北京各区2018高三一模概率统计汇编

2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，150图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =分（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）364.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以100a≤．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a≥．所以100a=. …………5分（Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

【东城一模】 (16)〔本小题13分〕 从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进展分析，成绩如下图．(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；(II 〕从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(Ill 〕试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小．〔只需写出结论〕 〔16〕〔共13分〕 解：〔I 〕由图知，在被选取的100名学生中，数学和语文成绩均低于60分的有9人，所以从100名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于60分的概率为90.09100=. ……………………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕由图知，语文成绩大于80分的学生优10人，这10人中数学成绩高于80分的有4人，所以的所有可能取值为0，1，2.262101(0)3C P C ,11462108(1)15C C P C ,242102(2)15C P C ，所以的分布列为故的数学期望1()012315155E .……………………………10分 〔Ⅲ〕由图判断，a b . …………………………………………13分【西城一模】16．〔本小题总分值13分〕某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例〔准确到1%〕如下：〔Ⅰ〕从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；〔Ⅱ〕从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；〔Ⅲ〕表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近〔二者之差的绝对值不大于5%〕，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，假设只考虑其中某四种岗位，那么男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．〔只需写出结论〕解：〔Ⅰ〕因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．[3分]〔Ⅱ〕X可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C1(0)C15P X===；112426C C8(1)C15P X===；2426C2(2)C5P X===．[8分]所以X的分布列为：()012151553E X=⨯+⨯+⨯=．[10分]〔Ⅲ〕这四种岗位是：B、C、D、E．[13分]【海淀一模】 ( 16)〔本小题13分〕流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空 气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； (Ⅲ)假设108a b +=，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．〔只需写出结论〕 16.〔此题总分值13分〕〔Ⅰ〕设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，那么123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个根本领件， 26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个根本领件，所以，61()122P A ==.·············································· 4分 〔Ⅱ〕在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2.242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C ===随机变量X 的分布列为〔Ⅲ〕M 的最大值为58%，最小值为54%. ······························· 13分 【一模】17．(本小题总分值13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．假设一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，那么称该学生的选考方案确定；否那么，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物〞三个选考科目，那么学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〞为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进展了一次调查，统计选考科目人数如下表：〔Ⅰ〕估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ 〔Ⅱ〕假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； 〔Ⅲ〕从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列与数学期望E ξ．解：〔Ⅰ〕由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ……….3分〔Ⅱ〕由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分 〔Ⅲ〕由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===，1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===， 或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分【丰台一模】〔17〕〔本小题共13分〕某地区工会利用 “健步行APP 〞开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(缺乏5千步不积分)，每多走2千步再积20分〔缺乏2千步不积分〕．记年龄不超过40岁的会员为A 类会员，年龄大于40岁的会员为B 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A ，B 两类会员中各随机抽取m 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B 类会员的样本数据绘制成频率分布表〔图、表如下所示〕．〔Ⅰ〕求m 和a 的值；〔Ⅱ〕从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上〔含13千步〕的人数为X ，求X 的分布列和数学期望； 〔Ⅲ〕设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X，试比拟1X 和2X 的大小〔只需写出结论〕．0.01步数（单位：千步）0.02 0.03 0.04 0.05 0.10.15〔17〕〔本小题共13分〕 解：〔Ⅰ〕因为100.01m =，所以 1000m =．……………………2分 因为0.2nm=，所以 200n =，所以400a =．…………………4分所以1000m =，400a =．〔Ⅱ〕由频率分布直方图可得，从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上〔含13千步〕的概率为25．……………………5分 所以2(3,)5XN ，03033227(0)()()55125P X C ==⨯⨯=；12133254(1)()()55125P X C ==⨯⨯=； 21233236(2)()()55125P X C ==⨯⨯=；3033328(3)()()55125P X C ==⨯⨯=．………………7分 所以，的分布列为………………８分26()355E X =⨯=.……………………10分〔Ⅲ〕12X X <．……………………13分【石景山一模】16．〔本小题共13分〕抢“微信红包〞已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班 20名同学今年春节期间抢到红包金额x 〔元〕如下〔四舍五入取整数〕：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进展分组，各组的频数如下：〔Ⅰ〕写出m ，n 的值，并答复这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别； 〔Ⅱ〕记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比拟1v 与2v 、21s 与22s 的大小；〔只需写出结论〕〔Ⅲ〕从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 16．〔本小题共13分〕解：〔Ⅰ〕m =4，n =2，B ；………………… 3分〔Ⅱ〕1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分〔Ⅲ〕ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………… 13分。

2018年北京高三模拟题分类汇编之概率精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、填空题（本大题共4小题，共0分） 1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．2.（2018北京东城区高三二模数学(文)）血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●频率组距年龄a 0.0050.030.020.01血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i ）①记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123,,V V V 中最大的是_________；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123,,T T T 中最大的是________．3.（2018北京西城区高三一模数学(文)）某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____． 4.（2018北京海淀区高三一模数学(文)）将标号为1，2，……，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a ；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b . 甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________．二 、选择题（本大题共7小题，每小题0分，共0分。

2018北京市高三一模数学理分类汇编9：程序框图、二项式定理、选考部分.程序框图与二项式部分【2018北京市房山区一模理】5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（A ）5（B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C【2018北京市丰台区一模理】3．6(2的二项展开式中，常数项是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】C【2018北京市丰台区一模理】6．学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有2个班选择了甲景区的选法共有 （ ） A ．2243A ⋅种 B ．2243A A ⋅种C ．2243C ⋅种D ．2243C A ⋅种【答案】C【2018北京市丰台区一模理】13．执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为 。

