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13【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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1．已知(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．a <1或a >24B ．a ＝7或a ＝24C ．－7<a <24D ．－24<a <7解析：选C.将点代入直线中，只要异号即可．2．(2009年高考福建卷)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0得B (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0得C (0,1)． ∵△ABC 的面积为2，且a >－1，∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2，∴a ＝3. 3.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4．(2009年高考上海卷)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：如图作出阴影部分为可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即A (3,6)，经过分析可知直线z ＝x －2y 经过A 点时取最小值为－9.答案：－95．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥02x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .点(x ，y )是区域D 上的点，若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，则圆O 的面积的最大值是________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥02x －y －2≤0所表示的平面区域(略)，其中离原点最近的距离为255，故r 的最大值为255，所以圆O 的面积的最大值是4π5.答案：4π56．如图，△ABC 中，A (0,1)，B (－2，2)，C (2,6)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．解：由两点式得直线AB 、BC 、CA 的方程并化简为：直线AB ：x ＋2y －2＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0x －y ＋4≥05x －2y ＋2≤0.练习1．双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线和直线x ＝2围成一个三角形区域(含边界)，则该区域可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0x －y ≤0x ≥2 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0x ≤2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≤0x ≤2解析：选 B.由双曲线方程得其渐近线方程为y ＝±x ，其与直线x ＝2围成的三角形区域对应的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0.x ≤22．(2008年高考海南、宁夏卷)点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15] 解析：选B.因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0x －y ＝－14，解得A (－6,8)． ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0x －y ＝7，解得B (3，－4)． P 到坐标原点的距离的最小值为0， 又|AO |＝10，|BO |＝5，故最大值为10.∴其取值范围是[0,10]． 3．(2009年高考宁夏卷)设x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.如右图作出不等式组表示的可行域，由于z ＝x ＋y 的斜率大于2x ＋y ＝4的斜率，因此当z ＝x ＋y 过点(2,0)时，z 有最小值，但z 没有最大值．4.(2009年高考安徽卷)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：选 A.不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M (12，52)．当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.5．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.5－1B.45－1C ．22－1 D.2－1解析：选A.由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝(0＋1)2＋(－2－0)2－1 ＝5－1，故选A.6．(2009年高考山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元．答案：2300 7．满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0x ＋2y ＋3>05x ＋3y －5<0的可行域中共有整点的个数为________．解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．答案：48．若线性目标函数z ＝x ＋y 在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤02x －y ≤0y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图：由图可知直线y ＝－x 与y ＝－x ＋3平行，若最大值只有一个，则直线y ＝a 必须在直线y ＝2x 与y ＝－x ＋3的交点(1,2)的下方，故a ≤2.答案：a ≤29．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |－2≤0，y －3≤0，x －2y ≤2所表示的平面区域为S ，则S 的面积为________；若A 、B 为S 内的两个点，则|AB |的最大值为________．解析：原不等式组可以化为⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，y －3≤0，x －2y －2≤0，画出对应的平面区域图形如图所示的阴影部分．它是一个直角梯形，且坐标依次为E (2,0)，F (2,3)，C (－2,3)，D (－2，－2)．故梯形面积为12×4×(3＋5)＝16；显然在平面区域内，D 、F 两点距离最大为41，即|AB |的最大值为41.答案：16 4110．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C .解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过P 点作y 轴的垂线，垂足为C .则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1， OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2， PB ＝(4－0)2＋(1－3)2＝2 5.得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8.所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172，C ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.11．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－xt ≤x ≤t ＋1(0<t <1)所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )，试求f (t )的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP ，如图所示，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD ＝12×1×2＝1，S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12(1－t )2，所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.12．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值． 解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4>0，将C (7,9)代入z 得最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.。

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高三一轮复习丛书27二元一次不等式(组)与简单线性规划问题

