第4章电压和电流的改变与时间常数

ΔV = 1.0
V
C = 0.001 μF = 10−9 F
ΔV = 10.0
4.3 电压和电流通过电感的变化
电感有一个特性，即恒定的电流流过理想电感时对电感没有任何影响（除了在电感四周 产生一个恒定的磁场之外）。但是如果我们改变电流，那么环绕电感的磁场也会变化，结果 在电感的两端就产生了电压。所以，电感两端的电压是电流变化量的函数。给定了电流的变 化量，如果电感越大，产生的电压也就越大。并且，电流变化越快，产生的电压也越大。
图 4-3 在 3 种不同的电压下，电感中的电流随时间的变化曲线
我们在刚开始学习时，可能会很难理解，为什么对于给定的电压，电流总是线性变化的 （是时间的函数）？很明显，大多数的电压源不能无限制地提供电流，所以图 4-3 中所示的
关系只有在电压源可以提供足够的电流并且保持恒定电压的情况下才有效。在实际应用中，
dI/dt 1 1
10−3 1 106
单位 A/s A/s A/s A/s A/s
例如，假设引脚电感的值是 10 nH（10−8 H），在其中通过 10 mA（10−2 A）的电流。如 果我们在 1.0 μs（10−6 s）的时间内改变电流的值，电感上产生的瞬时电压是
V = LdI / dt = (10−8 )(10−2 ) /(10−6 ) = 10−4 = 0.1 mV
如果在电感上施加一个突变的电压，刚开始时电感中并不会产生电流（参见附录 B 可 以更深入地了解电感的工作原理）。随着时间变化，才会有更多电流流过（见图 4-3）。电压 越高，产生的电流幅值增加越快；电感越大，产生的电流幅值增加越慢。不过必须改变电压 才有电流产生。结果是电感中电压超前电流，或者换一个说法，电流滞后于电压。
但是，在相同条件下，如果电流的改变更快，比如是 1.0 ns（10−9 s），那么产生的电压是 V = LdI / dt = (10−8 )(10−2 ) /(109 ) = 10−1 = 100 mV
后者是前者的 1000 倍，所以前者可能不会导致噪声问题，而后者可能会导致噪声问题。这 个例子中，仅仅是二者的时间（上升时间）不同。
在集成电路（IC）提供商“提升”了器件的速度，信号变化更快之后，人们就遇到了一 些意想不到的麻烦。开关电流的上升时间（dI/dt）以前并不重要，现在却突然之间成为大问 题，正是它导致新的供货商，新器件的开关速度更快，那么可能就要遇到这些让人莫名其妙的问题。
第 4 章 电压和电流的改变与时间常数 39
表 4-1 电容上的电压取决于电流、时间和电容量的大小
如果
假设用 10 mA 的电流给电容充电 1 μs
ΔV = I × Δt / C = 10(10−3 )(10−6 ) / C
C=1
μF = 10−6 F
ΔV = 0.01
C = 0.01
μF = 10−8 F
4.4 几个有趣的电感电路的动态特性
图 4-4 画出了一个电路设计的示意图。这个电路让不少工程师对它的硬件成本之高感到 不可思议。图中，一个 10 V 的电压源通过一个 100 Ω的电阻来驱动一个电磁继电器。三极 管开关 Q 控制着继电器的动作。这是个很常用的电路，广泛应用于继电器开关、记分板和 显示电路中。如图所示，当继电器打开时，继电器的感性线圈上会流过 100 mA（10 V/100 Ω） 的电流。
上述关系可以表示为
V = L × ΔI / Δt
或 L = V × Δt / ΔI
（4-3）
或 ΔI = V × Δt / L
若用更常见的方式（微分）表达，可以用 d 代替Δ，那么上式的关系可以表示为
V = L × dI / dt
或 L = V × dt / dI
（4-4）
或 dI = V × dt / L
ΔV = I × Δt / C
图 4-6 RC 电路的充电/放电曲线
由于电池的电压保持不变，当电容上的电压增加时，电容两端的电压一定会减小。如果 电阻两端的电压减小，流过电阻的电流同样也一定会减小。因此，刚开始的电流是 V/R，但 是它会逐渐减小，直到减小到 0（直到电容完全充电）。同样，刚开始时，电阻上的电压是 V， 但是会逐渐减小到 0（由于电容完全充电，电流会停止流动）。最后我们知道，电容上的电 压在刚开始时是 0，但是会稳定增加，最后达到 V。
第 4 章 电压和电流的改变与时间常数 43
图 4-6 画出了这些电压、电流的变化曲线。对于像本例的那些基本 RC 电路一样，它们 的电流电压变化曲线都是固定的、可预测的。在电容充电时，变化曲线可以由式（4-5）和 式（4-6）给出。
42
花。不过机械触点已经被性能先进的电子开关所取代，优势是明显的：（a）电子开关更快， 可以产生更高的点火电压；（b）电子开关更可靠；（c）电子开关基本上不需要维护（没有经 常需要更换的机械触点）。
图 4-5 老式的电子点火系统在产生火花的部分使用触点结构
4.5 时 间 常 数
看一下图 4-6，我们在前面讲过当开关把电阻和电池连接在一起时，电流立刻就会流 到电容的极板上。最开始时电流的幅值（假设电容在最开始时并没有充电）是 V/R。根据 式（4-1），电容上的电压将开始增加为