【答案】6【2018北京市房山区一模理】12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种.【答案】120【2018北京市海淀区一模理】（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【2018北京市海淀区一模理】（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48【答案】D【2018年北京市西城区高三一模理】2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ）（A ）2（B ）5（C ）11（D ）23【答案】D【解析】输入2=x ，5=y 。

8352<=-，11,5==y x ，86115<=-，23,11==y x ，8122311>=-，满足条件，输出23=y ，选D.【2018年北京市西城区高三一模理】10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 【答案】160-【解析】二项式展开式k k k k x C T )2(661-=-+，令36=-k ，所以3=k ，所以333364160)2(x x C T -=-=，所以3x 的系数为160-。

【西城一模】19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分] 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c = 故椭圆C的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分] 依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离0|2|2d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]【朝阳一模】19． (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明． 19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+．所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分【丰台一模】（19）（本小题共14分）已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为)0,1(-'F ，且1=c ． ……………………1分因为4)23(0)23(222222=+++=a ，所以2a =，b ……………………3分所以椭圆C 的方程为13422=+y x ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(,)D m n ，(,)E m n --，)1(±≠m ． ……………………5分 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33(,),(,)(0)22G t H t t ->两点， 所以GM GN ⊥． ……………………6分直线PD ：)1(12323---=-x m n y ． 当0=x 时，23123+---=m n y ，所以)23123,0(+---m n M ． ………………7分 直线PE ：)1(12323-++=-x m n y ．当0=x 时，23123+++-=m n y ，所以)23123,0(+++-m n N ．……………………8分 所以32(,)1n GM t m -=---，32(,)1n GN t m +=--+， ……………………9分 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=， ……………………10分所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-． ……………………11分 因为13422=+n m ，即124322=+n m ，223394m n -=-，………………12分 所以2304t -=，所以23=t ． ……………………13分 所以)23,23(G ，)23,23(-H ，所以GH = 所以以MN 为直径的圆被直线23=y…………14分 【海淀一模】( 19)（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab(2,1)T 在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论． （19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += ····························································· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=-- 故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+-- 1212224()111122x x x t x t --=-++-+- 121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= ········································································ 14分 方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······································································ 14分【东城一模】(18)（本小题13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab）的离心率为2，且过点A(2,0). （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线 AM ，AN 斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由． （19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += ····························································· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=-- 故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t --=-++-+- 121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= ········································································ 14分 方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······································································ 14分 【石景山一模】18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等． （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点． 18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线， 所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=， 解得：212(,)P k k，……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ．……………13分。

2018一模概率与统计汇编例题例题1、（18，16中一模）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝－x＋1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．例题2、（18四中、聚贤一模）为响“全民阅读”号召，某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生，对在2016年全年阅读中外名著的情况进行调查．整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%，根据图中提供的信息：（1）本次调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）估计该校七年级全体学生在2016年全年阅读中外名著的总本数；（4）在甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两位同学代表学校参加区级阅读竞赛，请用树状图或列表的方法，计算甲、乙二人中至少有一个被选中的概率．七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图例题3、（18番禺一模）初三（1）班对全班同学进行了“你最喜欢的课外活动项目”调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘成如下扇形统计图．学生所选项目人数扇形统计图第21题根据以上信息解决下列问题：（1）求m，n；（2）扇形统计图中“机器人”项目所对应扇形的圆心角度数；（3）从选“航模”项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．例题4、（18 广附一模）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果．（2）求一次打开锁的概率．例题5、（18广雅一模）某初中为了提高学生综合素质，决定开设以下校本课程：A软笔书法；B 经典诵读；C钢笔画；D花样跳绳；为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少人？（2）请将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的花样跳绳的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加全区综合素质展示，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．例题6、（18培正二模）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是_______度；（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有________人；（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．例题7、（18海珠一模）海珠区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一校一球”活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）（1）求出该班总人数，并将条形统计图补充完整；（2）若该校共有学生2500名，请估计约有多少人选修足球？（3）该班班委4人中，1人选修足球，1人选修篮球，2人选修羽毛球，李老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人中至少有一人选修羽毛球的概率．课堂训练1、（18华侨中学一模）“校团安全“受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答等下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有___________人,扇形统计图中“基本了解“部分所对应扇形的圆心角为___________;(2)请补全条形统计图;(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到了解”和“基本了解”程度的总人数;(4)若从对校园安全知识达到了“了解“程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.2、（18汇景一模）为了迎接校庆的到来，某中学准备在全校范围内召集部分学生参加“迎校庆朗诵比赛”，八年级刘老师从全年级中随机抽取了4个班，对报名参加“朗诵”的学生人数进行统计，制作了如下两幅不完整的统计图.120°D CBA班级图1 图2（1）刘老师所调查的4个班共报名_________人，其中B班报名________人，请把图2补充完整；（2）如果全年级报名的学生中有4人进入决赛，其中2名男生，2名女生，现在要在这4人中随机抽取2人参加学校“朗诵比赛”总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率？（要求用画树状图或列表的方法分析过程）3、（18荔湾一模）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球B.乒乓球C.羽毛球D.足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有______人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲，乙，丙，丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答)4、（18南沙一模）每年的4 月26日为“世界知识产权日”，为了树立尊重知识产权、崇尚科学和保护知识产权的意识，某校九年级开展了“知识产权知识竞赛”，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整；（2）此次比赛有4 名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁。