高三一轮复习丛书27二元一次不等式(组)与简单线性规划问题

高三文科数学一轮复习 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 (必修5) - 85 -二元一次不等式（组）与简单线性规划问题【知识要点】1.关于二元一次不等式表示平面区域:二元一次不等式Ax+By+C>0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，2.求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：①列出线性约束条件及写出目标函数；②求出线性约束条件所表示的平面区域；③通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；④用图形的直观性求最值；⑤检验由④求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。

【典例解析】例1.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3【巩固练习】一选择题：1.若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =-的取值范围是 （ ）A ．[1,1]-B ．[2,0]-C ．[0,2]D ．[2,2]-2.已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ）A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x高三文科数学一轮复习 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 (必修5)- 86 - 3.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－－≤－＋≥y ≥y ≥,若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b>0）的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为 A ．256B ．83C ．113D ．4 （ ） 4.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无数个，则a 为A ．－2B ．2C ．－6D ．6 （ ）5.不等式|x|≤y ≤2|x|所表示的平面区域（均含边界）为图17中的（ ）二．填空题:6.设220240330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数22z x y =+取得最大值时，x y +=7.实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥,022,0,0y x y x y 则11+-=x y ω的取值范围是 三．解答题8.制订投资计划不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损。

(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题

(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。

高考数学一轮复习学案：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)

高考数学一轮复习学案：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)

高考数学一轮复习学案：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（含答案）7.3二元一次不等二元一次不等式式组组与简与简单的线性规划问题单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式组表示的平面区域.目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解可行域情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中以选择.填空题的形式进行考查，难度中低档.1二元一次不等式表示的平面区域1一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线2对于直线AxByC0同一侧的所有点，把它的坐标x，y代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点x0，y0作为测试点，由Ax0By0C的符号即可断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域1直线定界不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线2特殊点定域若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取0,1或1,0来验证知识拓展1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；2当BAxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方3点x1，y1，x2，y2在直线AxByC0同侧的充要条件是Ax1By1CAx2By2C0，异侧的充要条件是Ax1By1CAx2By2C0.4 第二.四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示5线性目标函数的最优解是唯一的6最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解7目标函数zaxbyb0中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距题组二教材改编2P86T3不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分3P91T2投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨答案200x300y1400，200x100y900，x0，y0解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1400,200x100y900.题组三易错自纠4下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是A0,0B1,1C1,3D2，3答案C解析把各点的坐标代入可得1,3不适合，故选C.5xx日照一模已知变量x，y满足2xy0，x2y30，x0，则z22xy的最大值为A.2B22C2D4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z22xy取得最大值由图知直线m2xy经过点A1,2时，m取得最大值，所以zmax22124，故选D.6已知x，y满足xy50，xy0，x3，若使得zaxy取最大值的点x，y有无数个，则a的值为________答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点x，y有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式组表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题典例xx黄冈模拟在平面直角坐标系中，已知平面区域Ax，y|xy1，且x0，y0，则平面区域Bxy，xy|x，yA的面积为A2B1C.12D.14答案B解析对于集合B，令mxy，nxy，则xmn2，ymn2，由于x，yA，所以mn2mn21，mn20，mn20，即m1，mn0，mn0，因此平面区域B的面积即为不等式组m1，mn0，mn0所对应的平面区域阴影部分的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为212111，故选B.命题点2含参数的平面区域问题典例若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是Aa43B0a1C1a43D00，y12x3，x4y12，则zy3x2的取值范围为A.，12B.，13C.12，13D.13，答案B解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，zy3x2表示点D2,3与平面区域内的点x，y之间连线的斜率因为点D2,3与点B8,1连线的斜率为13且C的坐标为2，2，故由图知，zy3x2的取值范围为，13，故选B.2已知x，y满足约束条件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值为4，则a等于A3B2C2D3答案B解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示由zaxy，得yaxz，直线的斜率ka.当0k1，即1a1，即a1时，由图形可知此时最优解为点0,0，此时z0，不合题意；当1k0，即0a1时，无选项满足此范围；当k1时，由图形可知此时最优解为点2,0，此时z2a04，得a2.题型三线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵.骑兵.伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元1试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润元；2怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少解1依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3100xy2x3y300.2约束条件为5x7y4100xy600，100xy0，x0，y0，x，yN.整理得x3y200，xy100，x0，y0，x，yN.目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l02x3y0，平移l0，当l0经过点A 时，有最大值，由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为A50,50，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤1审题仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系2设元设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数3作图准确作出可行域，平移找点最优解4求解代入目标函数求解最大值或最小值5检验根据结果，检验反馈跟踪训练xx全国某高科技企业生产产品A和产品B需要甲.乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A.产品B的利润之和的最大值为________元答案216000解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求.工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xN*，y0，yN*，目标函数z2100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为60,100，0,200，0,0，90,0，在60,100处取得最大值，zmax210060900100216000元线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例xx天津设变量x，y 满足约束条件xy20，2x3y60，3x2y90，则目标函数z2x5y的最小值为A4B6C10D17答案B解析由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，目标函数可化为y25x15z，在图中画出直线y25x，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为3,0，zmin23506.故选B.。

