⊙.⊙. 4分,⊙. 5分(2) 连接.⊙，⊙⊙、是⊙的切线，⊙，，又⊙⊙⊙⊙.⊙. 6分在中，,. 7分在中，,⊙. 8分⊙.⊙,.⊙. 9分⊙所求的阴影面积：. 10分考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.43．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知AB为O的直径，O过AC 的中点D．DE为O的切线．(1)求证：DE BC ⊥(2)王老师说：如果添加条件“1DE =，1tan 2C =”，则能求出O 的直径．请你写出求解过程．DE 为O 的切线，OD DE ∴⊥，即∠AB 为O 的直径，OA OB ∴=，即点点D 为AC 的中点，OD BC ∴∥，CED ODE ∴∠=∠=BC ．DE BC ⊥1tan DE CE ∴=O∴的直径为【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．44．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，⊙B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．45．如图，在O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD BC ，，25ADC ∠=︒．(1)求证：AD BC =；(2)求证：AE CE =；(3)若弦BD 经过点O ，求BEC ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)65︒【分析】（1）由AB CD =，推出AB CD =，推出BC AD =；（2）证明AED CEB ≌可得结论；（3）先求出90BCD ︒∠=，再求出25CBE，即可得答案． 【详解】（1）解：AB CD =，C ABD ∴=， AB AC CD AC ∴-=-，BC AD ∴=；（2）BC AD ，BC AD ∴=，ADE ∠和CBE ∠都是AC 的圆周角，ADE CBE ∴∠=∠，AED CEB ，AED CEB ∴≌，AE CE ∴=；（3）25ADC ，25CBE ，弦BD 经过点O ，BD ∴是O 的直径，90BCD ︒∴∠=，⊙在CEB 中，18065BEC BCD CBE ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是90︒，三角形的内角和，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．如图，在ABC 中，90ABC ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 交于点D ，连接DE 、DE 、OC ，且//DE OC ．()1求证：AC 是O 的切线；()2若8DE OC ⋅=，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）先由OD=OE ，利用等边对等角可得⊙2=⊙3，再利用DE⊙OC ；进而利用平行线的性质，可得⊙3=⊙4，⊙1=⊙2，等量代换可得⊙1=⊙4；再结合OB=OD ，OC=OC ，利用SAS 可证△DOC⊙⊙BOC ，那么⊙CDO=⊙CBO ，而⊙ABC=90°，于是⊙CDO=90°，即CD 是 O 的切线；（2）由（1）可知⊙2=⊙4，而⊙CDO=⊙BDE=90°，易证△CDO⊙⊙BDE ，可得比例线段，OD ：DE=OC ：BE ，又BE=2OD ，可求OD ．【详解】()1证明：连接OD ，⊙OE OD =，⊙23∠=∠，又⊙//DE OC ，⊙12∠=∠，34∠=∠，⊙14∠=∠；在DOC 和BOC 中，OD OB =，14∠=∠，OC OC =，⊙DOC BOC ≅，⊙CDO CBO ∠=∠；⊙90ABC ∠=，⊙90CDO ∠=，⊙CD 是O 的切线；()2⊙BE 是直径，⊙90BDE ∠=，在COD 和BED 中，24∠=∠，90EDB ODC ∠=∠=，⊙COD BED ∽，⊙::OD DE OC BE =；又⊙2BE OD =，⊙22OD DE OC =⋅，⊙2OD =．【点睛】考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质.综合性比较强，难度较大. 47．已知：对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ，O 的半径为4，交x 轴于点A ，B ，对于点P 给出如下定义：过点C 的直线与O 交于点M ，N ，点P 为线段MN 的中点，我们把这样的点P 叫做关于MN 的“折弦点”．(1)若()2,0C -⊙点()10,0P ，()21,1P -，()32,2P中是关于MN 的“折弦点”的是______；⊙若直线y kx =0k ≠）上只存在一个关于MN 的“折弦点”，求k 的值；(2)点C 在线段AB 上，直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”，直接写出b 的取值范围．与D相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出【详解】（1））与D相切，与D相交或相切，=+垂直直线y xy轴交于点重合时，b有最大值，此时48．如图1，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接CB ，过C 作CD AB ⊥于点D ，过点C 作BCE ∠，使BCE BCD ∠=∠，其中CE 交AB 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)如图2，点F 在O 上，且满足2FCE ABC ∠=∠，连接AF 并延长交EC 的延长线于点G ．若4CD =，3BD =，求线段FG 的长．CD OB ⊥DCB ∴∠+∠BCE ∠=∠OC OB=OCB∴∠=OCB∴∠+即：OC⊥CE∴是O的切线．（2）过点O作OHFCE∠=FCE∴∠=FCE∠=FCO∴∠OC CE⊥DCO∴∠+DCO∴∠=DCO∴∠=CDO∠=OCH∴∆≅CH CD∴=8CF∴=设OB OC=2OC OD=2(x x∴=解得：256 x．256OB OC∴==．CDB中，OC CG ⊥GCF ∴∠GCF ∴∠AFCB 是圆的内接四边形，GFC ∴∠GFC∴∆∽∴GF CF BC OC=GF =49．问题探究：（1）如图⊙，已知在⊙ABC 中，BC ＝4，⊙BAC ＝45°，则AB 的最大值是 ． （2）如图⊙，已知在Rt ⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为⊙ABC 内一点，且AD＝BD ＝2．，CD ＝6，请求出⊙ADB 的度数．问题解决：（3）如图⊙，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区⊙ABC ，且AB ＝A C ．⊙BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是⊙ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即⊙APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值．的外接圆O，连接）如图⊙，作⊙的外接圆O，连接BAC＝90°，OB是等腰直角三角形的外接圆O，连接AKC＝⊙APB 是等边三角形。