2018年北京高三模拟题分类汇编之概率精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科i.、填空题（本大题共4小题，共0分）1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．【答案解析】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，，
解得. ………5分10(0.0050.010.020.03)1a 0.035a 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●频率组距年龄a 0.0050.030.026050403020100.01。

统计专题东城区24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下.(I)收集、整理数据请将表格补充完整：（II）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述；（III）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是_________________________________________ .24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图；----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分西城区23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员．B．书香社区图书整理．C．学编中国结及义卖．D．家风讲解员．E．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．选择各志愿服务项目的人数统计表分析数据、推断结论：a：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填A E-的字母代号）b：请你任选A E-中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目．【解析】B项有10人，D项有4人．选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占25%，D占10%．分析数据、推断结论：a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C．b：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．⨯=（人）．A：50020%100⨯=（人）．B：50025%125C ：50030%150⨯=（人）．D ：50010%50⨯=（人）．E ：50015%75⨯=（人）． 海淀区24． 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全. 收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）；A ．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B ．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C ．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：整理数据，如下表所示：分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，成绩分频数2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图010095908580757065605550你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________.体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目.24．C ………………1分8085x ≤<8590x ≤<8 10………………2分（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可）………………3分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可）………………4分（3）70．………………6分丰台区24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．）【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：其中a =__________.【得出结论】（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是________校的学生；（填“甲”或“乙”）（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________；（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．解：a=80；………………………1分（1）甲；………………………2分（2）110；………………………3分（3）答案不唯一，理由需支持推断结论.如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多. ………………………5分石景山区24．某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选（填“甲”或“乙），理由为．24．解:（1）0，1，4，5，0，0 ………………1分（2）14，84.5，81 ………………4分（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定;两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小.（写出其中一条即可）或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲.………………6分（答案不唯一，理由须支撑推断结论）朝阳区24. 水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：甲26 32 40 51 44 74 44 63 73 74 81 54 6241 33 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33乙27 35 46 55 48 36 47 68 82 48 57 66 7527 36 57 57 66 58 61 71 38 47 46 71整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45~65个为产量良好，65~85个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论a．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为株；b．可以推断出大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24. 解：整理、描述数据 按如下分组整理、描述这两组样本数据2分得出结论 a ．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为84 株； …………………………3分b ．答案不唯一，理由须支撑推断的合理性. ………………………………5分燕山区22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不日期4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日 4月6日步行数(步) 10672 4927 5543 6648步行距离（公里） 6．8 3．1 3．4 4．3卡路里消耗（千卡） 157 79 91 127燃烧脂肪（克） 20 10 12 16（1）4月5日,4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格． (2)豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： ．（写一条即可）25≤x <35 35≤x <45 45≤x <55 55≤x <65 65≤x <75 75≤x <85甲 5 5 5 5 4 1 乙246652x 大棚个数株数步行距离燃烧脂肪4月1日－6日妈妈步行距离与燃烧脂肪情况统计图（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）22. （1）填数据 ……………………….2′(2)写出一条结论: ……………………….4′（3）预估她一天步行约为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）门头沟区24.地球环境问题已经成为我们日益关注的问题.学校为了普及生态环保知识，提高学生生态坏境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛.以下是从初一、初二两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一： 76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二： 74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73 98 74（1）根据上表中的数据，将下列表格补充完整； 整理、描述数据： （说明：成绩90分及以上为优秀，80~90分为良好，60~80分为合格，60分以下为不合格）分析数据：（2你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.24.（1）补全表格正确：初一：8 …………………………………………1分众数：89 …………………………………………2分中位数：77 …………………………………………3分（2）可以从给出的三个统计量去判断如果利用其它标准推断要有数据说明合理才能得分………………5分大兴区24.甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：收集数据各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：分析数据两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：得出结论(1)若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？(2)请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）. 24. （1）乙组成绩更好一些…………………………………………………………………2分（2）答案不唯一，评价需支撑推断结论…………………………………………………6分（说明：评价中只要说对2条即可，每条给2分，共4分）平谷区23．为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整. 收集数据随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 9181 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 8890 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲 1 1 0 0 3 7 8乙分析数据两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.85 88 91 268.43乙81.95 86 m 115.25经统计，表格中m的值是．得出结论a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为 .b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为 . （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）分段学校30≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲 1 1 0 0 3 7 8乙0 0 1 4 2 8 5 (2)分析数据经统计，表格中m的值是88 ． (3)得出结论a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300 . (4)b 答案不唯一，理由须支撑推断结论. (7)怀柔区24.某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论(1)如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为 人；(2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球项目整体水平较高. 你同意 的看法， 理由为 .（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 24.4.0≤x ＜5.55.5≤x ＜7.07.0≤x ＜8.58.5≤x ＜1010 排球 1 1 2 7 5 篮球21103…………………………………………………………………………………………………2分 (1)130；…………………………………………………………………………………………4分(2)答案不唯一，理由需支持判断结论. ………………………………………………………6分延庆区24．从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测．过程如下，请补充完整.项目人数 成绩x请将以上两个表格补充完整；得出结论：可以推断出______镇这一年中环境状况比较好，理由为_____________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（1）1，9，2．……1分（2）82.5，90．……3分（3）千家店镇……4分理由：千家店镇污染指数平均数为80，永宁镇污染指数平均数为81.3，所以千家店镇污染指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是4天，永宁镇空气质量为优的天数是1天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6分顺义区23．中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校九年级组织600名学生参加了一次“汉字听写”大赛．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60.成绩x/分频数频率60≤x＜70 6 0.1570≤x＜80 8 0.280≤x＜90 a b90≤x≤100 c d频数成绩x /分121086401009080706021416请根据所给信息，解答下列问题：（1）a = ，b = ， c = ，d = ； （2）请补全频数分布直方图；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有多少人？23．解：（1）a = 14 ，b = 0.35 ， c = 12 ，d = 0.3 ；………… 2分 （2）补全频数分布直方图如下：…………………… 4分（3）估计参加这次比赛的600名学生中成绩“优”等的约有180人．……… 5分161426070809010004681012成绩x /分频数。

