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左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
2021/1/17
1
-ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
19
• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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-
20
例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
左孝凌离散数学课件1.7对偶与范式
19
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶与
范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式
为了使任意一个命题公式化成唯一的等价命题的 标准形式，下面给出主范式的有关概念。
1.命题公式的主析取范式
定义1-7.4: n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项， 其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须 出现且仅出现一次。
20
例
1.命题公式的主析取范式-小项
1. 两个命题变元P和Q的小项为： P∧Q，P∧┐Q，┐P∧Q，┐P∧┐Q。 2. 三个命题变元P、Q、R的小项为： P∧Q∧R，P∧Q ∧┐R ， P∧┐Q ∧R ， P∧┐Q ∧┐R ┐P∧Q ∧R ，┐ P∧Q ∧┐R ， ┐P∧┐Q ∧R ，┐P∧┐Q ∧┐R 。
同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式,为了把命题公 式规范化,下面讨论命题公式的范式问题。
第一章 命题逻辑1.7对偶与范式
定义 (1) 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的析取 式。 如：P ∧ ┐Q ， (P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P (2) 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∨ A2 ∨ … ∨ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的合取 式。 如：P∨┐Q ， (P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
3
对合律 幂等律 结合律 交换律
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
30
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
左孝凌离散数学课件
计算机科学
组合数学的应用实例
THANKS FOR
WATCHING
感谢您的观看
组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
组合数学的应用实例
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组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
离散数学左孝陵版答案公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第4页
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))
左孝凌离散数学课件3.1集合的概念和表示法3.2集合的运算.ppt
3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
2021/1/25
17
二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
2021/1/25
2
第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
2021/1/25
3
3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
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3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)
左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件
从而┐Q（P→Q）为假.
②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
┐ （┐Q（ ┐ P ∨ Q）） ∨ ┐P
（Q ∨（P ┐ Q）） ∨ ┐P
（（Q ∨P） （Q ∨ ┐ Q ）） ∨ ┐P
（Q ∨P） ∨ ┐P
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: （1）用等值演算法判别命题公式的类型。 （2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 （3）等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
21
1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。
离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
左孝凌离散数学课件3.6关系的性质
具有反对称性的关系矩阵如果在非对角元上rij1则在其对称位置上rjiij这两个数至多有一个是1但允许两个均为0关系图上任何两个Leabharlann 同的节点之间至多有一条弧但允许没有弧即
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
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目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示
d)(A - B) C =(AC) - (BC)成立. 证明 因为(A - B) C ={<x,y>|(xA-B)∧yC} 所以
<x,y>(A - B) C x(A-B)∧yC xA∧x B∧yC ( xA∧yC∧x B) ∪(xA∧yC∧y C)) (xA∧yC )∧(x B∪yC) (xA∧yC )∧ ┐(x B ∧ y C) <x,y>A C∧ <x,y> B C <x,y> [(AC) - (BC) ]
故|P (AB)|=2mn，即A到B不同的二元关系共
有2mn个
一、二元关系
3.二元关系定义3
A上的二元关系： AA的任意子集R称为A上的二元关系 RAA RP (AA)。
若|A|=m, 则|AA|=m2, 故|P (AA)|= 2 m2 ，即A上不同
的二元关系共有2 m2个。
一、二元关系
A到B的二元关系举例1:
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)
离散数学课后习题答案(左孝凌版)演示教学
离散数学课后习题答案(左孝凌版)离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学左孝凌 ppt课件
计算机学院
2-2.1 命题函数
定义2-2.1：简单命题函数(simple propositional function)：
由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为 简单命题函数。
比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特 殊情况。
计算机学院
2-2.2 量词
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
计算机学院
2-2.2 量词
例5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成:
2-1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体
和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
计算机学院
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
(1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华
(3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵
(5) R(a,b,c)
(6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
2-2.1 命题函数
定义2-2.1：简单命题函数(simple propositional function)：
由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为 简单命题函数。
比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特 殊情况。
计算机学院
2-2.2 量词
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
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2-2.2 量词
例5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成:
2-1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体
和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
(1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华
(3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵
(5) R(a,b,c)
(6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
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第七章 图论
7.1 图的基本概念 7.2 路与回路 7.3 图的矩阵表示 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 7.5 树与生成树 7.6 根树及其应用 习题七
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本概念 7.1.2 图的结点的度数及其计算 7.1.3 子图和图的同构
第七章 图论 7.1 图的基本概念
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如例7.1.1中的图，结点集V＝{a，b，c，d}，边集
E＝{e1，e2，e3，e4，e5}，其中 e1＝（a，b），e2＝（a，c）， e3＝（a，d），e4＝（b，c），e5＝（c，d）。d与
a、d与c是邻接的，但d与b不邻接，边e3与e5是 邻接的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.3】设图G＝〈V,E〉如图7.1.3所示。
这里V＝{v1，v2，v3}， E＝{e1，e2，e3，e4，e5}， 其中e1＝（v1，v2）， e2＝（v1，v3），e3＝（v3，v3）， e4＝（v2，v3），e5＝（v2，v3）。 在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.4(b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边，又有有向边的图称为混合图。 本书主要研究无向图和有向图。
(a)(b)
图7.1.4
(4)按G的边旁有无数量特征分为边权图(如图7.1.4(a))、 无权图;
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图7.1.5)和不完全图(如图7.1.6)。
边e4和e5都与结点v2、v3关联，即它们是多重边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.3