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。

下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。

一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。

解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。

解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。

直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。

解析：首先，求点$P$的坐标。

因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。

代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。

答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。

与圆有关的计算【基础知识回顾】一、 正多边形和圆：1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r 表示3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、 弧长与扇形面积计算：Qo 的半径为R ，弧长为l ，圆心角为n 2，扇形的面积为s 扇，则有如下公式： L= S 扇= =【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带学位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S 圆柱侧=⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r 高位h ，则有： ⑴S 圆柱侧= 、 ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条2、圆锥的高h ，母线长l ，底高半径R 满足关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l 是圆锥的 扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l ，底面半径为R ，侧面展开图扇形的圆心角度数为n 若l=2r ，则n= c=3r,则n= c=4r 则n= 】【典型例题解析】 考点一：正多边形和圆例1 （2012•咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB 23πC ．2πD ．23π考点：正多边形和圆．分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．对应训练1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．考点二：圆周长与弧长例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）A．10π B． C D．π点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．对应训练3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（结果用含有π的式子表示）考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作EF．若△AEF的边长为2，则阴影部分的A ．0.64B ．1.64C ．1.68D ．0.36点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S △ECF -S 弓形EGF 是解题的关键．A ．4πB ．2πC ．πD ． 3π点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 （2012•永州）如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 ．对应训练【聚焦山东中考】1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′，则 BB '的长为（ ） A ．π B ． 2π C ．7π D ．6π2.（2012•临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B．2C． D．3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于．4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．【备考真题过关】一、选择题1.（2012•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．D．6cm2.（2012•漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2012•鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（）A．43πB．53πC．2π D．3π5．（2012•黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A ．4-πB ．4-2πC ．8+πD ．8-2π 6．（2012•黄石）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ． 43π-B ．43π-C ．43π-D ．43π 7. （2012•娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．（2012•连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．πcmD ．2πcm9．（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300° 10． （2012•宁波）如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（ ）A ．B ．b=12 aC ．D ． a11．（2012•宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ） A ．24.0 B ．62.8 C ．74.2 D ．113.012．（2012•龙岩）如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）A ．10πB ．4πC ．2πD ．2二、填空题径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22. （2012•贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC26．（2012•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm2．27．（2012•孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 cm3（结果不作近似计算）．三、解答题，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB 28.（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，AD AC交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．。

初三数学圆基础练习题及答案练习题一：直径和半径的关系1. 若一个圆的半径为5cm，求其直径的长度是多少？答案：直径的长度是2倍的半径长度，因此直径的长度为10cm。

2. 若一个圆的直径为12cm，求其半径的长度是多少？答案：半径的长度是直径长度的一半，因此半径的长度为6cm。

练习题二：圆的周长和面积计算3. 已知一个圆的半径为3cm，求其周长和面积。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为半径。

将半径代入公式，可得C = 2π × 3 = 6π ≈ 18.85cm。

圆的面积公式为A = πr²，将半径代入公式，可得A = π × 3² = 9π ≈ 28.27cm²。

4. 已知一个圆的周长为10π cm，求其半径和面积。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，已知周长为10π，因此10π = 2πr，可得r = 5。

圆的面积公式为A = πr²，将半径代入公式，可得A = π × 5² = 25π ≈ 78.54cm²。

练习题三：相交圆的交点个数5. 如果两个圆相交于两个点，这两个圆的关系是什么？答案：两个相交的圆是相交圆。

6. 如果两个圆相交于一个点，这两个圆的关系是什么？答案：两个相交于一个点的圆是切圆。

7. 如果两个圆不相交，也不包含对方，这两个圆的关系是什么？答案：两个不相交也不包含对方的圆是相离圆。

练习题四：判断圆心在坐标系中的位置8. 圆心坐标为(2, 3)，半径为4的圆在坐标系中处于哪个位置？答案：根据圆心坐标和半径，我们可以在坐标系中画出这个圆。

圆心(2, 3)代表圆心在横坐标2，纵坐标3处，半径为4表示从圆心向外延伸4个单位的长度。

因此该圆处于横坐标为2，纵坐标为3的位置，并以该点为中心向外扩展4个单位的长度。

练习题五：圆的切线和切点9. 若一条直线与圆相切，这条直线与圆的关系是什么？答案：一条与圆相切的直线称为圆的切线。

中考专题复习《与圆有关的计算》一、选择题1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）A ．6B ．9C ．18D ．362．如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A ．B ．C ．D ．3．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ABCD3π6π53π56π4．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ） 23π23π43π23πAB C D二、填空6．正六边形的每个外角是________度。

