2020-2021年新高三数学开学摸底考试卷详解(一)

2020-2021学年高三下学期数学开学摸底考试（新课标全国卷理科）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21220,log (1)0A xx x B x x ⎧⎫=-=+>⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B ⋂=( ) A.(1,0)- B.(1,0]- C.(2,)+∞ D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)22i z -=--，则||z =( )A.2C.13.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( ) A.14B.35C.34D.454.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )A.0.7 1.7n m -=B.0.7 1.5n m -=C.0.7 1.7n m +=D.0.7 1.5n m +=6.函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为( ) A.21y x =-- B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A .15B .20C .30D .358.若cos(2π)α-=且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin(π)α-=( )A. B.23- C.13- D.23±9.已知函数()π6f x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间(),0ααα->［］上是增函数，则α的最大值是( ) A.π6B.π3C.π2D.5π610.在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC ======,若三棱锥P ABC -的顶点均在球O 的表面上，则球O 的半径为( )D.311.已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为( )12.设函数()f x 的定义域为R,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .14.已知向量,,|||2==a b a b ,且()-⊥a b a ,则向量 a 和 b 的夹角是____________,()⋅+=a a b _______________.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

最新高三第一次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲ ．2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位）， 则2z = ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100 人，那么n = ▲ ．5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为 ▲ ．6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ．7．已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若255AB =， 则k = ▲ ．8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV的值为 ▲ ．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，Read ,1While 21End WhilePrint a b i i a a b b a bi i a ←≤←+←-←+（第5题） （第9题）OCDBC 1A B 1A 1D 1（第2题）则33a b +的取值范围是 ▲ ．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4x xf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是 ▲ ．13．若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ▲ ．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ． （1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ； （2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值．如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=︒，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．17．（本题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ． （1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n nac b =，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值； （2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分） 已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． （1） 若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2） 若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．数学试题（附加题）21.【选做题】请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A ．（几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.B ．（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M .C ．（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=⎧>⎨=⎩为参数,的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.D ．（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.P22．【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4． （1）设AB AD λ=，异面直线AC 1与CD，求λ的值； （2）若点D 是AB 的中点，求二面角D —CB 1—B 的余弦值．23. 【必做题】（本题满分10分）已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值． （１） 求(6)f 的值；（２） 对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．1A高三数学参考答案一、填空题1．}{1,0,1-； 2．2i --； 3． 4．200； 5．5； 6．45； 7．12； 8．(2,)+∞； 9．12； 10．(,2)-∞-； 11．16-； 12．[7,11]； 13．12- ； 14．23π-. 二、解答题15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分 （2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tantan 124A B π-==. ……………14分 16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，又∵DF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ． ……………6分（２）∵90PAC BAC ∠=∠=︒， ∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，又∵AB AP A =，,AB AP 在平面PAB 内， ∴AC ⊥平面PAB ， ……………8分 ∵PF ⊂平面PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，AC AB A =，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF ⊥平面ABC ， ……………12分∵AD ⊂平面ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分17. 解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=， 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分 （写错定义域扣1分）（2）11()56sin 6T v v v θθθ=++，22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分 记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，θ0(,)4πθ 0θ 03(,)4πθ ()T θ' - 0 +()T θ故当2cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 18. 解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--，21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分 所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++， 两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+， 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分 又由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为321-=的等差数列， 故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+．