高中数学一次函数、二次函数-学生

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

二次函数与一次函数的关系知识点1. 介绍：二次函数和一次函数是高中数学学习中经常涉及的两种函数类型。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0；而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数且k≠0。

本文将探讨二次函数与一次函数之间的关系及其相关知识点。

2. 二次函数的特点：2.1 函数图像：二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，可以是开口向上或开口向下的。

开口向上的二次函数在最低点取得最小值，而开口向下的二次函数在最高点取得最大值。

2.2 零点和顶点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在二次函数中可以使用求根公式或配方法求得。

函数的顶点是指函数图像的最低点或最高点，在二次函数中可以通过计算x坐标的中点来找到顶点。

2.3 对称性：二次函数的图像具有关于顶点的对称性，即关于x=a的直线对称于关于y=b的直线。

3. 一次函数的特点：3.1 函数图像：一次函数的图像通常呈现直线的形状，具有斜率的概念。

斜率为正值时，函数图像呈现上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈现下降趋势。

3.2 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在一次函数中可以通过令y=0来求解，得到x的值。

3.3 截距：一次函数的截距是指函数图像与y轴相交的点，在一次函数中可以通过令x=0来求解，得到截距的值。

4. 二次函数与一次函数的关系：4.1 平移：二次函数与一次函数可以通过平移进行相互转换。

平移是指将函数图像沿x轴或y轴进行上下左右的移动。

通过改变二次函数或一次函数的系数或常数，可以实现平移操作。

4.2 对应点：对于二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=kx+b，当二次函数的顶点(x, y)和一次函数的某一点(x, y')对应时，有如下关系： y = y' + (c - y')其中，y表示二次函数的值，y'表示一次函数的值。

4.3 一次函数的特殊情况：当二次函数的系数a=0时，二次函数就变成了一次函数。

高中数学全面总结知识点一、代数1、一次函数和二次函数一次函数的一般式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

而二次函数的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是常数，且a≠0。

在学习一次函数和二次函数时，学生需要了解它们的性质、图像和应用，以便灵活运用。

2、不等式不等式在高中数学中占有重要地位，学生需要掌握不等式的性质、解法及其应用。

常见不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式等。

3、集合与命题逻辑集合和命题逻辑是代数的基础，学生需要掌握集合的运算、集合的关系和集合的应用。

同时，也应该学习命题的联结词、逆否命题和充分必要条件等概念。

4、数列数列在高中数学中也是一个重要的内容，学生需要掌握等差数列和等比数列的性质、求和公式及应用。

此外，也需要了解递推数列和特殊数列。

5、排列组合排列组合是数学中的一个重要概念，学生需要了解排列和组合的定义、性质、公式及应用，以及重点掌握乘法原理和加法原理。

6、二次函数二次函数是代数中的一个重要内容，学生需要了解二次函数的定义、性质、图像及其应用。

此外，也需要学习二次函数的相关知识，如零点、顶点、对称轴等。

二、几何1、平面几何平面几何是高中数学中的一个重要领域，学生需要掌握平面几何的基本概念、性质及其应用，包括直线、角、三角形、四边形、圆等内容。

2、立体几何立体几何是平面几何的延伸，学生需要了解立体几何的基本概念、性质及其应用，包括空间图形、平行四边形、棱台和圆柱等内容。

3、向量向量是高中数学中的一个重要内容，学生需要了解向量的定义、性质、运算及其应用。

同时，也需要学习向量的线性运算、数量积和向量积。

4、解析几何解析几何是几何与代数的结合，学生需要了解解析几何的基本原理、直线与圆的方程及其应用，以便在实际问题中灵活运用。

5、立体几何中的空间图形空间图形在高中数学中也是一个重要内容，学生需要了解平行四边形、棱台和圆柱的性质、体积、表面积及其应用。

.
.n b +证明：当
（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.
3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.
4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
B≠∅，求实数。

二次函数和一次函数的解法在数学中，二次函数和一次函数是基础的函数类型，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数和一次函数的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的解法二次函数是指函数形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

解二次函数的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的解法：因式分解法和公式法。

1. 因式分解法当二次函数为完全平方形式时，可以通过因式分解的方法来求解。

完全平方形式的二次函数为f(x) = a(x - p)² + q，其中a、p、q都是常数。

步骤如下：（1）将二次函数化简为完全平方形式；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式；（3）令乘积等于0，求解出x的值。

