最优控制第二章习题答案

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+,0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d Lx dt x ∂⋅=∂代入欧拉方程0L d Lx dt x ∂∂-⋅=∂∂,可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t 〉1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =,()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x ∂∂-=∂∂横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fT t L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为:()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ,1c ,2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fT t L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =,0b = 将f t ，a ,b 代入J 可得()1*2011J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。

第二篇最优控制理论习题答案：12-1、求通过 x(0)=1，x(1)=2，并使性能指标 J (x & 21)dt 为最小的曲线 x(t)。

0 解：本题属于无约束(无状态方程约束)，始端和终端均固定的泛函极值问题，可用变分法求解。

L 0, L LL x & 21,x 2x &, dt x & 2&x & 被积函数 xL d L 0, 得2&x & 0, 即&x & 0代入欧拉方程& x dt xx & c , x c t c (通解形式) 1 1 2x (0) c 1 c 11 2 由边界条件 x (1) c c 2, 解之，得c 2 11 2故最优轨线为 x (t ) t 1*1 12 2-2、求一阶系统 x &(t ) u (t ),x (0) 1，当性能指标为 J (x u 2 2)dt 取最小值时的最优控制与最优轨线。

解：本题属于有约束，始端固定；终端时间t 固定，x (t )自由，控制u 无限制的泛函极值问题， f f 可用变分法求解。

11 2u 2 ) u& 注：L (x 2 u 2)构造哈密顿函数 H (x 2 2H协态方程 x x , 即 x& ①H极值条件/控制方程u u 0, 即u ②&由系统的状态方程 x & u 及②式， x & , &x & ③由①式及③式，得 &x & x 故 ( )t c 2e tx t c 1e(t ) x (t ) c 1etc 2e t& x (0) 1 (1) 0x (t ) 代入边界条件 , , [终端横截条件 ] (c 1 c 2 1) ( c e c 2e 1 0) t f1 f得 c0.12, c 0.88 1 2**(t ) 0.12e 0.88e ttt 最优轨线 最优控制 x u (t ) 0.12e0.88e t 2-5、有一开环系统，包含放大倍数为 4的放大器和一个积分环节。

最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。

在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。

本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。

求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。

答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。

通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。

2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。

最优控制习题及参考答案6212最优控制习题及参考答案习题 1求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0=0 ， t f= 1d由欧拉方程得：(2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2求性能指标：J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解： 由上题得：x * (t ) = C t + Cx * (t )63x f由 x (0) = 0 得： C 2= 0∂L由 ∂xt =tf= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0t0 1于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x，x (1)自由。

6421∫ ⎩λ =有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3已知系统的状态方程为：x 1 (t ) = x 2 (t )， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1(0) = x 2(0) = 1 ， x 1(3)= x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解： 由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λTfH = 1u 2+ λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨12121 2 2⎧λ = C① 得： ⎨1 1⎩λ2 = −C 1t + C2 ② ∂H由控制方程：∂u= u + λ2 = 0 得： u = −λ2= C 1t − C 2③由状态方程：x2 = u = C1t −C2得：x (t) = 1 C t2 −C t + C ④2 2由状态方程：x1 = x21 2 3得：x (t) = 1 C t3 −1 C t 2 + C t + C ⑤1 6 12 23 465661⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将x (0) = ⎢ ⎢，x (3) = ⎢0⎢代入④，⑤, ⎣1⎦⎣ ⎦ 10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29，C 2 = 2 ， C3=C 4 =1 9x * (t ) = 5 t 3 −t 2+ t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。

1. 求使得2()ln f x x x =-最小的x 值。

解：'1()20f x x x =-=求得可能的极值点是x = "21()2f x x =--恒小于0. 所以使得2()ln f x x x =-最小的x2. 求使221122()10124f X x x x x =---为极值的极值点x 。