…………10分 （3）由（2）得1n n c n+=， 对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =⋅，只需111n k t n k t+++=⋅，即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n +=-， …………12分 取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意一项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n +++=+使得212n n n n c c c ++=⋅． …………16分 19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--． …………4分 （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++， 所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ． 当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k y x k -=+-， 联立1212256()4154k y x k x y -⎧=+⎪-⎨⎪+=⎩，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++， 所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-， 由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分 当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以(f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（2）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382x ax ax ϕ'=--，因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032ϕϕ==-<，所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ϕ=---<，又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ϕ=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1()12x x ϕ=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意； 当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ϕ=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分 令322148()2422x x x x x x x ϕ-==-----，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞； 因为0a >，所以102a >，而12y a=与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ϕ=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以1102x <<，……12 分又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=->，所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知321422x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，17()212ϕ=，111111(0)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以1102x <<， …………12 分 当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()220ϕ=，112119(4)0()()22x a ϕϕϕ=<=<， 所以2942x <<， 所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分附加题参考答案21.A ．证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,又P ∠是公共角，所以PCD ∆～PAC ∆， ……………5分 所以PC CD PA AC = , 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BD PA AC =. ……………10分21.B . 解：2λ=-代入212(1)(5)052x x x λλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………5分∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ……………10分21.C . 解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a +=<<， …………………………5分准线：29y a =±-由299a =-得，22a = …………………………10分21.D .证明：因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以32313ab c ≥，即23127ab c ≤， …………………………5分 所以23127ab c ≥因此，32462461111327a b c a b c ++≥≥ ……………………10分22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得090ACB ∠= ……………１分以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，1C (0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由AB AD λ=得(33,4,0)CD λλ=-，而1(3,0,4)AC =-，根据2910||50525189λλ=-+解得，15λ=或13λ=- ……………５分 （２）13(,2,0),(0,4,4)2CD CB ==，可取平面1CDB 的一个法向量为1(4,3,3)n =-；…………………………７分而平面1CBB 的一个法向量为2(1,0,0)n =，并且12,n n <>与二面角D —CB 1—B 相等， 所以二面角D —CB 1—B的余弦值为12cos cos ,n n θ=<>= ………１０分 （第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）23. 解：（1）由题意，取121,2a a ==，126a a <，满足题意，若33a ∃≥，则必有236a a ≥，不满足题意，综上所述：m 的最大值为2，即(6)2f =． ………………4分 （２）由题意，当(1)(1)(2)n n k n n +<≤++时，设1{1,2,A =…,}n ，2{1,2,3,A n n n =+++…}，显然，∀11,i i a a A +∈时，满足1(1)(1)i i a a n n n n k +≤-<+<，∴从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∀12,j j a a A +∈时，1(1)(2)j j a a n n k +≥++≥，∴从集合2A 中选出的j a 必不相邻，又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∴从集合2A 中选出的j a 至多n 个，放置于从集合1A 中选出的i a 之间，∴()2f k n ≤， ………………6分 （ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，取一串数i a 为：1,2,2,21,3,22,n n n --…,1,2,,1n n n n -++， 或写成1, 221,2i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪+-⎩为奇数为偶数，（12i n ≤≤），此时1(2)i i a a n n k +≤+<，(121i n ≤≤-),211n a a n k =+<，满足题意，∴()2f k n =， ………………8分 （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，从1A 中选出的n 个i a ：1,2,…,n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合2A 的两个数,p q a a ，不妨设p q na na >，则(2)p na n n k ≥+≥，与题意不符，∴()21f k n ≤-，取一串数i a 为：1,21,2,22,3,23,n n n ---…,2,2,1,1,n n n n n -+-+ 或写成1,22,2i i i a i n i +⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（121i n ≤≤-），此时1(1)i i a a n n k +≤+<，（122i n ≤≤-），211n a a n k -=<，满足题意，∴()21f k n =-， ………………10分 （写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）。

2021年高三上学期开学摸底考试数学（理）试题含答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（）A．-6 B． C． D．23.设等差数列的前项和为，若，则的值为（）A． 27 B．36 C．45 D．544.下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B．若命题，则C．中，是的充要条件D．若向量满足，则与的夹角为钝角5.某几何体的三视图如上图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．6.若用下边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A． B．C．D．7.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（）A． B． C．D．8.已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A． B．2 C． D．19. 若函数y＝（a＞0，且a≠1）的值域为{y｜0＜y≤1}，则函数y＝的图像大致是10.已知双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰过它们的公共焦点，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A． B． C． D．11.已知满足，，，则（）A． B． C． D．12.已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为．14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．16.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

