有限单元法原理与应用(第三版)
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有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 4．整体分析和有限元方程求解 • 由已知的单元刚度矩阵和等效节点载荷列阵组装成整个结 构的整体刚度矩阵和载荷列阵，得到一个由总体刚度矩阵 [K]、总载荷向量{F}和整体节点位移向量{δ}表示的平衡方 程式：[K] {δ}＝{F}。引进位移边界条件后求解得到整体节 点位移向量。 • 有限元离散方程是一个代数方程组，代入边界条件处理以 后的刚度矩阵是一个正定的对称稀疏方阵，这样一个代数 方程组可以用高斯消元法、三角分解法、波前法和雅可比 迭代法等多种方法求解。
a) 四边形薄板单元 b) 三角形薄板单元 图3.5 薄板单元
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3.2.4 多面体单元 • 对于实体结构就要用三维多面体单元进行分析，如机 床工作台、机械基础件等等。常用的三维多面体单元 有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单 元有规则六面体和不规则六面体， 如图3.6 所示。为 了提高精度也有八节点四面体单元和二十节点六面体 单元。
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 在有限元分析中一般都采用多项式作为插值函数，多项式 的项数由所选取的单元和单元的节点数决定，如对于平面 三节点三角形单元有如下插值函数
3.1
• 式中的上标e 表示单元，而对 于图3.10 所示六节点三角形单 元则有如下插值函数
3.2
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3.2.3 薄板弯曲单元和薄板单元 • 板壳结构是工程上经常采用的一类结构形式，其特点是在 一个方向上的尺度远小于另外两个方向的，通过一定的弹 性力学假设，简化为特殊的二维结构，即便于解析方法求 解也给有限元分析带来了很大的方便。这类结构通常有压 力容器、舰船外壳，体育馆屋顶，建筑物楼板等等。 • 薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩 形单元为后者的特殊形式，通常三角形单元有三个节点， 四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的 弯矩。 • 如果挠度与板厚相比是小量时，板的中面应变可以忽略不 及，如图3.4 所示单元的每个节点有三个自由度，这样的 单元一般称为薄板弯曲单元。
有限单元法
ui 0,u j 1
•
u ( x) N j
Ni
—i点单位位移对内位移所做的贡献
性质：本质上与位移函数有相同的形式
性质1：本端为1，他端为0 性质2：任意一点的总和为1
k i , j
N
k
( x) N i ( x) N j ( x) 1
•
数学意义 若结构被自然结点离散化为有限元的集合，实现了结构模型的离 散化，而形状函数完成了数学模型的离散化，这两个离散化的步骤构 成了有限元法的理论基础。
① 平面桁架单元（只有一个沿轴向位移）
λ [l11 l12 ] cos
l11 l12 λ l21 l22 0 0 0 cos sin 0 1 0
sin
sin cos 0 0 0 1
② 平面自由式单元（轴向位移、横向位移及转角）
1 l Q Fp , 2 8 ,
e
1 l , 2 8
T
T
xi Qe M x ( 1 ) l
e
xi l
T
1 Q M x 2
e
2 2 6 xi 6 xi 2 xi 3 xi 3 , 2 l2 l l l
Qe mz
0 mz
0
T
6x 6x N v 2 3 l l
2
, 1
4 x 3x 2 2 , l l
6x 6x2 2 x 3x 2 , 2 l2 l3 l l
E-mail: wh@
LOGO
集中载荷
Q
e
N x
E-mail: wh@
LOGO
第二章 杆件结构有限元分析
•
u ( x) N j
Ni
—i点单位位移对内位移所做的贡献
性质：本质上与位移函数有相同的形式
性质1：本端为1，他端为0 性质2：任意一点的总和为1
k i , j
N
k
( x) N i ( x) N j ( x) 1
•
数学意义 若结构被自然结点离散化为有限元的集合，实现了结构模型的离 散化，而形状函数完成了数学模型的离散化，这两个离散化的步骤构 成了有限元法的理论基础。
① 平面桁架单元（只有一个沿轴向位移）
λ [l11 l12 ] cos
l11 l12 λ l21 l22 0 0 0 cos sin 0 1 0
sin
sin cos 0 0 0 1
② 平面自由式单元（轴向位移、横向位移及转角）
1 l Q Fp , 2 8 ,
e
1 l , 2 8
T
T
xi Qe M x ( 1 ) l
e
xi l
T
1 Q M x 2
e
2 2 6 xi 6 xi 2 xi 3 xi 3 , 2 l2 l l l
Qe mz
0 mz
0
T
6x 6x N v 2 3 l l
2
, 1
4 x 3x 2 2 , l l
6x 6x2 2 x 3x 2 , 2 l2 l3 l l
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集中载荷
Q
e
N x
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第二章 杆件结构有限元分析
“有限元法原理及应用”讲义-2012
二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功 为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势 能定义为 0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功” 。 如何对系统总势能进一步理解？ 系统总势能用符号 p 表示， 它是系统位移的泛函， 对于系统每一个 “可能位移” （场） ， 系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。 “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。 举例：对于一个图 1-1 所示，一端受集中力 P，具有刚度 k 的单自由度线性弹簧。
d p kDeq dD PdD 0
2
所以： Deq
P k
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式 如果决定一个系统的构形需要 n 个独立的量， 那么这个系统就具有 n 个自由度， 称为广 义坐标。 对于有限自由度（离散系统）问题，势能 p 是广义坐标的函数。广义坐标记为 Di 。 势能表达式为： p p ( D1 , D2, ..., Dn ) 它的全微分为：
位移是可能的待定参数必须满足一定约束关系因此该问题的独立参量广义坐标只里兹解往往是过刚的除非假定场包含了精确由于前面两点经典里兹法在解决实际问题时尤其是几何形状复杂的二三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子研究基于里兹法考虑图21a所示的结构长度改为3l把杆分为三个部分
“有限元法原理及应用”讲义
对于图 1-3 所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
p
1 1 1 2 k 1 D1 k 2 ( D 2 D1 ) 2 k 3 ( D 3 D 2 ) 2 P1 D1 P2 D 2 P3 D 3 2 2 2
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限单元法原理与应用
m
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
有限单元法
F2
x
1
2
e T
EP 0 eT e EP B T EAl B l e eT (F q( x)N dx) 0 0
单元是平衡的
eT T eT l e 0
eT T
k B
其中