7．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm 2，则此扇形的半径为______cm 。

8．如图，△ABC 是等边三角形，AB=2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________。

15332π15332π736π-736π9．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则的长为_________。

10．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是A ．B ．C ．D ．11．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）AB 9π183π-92π-3πA ．B ．C ．D ．12．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作交于点C ，若OA=2，则阴影部分的面积为_________。

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（ ）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（ ）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

初三数学圆练习题及答案1. 已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。

2. 圆心O到直线l的距离为4cm，若圆的半径为6cm，求圆与直线的位置关系。

3. 已知圆的直径为10cm，求圆的半径和面积。

4. 一个圆的面积是28.26平方厘米，求圆的半径。

5. 圆的周长为31.4cm，求圆的半径。

6. 一个圆的半径是另一个圆的半径的2倍，若小圆的面积是50平方厘米，求大圆的面积。

7. 圆的直径增加2cm，周长增加了多少？8. 一个圆的半径从3cm增加到6cm，求面积增加了多少？9. 已知圆的周长为25.12cm，求圆的直径。

10. 圆的半径从4cm减少到2cm，求周长减少了多少？11. 圆的周长是另一个圆周长的2倍，求这两个圆的半径比。

12. 一个圆的直径是另一个圆直径的3倍，求这两个圆的面积比。

13. 圆的半径扩大3倍，面积扩大了多少倍？14. 一个圆的周长是另一个圆周长的4倍，求这两个圆的半径比。

15. 圆的半径增加1cm，面积增加了多少？答案：1. 周长：31.4cm，面积：78.5平方厘米。

2. 圆与直线相离。

3. 半径：5cm，面积：78.5平方厘米。

4. 半径：5cm。

5. 半径：5cm。

6. 大圆面积：200平方厘米。

7. 周长增加了6.28cm。

8. 面积增加了50.24平方厘米。

9. 直径：8cm。

10. 周长减少了12.56cm。

11. 半径比为1:2。

12. 面积比为1:9。

13. 面积扩大了9倍。

14. 半径比为1:2。

15. 面积增加了3.14平方厘米。

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等【答案】C【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．2．已知O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（）A．在O外B．在O上C．在O内D．不能确定【答案】C【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．OP=<【详解】解：45∴点P在O内，故选：C．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．3．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？()A．B．C ．D ． 【答案】B【详解】试题分析：根据直径所对的圆周角为直角可得：B 为正确答案．4．已知⊙O 的半径是一元二次方程2340x x --=的一个根，点A 与圆心O 的距离为6，则下列说法正确在是（ ）A ．点A 在⊙O 外B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 内D ．无法判断 【答案】A【分析】先求方程的根，可得r 的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．【详解】解：⊙2340x x --=，⊙1x ＝﹣1，2x ＝4，⊙⊙O 的半径为一元二次方程2340x x --=的根，⊙r ＝4，⊙6＞4，⊙点A 在⊙O 外，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d 与圆半径大小关系完成判定．5．如图，AB 是半圆O 的直径，28BAC ∠=︒，则D ∠的度数是（ ）A ．62︒B ．118︒C ．152︒D ．138︒【答案】B 【分析】连接BC ，则直径所对的圆周角是直角可求得B ∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得结果的度数．【详解】连接BC ，如图所示，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒， 90902862B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，180********D B ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质等知识，掌握这两条性质是关键．6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦．若=21BAD ∠︒，则ACD ∠的大小为（ ）A ．21°B ．59°C ．69°D ．79°【答案】C 【分析】先求出ABD ∠的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可．【详解】解：⊙AB 是O 的直径⊙=90BDA ∠︒，⊙=21BAD ∠︒，⊙=1809021=69ABD ∠--︒︒︒︒，又⊙=AD AD ，⊙==69ACD ABD ∠∠︒，故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角等于90°．7．如图，圆与圆的位置关系没有（ ）A ．相交B ．相切C ．内含D ．外离 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系,寻找交点个数即可解题.【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交,故选A.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.8．已知在Rt ABC 中， 9034ACB AC BC ∠=︒==，，， 则Rt ABC 的外接圆的半径为（ ） A ．4B ．2.4C ．5D ．2.5 Rt ABC 中，根据勾股定理得，223BC =直角三角形的外心为斜边中点，Rt ABC 的外接圆的半径为故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．9．