分配问题与匈牙利算法

匈牙利算法详细步骤例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲这神奇的匈牙利算法。

你可别小瞧它，这玩意儿在好多地方都大有用处呢！
咱先来看个具体的例子吧。

就说有一堆任务，还有一堆人，要把这
些任务分配给这些人，怎么分才能最合理呢？这时候匈牙利算法就闪
亮登场啦！
第一步，咱得弄个表格出来，把任务和人之间的关系都给标上。

比
如说，这个人干这个任务合适不合适呀，合适就标个高分，不合适就
标个低分。

这就好像给他们牵红线似的，得找到最合适的搭配。

然后呢，开始试着给任务找人。

从第一个任务开始，找个最合适的人。

要是这个人还没被别的任务占着，那太好了，直接就配对成功啦！要是已经被占了呢，那就得看看能不能换一换，让大家都更合适。

就好比是跳舞，你得找到最合适的舞伴，跳起来才带劲嘛！要是随
便找个人就跳，那多别扭呀。

这中间可能会遇到一些麻烦，比如好几个人都对同一个任务感兴趣，那可咋办？这就得好好琢磨琢磨啦，得权衡一下，谁更合适。

有时候你会发现，哎呀，怎么这么难呀，怎么都找不到最合适的搭配。

别急别急，慢慢来，就像解一道难题一样，得一点点分析。

咱再说说这算法的奇妙之处。

它就像是一个聪明的红娘，能把最合适的任务和人牵到一起。

你想啊，要是没有它，那咱不得乱点鸳鸯谱呀，那可不行，得把资源都好好利用起来才行呢。

比如说，有五个任务，五个。

【算法题】任务分配问题---匈⽛利算法⼀、问题描述问题描述：N个⼈分配N项任务，⼀个⼈只能分配⼀项任务，⼀项任务只能分配给⼀个⼈，将⼀项任务分配给⼀个⼈是需要⽀付报酬，如何分配任务，保证⽀付的报酬总数最⼩。

问题数学描述：⼆、实例分析---穷举法在讲将匈⽛利算法解决任务问题之前，先分析⼏个具体实例。

以3个⼯作⼈员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。

利⽤最简单的⽅法(穷举法)进⾏求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最⼩值。

total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;对于任务数和⼈员数较少时，可利⽤穷举法计算结果。

若将N任务分配给N个⼈员，其包含的所有分配情况数⽬为N!，N增⼤时，穷举法将难以完成任务。

三、匈⽛利算法下⾯简要介绍匈⽛利算法。

其基本的理论基础是针对cost矩阵，将cost矩阵的⼀⾏或⼀列数据加上或减去⼀个数，其最优任务分配求解问题不变。

算法的基本步骤如下：四、实例分析---匈⽛利算法下⾯结合具体实例，分析匈⽛利算法如何解决任务分配问题。

以N = 4为实例，下图为cost列表和cost矩阵。

hungarian methodHungarian method是一种经典的解决分配问题的算法。

该算法在二十世纪五六十年代由匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry所发明，用于解决在线性规划中常见的任务分配问题。