高三摸底考试数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知F 是双曲线C：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△的面积为（）A．32B．52C．72D．922．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩ 表示的平面区域为D.命题:(,),29p x y D x y ∃∈+ ；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+ .下面给出了四个命题（）①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④3．下列函数中，为增函数的是()A．ln(1)y x =-+B．21y x =-C．2xe y =D．|1|y x =-4、0=b 是直线b kx y +=过原点的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5、方程43)22(log =x 的解为（）A .4=xB .2=xC .2=xD .21=x 6.设,“X>0”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.函数的图象如图所示,则最大、最小值分别为()A. B.C. D.8.设,,,其中为自然对数的底数,则a,b,c 的大小关系是()A. B. C. D.9.设a,b,c,d 都为正数,且不等于1,函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d 的大小顺序是()A. B. C. D.10.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是()A. B. C. D.11、已知定义在R 上的函数12)(-=-m x x f (m 为实数)为偶函数，记)3(log 5.0f a =，)5(log 2f b =，)2(m f c =，则c b a ,,的大小关系为()A、cb a <<B、b ac <<C、bc a <<D、a b c <<12、不等式152x x ---<的解集是（）A、(,4)-∞B、(,1)-∞C、(1,4)D、(1,5)13、函数x x y 2cos sin =是()A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数C、既是奇函数，也是偶函数14、若(12)a＋1<(12)4－2a，则实数a 的取值范围是()A、(1，＋∞)B、(12，＋∞)C、(－∞，1)D、(－∞，12)15、化简3a a 的结果是()A、a B、12a C、41a D、83a16、下列计算正确的是()A、(a3)2＝a9B、log36－log32＝1C、12a -·12a ＝0D、log3(－4)2＝2log3(－4)17．定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，若函数))51(,413(tan )log 1()(3x x x f π*=，，0x 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，则)(1x f 的值（）A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于018.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=2,3)1(log 2,1)(x x x ax x f a 是定义域上的单调函数，则的取值范围是（）A.()+∞,1B.[)+∞,2C.()2,1D.(]2,119．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->的图象与轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（）A.(,0)3π- B.(,)44ππ- C.(0,)3π D.(,43ππ20.已知集合U ={(x，y)|x ∈R,y ∈R},M ={(x，y)||x |+|y |<a }，P ={(x，y)|y =f (x )}，现给出下列函数：①y =ax ,②y =logax ,③y =sin(x +a),④y =cos a x，若0<a <1时，恒有P∩CUM =P，则f (x)可以取的函数有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题：（共20分）1、若04x <<，则当且仅当x =______时，(4)x x -的最大值为______2、从8位女生和5位男生中，选3位女生和2位男生参加学校舞蹈队，共有_______种不同选法.3．已知)2,1(A ，)4,3(B ，直线0:1=x l ，0:2=y l 和013:3=-+y x l 设i P 是i l （3,2,1=i ）上与A ，B 两点距离平方和最小的点，则△321P P P 的面积是_________；4．如右图将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需要移动__________格；三、解答题：（本题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1.计算：34cos 49()15(4log 2102π+--+.2.下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.【作业】如图①，直线L1//L2，△ABC与ΔDBC的面积相等吗?为什么?设L1与L2之间的距离为h，则:S∆ABC=S∆DBC.【探究】(1)如图②，当点D在L1，L2之间时，设点A,D到直线L2的距离分别为h，证明:·S∆ABC=____.(2)如图③，当点D在4，以之间时，连接AD并延长交于点M，则。

2021年高三数学上学期第一次摸底考试试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）集合A={x|log3（x-1）<1},B={x|},则(A)(1,2) (B)(1,4) (C)(-2,0) (D)(0,2)【知识点】交集及其运算．A1（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜4}，【答案解析】A 解析：∵A={x|log3B={x|＜2﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．【思路点拨】利用交集的性质和不等式的性质求解．【题文】(2)命题“对任意的，都有”的否定是（A）对任意的，都有(B)存在，使（C）不存在，使（D）存在，使【知识点】命题的否定．A2【答案解析】B 解析：由全称命题的否定方法得：“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得2x2﹣x+1＜0成立．故选B．【思路点拨】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定．【题文】（3）曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（A）（B）（C）(D)【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程． B11【答案解析】D 解析：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【思路点拨】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【题文】(4)下列函数中是偶函数且在上单调递增的是（A）（B）（C）（D）【知识点】函数奇偶性的性质． B4【答案解析】D 解析：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．【思路点拨】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【题文】（5）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件． A2【答案解析】A 解析：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0，从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A【思路点拨】可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．【题文】（6）若，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】C 解析：b=，a=，则ab=，b2=，故A不正确；a2=，ab=，故D不正确；log=﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1，∴2b＜2a＜2，故选：C．【思路点拨】取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确．【题文】（7）如图，已知直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是(A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质．H4【答案解析】B 解析：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求，故选B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。

