最新人教版高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》示范教案(第1课时)

第三章统计案例本章概览整体设计教材分析1．本章内容在学科知识中的地位与重要性在实际生活中，我们经常面临着一些需要作出推断的问题，例如研制出的一种新药，需要推断它是否有效；吸烟是否与患癌症有关等等，在对于类似的问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，而是需要通过实验来收集数据，并对这些数据作出相应的分析，从而做出合理的判断．两个变量之间是否存在关系？又是何种关系？这些问题的解决，也是数学中一种重要的思想方法．本章是数学与生产、生活实际相结合、相联系的重要体现，是数学重要思想方法的应用，是数学与生产、生活相联系的桥梁之一．2．本章主要内容本章知识是新课标教材的新增内容，目的是通过案例介绍一些统计方法，体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．本章的重点是：独立性检验和回归分析的基本思想与方法；难点是：独立性检验和回归分析的初步应用．主要内容具体有：(1)线性相关关系的判断；(2)残差分析；(3)建立回归模型的基本步骤；(4)拟合效果的比较；(5)等高条形图的应用；(6)独立性检验的基本思想．课标要求1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．2．通过典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用．教学建议本章在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．在进行本章教学时，应注意以下几点：(1)通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基本思路、方法及其初步应用．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．教学中应该通过生活中详实事例理解回归分析的方法，其步骤为通过散点图，直观地了解两个变量的关系，然后，通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、相关指数等，评价模型的好坏．重点是了解回归分析的思想方法，对其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算．(2)通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用．教学中应用实例分析总结得出独立性检验的意义，并且认真体会独立性检验的基本思路类似于反证法，会用类比的思想方法得出独立性检验的基本步骤．重点是了解独立性检验的思想方法，对其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算．(3)回归分析和独立性检验两种思想方法的学习重在使用．这部分内容是《必修3》统计内容的深化，反映了对已学知识的螺旋式上升的认识过程，也充分体现了两种思想的应用价值，在应用中不断提高对两种思想方法的认识．课时分配本章教学时间大约需10课时，具体分配如下(仅供参考)3．1回归分析的基本思想及其初步应用约4课时3．2独立性检验的基本思想及其初步应用约3课时实习作业约2课时本章复习约1课时3．1 回归分析的基本思想及其初步应用整体设计教材分析1．教材的地位和作用高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修12(文科)、选修23(理科)中．《数学3(必修)》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路．“线性回归分析”是其介绍的一种分析、整理数据的方法．在这一部分中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想、利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容．然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，它们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本节就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型．通过本节的学习，使学生了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，学会以科学的态度评价两个变量的相互关系，培养学生运用所学内容解决实际问题的能力．2．课时划分《回归分析的基本思想及其初步应用》的教学分四个课时完成．第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用．第一课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用．过程与方法让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．情感、态度与价值观从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心、求知欲；通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力；通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣．重点难点教学重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．教学难点：掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．教学过程引入新课“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？活动设计：学生独立思考回答问题．学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生”．教师提问：为什么？学情预测：两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒，二者之间是相关关系．设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫．提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系．那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172 cm的女大学生的体重．学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法，从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172 cm女生的体重．其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报．设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策．探究新知若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：的女大学生的体重．学生活动：分组合作探究，查阅课本中的计算公式．活动结果：1.画散点图选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图形象展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归直线近似刻画它们之间的关系．2．建立回归方程由计算器可得a ^＝－85.712，b ^＝0.849. 于是得到回归方程为y ^＝0.849x －85.712. 3．预报和决策当x ＝172时，y ^＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．即一名身高为172 cm 的女大学生的体重预报值为60.316 kg.设计目的：进一步熟悉线性回归分析的具体步骤．提高学生的数据处理能力，并让学生在应用中进一步掌握公式的应用．理解新知 提出问题：散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性，那么还有什么方法可以描述线性相关性的强弱？学生活动：独立思考或相互讨论． 活动结果：还可以通过必修3中的相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关关系的强弱．提出问题：如何根据相关系数r 描述线性相关性的强弱？相关系数的计算公式是什么？ 学生活动：独立思考或相互讨论，查阅课本． 活动结果：其具体计算公式是r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2∑j ＝1n(y j －y )2当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．提出问题：在本例中，身高和体重的线性相关系数是多少？我们建立的线性回归方程是否有实际意义？学生活动：独立计算，求解相关系数．活动结果：利用计算器可求得r ＝0.798，这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的．设计目的：复习判断变量线性相关的方法，进一步熟悉线性相关系数的计算公式． 提出问题：身高为172 cm 的女大学生的体重一定是60.316 kg 吗？ 学生活动：独立思考也可相互讨论．学情预测：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316 kg 左右． 提出问题：为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示． 