EAl B
1 / l EAl 1 / l 1 / l 1/ l EA 1 1 l 1 1 --局部坐标系下的单元刚度矩阵
有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 2 离散化： 3 4 1 水坝 5 6
单元分析：
整体分析： 求应力：
§1 杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
§1.1 泛函与变分
y* ( x) y( x) y( x)
称 y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。
y 2 ( x) 2 y( x)y( x)
微分与变分运算次序可以交换。 d dy (y ) ( ) dx dx 积分与变分运算次序也可以交换。
杆中任一点应变
三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
du dx d N e dx dN2 e dN 1 dx dx
E
EB
e
杆中任一截面的轴力
N A
B
B2
e
EAB
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
近十多年来，FEM的研究热点集中体现在两个方面: 超收敛应力 计算和有限元模型修正技术。
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元分析与应用 第3讲、杆梁问题的有限单元法
计算简图:
在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)
确定计算简图的原则： 简化内容:
1.能反映实际结构的主要力学特性; 2.分析计算尽可能简便 杆件 杆件的轴线 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点) 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座) 空间结构 平面结构 集中力、集中力偶、分布荷载
6 EI y l
2
单元刚度矩阵第三列的其他元素为0。
⑷ xi 1 ，其他结点位移为0（图3-5），生成第四列 元素。
图3-5
为杆件的扭转基本变形情况，由材料力学公式有
k 4, 4 GJ M xi l k10, 4 GJ M xj l
单元刚度矩阵第四列的其他元素为0。
⑸ yi 1 ，其他结点位移为0（图3-6），生成第五列 元素。
j结点各自由度分别出现单位位移而生成的单元刚度矩阵元素 的分析类似，最后得至空间梁单元的单元刚度矩阵为
EA l 0 0 0 0 0 EA l 0 0 0 0 0 12EI z l3 0 0 0 6 EI z l2 0 12EI z l3 0 0 0 6 EI z l2 12EI y l3 0 6 EI y l2 0 0 0 12EI y l3 0 6 EI y l2 0 GJ l 0 0 0 0 0 GJ l 0 0 4 EI y l 0 0 0 6 EI y l2 0 2 EI y l 0 4 EI z l 0 6 EI z l2 0 0 0 2 EI z l EA l 0 0 0 0 0 12EI z l3 0 0 0 6 EI 2z l 12EI y l3 0 6 EI y l2 0 GJ l 0 0 4 EI y l 0 称 对
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。
它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。
首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。
这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。
然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。
最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。
在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。
在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。
在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。
在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。
此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。
通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。
这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。
总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。
随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。
以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。
有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。
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122123
60
组建
周年60组建
周年
主要完成人：朱伯芳
受奖单位：水电中心/结构材料所
【创新性】
全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用，包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。
本书取材实用、由浅入深、先易后难，便于自学；对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式，便于应用；对有限元法的工程应用，注意工程的物理特性，要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际，注重计算方法精度的适应性等，并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。
【影响力】
我国最早的有限元专著之一，为在我国推广有限元法发挥了重要作用；本书共出版三版，第一版于1976年8月，第二版于1998年10月，第三版于2009
年6月；曾作为多所高校的有限元课程教材使
用；英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版；中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》（2011版）中，本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。
有限单元法原理与应用（第三版）
著作类成果
【Innovation】
This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data.
【Influence】
Amongst the earliest finite element books in China, this
book plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. This
book ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC)
Main Contributor : Zhu Bofang
Award-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and Materials
THE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)。