2018年北京各区高三上期末理科数学分类汇编---概率统计1.（朝阳）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由. 解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分2. （海淀）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 C（A ）15（B ）25（C ）35（D ）453. （海淀）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数．值越小，速度越快，单位是MIPS ） （Ⅰ）从品牌的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）在12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器 打开文件的速度进行评价.（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C ===21663129(1)22C C P X C ===12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分X ……………………….8分19913()0123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A 后6次测试结果的平均值小于品牌B 后6次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B ）标准4：会用品牌A 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A 前6次测试结果的方差大于品牌B 前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B 后6次测试结果的方差，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B ）标准5：会用品牌A 这12次测试结果的平均值与品牌B 这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B ）标准7：会用前6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数、后6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A 小于品牌B 的有4次，占2/3. 故品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于B ，品牌A 打开含有文字和图片的文件的速度快于B ）标准8：会用这12次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有6次，占1/2. 故品牌A 和品牌B 打开文件的速度相当）（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望. 解：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则2441565020600x ++=，解得15x =. 所以其中成绩为优秀的学生人数为15.……………………5分 （Ⅱ）依题意，随机变量X 的所有取值为0，1，2.252201(0)19C P X C ===，1151522015(1)38C C P X C ===，21522021(2)38C P X C ===.……………………11分所以X 的分布列为……………………12分所以随机变量X 的数学期望()115213012.1938382E X =⨯+⨯+⨯=……………………13分 5.（东城） 中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段. 货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a 的值；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；（III ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论） 解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a =169. （II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ⋅===，1232353(2)10C C P C ξ⋅===. 所以ξ的分布列为 故ξ的数学期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）168.6.（顺义） 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.(Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；(Ⅱ) 设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，————4分或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛————6分选手甲进入复赛的概率————7分————13分7. （大兴）在测量某物体的重量时，得到如下数据：a 1，a 2，…a 9，其中a 1≤a 2≤…≤a 9，若用a 表示该物体重量的估计值，使a 与每一个数据差的平方和最小，则a 等于 ；若用b 表示该物体重量的估计值，使b 与每一个数据差的绝对值的和最小，则b 等于 ．，a 5．解：∵在测量某物体的重量时，得到如下数据：a 1，a 2，…a 9，其中a 1≤a 2≤…≤a 9， 用a 表示该物体重量的估计值，使a 与每一个数据差的平方和最小， ∴由方差的概念得a 是a 1，a 2，…a 9的平均数， ∴a=．∵用b 表示该物体重量的估计值，使b 与每一个数据差的绝对值的和最小， ∴b 是数据：a 1，a 2，…a 9的中位数， ∵a 1≤a 2≤…≤a 9， ∴b=a 5． 故答案为：，a 5．8. （大兴）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值甲与及方差与的大小；（只需写出结论）（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C 发生的概率；（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X 为学业水平优秀的人数，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．分钟/天分钟/天【分析】（Ⅰ）由茎叶图能得到，．（Ⅱ）（i ）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀，由P （C ）=P （A 2B 1）+P （A 3B 1）+P （A 3B 2），能求出C 发生的概率．（ii ）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X ～B （2，），由此能求出X的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得，．（Ⅱ）（i ）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； 记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀， 则P （C ）=P （A 2B 1）+P （A 3B 1）+P （A 3B 2）=P （A 2）P （B 1）+P （A 3）P （B 1）+P （A 3）P （B 2） ==，（ii ）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X ～B （2，），，，，0 12（或）．9. （昌平）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学 图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()Eξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X甲与X乙的大小，及方差2S甲与2S乙的大小．(只需写出结论)解：(Ⅰ)由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ………3分(Ⅱ)甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==Pξ022628C C1528C=，(1)== Pξ112628C C123287C==，(2)== Pξ202628C C128 C=.所以ξ的分布列为ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=Eξ. ……………10分(Ⅲ)X<甲X乙;2s>n2sn.……………13分10.（房山）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图．频率（Ⅰ）求获得复赛资格的人数；（Ⅱ）从初赛得分在区间(110150]，的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110130]，与(130150]，各抽取多少人?（Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(130150]，中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()X E .）解：（1）由题意知[)11090，之间的频率为: (),3.00125.020075.0005.00025.0201=+⨯++⨯-()，65.0200050.00125.03.0=⨯++∴获得参赛资格的人数为52065.0800=⨯ ………………5分（Ⅱ）结果是5，2.（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，则3052372(0)7C C P X C === 2152374(1)7C C P X C === 1252371(2)7C C P X C === 故X 的分布列为：()012.7777E X =⨯+⨯+⨯= ……………13分11. （丰台）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”．2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网络平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率； （Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 解：（Ⅰ）依题意2001004000b =， 所以 3b =． 因为 100(12201530103)10a =-+++++=，所以10a =，3b =． ………………4分 （Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A ，则20301()1002P A +==． 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为12． ………………8分 （Ⅲ）X 可取0，10，20，30，40． ………………9分3(0)0.03100P X ===； 20(10)0.2100P X ===；50(20)0.5100P X ===； 12(30)0.12100P X ===；15(40)0.15100P X ===．………………12分所以()00.03100.2200.5300.12400.1521.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 12.（石景山） 摩拜单车和ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人用车时间都不会超过3小时. （Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .解：（Ⅰ）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为：14，14…………1分 甲乙两人所付车费用相同的概率11114224p =⨯+⨯1154416+⨯=………4分 （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4. …………5分()1110248ξ==⨯=P ()11144P ξ==⨯+1152216⨯=()111122424P ξ==⨯+⨯1154416+⨯=()11324P ξ==⨯+1134416⨯=()11144416P ξ==⨯=…………10分ξ的分布列为:…………11分数学期望155********E ξ=⨯+⨯+⨯+3173416164⨯+⨯=. ………13分13. 已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [ 5分] 4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]14.（房山）中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为cm 2,正方形边长为cm 1，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是π41-1图1 图215. （石景山）用计算机在01:之间随机选取一个数a ，则事件“113a <<”发生的概率为（ ）D A ．0 B ．1 C ．13 D ．23。