如图，12∠=∠，则AB CD =的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解．【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有C 选项符合题意；⊙12∠=∠，⊙AB CD =．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键．10．ABC ∆中，10AB AC cm ==，12BC cm =，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（ ）cm ．A ．5B ．6C ．152D ．254 AB AC =BD DC ∴=连接OB ，在Rt⊙ABD 设圆形纸片的半径为【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形外接圆的性质及勾股定理是解题的关键． 11．如图所示，MN 是半圆O 的直径，MP 与半圆0相切于点M ，R 是半圆上一动点，RE MP ⊥于E ，连接MR .设MR x =，MR RE y -=，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．，可得~EMR RNM ，设半圆2)r ，根据函数的解析式即可判断函数图象⊙~EMR RNM ， ER MR MR MN=， 设半圆O 的半径为值2(02x y x x r=-+<<可得到y 是x 的二次函数，开口方向向下，对称轴12．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y=k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为4-⊙ABC ，则k 的值为（ ）.A B ．2 C ．4 D ．=4，⊙DN×NO=4，即：xy=k=4．故选C ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；三角形的内切圆与内心． 13．若5cm AB =，作半径为4cm 的圆，使它经过A 、B 两点，这样的圆能作（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】先作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以4cm 为半径作圆即可；【详解】解：这样的圆能画2个．如图：作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以4cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆内⇔d ＜r ． 14．如图，在ABC 中，3AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3πB 2π-C πD 32πAB BD =ABD ∴是等边三角形，AD AB ∴=6BC =，3CD ∴=，AD CD ∴=C CAD ∴∠=∠C CAD ∠+∠30C ∴∠=BAC ∴∠=AC ∴=∴图中阴影部分的面积15．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，且30BCD ∠=︒，CD = ）A ．24π-B ．83π-C ．43π-D ．348π-故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．16．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π17．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙∠BCE ＝∠A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙∠CDB ＝∠DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4 ⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．18．一个圆锥的侧面展开图是半径为8，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为（ ）A cmB ．163 cmC cmD ．83cm19．⊙O 的半径为10cm, A 是⊙O 上一点, B 是OA 中点, C 点和B 点的距离等于5cm, 则C 点和⊙O 的位置关系是 （ ）A ．C 在⊙O 内B ．C 在⊙O 上 C ．C 在⊙O 外D ．C 在⊙O 上或C 在⊙O 内【答案】D【详解】试题解析：因为⊙O 的半径是10cm ，A 是圆上一点，所以OA=10cm ， 又B 是OA 的中点，所以BA=5cm ．而BC=5cm ，所以点C 应在以B 为圆心，5cm 为半径的⊙B 上．⊙B 上的点除点A 在⊙O 上外，其它的点都在⊙O 内．故选D ．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．AC BC =，4cm AB =．CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）．A ．2B ．πC ．2πD ．π2【答案】D 【详解】试题解析：如图，,90CA CB ACB AD DB =∠==，，⊙CD ⊙AB ，⊙⊙ADE =⊙CDF =90，CD =AD =DB ，在⊙ADE 和⊙CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF ，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙ADE ⊙⊙CDF (SAS)，⊙⊙DAE =⊙DCF ，⊙⊙AED =⊙CEG ，90，四点共圆，的运动轨迹为弧CD90，的运动轨迹的长为二、填空题21．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC、BD交于点BD=，则AC=________．E，若1AD=，722．如图，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S =扇形________2cm ．23．如图，ABC ∆中，90,6,4,ACB BC AC D ∠=︒==是AC 边上的一个动点，过点C 作,CE BD ⊥垂足为,E 则AE 长的最小值为_______________________．【答案】2【分析】取BC 中点F ，连接AE 、EF ．易得点E 在以BC 长为直径的圆周上上运动，24．如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则⊙FBC＝__________．【分析】连接OA，OB，OF，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心角，结合图形计算即可．【详解】解：连接OA，OB，OF，OC．25．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，劣弧AB长为π2，则⊙AOB＝____．26．如图，Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，⊙A＝30°，BC＝6，D，E分别是AB，AC边的中点，将⊙ABC绕点B顺时针旋转60°到⊙A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为_____．【详解】27．