举例说明：求解二次函数f(x) = 2x² + 12x + 18的解。

（1）将二次函数化简为完全平方形式：f(x) = 2(x² + 6x) + 18；（2）利用因式分解将完全平方形式的二次函数转化为乘积形式：f(x) = 2(x + 3)² + 9；（3）令乘积等于0，求解x的值：2(x + 3)² + 9 = 0，解得x = -3。

2. 公式法当二次函数无法通过因式分解得到解的时候，可以使用求根公式来求解。

步骤如下：（1）根据二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，分别确定a、b、c的值；（2）使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，求解出x的值。

举例说明：求解二次函数f(x) = x² + 2x + 1的解。

（1）确定二次函数的参数：a = 1，b = 2，c = 1；（2）使用求根公式求解x的值：x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)= (-2 ± √(4 - 4)) / 2= (-2 ± √0) / 2= -1。

高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn ,该年的增长量yn和 xn与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x1<m，(1)证明：;(2)用 xn 表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.【答案】（1）详见解析；（2），证明用数学归纳法，过程详见解析．【解析】（1）由已知可得yn 是xn的一个二次函数，利用配方法，注意到就可证明；（2）由已知有该年的增长量，所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用xn 表示xn+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明：当n=1时显然成立；再假设当时，命题成立，则对n=k+1时，由于是xk的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证成立，从而有对一切正整数n，，即是草原上的野兔总数量恒小于m.试题解析：（1）由题意知，配方得：∵∴当且仅当时，取得最大值，即（5分）（2）（8分）用数列归纳法证明：当n=1时，由题意知，故命题成立假设当时，命题成立是xk的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长（13分）【考点】1函数的概念；２．二次函数；３．数学归纳法．2.已知是方程的两根，且，,，求的最大值与最小值之和为()．A．2B．C．D．1【答案】A【解析】设，根据题意，有，即则直角坐标平面内以为坐标的点的集合对应的区域如下图所示：则的值可看作是过动点和定点的直线的斜率；由图可知，，所以，的最大值与最小值之和为2.故选A【考点】1、一元二次方程根的分布；2、二元一次不等式所表示的平面区域；3、直线的斜率；4、数形结合.3.函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】(-∞,-6]【解析】由于函数在上是增函数，那么二次函数对称轴为，即可知只要，故答案为(-∞,-6]【考点】二次函数单调性点评：解题的关键是理解给定的区间是二次函数增区间的子区间，属于基础题。

(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。

高中数学教学备课教案一次函数与二次函数高中数学教学备课教案【教案一】一次函数与二次函数教学目标：1. 理解一次函数和二次函数的基本概念与性质；2. 掌握一次函数和二次函数的图像、方程和解析式的关系；3. 能够在实际问题中应用一次函数和二次函数进行建模和求解；4. 培养学生的抽象思维和数学推理能力。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学工具等；2. 学生准备：教科书、笔记本、作业本等。

教学步骤：【第一步】引入（时间：5分钟）教师通过引导学生回顾一次函数和二次函数的概念和性质，让学生对本次课程的内容有初步的了解和认知。

【第二步】讲解一次函数（时间：15分钟）1. 教师通过教学课件和示例图像，讲解一次函数的定义、特征及其图像的性质；2. 教师引导学生利用一次函数的特点，分析实际问题中的线性关系，并通过具体例子进行实际应用。

【第三步】练习与讨论（时间：20分钟）1. 学生个人练习：学生进行一次函数的练习题，在解题过程中加深对一次函数的理解；2. 小组讨论：学生分组进行讨论，分享解题思路和方法，从而提高学生的综合能力和合作意识；3. 教师答疑与点评：教师主持讨论，解答学生提出的问题，并对学生的答案进行点评。

【第四步】讲解二次函数（时间：20分钟）1. 教师通过教学课件和示例图像，讲解二次函数的定义、特征及其图像的性质；2. 教师引导学生分析二次函数图像与一次函数图像的异同，引导学生猜测二次函数的性质。