北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数word含解析【西城一模】18．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()xxf x a x x x x'=⋅+++⋅- 221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及ex>知，()f x '与221ln a x x x +-+同号．令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分]所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-．（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x -=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=.（ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-.….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x->，且ln 0x ->，则()0f x '>.在区间（1,+∞）上2220x-<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分（Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x --<-，等价于21ln 0ax x x -+->.设2()1ln h x ax x x=-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210axx --=有异号两根.令其正根为0x ，则20210axx --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>. 则()h x 的最小值为2000()1ln h x axx x =-+-0011ln 2x x x +=-+-03ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<， 所以0112x <<. 则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-.….….13分【丰台一模】（18）（本小题共13分）已知函数()e(ln 1)()xf x a x a =-+∈R ．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x=在1(,1)2上有极值，求a的取值范围．（18）（本小题共13分）解：函数()f x的定义域为(0,)+∞，()e x af xx'=-．……………………1分（Ⅰ）因为(1)ef a=-，(1)ef a'=-，……………………3分所以曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程为(e)(e)(1)y a a x--=--，即(e)y a x=-．……………………5分（Ⅱ）()e x af xx'=-．（ⅰ）当0a≤时，对于任意1(,1)2x∈，都有()0f x'>，…………………6分所以函数()f x在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意．……………………8分（ⅱ）当a >时，令()e x a g x x=-，则2()e 0x a g x x'=+>．…………………9分所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增，…………10分所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩ …………………12分 所以e 0,e 20.a a ->⎧⎪-< 所以ee 2a <<． 所以a的取值范围是e 2． (13)分【海淀一模】(18)（本小题13分）已知函数ln()xf x x a =+(I)当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)当0a时，若函数()f x 的最大值为e21，求a 的值.18.（本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()x f x x=故221ln 1ln '()x xxx f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ·············· 4分 （Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++令()1ln ag x x x=+-则221'()0a x ag x x x x +=--=-<由()0a g =>e e，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e +++=+-+=⋅-<e故存在10(,)a x+∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <x0(0,)xx0(,)x +∞'()f x+-()f x↗极大值↘故02()f x =e故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e (13)分故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e且存在0(0,)x∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e且存在0(0,)x∈+∞，使得200ln a x x ≥-e，等价于2()ln g x x x=-e 的最大值为a .2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e .x2(0,)e 2e2(,)+∞e'()g x +-()g x↗ 极大值↘ 故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e .······················································· 13分【东城一模】(19)（本小题14分） 已知函数()(1)xf x ea x =-+.若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x=+的上方．19）（共14分） 解：（I ）函数()e(1)xf x a x =-+的定义域为R .因为()e(1)xf x a x =-+，所以'()exf x a=-.由'(0)10f a =-=得1a =. ……………………………4分（II ）'()e(R)xf x a x =-∈.①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a<时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤. ②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意； ③当a <时，取011x a=-+，则111101()e(11)e 10aa f x a a-+-+=--++=-<，不符合题意.综上，若()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1]. ……………………9分（III ）当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->，可求1'()exh x x=-.因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()exh x x=-在(0,)+∞上单调递增， 所以在（0，）上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0x h x x =-=，即01ex x =，且112x .当x 变化时，()h x 与'()h x 在（0，）上的情况如下：x0(0,)xx0(,)x +∞'()h x -0 +()h x极小则当x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22x h x x x x =--=+-.因为01(,1)2x ∈，所以0000011()2220h x x x xx =+->⋅=.所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分【石景山一模】19．（本小题共14分）已知2()xf x eax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2xf x eax'=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-．…………3分 （Ⅱ）令()'()2xg x f x ex==-．则'()2x g x e =-,…………5分故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增； 所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增， 所以max ()(1)1f x f e ==-．………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分。