四边形ABCD 是O 的内接四边形，2C A ∠=∠，则C ∠的度数为___．【答案】120°##120度【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可．【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180C A∴∠+∠=︒2C A∠=∠，120C∴∠=︒．故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．28．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AB=13，AC=5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是_______．【答案】6013##8413来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理．29．如图，在⊙O中，点C在优弧ACB上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O AB＝4，则BC的长是_____．30．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为,2D AB BC ==，则AOB ∠=_________．31．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点()()()0,4,4,4,6,2A B C --．（1）若该圆弧所在圆的圆心为D ，则AD 的长为__________．（2）该圆弧的长为___________．90255180π=【详解】解：（1）如图，易知点2425+=即D 的半径为AD CD ==2AD DC +ACD ∆为直角三角形，根据题意得90255180π=即该圆弧的长为5π．【点睛】本题主要考查圆，扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出的坐标是解题的关键．OD BC，OD与32．如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且//∠=______．AC交于点E，若E是OD中点，，则CAD【答案】30°【分析】先判定AC垂直平分OD，进而可判定⊙OAD是等边三角形，再由三线合一即可求出⊙CAD的度数．【详解】⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙ACB=90°．OD BC，⊙//⊙⊙AED=90°．⊙E是OD中点，⊙AC垂直平分OD，⊙AD=OA，⊙OA=OD，⊙⊙OAD是等边三角形，⊙⊙OAD=60°，⊙⊙CAD=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键．33．如图，在半径为2cm的扇形纸片AOB中，⊙AOB=90°，将其折叠使点B落在点O 处，折痕为DE，则图中阴影部分的面积为________cm2334．若点O 是等腰ABC 的外心，且60,BOC ∠=︒底边4,BC =则ABC 的边BC 上的高为 ____________________．E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan⊙FBC的值为．关系；解直角三角形．【答案】【详解】试题分析:连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，⊙A=⊙D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．解：连接CE交BF于H，连接BE，⊙四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，⊙AB=CD=3，AD=BC=5=BE，⊙A=⊙D=90°，由勾股定理得：AE==4，DE=5﹣4=1，由勾股定理得：CE==，由垂径定理得：CH=EH=CE=，在Rt⊙BFC中，由勾股定理得：BH==，所以tan⊙FBC===．故答案为．36．O是ABC的外心，且140∠=________；若I是ABC的内心，∠=，则ABOC且140∠=________．BIC∠=，则A70100是ABC的外心，且140，如图所示：是ABC的内心，且140，如图所示：⊙I 是⊙ABC 的内心，⊙⊙A=180°-(⊙ABC+⊙ACB)= 180°-2(⊙IBC+⊙ICB)=180°-2（180°-140°）=100°． 故答案为70°；100°．【点睛】本题考查了三角形内外心的性质，熟知三角形内外心的性质是解题的关键. 37．冬天的雪是我们的乐园，一次下雪后，小伙伴们堆了一大雪人，准备给雪人制作一个底面半径为9cm ，母线长为30cm 的圆锥形礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为____________cm 2 ．（结果保留π）【答案】270π．【详解】试题分析：S=πrl=9×30π=270π(2cm ).考点：圆锥的侧面积计算.38．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．39．如图，I 是直角ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若10AF ，3BE =，则ABC 的面积为_____．的值，再利用三角形的面积公式求得ABC 的面积即可．【详解】解：I 是直角ABC 的内切圆，且10AF ，BE =3，10AF AD ==，CE 13=，x ，则3BC x ，AC 中，222AC BC AB +=，即)22313x +=，（不符题意，舍去）ABC ∴的面积为故答案为：【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键．40．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1cm的⊙O，则图中阴影部分的面积为_____cm2（结果保留π）．三、解答题41．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F．（1）求证：CF 与⊙O 相切；（2）求△BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比． 【答案】（1）证明见详解；（2）6：7．【分析】（1）连接OE 、DE ，根据等腰三角形性质推出⊙ODE ＝⊙OED ，⊙CDE ＝⊙CED ，推出⊙OED ＋⊙CED ＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）过F 作FM⊙DC 于M ，得出四边形ADMF 是矩形，推出AD ＝FM ＝4，AF ＝DM ，求出AF ＝EF ，设AF ＝EF ＝x ，DM ＝x ，在Rt △FMC 中，由勾股定理得出方程()()222444x x +-=+，求出x 的值，即可求出△BCF 的周长和直角梯形ADCF 的周长．【详解】（1）证明：连接OE ，DE ，⊙OD ＝OE ，CE ＝CD ，⊙⊙ODE ＝⊙OED ，⊙CDE ＝⊙CED ，⊙四边形ABCD 是正方形，⊙⊙ADC ＝90°，⊙⊙ADC ＝⊙ODE ＋⊙CDE ＝90°，⊙⊙OED ＋⊙CED ＝90°，即OE⊙CF ，⊙OE 为半径，⊙CF 与⊙O 相切．