关于亚纯函数的正规性
【摘要】：本文主要分两部分进行，分别对正规族理论和分担值方面的一些问题进行了讨论研究．其中第一部分从方明亮提出的一个关于正规族与例外函数的问题进行了研究,拓展了Zalcman等人在这方面的成果，获得的一个主要定理是：令k≥2是一个整数，(?)是区域D 上的一族亚纯函数，所有的零点至少k+1级，极点均为重级．h是一个D上不恒为0、∞的亚纯函数.若对任意的f∈(?)，f~(k)(z)≠h(z)．则(?)在区域D上正规．在本文的第二部分提出了关于分担值与周期函数的一个猜测：若f是一个超越亚纯函数，满足f(z)∈E(?)f(z+1)∈E，其中E是由三个互异的有穷复数构成的集合．是否一定有f为周期函数?在这方面上进行了一系列的讨论工作，并在附加条件的情况下得到了定理：如果f是一个有限级的超越整函数，f(z)与f(z+1)CM分担两个有穷复数，则f(z)一定以1为周期．在这一部分还对J．Langley 的一个结果进行了一些简单的讨论．【关键词】：正规族例外函数分担值周期函数
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：O174.52
【目录】：中文摘要6-7英文摘要7-9第一章绪论9-111.1引言9-101.2本文的主要研究内容10-11第二章正规族与例外函数11-232.1背景介绍11-122.2主要结果介绍12-132.3一些引理13-182.4定理的证明18-23第三章分担值与周期函数23-323.1背景介绍23-253.2主要结果25-273.3定理的证明27-303.4一个其它的成果30-32第四章总结与未来研究展望32-34参考文献34-39致谢39-40 本论文购买请联系页眉网站。
第31卷 第1期河南师范大学学报(自然科学版)V ol .31 N o.1 2003年2月J ou rnal of H enan N or m al U niversity (N atu ral S cience )F eb.2003 文章编号:1000-2367(2003)01-0025-03关于全纯函数与亚纯函数的正规族Ξ范新华(江苏大学工商学院,江苏镇江,212013)摘 要:在亚纯函数上讨论函数及其k 阶导数与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数的一些正规定则:设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,a 1≠a 2,对f ∈F ,假如存在正数h 1,h 2,当f(k )(z )=a 1或f(k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f(k )(z ) Φh 2,则:F 在∃上正规.最后给出了其应用.关键词:亚纯函数;分担值;正规性中图分类号:O 174.52 文献标识码:A设D 是复平面C 上的一个区域,复数a ∈C ,函数f 是D 上的亚纯函数,E f (a )=f -1({a })∩D ={z ∈D :f (z )=a },如果E f (a )=E g (a ),则说f 与g 在D 上同时分担值a ,我们用n (r ,1f)及n (r ,f )分别表示在圆 z Φr (0Φr <R )上的零点个数及极点个数(一个m 级的零点或极点算作m 个零点或极点),m (r ,f )=12Π∫02Πl og + f (re i Υ) d Υ,m (r ,f )也记为m (r ,∞),m (r ,1f -a)也记为m (r ,a ),N (r ,f )=∫rn (t ,f )-n (0,f )t d t +n (0,f )l og r ,N (r ,f )称为f (z )的极点的密指量,也记为N (r ,∞),N (r ,1f -a)称为f (z )的a -值点的密指量,也记为N (r ,a ),T (r ,f )=m (r ,f )+N (r ,f ),T (r ,f )称为函数f (z )的特征函数.N{(r ,f )表示 z Φr 上f (z )的极点的精简密指量(即不计重数),以上记号请看参考书籍[5][6].W .S chw ick [1]首先研究了分担值与正规族之间的联系,得到如下定理.定理A 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,a 1,a 2,a 3是三个不同复数,如果对每个f ∈F ,f 与f ′同时分担值a 1,a 2,a 3,则:F 在∃上正规.论证过程中采用了N evan linna 理论较繁琐,本文采用一种新方法来讨论亚纯函数的正规族,范新华[2]讨论了亚纯函数族的正规定则,其中有以下结论:定理1 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,Πf (z )∈F ,f (z )=0Ζf ′(z )=0,当f ′(z )=1时,f 3(z )= f ′(z ) 1+ f (z ) 2Φh ,(h 为一正数)则:F 在∃上正规.在证明过程中用到了在文献[2],[3]中的引理1:设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,设有A Ε1,当f (z )=0时, f(k )(z ) ΦA ,则:若F 不正规,对一切0Φ5Φk ,有:a )一个正数r ,0<r <1b )一点列z n , z n <r ,c )函数列f n ∈F ,d )a n →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +a n Ν)a nk→g (Ν),这里g 是非常数亚纯函数,且g 3(Ν)Φg 3(0)=kA + 1.但这些结论都是讨论函数及一阶导数取值与其正规族之间的关系,局限性很大,本文采用新方法探讨函Ξ收稿日期:2002-10-04.基金项目:国家自然科学基金资助.作者简介:范新华(1970～),男,江苏扬中人,江苏大学工商学院在读博士.数及其k 阶导数取值与其正规族之间的联系,得到关于亚纯函数族的一些正规定则,推广文献[1][2][3]中的有关结论.1 主要结论定理2 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,对一切f ∈F ,f 的零点至少k 级,复数a 1≠a 2,对f ∈F,假如存在正数h 1,h 2,当f (k )(z )=a 1或f (k )(z )=a 2时, f (z ) Εh 1,当f (z )=0时, f (k )(z ) Φh 2,则:F 是∃上的正规族.