活动结果：观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y ＝bx ＋a 来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系)．在数据表中身高为165 cm 的3名女大学生的体重分别为48 kg 、57 kg和61 kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165 cm 的3名女大学生的体重应相同．这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，如生理因素、饮食锻炼、测量工具等其他因素．为了更准确地刻画身高和体重的关系，可用下列线性回归模型来表示：y ＝bx ＋a ＋e.我们把自变量x 称作解释变量，因变量y 称作预报变量，e 称为随机误差．提出问题：函数模型y ＝bx ＋a 与线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 有什么关系？ 学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：线性回归模型：y ＝bx ＋a ＋e 当理想化时，即所有人的遗传因素都一样、所有人的生活方式都一样、所有测量都没有误差等等，此时e ＝0，线性回归模型就变成函数模型了．因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式．设计目的：突破本节课的难点，充分认识随机误差e 的来源和对预报变量的影响． 运用新知例1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计数据：若由此资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？分析：正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． 解：(1)故x ＝4，y＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，于是b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08，∴回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计当使用10年时的维修费用为12.38万元．点评：由于本节课题目计算量大，公式较多，所以在求解时易出现公式乱用，数据出错等问题，对这一点，同学们在解题时尤为需要注意．【变练演编】例2其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩． (1)y 与x 是否具有线性相关关系；(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．思路分析：先根据数据计算相关系数，然后根据相关系数的大小，判断两个变量是否线性相关．解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得x ＝71，y＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，∑i ＝110x 2i ＝50 520，∑i ＝110y 2i ＝52 541，r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑j ＝1n(y j －y )2≈0.785 3>0.75，故两个变量有很强的线性相关关系．(2)y 与x 具有线性相关关系，可设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝110(x i －x )(y i －y )∑i ＝110(x i －x )2≈1.22，a ^＝y －b ^x ＝72.3－1.22×71＝－14.32， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝1.22x －14.32.点评：本题通过计算相关系数，将两个变量相关性的判断转化为数据大小的比较．变式：在确定上题中y 与x 的线性相关关系中，是否还有别的方法？若有，请加以说明． 活动设计：学生分组讨论，回顾课本解答问题． 活动成果：还可以通过画散点图的方法来判断两个变量是否具有相关性．如选取x 的值作为自变量，y 的值作为因变量，画出散点图．由图可知两个变量有线性相关性，求其回归直线方程是有实际意义的． 设计意图：进一步熟悉判断变量线性相关的各种方法． 【达标检测】1．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，两个变量的关系若是非确定关系，那么其中一个变量不能由另一个变量唯一确定B ．回归系数可以是正的，也可以是负的C ．回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明变量x 与变量y 之间完全线性相关D ．相关样本系数r ∈(－1,1)2．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( )A ．出租车费与行使的里程B ．学习成绩与学生身高C ．身高与体重D ．铁的体积与质量3．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的回归直线方程为y ^＝50＋80x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案：1.D 2.C 3.B 课堂小结(给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法、例题、题目类型、解题规律等；然后用精炼的、准确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律)1．知识收获：进一步学习回归分析的基本思想以及求回归直线方程的步骤，正确认识随机误差e 的产生原因、了解线性回归模型与函数的不同之处．2．方法收获：线性回归方程的求法、用样本估计总体的统计思想．3．思维收获：体会模型诊断的思想，提高利用回归方法解决实际问题的能力，培养探索和创新的精神．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程． 补充练习 【基础练习】1．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1 图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．实验测得四组(x ，y)的值是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 对x 的回归直线方程是( )A.y ^ ＝x ＋1B.y ^ ＝x ＋2C.y ^ ＝2x ＋1D.y ^＝x －1 3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08 D.y ^＝0.08x ＋1.234．若已知∑i ＝1n(x i －x )2是∑i ＝1n(y i －y )2的2倍，∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )是∑i ＝1n(y i －y )2的1.2倍，则相关系数r ＝____________.答案：1.C 2.A 3.C 4.325【拓展练习】(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高． 解：(1)x ＝66.8，y＝67.01，∑i ＝110x 2i ＝44 794，∑i ＝110y 2i ＝44 941.93， x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34，∑i ＝110x i y i ＝44 842.4.所以r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2∑j ＝1n(y j －y )2≈0.980 2>0.75.所以y 与x 之间具有线性相关关系． (2)设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 计算得b ^≈0.464 5，a ^＝y －b ^ x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98. 故所求的线性回归方程为y ^＝0.464 5x ＋35.98.(3)当x ＝73时，y ^＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．设计说明本设计通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生在不断探索中体会发现与成功的快乐．本节课主要通过具体的实际例子，体会线性回归思想在处理实际问题中的应用，既是对必修3相关内容的延伸，更是对必修3相关内容的复习，通过解决具体实际案例，让学生掌握判断变量是否线性相关的方法和求线性回归方程的具体步骤．通过本节课的学习培养学生对数据的处理能力和应用数学解决实际问题的数学意识，同时在问题解决的过程中，让学生体会与他人合作的重要性．备课资料 1．在Excel 软件中做散点图的步骤如下：(1)进入Excel 软件操作界面，在A1，B1分别输入“身高”和“体重”，在A ，B 列输入相应的数据．(2)选中数据后点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY 散点图”，单击“下一步”．(3)在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加“系列1”，在“X 值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y 值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”．(4)进入“图表向导”中的“图表选项”对话框，对图表的一些属性进行设置． (5)单击“完成”按钮．(设计者：杨雪峰)。