（2）解：如图：过F 作FM⊙DC 于M ，⊙四边形ABCD 是正方形，⊙AD ＝DC ＝BC ＝AB ＝CE ＝4，⊙FAD ＝⊙ADM ＝⊙FMD ＝⊙FMC ＝90°，⊙四边形ADMF 是矩形，⊙AD ＝FM ＝4，AF ＝DM⊙⊙OAF ＝90°，OA 为半径，⊙AF 切⊙O 于A ，CF 切⊙O 于E ，⊙AF ＝EF ，设AF ＝EF ＝x ，DM ＝x ，在Rt △FMC 中，由勾股定理得：222FM MC CF +=，()()222444x x +-=+， 解得：x ＝1，⊙AF ＝EF ＝DM ＝1，⊙CF ＝4＋1＝5，⊙⊙BCF 的周长是BC ＋CF ＋BF ＝4＋5＋4−1＝12，直角梯形ADCF 的周长是AD ＋DC ＋CF ＋AF ＝4＋4＋5＋1＝14，⊙⊙BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比是12：14＝6：7．【点睛】本题考查了正方形性质，切线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．42．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ． （1）如图⊙，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图⊙，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图⊙，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．43．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，BE平分⊙ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊙BE．（1）判断直线AC与⊙DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=6，BC的长．【答案】（1）直线AC与⊙DBE外接圆相切．（2）BC=4．【分析】（1）取BD的中点O，连接OE，证明⊙OEB=⊙CBE后可得OE⊙AC；（2）设OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再证明△AOE⊙⊙ABC，利用线段比求解．【详解】（1）直线AC与⊙DBE外接圆相切．理由：⊙DE⊙BE⊙BD为⊙DBE外接圆的直径取BD的中点O（即⊙DBE外接圆的圆心），连接OE⊙OE=OB⊙⊙OEB=⊙OBE⊙BE平分⊙ABC⊙⊙OBE=⊙CBE⊙⊙OEB=⊙CBE⊙⊙CBE+⊙CEB=90°⊙⊙OEB+⊙CEB=90°，即OE⊙AC44．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交⊙ABE边AE于点D，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．现有3个选项：⊙AB=BE，⊙PC⊙BE，⊙PD是⊙O的切线．(1)请从3个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明；你选择的两个条件是，结论是（只要填写序号）；(2)在（1）的条件下，连接OC，如果P A=2，sin⊙ABC=45，求OC的长．=AB BE∴∠=BAE∴∥OD BE∴∠=ODP∴PD是⊙4CP =2,PA OD∴=OD OA45．如图，BD是⊙O的直径，过点D的切线交⊙O的弦BC的延长线于点E，弦AC⊙DE交BD于点G（1）求证：BD平分弦AC；（2）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.46．如图，⊙ABC 为⊙O 的内接三角形，其中AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线P A ．（1）求证：⊙P AC ＝⊙ABC ；（2）若⊙P AC ＝30°，AC ＝3，求劣弧AC 的长．603180π＝π.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.47．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连结BD，（1）求证：DE BE=；（2）当AB=10，BD=8，求CD和BE的长．48．在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：⊙画线段AB；⊙分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；⊙在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；⊙过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接B D．（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝⊙BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．1149．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点D，连接AC．作CE⊙AB于点E．（1）求证：⊙BCE=⊙BCD；（2）若AD＝8，12BCAC=，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）CD=4【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到⊙ACB=90°，利用切线的性质得到⊙DCO=90°，则根据等角的余角相等得到⊙ACO=⊙BCD，同样方法证明⊙A=⊙BCE，从而得到⊙BCE=⊙BCD；（2）证明⊙ACD⊙⊙CBD，然后利用相似比求CD的长．【详解】（1）证明：连接OC，如图，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙CD与⊙O的相切于点C，⊙⊙DCO=90°，即⊙BCD+⊙OCB=90°，⊙⊙ACO=⊙BCD，⊙OC=OA，⊙⊙A=⊙ACO，50．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发，以每秒12个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，到点B 停止．同时点Q 从点A 出发，沿AC CB -的线路向点B 运动，在边AC BC 上的速度为每秒2个单位长度，到B 停止，以PQ 为边向右或右下方构造等边PQR ，设P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）填空：BC =__________，AC =__________．（2）当Q 在AC 上，R 落在BC 边上时，求t 的值．（3）连结BR ．⊙当Q 在边AC 上，BR 与ABC 的一边垂直时，求PQR 的边长．⊙当Q 在边BC 上且R 不与点B 重合时，判断BR 的方向是否变化，若不变化，说明理由．理由见解析⊙ABC中，90，30∠，ABA=，3作QD⊙AB59⊙⊙QPR是等边三角形，⊙⊙QRP=60°，⊙⊙ABC=90°-⊙A=60°，⊙⊙QBP=⊙QRP=60°，⊙Q、P、B、R四点共圆，⊙⊙QBR=⊙QPR=60°，⊙BR的方向不变．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，四点共圆等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