北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编概率与统计一、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：乘车等待时间（分钟）0.036乙站O400.0480.0080.0160.052O405101520253035频率/组距0.0480.0120.0280.0360.0120.040甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.2、（东城区2019届高三一模）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）3、（丰台区2019届高三一模）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立．记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ，月平均期望薪资对应数据的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）4、（海淀区2019届高三一模） 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷造林方式 地区 造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 1342922417 15376 133重庆 226333 10060062400 63333 陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 26014457438 7998新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091青海 178414 16051 159734 2629宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 1906410012400039991053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最 小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过 50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为 这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望．5、（怀柔区2019届高三一模）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工 每人手机月平均使用流量L (单位:M ) 的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:M)A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？A B C D6、（门头沟区2019届高三一模）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.7、（石景山区2019届高三一模）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.81988年54.248.3 51.9 55.4 52.61998年44.741.6 43.5 49.0 47.42008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.72018年28.627.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；(Ⅱ)从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.9、（西城区2019届高三一模）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）10、（延庆区2019届高三一模） 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）.11、（房山区2019届高三一模）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格150 160 140 155 170市场份额15% 10% 25% 20% 30% 市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（Ⅰ）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于160元的概率； （Ⅱ）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验， ①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）产地F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比．不变（不考虑其他因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）12、（大兴区2019届高三一模）某机构对A 市居民手机内安装的“APP ”(英文Application 的缩写，一般指手机软件)的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（Ⅰ）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于30的概率；（Ⅱ）从A 市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数．①求随机变量X 的分布列及数学期望；②用Y 1表示这3人中安装APP 个数低于20的人数，用Y 2表示这3人中手机内安装APP 的个数不低于40的人数．试比较EY 1和EY 2的大小．(只需写出结论)参考答案1、解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”． 由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4， 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27125 54125 36125 812526355EX =⨯= .……………….13分 2、解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：X0 1 2 3P16 12 310 130故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． (10)分（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分 3、解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A .因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，所以 2()5P A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25，低于8500元的概率为35， 所以X ~2(2,)5B .239(0)()525P X ===；122312(1)5525P X C ==⨯⨯=；22224(2)()525P X C ==⨯=. 所以随机变量X 的分布列为：P0 1 2X925 1225425所以X 的数学期望为24()255E X =⨯=.（Ⅲ）2212s s > .4、解：(Ⅰ) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过50%，则7()10P A =（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X 的取值为012,, 所以242712(0)42C P X C ===， 11342724(1)42C C P X C ===23276(2)42C P X C ===随机变量X 的分布列为X 012P1242244264212246366012424242427EX =⨯+⨯+⨯==5、解：（Ⅰ）由题意100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M 的概率为1(0.00020.0008)1000.9-+⨯=.从该企业的员工中随机抽取3，可近似看为独立重复实验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M ，设事件A 为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，则1200333()0.90.10.90.10.028=⨯⨯+⨯⨯=P A C C------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）若该企业选择A 套餐，设一个员工所需费用为X ，则X 可能为20，30，40。

2018年高三一模概率与统计试题分析及高考备考策略一．试题特点从近三年全国高考新课标卷概率统计试题来看，无论是文科卷还是理科卷，都是1道客观题和1道解答题，分值为17分，试题的题量、题型、分值都很稳定．概率统计试题对知识点的考查较为全面，以理科数学为例，考点覆盖了概率统计必修与选修的各个章节内容，考查了抽样方法，统计图表，数据的数字特征，用样本估计总体，回归分析，独立性检验，古典概型，几何概型，条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，超几何分布，二项分布，正态分布等基础知识和基本方法。

从近三年全国高考新课标II卷中概率统计试题的考查知识点与分值可以看出，全国高考卷概率统计试题特点如下：1．题量稳定：题量为2题，约占全卷题量的9％。

2．题型稳定：题型为1道客观题和1道解答题，客观题主要考查随机事件的概率计算，统计图表的分析判断，解答题主要考查数据的整理分析，用样本估计总体，随机变量的。

3．分值稳定：分值为17分，1道客观题5分，1道解答题。

4．难度稳定：难度中等或中等偏易，选择题位于前5题位置，填空题位于前2题位置，解答题位于前3题位置。

5．综合性强：客观题经常将古典概型与计数原理、排列组合知识结合起来考查，将几何概型与简单线性规划、定积分知识结合起来考查．解答题经常以抽样问题为背景，以频数分布表、频率分布直方图、茎叶图、散点图等统计图表为载体，以能力为立意，将统计知识与概率知识、函数知识综合题。

二、考纲解读(略)三、试题分布四、试题分析1、（2017全国2）13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=．考察独立重复事件及二项分布【解析】()D X n p p11000.020.98 1.96=-=⨯⨯=.~100,0.02X B，所以()2、（2017全国2）18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）22()()()()()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++考察频率分布直方图，相互独立事件的概率，独立性检验 3（2016全国2）（10）从区间随机抽取2n 个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 （A ）（B ）（C ）（D ）考察古典概型与几何概型4（2016全国2）（18）（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：5设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：5（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.5（2015全国2）3根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

