3.1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[读教材·填要点]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．[小问题·大思维]1．函数的“零点”是一个点吗？提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2.3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．[自主解答] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，即(x3－x)－(6x－6)＝0，∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.——————————————————求函数y＝f x的零点通常有两种办法：其一是令f x＝0，根据解方程f x＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f x的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.——————————————————————————————————————1．求下列函数的零点．(1)y＝x2－2x；(2)y＝ln x－2.解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，∴y＝x2－2x的零点为0,2.(2)令y＝ln x－2＝0，则ln x＝2＝lne2.∴x＝e2.∴函数y＝ln x－2的零点为e2.[例2] 函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[自主解答] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．[答案] C——————————————————确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反.——————————————————————————————————————2．方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是( )A．(－∞，0) B．(0.1,1)C．(1,2) D．(2,4)解析：由于lg x有意义，所以x>0.令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．答案：B[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[自主解答] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．——————————————————若函数f x在[a，b]上单调，且f a f b0，则f x存在零点，且在a ，b上只有1个零点.若通过构造有f x＝g x－h x，且g x、h x图象容易作出，则f x 的零点个数就是g x与h x图象交点个数，通过作图容易得到f x零点个数.特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断.——————————————————————————————————————3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．由图可知y 1与y 2只有一个交点，则log 2x ＋2x－7＝0有一个根，∴函数f (x )有一个零点．f (2)＝log 22＋22－7＝－2，f (3)＝log 23＋23－7>0，∴f (2)·f (3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).解题高手妙解题省解题时间，也是得分！k 的取值范围．[巧思] 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，知函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧k >0f或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f，解出即可．[妙解] 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，f或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．1．函数f (x )＝lg x ＋12的零点是 ( )A.110 B.10 C.1010D ．10解析：∵lg x ＋12＝0，∴lg x ＝－12，∴x ＝10－12＝1010.答案：C2．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A ．[0，18]B ．[18，14]C ．[14，12]D ．[12，1]解析：f (14)·f (12)＝(π4＋log 214)(π2＋log 212)＝(π4－2)(π2－1)＜0答案：C3．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不能确定解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：A4．若函数f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，则a 的取值范围是________． 解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a ＝1－4a .而f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，即方程x 2－x ＋a 有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a <14.答案：(－∞，14)5．若函数f (x )＝x －1x，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )＝4x －14x. 则g (x )＝4x －14x －x ，令g (x )＝0.有4x －14x －x ＝0，解得x ＝12.答案：126．试判断方程x 3＝2x在区间[1,2]内是否有实数根？解：因为函数f (x )＝x 3－2x的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－4＝4>0，所以f (1)·f (2)<0，所以函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数根．一、选择题1．若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0B ．若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )·f (b )＞0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0D ．若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0 解析：由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B ，可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)·(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．答案：D2．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－(12)x在定义域内有唯一零点．答案：B3．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007解析：∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f (0)＝0，∴共有2 006＋1＝2 007个．答案：D4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有( )A．3个B．2个C．至少一个D．0个解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.答案：C二、填空题5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为________.解析：令f(x)由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，由于f(1)·f(2)＜0，所以一个根所在的区间为(1,2)．答案：(1,2)6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．答案：①②③7．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．解析：取g(x)＝ln x h(x)＝x－2则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点如下图：答案：28．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述其零点为x ＝1a或x ＝2.10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1) (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点；解：(1)要使函数有意义：则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0解之得：－3＜x ＜1， 所以函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f (x )的零点是－1± 3.。
高一数学《方程的根与函数的零点》教案3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.学习过程一、课前准备(预习教材P86~ P88,找出疑惑之处)复习1: 一元二次方程+bx+c=O (a 0)的解法. 判别式=.当0，方程有两根，为；当0，方程有一根，为；当0 ,方程无实根.复习2：方程+bx+c=O (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学探学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为. 根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的. 你能将结论进一步推广到吗？新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点(zero point ). 反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：1)函数的零点为；(2)函数的零点为. 小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点. 探究任务二：零点存在性定理问题：①作出的图象，求的值，观察和的符号②观察下面函数的图象，在区间上零点；0 ; 在区间上零点；0 ; 在区间上零点；0.新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0,那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.探典型例题例1求函数的零点的个数.变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法•①代数法：求方程的实数根；②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.探动手试试练1.求下列函数的零点：（1）;（2）.练2.求函数的零点所在的大致区间.二、总结提升探学习小结①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理探知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号• 推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零占八、、・（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数的零点个数为（）•A. 1B. 2C. 3D. 42. 若函数在上连续，且有•则函数在上（）.A. 一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3. 函数的零点所在区间为（）.A. B. C. D.4. 函数的零点为.5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点•则的零点个数为. 课后作业1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数.我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。
方程的根与函数的零点教案第一章：方程的根与函数的零点概念引入1.1 教学目标让学生理解方程的根与函数的零点的概念。
让学生掌握方程的根与函数的零点之间的关系。
培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。
1.2 教学内容引入方程的根的概念，引导学生理解方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值。
引入函数的零点的概念，引导学生理解函数的零点是使函数值为零的未知数的值。
引导学生理解方程的根与函数的零点之间的关系。
1.3 教学活动通过实际例子，让学生初步理解方程的根与函数的零点的概念。
引导学生进行思考和讨论，深化对方程的根与函数的零点之间关系的理解。
布置练习题，巩固学生对方程的根与函数的零点的理解和运用。
第二章：一元二次方程的根与二次函数的零点2.1 教学目标让学生掌握一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
让学生学会运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力。
2.2 教学内容引导学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
引导学生掌握一元二次方程的根的判别式及其应用。
引导学生运用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
2.3 教学活动通过实际例子，让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
引导学生进行思考和讨论，深化对一元二次方程的根的判别式的理解和运用。
布置练习题，巩固学生对一元二次方程的根与二次函数的零点的理解和运用。
第三章：方程的根与函数的零点的判定定理3.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。
培养学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。
3.2 教学内容引导学生掌握方程的根与函数的零点的判定定理。
引导学生运用判定定理判断方程的根与函数的零点的情况。
3.3 教学活动通过实际例子，让学生理解方程的根与函数的零点的判定定理。
引导学生进行思考和讨论，深化对判定定理的理解和运用。
布置练习题，巩固学生对判定定理的掌握。
第四章：方程的根与函数的零点的求解方法4.1 教学目标让学生掌握方程的根与函数的零点的求解方法。
3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）教学目标：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定． 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定．难点：零点的确定．一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况。