2020-2021学年⾼三数学第⼀次模拟考试试题及答案解析最新⾼三第⼀次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的⽆效．⼀、填空题：（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分．请将答案填⼊答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲．2．如图，在复平⾯内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位），则2z = ▲．3．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为▲．4．某校共有教师200⼈，男学⽣800⼈，⼥学⽣600⼈，现⽤分层抽样的⽅法从所有师⽣中抽取⼀个容量为n 的样本，已知从男学⽣中抽取的⼈数为100 ⼈，那么n = ▲．5．执⾏如图所⽰的伪代码，当输⼊,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为▲．6．甲⼄两⼈下棋，若甲获胜的的概率为15，甲⼄下成和棋的概率为25，则⼄不输棋的概率为▲．7．已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若255AB =，则k = ▲．8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是▲． 9．如图，长⽅体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV的值为▲．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公⽐为2的等⽐数列{}n b 满⾜11220,0a b a b +>+<，Read ,1While 21End WhilePrint a b i i a a b b a bi i a ←≤←+←-←+（第5题）（第9题）OCDBC 1A B 1A 1D 1（第2题）则33a b +的取值范围是▲．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4x xf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为▲．12．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上⼀点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是▲．13．若正实数,x y 满⾜2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最⼤值为▲．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满⾜：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为▲．⼆、解答题：（本⼤题共6⼩题，共90分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在ABC ?中，⾓,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值．如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=?，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平⾯PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．17．（本题满分14分）⼀个玩具盘由⼀个直径为2⽶的半圆O 和⼀个矩形ABCD 构成，1AB =⽶，如图所⽰．⼩球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的⽅向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，⼩球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表⽰为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满⾜2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是⾸项为23，公⽐为13-的等⽐数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n nac b =，求证：数列{}n c 中的任意⼀项总可以表⽰成该数列其他两项之积．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另⼀交点为P ，直线PD 与圆O 的另⼀交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分）已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．（1）若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2）若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．数学试题（附加题）21.【选做题】请考⽣在A 、B 、C 、D 四⼩题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A ．（⼏何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ?的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.B ．（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -??=的⼀个特征值为2-,求2M .C ．（坐标系与参数⽅程，本题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+??=-?为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=?>?=?为参数,的⼀条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.D ．（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满⾜231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.P22．【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4．（1）设AB AD λ=，异⾯直线AC 1与CD，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求⼆⾯⾓D —CB 1—B 的余弦值．23. 【必做题】（本题满分10分）已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时⼩于k ，则记()f k 为满⾜条件的m 的最⼤值．（１）求(6)f 的值；（２）对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式；（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．1A⾼三数学参考答案⼀、填空题1．}{1,0,1-； 2．2i --； 3． 4．200； 5．5； 6．45； 7．12； 8．(2,)+∞； 9．12； 10．(,2)-∞-； 11．16-； 12．[7,11]； 13．12- ； 14．23π-. ⼆、解答题15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分（2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=，因为a b >，所以A B >，⼜,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2-=，…12分所以tantan 124A B π-==. ……………14分 16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，⼜∵DF ?平⾯PAC ，AC ?平⾯PAC ，∴直线//DF 平⾯PAC ． ……………6分（２）∵90PAC BAC ∠=∠=?，∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，⼜∵AB AP A =，,AB AP 在平⾯PAB 内，∴AC ⊥平⾯PAB ， ……………8分∵PF ?平⾯PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，AC AB A =，,AC AB 在平⾯ABC 内，∴PF ⊥平⾯ABC ， ……………12分∵AD ?平⾯ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分17. 解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=，所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin 6T v v v θθθ=++，1cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，θ0(,)4πθ 0θ 03(,)4πθ ()T θ' - 0 +()T θ故当2cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 18. 解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--，21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++，两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分⼜由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =，所以数列{}n a 是⾸项为2，公差为321-=的等差数列，故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+．…………10分（3）由（2）得1n n c n+=，对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =?，只需111n k t n k t即1111(1)(1)n k t +=+?+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n +=-， …………12分取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意⼀项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n +++=+使得212n n n n c c c ++=?． …………16分 19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，2 20014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -====--+--． …………4分（2）联⽴122(2)4y k x x y =-??+=?得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联⽴122(14y k x x y ?=??+=??得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分所以121241B BC B y k k x k -==-，1211141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ ⽅程为：12156()415k y x k -=+-，联⽴1212256()4154k y x k x y -?=+?-??+=?