1. （2017-2018朝阳一模理17）某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率;（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同,名男生选考方案不同,求ξ的分布列及数学期望Eξ.【答案】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x,所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人.（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为1,2所以ξ的分布列为2. （2017-2018东城一模理16）从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望()Eξ;（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一（Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,2（Ⅲ）a b>3. （2017-2018房山一模理16）2017年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过70天,重度污染的天数仅有4天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取100户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据（单位:千立方米）均在区间(0,5]内,将数据按区间列表如下:（Ⅰ）求表中x,m的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;（Ⅱ）从用气量在区间(3,4]和区间(4,5]的用户中任选3户,进行燃气使用的满意度调查,求这3户用气量处于不同区间的概率;（Ⅲ）若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了3户,用X表示用气量在区间(1,3]内的户数,求X的分布列和期望.估计该村每户平均用气量为（Ⅱ）设A=“这3户用气量处于不同区间”,则（Ⅲ）X的可能取值为0,1,2,3,则所以X的分布列为4. （2017-2018丰台一模理17）某地区工会利用“健步行APP ”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）.记年龄不超过40岁的会员为A 类会员,年龄大于40岁的会员为B 类会员.为了解会员的健步走情况,工会从A ,B 两类会员中各随机抽取m 名会员,统计了某天他们健步走的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组,将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图,B 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）.（Ⅰ）求m 和a 的值;（Ⅱ）从该地区A 类会员中随机抽取3名,设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;（Ⅲ）设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ,试比较1X 和2X 的大小（只需写出结论）.所以1000m =,400a =.（Ⅱ）由频率分布直方图可得,从该地区A 类会员中随机抽取1名会员,健步走的步数在130.01步数（单位：千步）0.02 0.03 0.04 0.05 0.10.15所以,X的分布列为5. （2017-2018海淀一模理16）流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气月平均相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定,当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时,有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度.（Ⅰ）从上表12个月中,随机取出1个月,求该月甲地空气相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率;（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ,求X 的分布列; （Ⅲ）若108a b +=,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ,求M 的最大值和最小值.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）在12个月份中,空气月平均相对湿度大于65%或小于40%的月份有:2,6,8,9,10,11月,共计6个月.（Ⅱ）由题意知X 的所有可能取值为0,1,2前6个月中,只有2月份和6月份甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播.所以随机变量X的分布列为:（Ⅲ）M最大值58%,最小值54%.6. （2017-2018门头沟一模理16）2022年第24届冬奥会将在北京举行.为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地.通过对来“腾越”参加冰雪运动的100名运动员随机抽样调查,他们的身份分布如下:注:将频率视为概率（Ⅰ）求来“腾越”参加冰雪运动的人员中,小学生的概率;（Ⅱ）设X表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数,求X的分布列和数学期望().E X 【答案】（Ⅰ）设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件.A（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1, 2, 3.随机变量X的分布列是:7. （2017-2018石景山一模理16）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）:102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组,各组的频数如下:（Ⅰ）写出,m n 的值,并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别;（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ,E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ,试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小;（只需写出结论） （Ⅲ）从,A E 两组的所有数据中任取2个数据,记这2个数据差的绝对值为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）4,2,m n B ==;（Ⅱ）1v <2v ,21s <22s ;（Ⅲ）ξ的可能取值为0,30,140,170,8. （2017-2018西城一模理16）某企业2017年招聘员工,其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下:（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人,试估计此人被录用的概率;（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人.记X 为这2人中被录用的人数,求X 的分布列和数学期望;（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（2者之差的绝对值不大于5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近,请写出这四种岗位.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=, 被该企业录用的人数为264169433+=, 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人,（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.因为应聘E 岗位的6人中,被录用的有4人,未被录用的有2人,所以X 的分布列为:（Ⅲ）这四种岗位是:B、C、D、E。