定理3 设F 是单位圆盘∃上的亚纯函数族,复数a 1≠a 2,复数b 1≠b 2,b 1≠0,b 2≠0,对一切f ∈F ,当f ′(z )=a 1时,f (z )=b 1,当f ′(z )=a 2时,f (z )=b 2,当f (z )=0时, f ′(z ) Φh ,则:F 是∃上的正规族.2 定理证明定理2的证明过程如下:假设F 不正规,由引理1知,存在: a ) 正数r ,0<r <1, b ) 点列z n , z n <r , c ) 函数列f n ∈F , d ) 正数Θn →0,使得:g n (Ν)=f n (z n +Θn Ν)Θnk→g (Ν),(在C 的紧子集上按球面距离一致收敛),且g (Ν)是非常数亚纯函数,g 3(Ν)Φg 3(0)=k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+ 1.显然g (Ν)的所有零点至少k 级,下面用反证法证明g (k )(Ν)≠a 1,如果ϖΝ0,使g (k )(Ν0)=a 1,下分两种情况证明:1)如果g (k )(Ν)≡a 1,则g (Ν)是一个其次为k 的多项式函数,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)=a 1k !(Ν-Ν1)k ,则g3(0)=k (k !) a 1 Ν1k -1(k !)2+ a 1 2 Ν12k Φk a 1 Ν1 Φ1k2 Ν1 >1,这样g 3(0)<k ( a 1 + a 2 +h 2+1)+1,得到矛盾.2)如果g(k )(Ν)a 1,则存在点Νn ,使li m n →∞Νn =Ν0,n 充分大后,g n(k )(Νn )=fn(k )(z n +Θn Νn )=a 1,由已知条件知,f n (z n +Θn Νn ) Εh 1,于是li m n →∞g n (Νn ) =li m n →∞f n (z n +Θn Νn ) Θn kΕli m n →∞h 1Θnk =∞,g (Ν0)=∞与g (k )(Ν0)=a 1发生矛盾,故g (k )(Ν)≠a 1,同理g (k )(Ν)≠a 2.文献[4]中有如下定理4:设f (z )是复平面C 上的非常数亚纯函数,令((a ,f )=1-li m r →∞N {(r ,1f -a)T (r ,f ) a ≠∞1-li m r →∞N {(r ,f )T (r ,f ) a =∞则∑z ∈C ((a ,f )+((∞,f )Φ2,对g (k )来说,g (Ν)的零点级数至少k 级,g (Ν)的k 级以上零点,在N (r ,g (k ))中,至少计算k 次以上,但在N {(r ,g (k ))中,只能计算一次,T (r ,g (k ))>N (r ,g (k )),我们有:((∞,g (k ))=1-li m r →∞N {(r ,g (k ))T (r ,g (k ))Εk k +1,再由g (k )(Ν)≠a 1,g (k )(Ν)≠a 2,我们可得到:((a 1,g (k ))+((a 2,g (k ))+((∞,g(k ))=2+k k +1>2,这就与定理4矛盾.因此F 是∃上正规族.在定理2中,取k =1,b 1=h 1,h 2=h ,由定理2成立可知定理3成立.另外,我们还可以得到下列结论:推论1 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,复数a 1≠a 2,Πf ∈F ,f (z )≠0,f (k )(z )≠a 1,f (k )(z )≠a 2,则:F 是∃上的正规族.推论2 设F ={f (z )}是单位圆盘∃上的亚纯函数族,f 的所有零点至少k 级,Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f(k )(z )<1,则:F 是∃上的正规族.文献[2]中有推论3:Πf ∈F ,f (z )≠0,0<f ′(z )<1,则:F 是∃上的正规族.显然本文的推论2是推论3的一种推广.62河南师范大学学报(自然科学版) 2003年3 应 用例(1) 设F ={f (z )}={7ne z }是全纯函数族,Πf ∈F ,f (z )≠0,且当f ′(z )=7ne z=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε1,故由定理2知F 在∃上正规例(2) 设F ={f (z )}={e 5z n }是全纯函数族,Πf ∈F 因为f (z )=e 5z n ≠0,且当f ′(z )=e 5z n 5n=1或f ′(z )=2时, f (z ) Ε15,故由定理2可知F 在∃上正规.参 考 文 献1 W ilhel m Schw ick .Sharing values and no r m ality [J ].A rch M ath .1992,59:50～542 范新华.关于亚纯函数族的几个正规定则[J ].青岛大学学报(自然科学版),2002,(1):14～173 Pang Xuecheng ,L aw rance Zalc m an .N o r m al fam ilies and shared values [C ].Bar 2Ilan U n iversity p rep rin t no .B ium cs 98 23.19984 W .K ..H aym an M eromo rph ic functi on s [M ].O xfo rd U n iversity P ress ,L ondon ,19645 顾永兴.亚纯函数的正规族[M ].成都:四川教育出版社,19916 杨 乐.值分布论及其新研究[M ].北京:科学出版社,1988Severa l Nor ma l Cr iter i a of M ero m orph i c Functi on sFAN X in 2hua(J iangsu U niversity ,Zhenjiang ,212013,China )Abstract :In th is paper w e discuss the relati on fo r no r m alities betw een functi on s and their k o rder derivative ,and w e obtains om e no r m al criteria of the fam ily of m eromo rph ic functi on s .L et F be the fam ily of theM eromo rph ic functi on s on the un it disc ,Πf ∈F ,all of w ho se zero s on the m ulti p licity at least k ,a 1≠a 2,Πf ∈F .If there ex ist po sitive num bers h 1,h 2such that fo r Πf ∈F , f (z ) Εh 1,w henever f(k )(z )=a 1o r f(k )(z )=a 2, f(k )(z ) Φh 2w henever f (z )=0,then F is no r m al on the un itdisc.Key words :m eromo rph ic functi on s ;shared values ;no r m ality72第1期 范新华:关于全纯函数与亚纯函数的正规族。