【第五步】练习与讨论（时间：20分钟）1. 学生个人练习：学生进行二次函数的练习题，在解题过程中加深对二次函数的理解；2. 小组讨论：学生分组进行讨论，分享解题思路和方法，从而培养学生的合作能力；3. 教师答疑与点评：教师主持讨论，解答学生提出的问题，并对学生的答案进行点评。

【第六步】实际应用（时间：15分钟）1. 教师引导学生通过一次函数和二次函数建立数学模型，并应用到实际问题中；2. 学生通过实际案例，分析解决问题的方法与步骤，加深对一次函数和二次函数的应用理解。

二次函数和一次函数的应用二次函数和一次函数是高中数学中的重要内容，也是实际生活中广泛应用的数学概念。

本文将重点探讨二次函数和一次函数在实际问题中的应用，并通过实例详细说明其应用方式和意义。

一、二次函数的应用二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a≠0，其图像为抛物线。

二次函数在现实生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。

1. 抛物线运动二次函数最典型的应用之一就是描述抛物线运动。

例如，一个抛出的物体在空中运动的轨迹就可以用二次函数来描述。

具体来说，假设抛物线的顶点为(x₀, y₀)，则可以得到二次函数的标准式为y=a(x-x₀)²+y₀。

这个公式能够帮助我们确定抛物线的形状、方向和顶点位置，从而更好地理解和分析抛物线运动。

2. 自由落体自由落体是物体只受重力作用下自由下落的运动方式。

当一个物体从高处自由落下时，其下落的距离可以用二次函数来描述。

通过测量物体下落过程中的时间和距离，我们可以建立二次函数模型，从而预测未来的位置，并计算出物体达到地面所需的时间。

3. 优化问题在实际问题中，我们经常需要寻找最优解。

例如，在生产成本与销售利润之间寻找平衡点，寻找某个函数的最大值或最小值等。

这些问题往往可以转化为二次函数的优化问题。

通过求解二次函数的极值点，我们可以找到问题的最优解。

二、一次函数的应用一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其在实际生活中的应用也非常广泛。

1. 直线运动一次函数经常用于描述物体的直线运动。

例如，在汽车行驶过程中，行驶的距离与所用的时间之间的关系可以用一次函数来描述。

通过观察和测量物体的运动情况，我们可以建立一次函数模型，从而预测未来的位置和时间。

2. 费用和收益在商业领域，一次函数可以用于描述企业的成本和收入之间的关系。

例如，某企业的生产成本可以表示为y=kx+b，其中x为生产数量，y为成本。

通过分析一次函数模型，我们可以找到成本与生产数量的关系，从而进行成本控制和利润分析。

一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

高中数学二次函数与一次函数的性质及比较一、引言数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，而二次函数和一次函数是数学中的两个重要概念。

二次函数和一次函数都是数学中常见的函数类型，它们在解决实际问题和数学建模中起着重要的作用。

本文将重点介绍二次函数和一次函数的性质，并比较二者的异同，帮助高中学生更好地理解和应用这两种函数。

二、二次函数的性质1. 定义二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。

对称轴的方程为x = -b / (2a)，顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。

3. 开口方向和最值当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标。

当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为顶点的纵坐标。

4. 零点和交点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过求解方程ax^2 + bx + c =0得到。

二次函数与y轴的交点为(0, c)。

5. 范围和值域对于开口向上的二次函数，其范围为(-∞, f(-b / (2a)])；对于开口向下的二次函数，其范围为[f(-b / (2a)), +∞)。

值域为(-∞, +∞)。

三、一次函数的性质1. 定义一次函数是指函数的表达式为f(x) = ax + b，其中a、b为常数且a ≠ 0。

一次函数的图像为一条直线，斜率由a决定。

2. 斜率和截距一次函数的斜率为直线的倾斜程度，斜率的定义为a。

截距为直线与y轴的交点，截距的定义为b。

3. 零点和交点一次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过求解方程ax + b = 0得到。