，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++，所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-，由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，所以(f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（2）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ?=--+，则21()382x ax ax ?'=--，因为0a >，且1(0)02'=-<，所以()x ?'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ?'<，()x ?单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ?'>，()x ?单调递增，若()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ?<， (7)分由20001()3802x ax ax ?'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ?=--+，⼜因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032??==-<，所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ?=---<，⼜3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ?=--+=-+-+，中的较⼤数为M ，则()0M ?>，故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ?=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点，当2x =时，由()0x ?=得0a =，此时1()12x x ?=-+在(0,)+∞上只有⼀个零点，不合题意；当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ?=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分令322148()2422x x x x x x x ?-==-----，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ?-+-+'==>--，当(0,2)x ∈时，()x ?单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ?值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，且1(4)0?=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ?值域为(,)-∞+∞；因为0a >，所以102a >，⽽12y a=与1()x ?有两个交点，所以1()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ?=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，⼜因为(0)10?=>，11()(67)028a ?=-<，所以11 02x <<，……12 分⼜因为(4)10?=-<，91()(65710)028a ?=->，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分解2：由（2）知321422x x a x -=-，因为[0,2)x ∈时，1()x ?单调递增，17()212?=，111111(0)0()()22x a =<=<，所以1102x <<， …………12 分当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，1981()220?=，112119(4)0()()22x a =<=<，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分附加题参考答案21.A ．证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,⼜P ∠是公共⾓，所以PCD ?～PAC ?， ……………5分所以PC CDPA AC=, 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BDPA AC=. ……………10分 21.B . 解：2λ=-代⼊212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -??= ……………5分∴264514M ??=??……………10分 21.C . 解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a+=<<， …………………………5分准线：29y a =±-由299a=-得，22a = …………………………10分 21.D .证明：因为正实数,,a b c 满⾜231a b c ++=，所以32313ab c ≥，即23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥ 因此，32462461111327a b c a b c++≥≥ ……………………10分22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得090ACB ∠= ……………１分以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系．则Ａ(3,0,0)，1C (0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由AB AD λ=得(33,4,0)CD λλ=-，⽽1(3,0,4)AC =-，根据2910||50525189λλ=-+解得，15λ=或13λ=- ……………５分（２）13(,2,0),(0,4,4)2CD CB ==，可取平⾯1CDB 的⼀个法向量为1(4,3,3)n =-；…………………………７分⽽平⾯1CBB 的⼀个法向量为2(1,0,0)n =，并且12,n n <>与⼆⾯⾓D —CB 1—B 相等，所以⼆⾯⾓D —CB 1—B的余弦值为12cos cos ,n n θ=<>=………１０分（第（１）题中少⼀解扣１分；没有交代建⽴直⾓坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）23. 解：（1）由题意，取121,2a a ==，126a a <，满⾜题意，若33a ?≥，则必有236a a ≥，不满⾜题意，综上所述：m 的最⼤值为2，即(6)2f =． ………………4分（２）由题意，当(1)(1)(2)n n k n n +<≤++时，设1{1,2,A =…,}n，2{1,2,3,A n n n =+++…}，显然，?11,i i a a A +∈时，满⾜1(1)(1)i i a a n n n n k +≤-<+<，∴从集合1A 中选出的i a ⾄多n 个，12,j j a a A +∈时，1(1)(2)j j a a n n k +≥++≥，∴从集合2A 中选出的j a 必不相邻，⼜∵从集合1A 中选出的i a ⾄多n 个，∴从集合2A 中选出的j a ⾄多n 个，放置于从集合1A 中选出的i a 之间，∴()2f k n ≤， ………………6分（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，取⼀串数i a 为：1,2,2,21,3,22,n n n --…,1,2,,1n n n n -++，或写成1, 221,2i i i a i n i +??=??+-?为奇数为偶数，（12i n ≤≤），此时1(2)i i a a n n k +≤+<，(121i n ≤≤-),211n a a n k =+<，满⾜题意，∴()2f k n =， ………………8分（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，从1A 中选出的n 个i a ：1,2,…,n ，考虑数n 的两侧的空位，填⼊集合2A 的两个数,p q a a ，不妨设p q na na >，则(2)p na n n k ≥+≥，与题意不符，∴()21f k n ≤-，取⼀串数i a 为：1,21,2,22,3,23,n n n ---…,2,2,1,1,n n n n n -+-+或写成1,22,2i i i a i n i +??=??-?为奇数为偶数，（121i n ≤≤-），此时1(1)i i a a n n k +≤+<，（122i n ≤≤-），211n a a n k -=<，满⾜题意，∴()21f k n =-， ………………10分（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）。

2021年高三上学期开学摸底考试数学（文理通用）试题含答案第I卷选择题60分一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.已知集合H={}，集合K={1,1.5,2,0,-1,-2}，则H∩K为（）A. {1,2}B.{1,2,0,-1}C.(-1,2]D.{1.5,0}2. 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第505个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；⑤若GM=3EG，则tan∠FGB=.上述结论中正确的个数为（）A．2 B.3 C.4D.54. 设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )A. B. C. D.5. 已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6. 若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A. B. C.D.7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A． B． C．D．8. 函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是( )9. 已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O 三点，且.关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是（）A.①②B.②④C.③④D.①③11. 已知F1、F2分别是双曲线（，）的左、右焦点，且F2是抛物线（p＞0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P．若线段的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（）A． B． C． D．12. 