指数函数主要题型与解题思路

【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。

高中数学指数函数解题技巧在高中数学中，指数函数是一个重要的概念，它在各种数学问题中起着重要的作用。

本文将介绍一些高中数学中常见的指数函数解题技巧，帮助学生更好地应对考试和解决实际问题。

一、指数函数的基本性质在解题过程中，我们首先需要了解指数函数的基本性质。

指数函数的定义域为实数集，其一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像通常呈现出递增或递减的特点，具体取决于底数的大小。

二、指数函数的图像特点1. 当底数a大于1时，指数函数呈现递增的趋势。

例如，y=2^x的图像在整个定义域上都是递增的。

这种情况下，指数函数的图像会从左下方向右上方延伸。

2. 当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现递减的趋势。

例如，y=(1/2)^x的图像在整个定义域上都是递减的。

这种情况下，指数函数的图像会从左上方向右下方延伸。

3. 当底数a等于1时，指数函数的图像将变成一条直线y=1。

这是因为任何数的1次方都等于1。

三、指数函数的解题技巧1. 指数函数的性质运用在解题过程中，我们可以利用指数函数的性质来简化问题。

例如，当我们需要计算2^5时，可以利用指数函数的性质将其转化为2^3 * 2^2，进一步简化为8 * 4 = 32。

这样的计算方法可以节省时间，提高解题效率。

2. 底数的变化在一些题目中，我们需要根据指数函数的性质来确定底数的变化。

例如，当我们需要求解方程2^x = 16时，可以通过观察得知底数2经过多次乘法运算可以得到16，即2^4 = 16。

因此，方程的解为x=4。

3. 应用题的解题思路在解决应用题时，我们需要根据题目的要求来确定指数函数的解题思路。

例如，如果题目要求求解某种物质的衰减问题，我们可以通过建立指数函数模型来解决。

具体来说，我们可以利用指数函数的递减特点来表示物质的衰减过程，然后根据已知条件来求解问题。

四、例题解析1. 问题：已知y=2^x，求解方程y=8的解。

解析：根据指数函数的性质，我们可以将方程y=8转化为2^x=8。

指数函数最值问题及解题技巧
指数函数是数学中常见的一种函数形式，其最值问题也是数学研究中较为基础的内容。

本文将介绍指数函数最值问题的一些常见形式和解题技巧。

1. 最值问题的常见形式
在指数函数最值问题中，常见的形式包括：
- 求指数函数的最大值或最小值；
- 求满足某种条件的最值。

2. 解题技巧
在解决指数函数最值问题时，可以采用以下几种常见的技巧：
2.1 利用导数求解最值
我们可以通过求函数的导数来解决最值问题。

具体步骤如下：- 求出指数函数的导数；
- 解出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；
- 计算这些极值点处的函数值，得出最大值或最小值。