高考数学一轮复习专题二不等式2二元一次不等式组与简单的线性规划综合集训含解析新人教A版

高考数学一轮复习专题二不等式2二元一次不等式组与简单的线性规划综合集训含解析新人教A版

二元一次不等式(组)与简单的线性规划基础篇 【基础集训】考点 简单的线性规划1.若x ,y 满足约束条件{x -2≤0,x +x -3≤0,2x +x -4≥0,则z =x +2y 的最大值等于 ( )A.2B.3C.4D.5 答案 D2.已知不等式组{x ≤-x +2,x ≤xx -1,x ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为( )A.-1B.-12 C.12 D.1 答案 D3.实数x ,y 满足线性约束条件{x -x ≤0,x +x -2≥0,2x -x +2≥0,若z =x -1x +3的最大值为1,则z 的最小值为( )A.-13B.-37C.13D.-15答案 D4.已知M (-4,0),N (0,4),点P (x ,y )的坐标x ,y 满足{x ≤0,x ≥0,3x -4x +12≥0,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.25 B.425 C.-19625 D.-√5 答案 C5.已知实数x ,y 满足约束条件{2x -x ≥0,x ≥x ,x ≥-x +x ,若z =2x +y 的最小值为3,则实数b = .答案 94[教师专用题组]【基础集训】考点 简单的线性规划1.(2019陕西模拟,9)若变量x ,y 满足约束条件{x +x -1≤0,x -x +3≤0,x +2≥0,则xx 的最大值是 ( )A.-13 B.-12 C.-2 D.-32答案 B 由约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).xx的几何意义是可行域内的点(x ,y )与坐标原点的连线的斜率,由图可知点A (-2,1)与坐标原点(0,0)的连线的斜率最大,即(xx)max =1-2=-12.2.(2018江西南昌二模,7)若A 为不等式组{x ≤0,x ≥0,x -x ≤2表示的平面区域,则a 从-2连续变化到1时,动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )A.9√13B.3√13C.72D.74答案 D 如图,不等式组表示的平面区域是△BOC 及其内部,当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域为图中的四边形BODE ,其面积为S △BOC -S △DEC=12×2×2-12×1×12=74.3.(2020非凡吉创联盟10月调研,14)设变量x ,y 满足约束条件{x -x +1≥0,x +x +1≥0,x ≤0,则目标函数z =3x -y 的最小值为 .答案 -3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =3x -y ,得y =3x -z ,由图象可知当直线y =3x -z 经过点A (-1,0)时z 最小.此时z 的最小值为-3.4.(2019浙江温州九校联考,12)已知点P (x ,y )在不等式组{x -x +5≥0,x ≥x ,x -2x ≥0表示的平面区域D上运动,若区域D 表示一个三角形,则a 的取值范围是 ,若a =2,则z =x -2y 的最大值是 . 答案 a <10;-3解析 画出可行域如图,易知a <y A =10时可构成三角形.当a =2时,不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分,由z =x -2y ,得y =12x -x 2,当直线y =12x -x2向左上方移动时,z 逐渐减小,所以当直线y =12x -x2过点B (1,2)时,z 有最大值-3.综合篇 【综合集训】考法 目标函数最值(范围)问题的求解方法1.(2020湖南长郡中学第二次适应性考试,6)已知实数x ,y 满足不等式组{x -x ≥0,2x +x ≤6,x +x ≥2,则点(x ,y )构成平面区域的面积是( ) A.3 B.52 C.2 D.32 答案 A2.(2020广东一模,3)若x ,y 满足约束条件{|x -x |≤1,|x |≤2,则z =2x +y 的最大值为 ( )A.-7B.3C.5D.7 答案 D3.