若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）A.1-iB.1+iC. -1-iD. i-1第II卷非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为___________.14.已知等差数列{a n}中，a1=1，S11=33，则公差d等于______________.15. 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的_____________条件.16. 已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值18．（12分）如图1，在正方形中，，是边的中点，是边上的一点，对角线分别交、于、两点．将折起，使重合于点，构成如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）试探究：在图1中，在什么位置时，能使折起后的几何体中／／平面，并给出证明．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．21.（12分）已知函数。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}23{<-∈=x Z x A ，则集合=A C U （ ）A ． {1, 2, 3, 4}B ．{2, 3, 4}C ．{1,5}D ．{5}2．设函数)2()1()(2-+=x x x f ，则=')1(f （ ）A ． 1-B ． 0C ．1D ．43． 曲线22x y =在点P(1,2)处的切线方程是（ ）A ． 024=--y xB ．024=-+y xC ．024=++y xD ．024=-+-y x4．已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）A ．αα⊥⊥n m n m 则若,,//B ．n m n m //,,//则若=βααIC ．βαβα//,,则若⊥⊥m mD ．βαβα⊥⊂⊥则若,,m m5．曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．91B ．92C ．31D ．326． 函数433123--+=x x x y 在[0, 2]上最小值是 （ ）A ．317-B ．310-C ．4-D ．364-7．已知一个球的直径为3，则此球的表面积为 （ ）A ．π3B ． π4C ．π33D ．π68．若n xx )1(+的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 （ ）A ． 10B ． 20 C．30D ．1209．由数字1，2，3，4，5所组成的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有 （ ） A ．16个 B ．18个C．19个D ．21个10．P 为抛物线2x y =上的任意一点，则P 到直线02=--y x 的最短距离为 （ ）A ．2B ．827 C ．22 D ．011．设函数)(x f 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线)(x f y =在5=x 处的切线的斜率为（ ）A ． 51- B ． 0C ．51D ．512．设]1,1[,,2141)(2124-∈-=x x x x x f ，且()1x f ()2x f <，则下列结论必成立的是A ．1x ＞2xB ．1x +2x ＞0C ．1x ＜2xD ．21x ＞22x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2323)(x x x f +=的单调减区间是14．从4名男生和6名女生，选出3名奥运火炬手，要求至少包含1名男生，则不同的选法共有15．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，校学生会采用分层抽样的方法从这三个的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为16．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

最新高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B I = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中 从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？6318．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r =. ①求证：1214k k =-； ②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++L 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-L .（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=u u u r u u u r. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥L ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}1-2.3. 3104. 175. 176. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22- 14. 1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分 所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. ………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分（2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[6x π+∈，即()[2]f x ∈. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1A C 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . ..............4分 又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ............6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以BC ⊥面11ACC A . .............8分 而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11A C AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =I ， 所以1AC ⊥面1A BC . .............12分 又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . .............14分 17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ..............2分 设5,3PA x PB x ==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ..............6分所以点P 到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分所以当234x =，即x =h 取得最大值15千米.即选址应满足PA =PB =. ...........14分 解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. .......2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则=化简得，222(17)15(0)x y y -+=>， ...............10分 即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ............14分 18．解：（1）因为椭圆C右焦点的坐标为0)，所以圆心M的坐标为1)2±， .......2分从而圆M的方程为2211(()24x y +±=. …………4分 （2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， ………6分 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， ………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …10分②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， ……12分同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分 221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52. ……16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =，所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分 （3）结论是12()02x x g +'<. …………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-，即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. …………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2ii A =，12i i B +=，所以1222i i ii r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）根据题意可知，i i a A ≤，1i i B a +≤，因为20i i i r A B =-=-<，所以i i A B <可得1i i i i a A B a +≤<≤即1i i a a +<，又因为1,2,3,,1i m =-L ，所以{}n a 单调递增， ……7分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-. ………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21. A 、解：因为CD 与O e 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， ……2分又因为AB 为O e 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆:，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. ………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ==， ……… 