一次函数与y轴的交点为(0, b)。

4. 范围和值域一次函数的范围和值域都为(-∞, +∞)。

四、二次函数与一次函数的比较1. 图像形状二次函数的图像为抛物线，可以开口向上或向下；一次函数的图像为直线。

一次函数与二次函数一次函数与二次函数是高中数学中常见的重要概念。

它们在实际生活和各个领域中有广泛的应用。

本文将介绍一次函数和二次函数的定义、特点以及它们的应用。

一、一次函数一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a≠0。

一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

一次函数的特点如下：1. 斜率：斜率代表了函数图像上的每一单位自变量变化所对应的因变量的变化。

斜率为正时，函数图像上升，斜率为负时，函数图像下降。

斜率为0时，函数图像水平。

2. 截距：截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标。

当x=0时，f(x)=b，即截距为b。

3. 变化趋势：一次函数的图像是一条直线，其变化趋势是线性的，即斜率不变。

当斜率为正时，函数图像上升；当斜率为负时，函数图像下降。

一次函数有许多实际应用，如直线运动问题、成本问题等。

例如，在直线运动问题中，一次函数可以描述物体的位置随时间的变化。

在成本问题中，一次函数可以描述成本与生产量的关系。

二、二次函数二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。

二次函数的特点如下：1. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点。

根据一元二次方程的求解方法，可以求得二次函数的零点。

2. 极值点：二次函数的图像的最高点或最低点称为极值点。

当抛物线开口向上时，最低点为极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为极大值点。

3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。

对称轴的方程为x = -b/2a。

4. 变化趋势：二次函数的图像是一个平滑的曲线，变化趋势会向上或向下。

二次函数有许多实际应用，如弓箭的抛物线轨迹、天文学中的天体运动等。

例如，在弓箭的抛物线轨迹问题中，二次函数可以描述弓箭的轨迹；在天文学中的天体运动问题中，二次函数可以描述行星或彗星的轨迹。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知条件列举出有关、、的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（2）设直线与的方程分别为以及，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点与点之间的关系（关于轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将利用点的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出的取值范围.（1）由题可知：，，解得：，，，故椭圆的方程为：；（2）不妨设、、，由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为的方程为：代入椭圆方程，得，，将，代入解得：，的方程为：代入椭圆方程，得，，将，，代入解得：，，又、不重合，，，.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次函数；4.向量的数量积2.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.3.已知函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】作出函数的图象如下图所示，从图可以看出当时，函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3.故选A.【考点】二次函数.4.设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．（1）求函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】由的图象的对称轴方程是，于是有，依题意，方程组有且只有一解，利用即可求得与，从而得函数的解析式；（2）利用指数函数的单调性质，知在时恒成立，构造函数，由即可求得答案．试题解析：（1）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，，所以，函数的解析式是．（2），等价于，即不等式在时恒成立，问题等价于一次函数在时恒成立，即，解得：或，故所求实数的取值范围是．【考点】1、函数恒成立问题；2、二次函数的性质．5.椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.（2）设Ｐ（１，ｔ）,则直线，联立直线PA方程和椭圆方程可得，同理得到，由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ，由，求得m的存在即可.试题解析：（1）依题意过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆联立解答弦长为＝１， 2分所以椭圆的方程. 4分（2）设Ｐ（１，ｔ），直线，联立得：即，可知所以，则 6分同理得到 8分由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ， 10分又，，，，. 12分【考点】1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()A．-B．-C．c D．【答案】C【解析】∵f(x1)=f(x2),∴f(x)的对称轴为x=-=,得f(x1+x2)=f-=a×+b×+c=c,故选C.7.函数的图象和函数的图象的交点个数是。

江苏高一上学期数学知识点随着高中教育的普及，数学已经成为了每一个高中学生必修的学科。

在江苏高一上学期，学生们将接触到许多重要的数学知识点，这些知识点是他们打下扎实数学基础的关键。

本文将围绕江苏高一上学期的数学知识点展开论述，旨在帮助学生们更好地学习和理解这些知识。

一、函数与方程1. 函数的概念：函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在高一上学期，学生们会学习到函数的定义、函数的表示形式以及函数的性质。

2. 一次函数和二次函数：一次函数和二次函数是高中数学里最基础的两种函数类型。

在学习这两种函数时，学生们要会从图像、方程和表达式三个方面对其进行分析和理解。

3. 方程与不等式：方程和不等式是解决数学问题的重要工具。

学生们需要掌握解一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式和一元二次不等式的方法和技巧。

4. 线性规划：线性规划是利用线性数学模型求解最优问题的方法。

学生们需要了解线性规划的基本概念和求解步骤，熟练掌握线性规划的标准形式和单纯形法解法。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念和性质：数列是离散数学中的基本概念，它描述了一系列按照一定规律排列的数。