这种算法结合了图论和线性规划的技术，是一种非常高效和精准的优化算法。

1. 问题定义在任务分配问题中，我们需要将n项活动分配给n个人，每个人只能完成一项活动。

每项活动有一个与之相关联的成本或权重，我们需要最小化这些权重的总和。

该问题可描述为一个n*n的矩阵，其中每个元素aij代表将任务i分配给人j所需的代价。

2. 算法步骤Hungarian method的实现步骤如下：（1）首先，对原始的代价矩阵进行列减法和行减法，得到一个新的矩阵。

（2）使用最小化（或最大化）算法，将矩阵的元素分组为行和列，并将它们连接起来。

（3）通过在每个组内选择最小的元素并在每个组之间进行替换来得到最优解。

（4）如果问题没有得到解决，则回到步骤1并继续执行算法，直到找到最优解为止。

3. 矩阵的处理在第一步中，我们需要对原始的代价矩阵进行行减法和列减法。

对于每一行和每一列，我们从其中选择一个最小的元素，并将该最小元素从行（或列）的其他元素中减去。

通过这种方式，我们可以得到一个新的矩阵，它的元素最少有一个为0。

该矩阵称为减法矩阵。

4. 匈牙利算法的实现在第二步中，我们使用最小化算法将减法矩阵的元素分组为行和列。

我们将行中的最小元素和列中的最小元素连接起来，并用直线穿过它们。

接下来，我们用相邻线覆盖矩阵的其他元素，直到矩阵的每个元素都被覆盖。

第三步是通过在组内选择最小元素并在组和列之间进行替换来获得最优解的。

如果我们无法替换元素，例如在第二步中，我们没有找到足够的相邻行或列，则需要回到第1步并继续。

5. 求解复杂度的分析Hungarian method是一种精确的分配算法，可以在多项多项任务分配问题上得到最优解。

匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。

所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。

在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。

匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。

其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。

匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。

以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。

那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。

2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。

如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。

3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。

那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。

4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。

如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。

匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。

2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。

如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。

3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。

4.返回当前匹配图的最大匹配。

匈牙利算法描述匈牙利算法是图论中一种用于解决二分图匹配问题的算法。

它首次由匈牙利数学家Denzel匈牙利在1955年发表，因而得名。

匈牙利算法属于图匹配算法的范畴，在实际应用中有着很强的效率和准确性。

本文将介绍匈牙利算法的原理、实现方法和应用领域等相关内容。

一、匈牙利算法原理匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。

在二分图中，匈牙利算法的目标是寻找图中的最大匹配，即尽可能多地找到满足匹配条件的边，也就是找到尽可能多的配对节点。

在匈牙利算法中，主要使用了增广路的概念，通过不断地寻找增广路，来不断地扩展匹配。

具体而言，匈牙利算法的核心思想是利用增广路径寻找最大匹配。

在每一次匹配的过程中，首先选择一个未匹配的节点，然后通过交替路径寻找增广路径，直到无法找到增广路径为止。

当无法找到增广路径时，说明找到了最大匹配。

增广路径指的是一条由未匹配的节点和匹配节点交替构成的路径，其中未匹配节点为起点和终点。

通过不断地寻找增广路径，可以逐步扩展匹配。

在匈牙利算法中，为了记录节点的匹配状态和寻找增广路径，通常使用匈牙利标号和匈牙利交错路的方式。

匈牙利标号是为每个节点标记一个代表节点匹配状态的值，而匈牙利交错路则是一种用于寻找增广路径的方法。

借助这些工具，匈牙利算法可以高效地解决最大匹配问题。

二、匈牙利算法实现方法匈牙利算法的实现方法较为复杂，需要结合图论和图匹配的相关知识。

在实际应用中，匈牙利算法通常通过编程实现，以解决特定的二分图匹配问题。

下面简要介绍匈牙利算法的一般实现方法。

1. 初始化匈牙利标号：首先对图中的所有未匹配节点进行初始化标号，即给它们赋予一个初始的匈牙利标号。

2. 寻找增广路径：选择一个未匹配的节点作为起点，通过交替路径和增广路的方法寻找增广路径。

在寻找增广路径的过程中，要根据节点的匈牙利标号来选择下一个节点，从而找到满足匹配条件的路径。

3. 匹配节点：如果成功找到一条增广路径，就可以将路径中的节点进行匹配，即将原来未匹配的节点与匹配节点进行匹配。

分配问题与Hungarian算法分配问题与Hungarian算法分配问题指派问题匈⽛利算法匈⽛利⽅法是⼀种能够在多项式时间内解决分配问题(assignment problem)的组合优化算法。

它由Harold Kuhn 与1955年发展并提出，由于该算法很⼤程度上依赖于先前两位匈⽛利数学家:Denes Konig 和 Jeno Egervary,所以被命名为“匈⽛利⽅法”。

1957年James Munkres重新审视了这个⽅法，证明发现该⽅法是严格polynomial的，所以之后该⽅法也被称为Kuhn-Munkres 算法或者Munkres分配算法。

