浙江专用2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3.1导数的概念及运算

-4知识梳理 双击自测
1.平均变化率 ������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 2.导数的概念
f(x0 + ������x)-f(x0 ) Δ������ →0 ������x
-17-
考点一
考点二
对点训练(1)(2018重庆第三次诊断)设函数f(x)=sin x-cos x,f(x)的 导函数记为f'(x),若f'(x0)=2f(x0),则tan x0=( )
A.-1
B.
1 3
C.1
D.3
关闭
根据题意,得f'(x)=cos x+sin x,由f'(x0)=2f(x0),得cos x0+sin x0=2sin x02cos x0,化简可得sin x0=3cos x0,即tan x0=3,故选D. D
解析
关闭
-22答案
考点一
考点二
类型二 求切点坐标 【例3】 曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点 P的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
关闭
f'(x)=3x2-1,令f'(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验, 点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C. C
⑤y'=(22x+1)'+[ln(3x+5)]'
=(22 x+1 · ln 2)(2x+1)'+

专题3.1 导数概念及其几何意义一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e【答案】B 【解析】2．【2017洛阳二练】曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7【答案】C 【解析】 f ′(x )＝2x x ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2， 又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.3．[2017·河北质检]已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e【答案】C 【解析】依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得lnx 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.4．【2017海南文昌模拟】曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1【答案】A 【解析】依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1，故选A.5.【2017上饶模拟】若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3 【答案】B 【解析】6.若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】C 【解析】依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C. 7. 已知曲线2212-=x y上一点，3(1,)2P -，则过点P 的切线的倾斜角为（ ）A.30°B.45°C.135°D.165° 【答案】B【解析】()''y f x x ==，所以()'11f =.由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为θ，即tan 1θ=，因为0180θ≤<，所以45θ=.故B 正确. 8.【2017杭州质测】曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)和(－1，3)D.(1，－3) 【答案】C 【解析】f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.9.【2017石家庄调研】已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－eC.1eD.－1e【答案】C 【解析】10.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4【答案】B 【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.11. 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）A ．（0，0）B ．（2，4）C ．（，）D ．（，）【答案】D 【解析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1， ∴a=，在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D ．12.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A 【答案】C 【解析】当02x <<时，()0f x '<，函数在区间()0,2 上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数在区间()2,+∞ 上是增函数，所以当2x =时，函数在()0+∞，上有最小值，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.【2017广东惠州二调】已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________．【答案】2 【解析】试题分析：根据题意1'1y x a==+，求得1x a =-，从而求得切点为(1,0)a -，该点在切线上，从而求得011a =-+，即2a =.14．【2017湖北襄阳期中】若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线4y x =-的最小距离为_______.【答案】15.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．16.若曲线()2f x x -=在点()2,(0)a a a ->处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则a = ．【答案】2【解析】求导得32)(--='x x f ，所以在点),(2-a a 处的切线方程为)(232a x a a y --=---.令0x =得，;32-=a y 令0y =得，.23ax =，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积3233212=⨯⨯-a a ，43=a （舍去负值），2log 23=∴a .三、 解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数2()f x x ax =-的图像在点A(l,f(1))处的切线l 与直线x 十3y ＋2＝0垂直，若数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，求2014S 的值. 【答案】201420142015S =18.【2017长沙调研】已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围.【答案】(1)3x ＋3y －11＝0.(2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 19．【2017云南大理月考】设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 【答案】(1)f (x )＝x －3x.(2)证明见解析，定值为6.【解析】(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．20. 如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.【答案】(1)x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ).(2)e －e1－ne －1.【解析】(1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y ＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n).。