变化率是 l A/s。但是如果我们在 1 ns 的时间内改变 1 mA 的电流，瞬时变化率是 1 000 000 （106）A/s，这就是高频设计中噪声问题的核心原因。
dI
1A 10−3 A 10−6 A 10−6 A 10−3 A
表 4-2 当 dt 项很小时，dI/dt 的值很大
dt
1s 10−3 s 10−3 s 10−6 s 10−9 s
40
电压源不可能在提供不断增加的电流的同时还保持电压不变。通常情况下，电压会下降。这 将会导致电流的增加变慢，并且很快就会在电流是某个值时达到平衡，这时电感两端就没有 电压了。
注意，式（4-4）给出了在电感上建立的瞬时电压，即
V = LdI/dt
表 4-2 说明了 dI/dt 这一项非常重要的原因。如果我们在 1 s 的时间内改变 1 A 的电流，
第 4 章 电压和电流的改变与时间常数
4.1 电压和电流通过电阻的变化
如果流过电阻的电流发生了变化，那么电阻上的电压也会立刻发生变化。电阻上的电压 和电流的变化不会有任何延时。因此，电阻对通过它的电流所表现出来的阻抗仅仅取决于电 阻的阻值，而与信号的频率无关。这是电阻与另外两种元件最大的不同之处。
如果画出电阻上的电压和时间之间的函数关系，或者是电流和时间之间的函数关系，就 会发现它们都是直线。例如，图 4-1 画出了在 3 个不同的电阻上施加一个固定的电压时，电 流随时间的变化关系。在这里先举出这个例子，后面我们会把此图与电容和电感的曲线进行 对比。
V = LdI/dt
图 4-4 反向电压保护二极管(b)可以防止开关三极管（Q）被瞬态电压损坏
在这个例子中，L 是 10 mH（10−2 H），dI（电流的变化）是 100 mA（10−1 A），dt（时间 的变化）是 1 ms（10−6 s）。所以线圈产生的瞬时电压是
V = (10−2 )(10−1) /(10−6 ) = 1 000 V 在线圈与三极管的集电极相连的一端，电压的极性是正，在线圈的另一端，电压的极性 是负。也就是说，电路会试图保持电流在三极管关断之前的流动方向。 这个电压只会存在很短的时间（ms 量级），如果用示波器来观察，会发现它是个很短的 电压脉冲。不过这个电压出现在三极管两端。三极管承受电流脉冲的能力远比承受电压脉冲 的能力要强（这里电流只有 100 mA）。几十伏的电压足以击穿三极管的反向掺杂区，造成三 极管损坏。更麻烦的是，有时候电压脉冲只是造成三极管的损耗，只有在经历了很多次的电 压脉冲后，三极管才会损坏（也就说产品已经在现场使用了一段时间之后）。 很遗憾，这种设计缺陷普遍存在。如果电路设计者忘记了（或者根本就没有学过）电感 效应，那么在很长的时间内这种缺陷都不会被发现。 解决方法很简单。如图 4-4(b)所示在线圈的两端并联一个二极管即可。由于它保护三极 管不被反向电压损坏，所以称为反向电压二极管。二极管为电感试图保持流动的电流提供了 一条通路，所以也就不会形成上述的反向电压了。流过电感的电流最大为 100 mA，因此这 里使用普通的二极管就可以了（没有特殊要求）。 上述例子中的电路并不复杂，不过它却揭示了电感效应对设计的影响，以及为什么对电 路设计者来说理解电感的工作原理非常重要。 另外一种电路的电感效应原理跟这个例子相同，这就是图 4-5 中所示的老式自动点火系 统。当触点闭合时，电流从 12 V 的汽车电池流过点火线圈。在恰当的时刻，触点断开，电 流停止流动，导致点火线圈四周的磁场消失。自动点火线圈同时还是变压器，所以围绕整个 线圈的磁场在衰减时会在火花塞上产生一个很高的电压。在触点处同样会出现一个很高的电 压，它会烧毀触点。这就是为什么老式的点火系统中都有一个“冷凝器”（实际上是电容器） 来防止触电变形和烧毁。现代的汽车依然使用同样的原理，利用点火线圈在火花塞上产生火
在典型的旁路电容应用中，根据被旁路元件的开关周期对电容进行充电或者放电，目的 是尽可能使电压保持不变。这样，在旁路应用中似乎应该选用较大的电容。不过实际上我们 却常常使用较小的电容。后面我们会看到，虽然理论上大电容更好一些，但电容的引脚电感 会对选择合适的旁路电容值造成影响。结果是我们有时候会在电容值和引脚电感（还有连线 电感）之间进行折中选择。
若用更常见的方式（微分）表达，可以用 d 代替 Δ，那么上式的关系可以表示为
dV = I × dt / C
或 I = C × dV / dt
（4-2）
或 C = I × dt / dV
从上面的公式可以知道，电容两端的电压取决于：（a）电容量的值（电容越大，电压产 生得越慢）；（b）流过电流的大小；（c）电流持续的时间。其实这很直观，在大电容两端形 成电压要更慢，大电流给电容充电更快。如果持续的时间足够长，即使是小电流也可以把电 容充满。图 4-2 描述了电容两端的电压是怎样随着时间和电流的不同而变化的。如果电容放 电，三者之间的关系是一样的。对任何给定的电容，其上的电压变化（下降）与放电电流的 大小和持续时间有关。