2.2 利用对数函数求解最值
对于指数函数问题，我们可以通过取对数转化为对数函数来求解最值。

具体步骤如下：
- 取指数函数的对数，得到一个对数函数；
- 通过对数函数的求导来解决最值问题，可以利用导数为零的点求出最值。

2.3 利用不等式求解最值
对于一些特殊的指数函数问题，我们可以通过利用不等式来解题。

具体步骤如下：
- 根据函数的性质，设置不等式的条件；
- 解出这个不等式，得到特定的数值区间；
- 根据函数在这个区间的变化情况，确定最值的取值范围。

总结
指数函数最值问题是数学研究中的基础内容，通过利用导数、对数函数和不等式等技巧，我们可以有效地解决这类问题。

掌握这些解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题都有积极的作用。

以上内容希望能够对你的学习有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。

根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。

- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。

- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。

3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。

4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。

5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。

- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。

二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。

2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。

- 比较多个指数函数的增长趋势。

- 求解包含指数函数的方程或不等式。

3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。

4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。

总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。

通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。

指数函数考纲解读 1.结合指数幂的运算与根式的互化，考查指数幂的大小比较，指数方程，指数不等式的求解；2.结合指数函数的图象变换考查指数函数的性质；3.结合指数函数的值域考查参数的求解．[基础梳理]1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫作根式，这里n 叫作根指数，a 叫作被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒x ＝⎩⎨⎧n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质 ①(na )n ＝a (n ∈N *)． ②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质在x轴上方，过定点(0,1)[三基自测]1．下列各式化简正确的为()A. B.4(m－n)4＝m－nC．23×31.5×612＝6 D．答案：C2．函数f(x)＝1－e x的图象大致是()答案：A3．1.70.2、0.91.7、1由大到小的排列顺序为________．答案：1.70.2＞1＞0.91.74．若函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点A⎝⎛⎭⎫2，13，则f(－1)＝________.答案：35．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)函数y＝e x－1与y＝a有且只有一个交点，则a的范围为__________．答案：(0，＋∞)[考点例题]考点一 指数幂的化简与求值|易错突破[例1] 求值与化简： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－(0.01)0.5；(2)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.[易错提醒][纠错训练]1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的结果为( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y解析：416x 8y 4＝(16x 8y 4)14＝[24(－x )8·(－y )4]14＝24·14·(－x )8·14·(－y )4·14＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .答案：D2．(2018·杭州五校联考)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 解析：原式＝2·432a 32b －3210a 32b －32＝85.答案：85考点二 指数函数的图象及应用|方法突破[例2] (1)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )(2)(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．[解析] (1)∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>0， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x <－1，此函数的图象可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象可知A 正确．故选A.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1] [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，故选B.答案：B2．在本例(2)中，将曲线变为y ＝|2x －1|，与直线y ＝b 有且只有一个公共点，则b 的范围是________．解析：y ＝|2x －1|其图象如图所示，要使y ＝b 与曲线只有一个公共点必须b ≥1或b ＝0， 当b ＝0或b ≥1时，y ＝b 与曲线只有一个公共点． 答案：{0}∪[1，＋∞)考点三 与指数函数相关的综合问题|模型突破角度1 指数型函数的定义域、值域[例3] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________． [解析] (1)设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数，所以0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．(2)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. [答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤34，57 [模型解法]角度2 指数型函数的单调性[例4] (1)(2018·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )[解析] 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为递增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79＝⎝⎛⎭⎫97>⎝⎛⎭⎫97＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．选B.[答案] B(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．与x 有关，不确定[解析] 由f (x ＋1)＝f (1－x )知：函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2；由f (0)＝3知：c ＝3.∴f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x )．当x >0时，3x >2x >1，结合函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1， ∴f (3x )＝f (2x )，即f (b x )＝f (c x )；当x <0时，3x <2x <1，结合函数f (x )在(－∞，1)上单调递减， 知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )． 综上知：f (b x )≤f (c x )，选A.[模型解法]角度3 指数函数的奇偶性[例5] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减 (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a[解析] (1)易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.(2)由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1单调递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .[答案] (1)C (2)C[模型解法][高考类题](2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：因为a＝2＝4，c＝25＝5，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4<5，即a<c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以4<4，即b<a，所以b<a<c，故选A.答案：A[真题感悟]1.[考点二](2016·高考全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()解析：易知y＝2x2－e|x|是偶函数，设f(x)＝2x2－e|x|，则f(2)＝2×22－e2＝8－e2，所以0<f(2)<1，所以排除A，B；当0≤x≤2时，y＝2x2－e x，所以y′＝4x－e x，又(y′)′＝4－e x，当0<x<ln 4时，(y′)′>0，当ln 4<x<2时，(y′)′<0，所以y′＝4x－e x在(0，ln 4)单调递增，在(ln 4，2)单调递减，所以y′＝4x－e x在[0,2]有－1≤y′≤4(ln 4－1)，所以y′＝4x－e x在[0,2]存在零点ε，所以函数y＝2x2－e x在[0，ε)单调递减，在(ε，2]单调递增，排除C，故选D.答案：D2.[考点二](2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析： 由2x ＝3y ＝5z ，可设(2)2x ＝(33)3y ＝(55)5z ＝t ，因为x ，y ，z 为正数，所以t >1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以2<33；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以2>55，所以55<2<33.分别作出y ＝(2)x ，y ＝(33)x ，y ＝(55)x 的图象，如图．则3y <2x <5z ，故选D. 答案：D3.[考点三](2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝__________.解析：当a >1时，f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0无解， 当0<a <1时，f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴a ＋b ＝12－2＝－32.答案：－32。

指数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题1.对数法对于形如`a^x = b`的指数函数方程，可以使用对数法来解。

具体步骤如下：1.将方程两边取对数，得到`x * log_a = log_b`；2.解出`x`的值，即`x = log_b / log_a`。

2.试探法试探法是另一种解指数函数方程的方法，适用于无法通过对数法直接解出的情况。

步骤如下：1.对于给定的指数函数方程，使用适当的试探值代入方程中；2.判断试探值是否满足方程，如果满足，则为方程的解；3.如果试探值不满足方程，则尝试其他试探值，直到找到满足方程的解。

3.换底公式当指数函数的底数不方便使用对数法时，可以使用换底公式来解方程。

步骤如下：1.将指数函数的底数用等价形式表示，即`a = c^m`，其中`c`为新的底数；2.将原方程用新的底数表示，得到`c^(m * x) = b`；3.可以直接使用对数法或试探法解出方程。

4.观察法有些指数函数方程可以通过观察特殊性质来解。

例如，当方程为`a^x = a^n`时，可以直接得到解为`x = n`。

以下是一个例题：例题。

解方程 `2^x = 16`。

例题。

解方程 `2^x = 16`。

解法：根据对数法，我们有 `x = log_2(16) = 4`。

根据试探法，我们可以尝试不同的指数值，但从观察法可以直接得到解 `x = 4`。

综上所述，通过多种方法，我们可以解决各种形式的指数函数方程。

注：以上内容为简要介绍，具体的解法细节可以根据具体的指数函数方程进行调整和运用。

对指数函数及其性质经典题型总结指数函数是数学中常见的一类函数，具有一些独特的性质。

本文对指数函数及其性质的经典题型进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用指数函数。

一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为变量的数学函数，可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为指数。

二、指数函数的性质1. 指数函数的图像特点- 当a>1时，指数函数呈现递增的趋势，图像从左下向右上倾斜。

- 当0<a<1时，指数函数呈现递减的趋势，图像从左上向右下倾斜。

- 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线。

2. 指数函数的基本性质- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。

- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加。

- (a^m)^n = a^(m*n)，同底数相乘，指数相乘。

- (a*b)^n = a^n * b^n，底数相乘，指数不变。

- (a^n)^m = a^(n*m)，指数相乘，底数不变。

三、指数函数的经典题型1. 指数函数的求值问题- 根据指数函数的定义，计算给定指数函数的特定值。

2. 指数函数的图像问题- 根据指数函数的性质和底数的取值范围，画出指数函数的图像。

3. 指数函数的运算问题- 根据指数函数的性质，进行指数函数的加法、减法、乘法和除法运算。

4. 指数函数的应用问题- 利用指数函数的性质，解决实际生活中的问题，如人口增长、物质衰变等。

四、总结指数函数是数学中重要且常用的一类函数，具有特定的图像特点和基本性质。

熟练掌握指数函数的经典题型可以帮助我们更好地应用指数函数解决问题。

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