6分又DE AE BD AD =，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分 B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x xy x y'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C 、解：点A 的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， ………6分 则点A 到圆心E的距离4d r ==>=，所以点A 在圆E 外. ………10分D、解：因24(12121212)a b c d ≤+++++++， (6)分又1a b c d +++=，所以224≤，≤ ………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C ………2分 （1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-u u u u r ，11(0,4,0)AC =u u u u r ，1(1,2,2)A D =-u u u u r ，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r 则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =u r，又111111cos ,||||DB n DB n DB n ⋅<>===u u u u r u r u u u u r u r u u u u r u r ， 所以直线1DB 与平面11AC D…………6分 （2）BD DC λ=u u u r u u u r Q ，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=u u u u r ，124(,,2)11A D λλλ=-++u u u u r ， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+u r . …………8分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r ，由题意得121|cos ,|2n n <>=u r u u r ，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分 下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立；②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=， 而当集合M 从{}1,2,3,,k L 变为{}1,2,3,,,1k k +L 时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-L 3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=， 即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立. 综上所述，猜想成立. ……………10分（说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12020年秋季高三开学摸底考试（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知集合{}220A x x x =-≥，{}03B x x =<<，则AB =（ ）A ．()1,3-B ．(]0,2C ．[)2,3D ．()2,3【答案】C 【解析】{|0A x x =≤或2}x ≥，{|03}B x x =<<，[2,3)A B ∴⋂=．故选：C.2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2故选：A3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺.故选：B4、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x =的部分图象是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．210B ．3210C ．22D ．7210【答案】A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭24cos 1sin 445ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦42322525210=⨯-⨯=. 故选：A6、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B ．53C ．52D 5【答案】C 【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r，则圆心到直线的距离为2255()a a d c b a -==+-，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！57、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为36，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D 【解析】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为436，则236233AE ==2222(43)(23)6SE SA AE =-=-=, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(23)(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的表面积为2464S R ππ==， 故选D.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！68、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k ．故选：B.二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC 【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc ad ab ->，化简得0c da b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ．10、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】AC 【解析】函数,,∵是函数的极值点，∴，即，,,,即A 选项正确,B 选项不正确;,即C 正确,D 不正确.故答案为:AC.2()ln f x x x x =+0x ()f x 010x e<<01x e>00()20f x x +<00()20f x x +>2()l (),n 0f x x x x x =+>()ln 12f x x x '∴=++0x ()f x ()'00f x =00ln 120x x ∴++=120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭0,()x f x '→→-∞010x e∴<<()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！811、（2020·江苏省徐州一中高二月考）下列关系中，能成立的是（ ）A ．11m m n n m C C n--=B ．!()!!mn n C n m m =-C ．!m nm nA m C =D ．11m m mn n n A mA A -++=【答案】BCD【解析】对A ，令3,1n m ==，可得等式103213C C =不成立，故A 错误；对B ，利用组合数的计算公式知正确，故B 正确； 对C ，利用排列数与组合数的定义，故C 正确； 对D ，∵11!!(1)!()!(1)!(1)!mm mn n n n m n n A mA A n m n m n m -+⋅++=+==--+-+，故D 正确；故选：BCD.12、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】ABCD 【解析】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β． ∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则Eξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对； 故选：ABCD ．三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）13、（2020江苏苏州五校联考）设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．【答案】54【解析】由等比数列的性质可知312321a a a a ==- ，21a ∴=-，243,,a a a 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+，2210q q ∴--=，解得：1q =(舍)或12q =-，212a a q ∴==，()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=．故答案为：54． 14、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y -+的最大值为______. 【答案】14【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则xy ＝2，则()()2222114()2()4442x y x y x y x y x y xy x y x y x y x yx y---===≤=+-+-+-+---，当且仅当x ﹣y 4x y=-，即x ﹣y ＝2时取等号 故22x y x y -+的最大值为14，故答案为14．15、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________． 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >， 即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11即不等式的解集为1(,2)2，故答案为：1(,2)2.16、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3b =3c =，3A C π+=，则cos C ________，ABC S ∆=________.