热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】[思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分 于是T ＝2π1＝2π.6分(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.8分∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2].13分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.14分[答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为： 第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·ba 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[对点训练1] (2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.6分(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).9分由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，11分 又k ∈Z ，知k ＝5，13分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.14分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.6分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.8分 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .12分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.14分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A ．2分 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.6分 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.14分 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A －cos A ＝－105，cos B ＝255. (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为2，求a 的值. 【导学号：51062132】 [解] (1)∵sin A －cos A ＝－105， ∴1－2sin A cos A ＝25，2分∴2sin A cos A ＝35，∴A 为锐角．∴sin A ＋cos A ＝1＋2sin A cos A ＝2105.3分 由⎩⎪⎨⎪⎧sin A －cos A ＝－105，sin A ＋cos A ＝2105，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝1010，cos A ＝31010.∵cos B ＝255，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55.则cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－22， 而0<C <π，∴C ＝3π4.8分(2)由正弦定理得b a ＝sin Bsin A＝2，则b ＝2a .由(1)得sin C ＝22， △ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×2a ×22＝12a 2＝2，∴a ＝2.14分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.8分 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.11分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.2分 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.6分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.9分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.12分因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14分 2．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值.【导学号：51062133】[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，4分 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，9分把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.14分 3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .6分所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，7分单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.9分 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分 4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋bc＝A ＋Ccos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求使△ABC 周长最大时a ，b 的值． [解] (1)∵2a ＋bc＝A ＋Ccos C ，∴2sin A ＋sin Bsin C＝A ＋Ccos C，∴2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0， ∴2sin A cos C ＋sin A ＝0，4分又sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.6分(2)∵3sin 2π3＝a sin A ＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ，10分∴△ABC 的周长＝3＋2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝3＋sin A ＋3cos A ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，∴当A ＝π6时，△ABC 的周长最大，此时a ＝b ＝1.14分。

浙江专用高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第一节函数及其表示教案含解析第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A．f(x)＝x2，g(x)＝x2B ．f (x )＝x 2x，g (x )＝x x2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：选B 选项A 中，f (x )＝x 2与g (x )＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{x |x ＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝(x －1)0的定义域为{x |x ≠1}；选项D 中，f (x )＝x 2－9x ＋3的定义域为{x |x ≠－3}，g (x )＝x －3的定义域为R.2．若函数y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个x 只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{x |－3≤x ≤8，x ≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________.解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，x＞0，x2＋x，x≤0，则f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f(x)＝2的解为________．解析：f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫12＝f⎝⎛⎭⎪⎫log212＝f(－1)＝0.当x＞0时，log2x＝2，得x＝4；当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)．所以f(x)＝2的解为－2或4.答案：0 －2或42．已知f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是( )A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x－12x≥0，x≠0，4－x2＞0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ， 则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2 B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2， 即f (x )＝x ＋1x ＋2. 2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________. 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2fx ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ＜1，3x－7，x ≥1，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当x ＜1时，f (x )＜2可化为log 2(1－x )＜2，即0＜1－x ＜4，解得－3＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＜2可化为3x－7＜2，即3x＜9，得1≤x ＜2.综上，不等式f (x )＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f a －1，f a ＜1，2f a，f a ≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧33a －1－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59. 答案：2 59[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f x ＋3，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当x ＜0时，f (x )＝f (x ＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－x －12＋1，x ＜0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图象可知，函数f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)． 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·萧山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12.∵x ＜0时，0＜e x＜1，x ＝0时，e x＝1，∴当f (x )≤0时，由方程f (f (x ))＝1，可得f (x )＝0， 即ln x ＝0，解得x ＝1.当f (x )＞0时，由方程f (f (x ))＝1， 可得ln f (x )＝1，f (x )＝e ， 即ln x ＝e ，解得x ＝e e. 答案：12{1，e e}二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3，∴3＜x ≤4或2＜x ＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C. 6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，则g (x )＝________.解析：∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2e x －9， ①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得g (x )＝e x－3.答案：e x－37．(2018·嘉兴高三测试)已知a为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x ＜2，log 2x －2，x ≥2，而2a＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，则a ＝________；若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x－a ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8.由y ＝x ＋1，x ≤0，得y ≤1； 由y ＝x ＋4x－a ，x ＞0，得y ≥4－a ，∵f (x )的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3. 答案：8 [3，＋∞)9．记[x ]为不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f (x )≤3的解集为________．解析：根据[x ]的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当x ≥1时，由f (x )＝2[x ]－1≤3， 得[x ]≤2，所以x ∈[1,3)； 当x ＜1时，由f (x )＝x 2＋1≤3，得－2≤x ＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a的值为－34，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m ＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。