（2023年北京西城区高三一模17）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm ）：从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm ）：男生：180205213220235245250258261270275280女生：148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X 为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X 的数学期望EX ；（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A ，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B ．判断A 与B 是否相互独立．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=；………2分估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．………4分（Ⅱ）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212(329⨯=；………5分(1)P X =估计为122121214C (332329⨯⨯⨯+⨯=；………6分(2)P X =估计为122121115C (3323218⨯⨯⨯+⨯=；………7分(3)P X =估计为2111(3218⨯=．………8分估计X 的数学期望2451701239918186EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245~259180~193及格205~244150~179不及格204及以下149及以下（Ⅲ）A 与B 相互独立．………13分（2023年北京石景山高三一模17）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组．观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．株高增量（单位：厘米）(4,7](7,10](10,13](13,16]第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．（Ⅰ）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(7,10]厘米的概率；（Ⅱ）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(7,10]厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(4,10]厘米，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(10,16]厘米，(1,2,3)k =，直接写出方差123,,D D D ξξξ的大小关系．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10]厘米．所以()P A 估计为201402=（Ⅱ）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，()P B 估计为162405=，()P C 估计为1234010=根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且(0)()()()(P X P ABC P A P B P C ===，(1)()P X P ABC ABC ABC ==++()()()()()()()(()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++(3)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=．所以，(0)P X =估计为21100；(1)P X =估计为1125；(3)P X =估计为350；(2)P X =估计为29100．所以X 的分布列为X 0123P21100112529100350所以EX 估计为21112936012310025100505⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）132D D D ξξξ<<．（2023年北京平谷区高三一模18）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？【小问1详解】乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A，所以()242743C12221===76C42721P A⨯⨯=⨯⨯.【小问2详解】甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，则X 的可能取值为0,1,2,3，()1113351116710C C C 30=C C C 28P X ⋅⋅==⋅⋅，()1111111113353453351116710C C C C C C C C C 51C C C 14P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅，()1111111113453453351116710C C C C C C C C C 112C C C 28P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅，()1113451116710C C C 13=C C C 7P X ⋅⋅==⋅⋅.则X 的分布列为：X123P328514112817【小问3详解】不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为4172，，且4172>.则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为12,x x ，195.191.693.297.895.692.396.694.67x ++++++==,297.095.498.293.594.895.594.593.598.092.595.2910x +++++++++==所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率.所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.（2023年北京丰台区高三一模18）交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI 的公式为：TPI=实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI [1，1.5)[1.5，2)[2，4)不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（Ⅰ）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（Ⅱ）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )；（Ⅲ）把12月29日作为第1天，将2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为127,,,a a a ,将2022年同期TPI 依次记为127,b b b ,,.记=i i i c a b -(1,2,,7)i = ，7117i i c c ==∑.请直接写出i c c -取得最大值时i 的值.【小问1详解】由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27.【小问2详解】由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI 高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以()3537C 1020C 357P X ====，()215237C C 2041C 357P X ====，()125237C C 512C 357P X ====，所以X 的分布列为：X12P274717数学期望()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】由题意，111 1.908 2.0550.147c a b =--==-，222 2.081 2.3930.312c a b =--==-，333 1.331 1.5290.198c a b =--==-，444 1.202 1.3020.1c a b =--=-=，555 1.271 1.6420.371c a b =--==-，666 2.256 1.8370.419c a b =-==-，777 2.012 1.7550.257c a b =-==-，所以()1110.1470.3120.1980.10.3710.4190.2570.06577n i i c c ===⨯-----++≈-∑，所以i c c -取得最大值时，6i =.（2023年北京房山区高三一模18）某社区组织了一次公益讲座，向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：编号正确率1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号讲座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%讲座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%（Ⅰ）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于80%的概率；（Ⅱ）从公益讲座前、后所有正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X 为抽中讲座前答卷的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）判断此次公益讲座的宣传效果，并说明你的理由.解：（Ⅰ）记事件A 为“从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，这份答卷正确率低于80%”.在公益讲座之前，10份垃圾分类知识答卷正确率低于80%的有6人，则63().105P A ==（Ⅱ）正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷有7份，其中讲座前的答卷有2份，X 的可能取值为012，，；3052372(0)7C C P X C ===；2152374(1)7C C P X C ===；1252371(2)7C C P X C ===；X 的分布列为X 012P2747172416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）角度一：讲座前答卷正确率的平均值11(65%60%70%60%65%75%90%85%80%100%)75%10x =+++++++++=讲座后答卷正确率的平均值为21(90%85%80%90%85%85%95%100%85%95%)89%10x =+++++++++=因为12x x <，公益讲座后答卷正答率的平均值高于公益讲座前答卷正答率的平均值，公益讲座后社区居民答题水平提高，所以公益讲座有明显的效果；角度二：平均值变大，且讲座前答卷的方差2222221222221[(65%75%)(60%75%)(70%75%)(60%75%)(65%75%)10(75%75%)(90%75%)(85%75%)(80%75%)(100%75%)] 1.65s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=同理计算讲座后答卷的方差220.34s =因为2212s s >，公益讲座之后社区居民答题正确率的方差小，整体水平高，并且比较集中，所以公益讲座有明显的效果；角度三：公益讲座前答题正确率最小值为60%，公益讲座之后答题的正确率最小值为80%，讲座前的极差为：100%-60%=40%，讲座后的极差为：100%-80%=20%，讲座后答卷正确率的变化范围比讲座前答卷正确率的变化范围小，公益讲座有效果。

8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲2012北京市高三一模数学理分类汇编7：圆锥曲线【2012年北京市西城区高三一模理】9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】成绩在[16,18]的学生的人数比为2093673136=+++++，所以成绩在[16,18]的学生的人数为54209120=⨯。

【2012北京市门头沟区一模理】11．某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：由此预测参加面试所画的分数线是 ． 【答案】80【2012北京市东城区一模理】（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．【答案】84 乙【2012北京市石景山区一模理】13．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 ．【答案】34π【解析】阴影部分的面积为4)cos (2sin 200=-=⎰ππx xdx ，圆的面积为3π，所以点A 落在区域M 内的概率是34π。

16．【2012北京市石景山区一模理】（本小题满分13分）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【答案】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ ;923231)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ.27131)3(333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ ξ的分布列如下表：…………4分 127139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为87211333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分=+=)()()(21B P B P A P 61819483278=⨯+⨯．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为61． …………13分【2012北京市门头沟区一模理】17．（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． （Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望ξE ．【答案】（Ⅰ） 设事件A 表示 “1号球恰好落入1号盒子”，33441()4A P A A ==所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14…………5分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，4…………6分44333(0)8P A ξ⨯=== 44421(1)3P A ξ⨯=== 22441(2)4C P A ξ=== 4411(4)24P A ξ===（每个1分）……………………10分 所以ξ的分布列为……………………11分数学期望31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………13分【2012北京市朝阳区一模理】16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分 【2012北京市东城区一模理】（16）（本小题共13分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【答案】解：（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-. …………2分 (10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ，(2)0.80.10.08P X ==⨯=， (3)0.20.10.02P X =-=⨯=. …………6分由此得X 的分布列为：…………8分（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件. 由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n *∈N 且4n ≤，得3n =，或4n =. …………10分所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=.（或写成512625） 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. …………13分【2012年北京市西城区高三一模理】16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分 乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分 所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分 比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分 【2012北京市海淀区一模理】(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 【答案】解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x =. ………………………………………2分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.………………………………………12分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=） 所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分 【2012北京市房山区一模理】16.（本小题共13分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】解：（I ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则()3815320210110==C C C A P 答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815. ………………………4分 （II ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.所以 ………………………6分()8116323104004=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()8132323113114=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()2788124323122224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()818323131334=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()811323140444=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. ………………………11分随机变量ξ的分布列为：………………………12分 所以3481148183812428132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31. …………………5分 则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)31,4(B .……………7分随机变量ξ的分布列为：所以334=⨯==np E ξ …………………13分。