【答案】332【解析】由于3A C π+=，则3A C A B C +=++，解得2B C =， 由于3b =3c =，利用正弦定理sin sin b cB C=， 则sin 2sin b c C C =233sin C=， 解得3cos 3C =，∴26sin 1cos 3C C =-=， 由3A C π+=，所以3A C π=-所以()339sin sin 3sin 33sin 4sin 6664333A C C C C π==⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭-=-=⨯ 则116sin 2332229ABC S b c A ∆=⋅⋅=⨯⨯=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12故答案为：32.四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小； （2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积. 【答案】（1）6A π=；（2）见解析【解析】（1）因为()(sin sin )3sin )b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得 ()()3)b a b a c b c -+=-，即2223b c a bc +-=，所以22233cos 2b c bc A bc a +===-， 因为0A π<<，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得sin 22sin ab B A == 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222(22)222cos4c c π=+-⨯，解得26c =所以ABC 的面积112sin 2(26)31222S ac B ==⨯⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =. 所以23c =，所以ABC 的面积111sin 2233222S bc A ==⨯⨯=18、（2020届山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ，SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14（1）证明：直线//SD 平面ACE ； （2）求二面角S AC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）13【解析】（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF , 因为//AD BC ,所以AFD ∆与BCF ∆相似,所以2BF BCFD AD==, 又=2BE BFES FD=,所以//EF SD , 因为EF ⊂平面ACE ,SD ⊄平面ACE , 所以直线//SD 平面ACE（2）由题,因为平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,BC ⊂平面ABCD ,BC CD ⊥,所以BC ⊥平面SCD ,以C 为坐标原点,,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,与,CD CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15因为224BC AD CD ===,2BE ES =, 则(0,0,0)C ,(1,1,0)S ,(0,2,2)A ,224(,,)333E ,所以(0,2,2)CA =,(1,1,0)CS =,224(,,)333CE =,设平面SAC 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CA m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 令1z =,得1x =,1y =-,于是(1,1,1)m =-,设平面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 令1z =,得1x =-,1y =-,于是(1,1,1)m =--,设二面角S AC E --的平面角的大小为θ,则1cos 3m n m nθ⋅==, 所以二面角S AC E --的余弦值为1319、（2020届山东省潍坊市高三上期末）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34E X = 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ；（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22⨯列联表；并根据公式计算2K 和3.841比较大小，做出判断；（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭并求分布列和数学期望. 【详解】（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++⨯= 解得：0.01P =， 所以100.1010n ==. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525⨯= 从而22⨯列联表如下图所示:原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18非读书之星 读书之星 总计男 301545女 45 10 55 总计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算得()2210030101545100 3.0304555752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14. 由题意可知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()30301127041464P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-=⎝⎭==()3211271146414P X C ⎛==-=⎫⨯ ⎪⎝⎭， ()223192146414P X C ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=()333413641P X C ⎛⎫ ⎪⎭=⎝==原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19所以X 的分布列为X 0123P27642764964164故()13344E X =⨯=. 20、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}1n a +是等比数列，11a =且2a ，32a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n nn n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) 21nn a =- (2) 112221n n n S ++-=- 【解析】（1）设数列{}1n a +的公比为q ，∵112a +=，∴22334121212a q a q a q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴22334212121a q a q a q =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∵()32422a a a +=+，∴()232212121q q q +=-+-，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20∴2342222q q q +=+-，即：()()224121q q q +=+， 解得：2q.∴11222n nn a -+=⋅=，∴21nn a =-.（2）()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴1231n n n S b b b b b -=+++++122334111111212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111121212121n n n n -+⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭11112212121n n n +++-=-=--. 21、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=4927原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 （1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即. （2）因为，因为函数处有极小值，所以， 所以由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 22、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交2a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 于M N 、两点，若6SMG SHN S S =，求直线MN 的方程. 【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）61y x =+或61y x =+. 【解析】 (1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =， ∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b +=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ，所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 所以1sin 2261sin 2SMG SMN SM SG MSGSM S S SN SN SH NSH ∠===∠ 所以3SM SN =，所以3SM SN =-设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =- ()22,1SN x y =-，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x = 此时32331SM SN ==+-. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834kx x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334kx k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+⎝+.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24所以236 ,2k k==所以直线MN的方程为612y x=+或612y x=-+.。