(2020湖北八校第二次联考,7)已知点P 为不等式组{√3x -x ≥0,x +x -2≤0,x ≥0所表示的可行域内任意一点,点A (-1,√3),O 为坐标原点,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为 ( )A.√3B.1C.2D.12 答案 B4.(2019五省优创名校联考,4)设x ,y 满足约束条件{x -x +6≥0,x ≤3,x +x -3≥0,则z =xx +1的取值范围是( )A.(-∞,-9]∪[0,+∞)B.(-∞,-11]∪[-2,+∞)C.[-9,0]D.[-11,-2] 答案 A5.(2020湖北襄阳四中5月检测,14)已知在平面直角坐标系中,O (0,0),M (1,12),N (0,1),Q (2,3),动点P (x ,y )满足0≤xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1,0≤xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1,则w =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 答案 4 [教师专用题组]【综合集训】考法一 目标函数最值(范围)问题的求解方法1.(2018广东东莞模拟,7)已知{x -x ≥0,3x -x -6≤0,x +x -2≥0,则z =22x +y的最小值是( )A.1B.16C.8D.4答案 C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设m =2x +y ,则y =-2x +m ,由图可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线的纵截距最小, 此时m 最小,z 也最小, 由{x -x =0,x +x -2=0解得{x =1,x =1,即A (1,1),此时m min =2×1+1=3,z min =23=8,故选C.2.(2018皖南八校4月联考,7)设x ,y 满足约束条件{x -x +1≥0,x +2x -2≥0,4x -x -8≤0,则z =|x +3y |的最大值为( )A.15B.13C.3D.2答案 A 画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示.因为可行域内x ≥0,y ≥0,所以z =|x +3y |=x +3y ,可化为y =-13x +x3.当直线y =-13x +x3经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值.由{x -x +1=0,4x -x -8=0解得{x =3,x =4, 故A (3,4),此时Z max =3+3×4=15. 所以z =|x +3y |的最大值为15,故选A.一题多解 画出约束条件表示的可行域(图略).z =|x +3y |=√10×√10表示可行域内的动点P (x ,y )到直线x +3y =0的距离d 的√10倍,即z =√10d.由图可知,d max =√10=√10,∴z max =15.3.(2020安徽安庆一中10月模拟,9)已知实数x ,y 满足{x ≤√x ,x ≥-23(x -1),x ≥23x ,则z =x +x +1x +1的最大值为( )A.75B.119C.12D.32答案 D 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,z =x +x +1x +1=1+x x +1,且xx +1表示可行域内的点(x ,y )与点(-1,0)连线的斜率,易知A (14,12),B (12,13),C (94,32),由图可知在可行域内点E 与点(-1,0)连线的斜率最大,此时过点(-1,0)的直线与曲线y =√x 相切,求得E (1,1),所以xx +1的最大值为12,故z =x +x +1x +1的最大值为32,因此选D .4.(2019浙江杭州二模,14)设实数x ,y 满足不等式组{x +2x -5≥0,2x +x -7≥0,x ≥0,x ≥0,则x +2y 的最小值是 ;设d =x 2+y 2,则d 的最小值等于 . 答案 5;495解析 由题意作出可行域如图所示,当直线x +2y =t 经过点(3,1)时,x +2y 有最小值5;由题意可知d 的几何意义是平面区域内的点(x ,y )与原点的距离的平方,显然√x min =√22=√5,所以d 的最小值等于495.。