在高一上学期，学生们会学习到数列的定义、等差数列、等比数列以及递推公式等概念和性质。

2. 数学归纳法：数学归纳法是解决数学问题的一种常用证明方法。

学生们需要了解数学归纳法的基本原理和步骤，能够灵活运用数学归纳法解决各种实际问题。

三、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念和运算：平面向量是描述平面上有方向和大小的物理量。

学生们需要了解平面向量的定义、平移、共线、共面等基本概念和运算法则。

2. 解析几何基础：解析几何是将几何问题转化为代数问题进行求解的方法。

学生们需要了解点、直线、平面的坐标表示方式以及这些几何元素之间的关系。

四、三角函数与图形的性质1. 三角函数的概念：三角函数是描述角度和长度之间关系的数学函数。

学生们需要了解正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质以及图像特点。

二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。

本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。

一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。

此时抛物线的顶点是最小值点。

情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。

此时抛物线的顶点是最大值点。

情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。

2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其中f(x)为二次函数。

（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。

（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。

2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。

当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。

（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。

三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。

（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。

2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。

（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。

综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。

高中数学知识点归纳二次函数与一次函数高中数学知识点归纳：二次函数与一次函数二次函数与一次函数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题以及数学建模过程中具有广泛的应用。

本文将对二次函数与一次函数的定义、性质、图像及其应用进行详细的归纳。

一、二次函数的定义与性质二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a≠0。

二次函数的定义域为全体实数集R，值域视a的正负而定。

当a>0时，二次函数的值域为[f(c), +∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, f(c)]。

其次，二次函数的图像通常为抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

此外，二次函数的轴对称线方程为x = -b/2a，对称中心为顶点。

二、一次函数的定义与性质一次函数是指形式为f(x) = kx + b的函数，其中k和b是实数且k≠0。

一次函数的定义域为全体实数集R，值域也是全体实数集R。

一次函数的图像通常为一条直线，斜率k代表直线的倾斜程度。

当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜。

直线与y轴交点的纵坐标为b，也即是函数的截距。

三、二次函数与一次函数的比较在二次函数与一次函数的比较中，需要注意以下几个方面：1. 增长趋势：一次函数的增长趋势是线性的，即随着自变量的增加，函数值也线性增加或减小。

而二次函数的增长趋势不是线性的，其函数值的变化速率会随着自变量的变化而变化。

2. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数在抛物线的顶点处取得极值。

根据二次函数的性质，当抛物线开口向上时，抛物线的顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，抛物线的顶点为最大值点。

3. 斜率：一次函数的斜率为常数，而二次函数的斜率是变化的。

在二次函数中，斜率的变化率由一次项的系数b决定，斜率随着自变量的变化而不断变化。

高一数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知二次函数，不等式的解集为.（1）求的解析式；（2）若函数在上单调，求实数的取值范围；（3）若对于任意的x∈[－2,2]，都成立，求实数n的最大值．【答案】(1) ，（2）（3）-21.【解析】(1) 根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，可列出两个独立条件，求出解析式. 依题得，为方程的两个实根，（2）二次函数单调性主要研究对称轴与定义区间相对位置关系，在上单调，二次函数开口向上，对称轴（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 依题得，只要，设当时，实数n的最大值为解：(1)依题得，为方程的两个实根，（2分）（4分）（5分）（2）在上单调，又二次函数开口向上，对称轴，（7分）（10分）（3）依题得，（12分）只要，（13分）设当时，（15分）（16分）【考点】一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，二次函数单调性，不等式恒成立2.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式3.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ( ) A．1<x<3B．x<1或x>3C．1<x<2D．x<1或x>2【答案】B【解析】原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，只需，∴故选B．【考点】二次函数的性质．．4.已知（1）设，求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值；【答案】（1）最大值9，最小值；（2）最大值67，最小值3【解析】（1）根据指数函数单调性求其最值。

二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。

一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。

对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。

一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。

对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。

3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。

4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。

根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。

二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像通常是一条直线。

1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。

斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。

2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。