原始的匈⽛利算法的时间复杂度是,然⽽之后Edmonds和Karp，以及Tomizawa独⽴发现经过⼀定的修改，该算法能改达到的时间复杂度。

Ford和Fulkerson将该⽅法扩展到⼀般运输问题的求解上。

2006年，研究发现Carl Custav Jacobi在19实际就解决了assignment问题，并且在其逝世后的1890年求解过程被以拉丁语形式发表。

指派问题匈⽛利法解决的指派问题应该具有两个约束条件workes 和tasks的数⽬应该相同，即o2o问题。

求解的是最⼩化问题，如⼯作时间的最⼩化、费⽤的最⼩化等等指派问题⽰例：有三个workers: Jim, Steve和Alan，现在有3个⼯作：clean the bathroom, sweep the floors和wash the windows需要交给这三个⼈，每个⼈只能完成⼀个任务，对应的cost matrix如下---Clean bathroom Sweep floors Wash windowsJim$2$3$3Steve$3$2$3Alan$3$3$2那么如何分配任务是开销最⼩就是⼀个指派问题匈⽛利法步骤问题： 假定某单位有甲、⼄、丙、丁、戊五个员⼯，现需要完成A、B、C、D、E五项任务，每个员⼯完成某项任务的时间如下图所⽰，应该如何分配任务，才能保证完成任务所需要的时间开销最⼩？1476015762594.jpg解：1. 写出系数矩阵2. 更新系数矩阵，使系数矩阵的每⼀⾏每⼀列都减去该⾏该列的最⼩值，保证每⼀⾏每⼀列都有0元素出现,参见定理2.3. 选择只有⼀个0元素的⾏或列将该0元素标注为独⽴0元素，并将该0元素所在的列或⾏中0元素划掉，直⾄找不到满⾜条件的⾏或列，需要注意的是在循环时，划掉的0元素不再视为0元素。

最佳重分配匈牙利算法
最佳重分配是一种优化问题，它涉及将一组资源分配给一组需求，以最小化分配的总成本或最大化分配的总收益。

匈牙利算法是一种常用的解决这种问题的算法。

匈牙利算法是一种基于图论的算法，用于解决最大匹配问题。

最大匹配问题是指在一个二分图中找到一个最大的匹配，即尽可能多地匹配顶点对。

匈牙利算法的基本思路是从一个顶点开始，通过不断增广路径来找到一个未匹配的顶点。

增广路径指的是一条交替包含未匹配顶点和匹配顶点的路径。

通过不断增广路径，可以增加匹配的数量，直到无法再找到增广路径为止。

最佳重分配问题可以转化为一个最大权匹配问题，其中每个资源和需求之间的权重表示分配的成本或收益。

通过使用匈牙利算法可以找到最大权匹配，从而实现最佳重分配。

总之，匈牙利算法是解决最大匹配问题和最佳重分配问题的常用算法之一，它的基本思路是通过不断增广路径来寻找最大匹配或最大权匹配。

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分配问题匈牙利算法的Matlab实现function [x,fVal]=Hungary(C)% 输出参数：% x--Decision Varables, n*n矩阵% fval--Objective function Value% 输入参数:% C--效益矩阵c=C; %将效益矩阵暂存入c,以下的操作将针对c进行[iMatrixRow,iMatrixCol]=size(c);%求约化矩阵：将效益矩阵的每行每列各减去其最小值c=c-repmat(min(c,[],2),1,iMatrixCol);c=c-repmat(min(c,[],1),iMatrixRow,1);%进行试分配，求出初始分配方案while 1%对所有零元素均已画⊙(inf)或画×(-inf)c=CircleOrCross(c);%划线，决定覆盖所有零元素的最少直线数iIndepentZeroNum=find(c==inf);if length(iIndepentZeroNum)==iMatrixRowbreak;else[Row,Col]=line(c);end%查找没有被直线段覆盖的元素中的最小元素，并存入fMininumVlaue中fMininumVlaue=inf;for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif Row(i)~=1 && Col(j)~=1 && c(i,j)<fmininumvlaue fMininumVlaue=c(i,j);endendend%修改约化矩阵中的相关数据for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif c(i,j)==inf||c(i,j)==-infc(i,j)=0;endif Row(i)~=1 && Col(j)~=1c(i,j)=c(i,j)-fMininumVlaue;endif Row(i)==1 && Col(j)==1c(i,j)=c(i,j)+fMininumVlaue;endendendend%返回分配方案及目标函数值fVal=0;for i=1:iMatrixRowfor j=1:iMatrixColif c(i,j)==infx(i,j)=1;fVal=fVal+C(i,j); elsex(i,j)=0;endendend</fmininumvlaue。