3.图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点,m条边
的图; 特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。 (2)按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图（如图7.1.3）。 简单图:不含平行边和自环的图。 (3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图（图
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.1
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如果图7.1.1中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人， 当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起 来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。
我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两 工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市 中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之 间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。对 于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有 线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对 它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的 定义。
7.1.1 图的基本概念
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。 【例7.1.1】a，b，c，d4个篮球队进行友谊比赛。 为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图7.1.1 的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队 的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这 样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。
则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。
第七章 图论 1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
2.图G的结点与边之间的关系
邻接点:同一条边的两个端点。 孤立点:没有边与之关联的结点。 邻接边:关联同一个结点的两条边。 孤立边:不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
第七章 图论 7.1 图的基本概念
定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记 为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结 点的有序偶或无序偶与之对应。
若边e所对应的结点对是有序偶<a,b>,则称e是有向 边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若 边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。 这时统称e与两个结点a和b互相关联。我们将结点a、 b的无序结点对记为(a，b)，有序结点对记为<a，b〉。
例如，零图和完全图互为补图。
图7.1.6给出了一个图G和G的补图。G
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个
有６个人的组里，存在３个人互相认识，或者 存在３个人互相不认识。
我们用６个结点来代表人，并用邻接性来代 表认识关系。这样一来，该例就是要证明：任 意一个有６个结点的图G中，或者有３个互相邻 接的点，或者有３个互相不邻接的点。即，对 任何一个有６个结点的图G，G或 G 中含有一个 三角形（即K3）。
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成 一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边 添上。
定义7.1.2设G＝〈V,E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边 后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完 全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为 G 。
7.1 图的基本概念 7.2 路与回路 7.3 图的矩阵表示 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 7.5 树与生成树 7.6 根树及其应用 习题七
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本概念 7.1.2 图的结点的度数及其计算 7.1.3 子图和图的同构
第七章 图论 7.1 图的基本概念
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如例7.1.1中的图，结点集V＝{a，b，c，d}，边集
E＝{e1，e2，e3，e4，e5}，其中 e1＝（a，b），e2＝（a，c）， e3＝（a，d），e4＝（b，c），e5＝（c，d）。d与
a、d与c是邻接的，但d与b不邻接，边e3与e5是 邻接的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.3】设图G＝〈V,E〉如图7.1.3所示。
这里V＝{v1，v2，v3}， E＝{e1，e2，e3，e4，e5}， 其中e1＝（v1，v2）， e2＝（v1，v3），e3＝（v3，v3）， e4＝（v2，v3），e5＝（v2，v3）。 在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.4(b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边，又有有向边的图称为混合图。 本书主要研究无向图和有向图。
(a)(b)
图7.1.4
(4)按G的边旁有无数量特征分为边权图(如图7.1.4(a))、 无权图;
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图7.1.5)和不完全图(如图7.1.6)。
边e4和e5都与结点v2、v3关联，即它们是多重边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.3
3.图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点,m条边
的图; 特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。 (2)按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图（如图7.1.3）。 简单图:不含平行边和自环的图。 (3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图（图
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.1
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如果图7.1.1中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人， 当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起 来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。
我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两 工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市 中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之 间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。对 于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有 线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对 它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的 定义。
7.1.1 图的基本概念
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。 【例7.1.1】a，b，c，d4个篮球队进行友谊比赛。 为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图7.1.1 的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队 的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这 样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。
则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。
第七章 图论 1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
2.图G的结点与边之间的关系
邻接点:同一条边的两个端点。 孤立点:没有边与之关联的结点。 邻接边:关联同一个结点的两条边。 孤立边:不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
第七章 图论 7.1 图的基本概念
定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记 为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结 点的有序偶或无序偶与之对应。
若边e所对应的结点对是有序偶<a,b>,则称e是有向 边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若 边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。 这时统称e与两个结点a和b互相关联。我们将结点a、 b的无序结点对记为(a，b)，有序结点对记为<a，b〉。
例如，零图和完全图互为补图。
图7.1.6给出了一个图G和G的补图。G
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个
有６个人的组里，存在３个人互相认识，或者 存在３个人互相不认识。
我们用６个结点来代表人，并用邻接性来代 表认识关系。这样一来，该例就是要证明：任 意一个有６个结点的图G中，或者有３个互相邻 接的点，或者有３个互相不邻接的点。即，对 任何一个有６个结点的图G，G或 G 中含有一个 三角形（即K3）。
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成 一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边 添上。
定义7.1.2设G＝〈V,E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边 后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完 全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为 G 。