解：12'12'12201201280x x f x x f x x =--==--=由上述两个方程得出的可能极值点为[]***12,0,0T T X x x ⎡⎤==⎣⎦二阶导数矩阵为*"20,1212,8X f --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦用塞尔维斯特判据来检验，有200-<, 20,12det 16012,8--⎡⎤=>⎢⎥--⎣⎦故*"X f 为负定，在[]*0,0T X =处，()f X 为极大。

3求.使222123121323()55484f X x x x x x x x x x =+++--为极值的极值点x 。

解：123'123'213'31210480244010840x x x f x x x f x x x f x x x =+-==+-==--=由上述三个方程得出的可能极值点为 []****123,,0,0,0T TX x x x ⎡⎤==⎣⎦ 二阶导数矩阵为*"10,4,84,2,48,4,10X f -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦用塞尔维斯特判据来检验，有100> 10,4det 04,2⎡⎤>⎢⎥⎣⎦10,4,8det 4,2,4808,4,10-⎡⎤⎢⎥-=>⎢⎥⎢⎥--⎣⎦故*"X f 为正定，在[]*0,0,0TX =处，()f X 为极小。

4．求使2212min ()45,f X x x =+且12()2360g X x x =+-=。

解：作拉格朗日函数12221212(,)()()45(236)L x x f X g X x x x x λλ=+=+++-极值的必要条件 11221282010302360L x x L x x L x x λλλ∂=+=∂∂=+=∂∂=+-=∂联立求解上面三个方程可得307λ=- 可能的极值点坐标为11514x =，297x = 根据问题的性质可以判断极小值存在且是唯一的。

第二章 非线性规划在实践中，最优化问题的目标函数和(或)约束条件常常是非线性的，如例1-1和例2-1。

这类问题称为非线性规划问题。

求解无约束条件的非线性规划问题通常采用逐步逼近法(俗称试探法)，若在求解过程中使用了目标函数的导数，称为解析法；不使用导数而直接利用目标函数进行比较、搜索，称为直接法。

对于有约束条件的非线性规划问题，可以将其转化为无约束条件的非线性规划问题后再进行求解。

本章介绍求解非线性规划的一些方法，对解的收敛性不作讨论。

例2-1求解例1-1，即有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图2-1)。

欲使槽的横截面积S 最大，1x 、2x 和θ的最优值是多少？解：最优化问题的目标函数和约束条件为θθsin )cos (m ax 221x x x S ⋅+=， a x x =+212；01≥x ；02≥x 。

分析：该问题的目标函数是非线性的，属非线性规划问题。

目标函数自变量中，只有2个是自由的，不妨以2x 和θcos =y 为自变量，将其转化为无约束条件的非线性规划问题。

212x a x -=；a x 5.002≤<。

目标函数改写为：22221)2(max y x y x x a J -+-=，原最优化问题简化成二元函数求极值问题，求解过程如下：1)2(101)2(1)2(2222222222222=-+---=∂∂=-+-+--=∂∂yy x y x x a y x y J y y x x a y x y x J； ⎩⎨⎧=+--=+-022*********y x y x x y a y x x a ；⎩⎨⎧==⇒2/13/2y a x ；⎩⎨⎧==ο603/2θa x ； 最优解： 3/1a x =；3/2a x =；o60=θ；12/3m ax 2a J =。

该例实质上是二元函数求极值问题，经解析方法计算使J 的一阶导数等于零的参数值，且J 的海森矩阵09/323/33/32/33<⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=a a a H ， 是负定矩阵，目标函数J 取极大值，即为最优解。

2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰∙t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+?&解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x=+&，0L x ?=?，2L x x ?=?&&， 2d L x dt x=?&&& 代入欧拉方程0L d Lx dt x ??-?=??&，可得20x =&&，即0x =&& 故1xc =& 其通解为：12x c t c =+ 代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+& 解：由题可知，2122L x x =+&，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x-=??& 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ+-=&&&易得到2dxdt=& 故12xt c =+& 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=??=++=??=+=??& 解以上方程组得：12569f t c c =??=-??=? 还有一组解===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=??t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+?&求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。

解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。

2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。

习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。

⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。