初中数学圆试题及答案一、选择题1. 圆的直径是半径的几倍？A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍答案：A2. 一个圆的周长是它的直径的多少倍？A. π倍B. 2π倍C. 3π倍D. 4π倍答案：B3. 圆的面积公式是？A. πr²B. 2πrC. r²D. 2r²答案：A二、填空题4. 半径为3cm的圆的直径是_______cm。

答案：65. 圆的周长公式是C=______。

答案：2πr6. 如果一个圆的面积是28.26平方厘米，那么它的半径是______厘米。

答案：3三、解答题7. 已知一个圆的半径是5cm，求它的周长和面积。

答案：周长为3.14×2×5=31.4cm，面积为3.14×5²=78.5平方厘米。

8. 一个圆的直径是10cm，求它的周长和面积。

答案：周长为3.14×10=31.4cm，面积为3.14×(10/2)²=78.5平方厘米。

9. 圆的面积是50.24平方厘米，求它的半径。

答案：半径为√(50.24/3.14)=4厘米。

四、应用题10. 一个圆形花坛的直径是20米，求它的周长和面积。

答案：周长为3.14×20=62.8米，面积为3.14×(20/2)²=314平方米。

11. 一个圆形水池的半径是7米，如果每平方米的水深是2米，求这个水池的容积。

答案：容积为3.14×7²×2=307.84立方米。

12. 一个圆的周长是62.8米，求它的直径和面积。

答案：直径为62.8/3.14=20米，面积为3.14×(20/2)²=314平方米。

中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。

以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。

2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。

3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。

4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。

答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。

5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。

6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。

答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。

关于数学圆的试题及答案试题1：已知圆的半径是5，求圆的周长和面积。

答案1：圆的周长公式为 \( C = 2\pi r \)，其中 \( r \) 是半径。

将半径 \( r = 5 \) 代入公式，得到周长 \( C = 2 \times \pi\times 5 = 10\pi \)。

圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)。

将半径 \( r = 5 \) 代入公式，得到面积 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \)。

试题2：一个圆的直径是12，求这个圆的半径和面积。

答案2：圆的直径是半径的两倍，所以半径 \( r = \frac{直径}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)。

圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)。

将半径 \( r = 6 \) 代入公式，得到面积 \( A = \pi \times 6^2 = 36\pi \)。

试题3：如果一个圆的面积是 \( \pi \)，求这个圆的半径。

答案3：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)。

已知面积 \( A = \pi \)，所以 \( \pi = \pi r^2 \)。

解这个方程得到 \( r^2 = 1 \)，所以 \( r = 1 \)。

试题4：已知一个圆的周长是 \( 8\pi \)，求这个圆的半径。

答案4：圆的周长公式为 \( C = 2\pi r \)。

已知周长 \( C = 8\pi\)，所以 \( 8\pi = 2\pi r \)。

解这个方程得到 \( r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4 \)。

试题5：一个圆的半径是4，求这个圆的直径。

答案5：圆的直径是半径的两倍，所以直径 \( d = 2r = 2 \times 4 = 8 \)。

试题6：已知一个圆的面积是 \( 25\pi \)，求这个圆的半径。

答案6：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)。

中考数学总复习《圆的有关计算》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】⏜的长为( )1.(2024·安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则ABA.2πB.3πC.4πD.6π2.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是( )A.144°B.130°C.129°D.108°3.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于( )A.8B.10C.12D.164.如图,在☉O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为( )A.π-√2 B.π-√22C.π2-2 D.π-25.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是( )A.√2B.1C.√22D.126.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24 cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是( )A.8π cmB.16π cmC.32π cmD.192π cm7.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,DO⊥BE于点O,连接AD交BC于点F,若AC=FC.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若BF=8,DF=2√10,求☉O的半径;(3)若∠ADB =60°,BD =1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)【B 层·能力提升】8.如图,已知点C 为圆锥母线SB 的中点,AB 为底面圆的直径,SB =6,AB =4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点,则蚂蚁爬行的最短路程为( )A .5B .3√3C .3√2D .6√39.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )A.143π-6B.259πC.338π-3D.√33+π10.(2024·乐山中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作☉O 的切线CD 交BA 延长线于点D ,点E 为CB⏜上一点,且AC ⏜=CE ⏜.(1)求证:DC ∥AE ;(2)若EF 垂直平分OB ,DA =3,求阴影部分的面积.【C 层·素养挑战】11.(2024·唐山二模)一个工件槽的两个底角∠A =∠B =90°,点A ,B 的初始高度相同,尺寸如图1所示(单位:cm),将一个形状规则的铁球放入槽内,测得球落在槽内的最大深度为2 cm(E 为球的最低点).(1)求该铁球的半径;(2)如图2,将这个工件槽的右边升高2 cm(BC =2 cm)后,求该平面图中铁球落在槽内的弧AB 的长度.(参考数据:sin 56°≈√175,cos 34°≈√175,tan 40°≈√175) 参考答案【A 层·基础过关】1.(2024·安徽中考)若扇形AOB 的半径为6,∠AOB =120°,则AB ⏜的长为(C) A .2π B .3π C .4π D .6π2.如图,☉O 与正五边形ABCDE 的两边AE ,CD 相切于A ,C 两点,则∠AOC 的度数是(A)A.144°B.130°C.129°D.108°3.如图,AB,AC分别为☉O的内接正方形、内接正三角形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于(C)A.8B.10C.12D.164.如图,在☉O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为(D)A.π-√2 B.π-√22C.π-2 D.π-225.如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径,画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是(D)A.√2B.1C.√22D.126.一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24 cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(B)A.8π cmB.16π cmC.32π cmD.192π cm7.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,DO⊥BE于点O,连接AD交BC于点F,若AC=FC.(1)求证:AC是☉O的切线;【解析】(1)连接OA∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA∵AC=CF,∴∠CAF=∠CFA∵OD⊥BE,∴∠DOB=∠DOF=90°∴∠OFD+∠ODA=90°.∵∠OFD=∠CFA∴∠CAF+∠OAD=90°,∴OA⊥AC∵OA是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.(2)若BF=8,DF=2√10,求☉O的半径;【解析】(2)设☉O的半径为r,∴BO=DO=r∵BF=8,∴OF=8-r.∵∠DOF=90°∴在Rt△ODF中,由勾股定理得OF2+OD2=DF2,∵DF=2√10∴(8-r)2+r2=(2√10)2解得r=6或r=2(不符合题意,舍去)故☉O的半径为6.(3)若∠ADB=60°,BD=1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)【解析】(3)∵BO=DO,BD=1,∠DOB=90°∴在Rt△BOD中,由勾股定理得BO2+OD2=BD2∴BO=DO=√22即☉O的半径为√2.2∵∠ADB=60°∴∠AOB=2∠ADB=120°∴∠AOC=180°-∠AOB=60°.∵OA⊥AC∴∠OAC=90°.∴在Rt △OAC 中,tan ∠AOC =tan 60°=ACOA=√3.∵OA =√22,∴AC =√3OA =√62∴S △OAC =12OA ·AC =12×√22×√62=√34,S 扇形OAE =60π×(√22) 2360=π12∴S 阴影=S △OAC -S 扇形OAE =√34-π12.【B 层·能力提升】8.如图,已知点C 为圆锥母线SB 的中点,AB 为底面圆的直径,SB =6,AB =4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点,则蚂蚁爬行的最短路程为(B)A .5B .3√3C .3√2D .6√39.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,BC =4,将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△ADE ,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为(B)A.143π-6B.259πC.338π-3D.√33+π10.(2024·乐山中考)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作☉O 的切线CD 交BA 延长线于点D ,点E 为CB⏜上一点,且AC ⏜=CE ⏜.(1)求证:DC∥AE;【解析】(1)连接OC(图略)∵CD为☉O的切线,点C在☉O上∴∠OCD=90°,∴∠DCA+∠OCA=90°∵AB为☉O的直径∴∠ACB=90°,∴∠B+∠OAC=90°.∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA⏜=CE⏜∴∠B=∠DCA,∵AC∴∠B=∠CAE,∴∠CAE=∠DCA∴CD∥AE.(2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.【解析】(2)连接OE,BE(图略)∵EF垂直平分OB,∴OE=BE∵OE=OB,∴△OEB为等边三角形.∴∠BOE=60°,∴∠AOE=180°-60°=120°∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°.∵DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°.∵∠OCD=90°,∴OD=2OC=OA+AD∵OA=OC,∴OC=AD=3∴AO=OE=OC=3,∴EF=√32OE=3√32∴S△OAE=12AO·FE=9√34∵S扇形OAE=120π×32360=3π∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE=3π-9√34.【C层·素养挑战】11.(2024·唐山二模)一个工件槽的两个底角∠A=∠B=90°,点A,B的初始高度相同,尺寸如图1所示(单位:cm),将一个形状规则的铁球放入槽内,测得球落在槽内的最大深度为2 cm(E为球的最低点).(1)求该铁球的半径;【解析】(1)连接AB,OA,OE,且OE,AB交于点D由题意,得AB=8,DE=2,OE⊥AB∴AD=12AB=4设铁球的半径为r,则OA=OE=r,OD=OE-DE=r-2第 11 页 共 11 页 由勾股定理,得OA 2=OD 2+AD 2即r 2=(r -2)2+42解得r =5∴铁球的半径为5 cm .(2)如图2,将这个工件槽的右边升高2 cm(BC =2 cm)后,求该平面图中铁球落在槽内的弧AB 的长度.(参考数据:sin 56°≈√175,cos 34°≈√175,tan 40°≈√175) 【解析】(2)连接OA ,OB ,AB ,过点O 作OF ⊥AB 于点F则AF =BF =12AB ,OA =OB在Rt △ACB 中,由勾股定理,得AB =√AC 2+BC 2=√82+22=2√17∴AF =BF =12AB =√17 由(1)知OA =OB =5∴cos ∠OBF =BF OB =√175 ∴∠OBF =34°∴∠OAB =∠OBA =34°∴∠AOB =180°-2∠OBA =112°∴弧AB 的长度为112π180×5=28π9.。