有限单元法原理与应用(第三版)

有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。

它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。

本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。

有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。

这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。

有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。

有限单元法在工程领域有着广泛的应用。

在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。

在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。

在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。

有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。

在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。

在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。

在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。

总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。

通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。

希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。

有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。

它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。

本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。

首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。

这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。

然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。

最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。

在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。

在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。

在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。

在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。

此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。

通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。

这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。

总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。

它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。

随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。

以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。

有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。

有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。

它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。

有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。

在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。

根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。

最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。

有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。

它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。

通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。

2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。

通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。

3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。

通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。

4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。

通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。

5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。

通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。

总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。

第3章有限单元法在工程技术领域内，工程师常常运用数学和力学的知识将实际问题抽象成它们应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。

对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂的，除了方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题之外，试图按经典的弹性力学和塑性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。

为了克服这种困难，有两条解决途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态下的解答。

这种方法只在有限的情况下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的答案。

另一条解决途径就是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限单元法和离散元法等。

对于非线性问题，有限单元法更为有效，且已经出现了许多通用程序。

有限单元法的主要优点是：①建立于严格理论基础上的可靠性。

因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上已被证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。

只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，如果单元满足收敛准则，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解；②适应性强，应用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题；③适合计算机实现的高效性。

由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。

已经出现了许多大型结构分析通用程序，如：NASTRAN、ASKA、ADINA、ANSYS、ABAQUS等，可以直接应用。

这些优点使有限单元法得到了广泛的应用和发展。

3.1有限单元法分析的基本步骤在工程或物理问题的数学模型（基本变量、基本方程、求解域和边界条件等）确定以后，有限单元法作为对其进行分析的数值计算方法的基本步骤如下：(1) 离散化一个复杂的弹性体可以看成是由无限个质点组成的连续体，它具有无限个自由度。

1.13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程？方程有何特点？解的收敛性和极值性的条件是什么? 建立系统总位能，1()()()()2P ij i i ijkl ij kl i i iV S V S U u dV u dS D fu dV Tu dS σσεφψεε⎡⎤∏=++=--⎣⎦⎰⎰⎰⎰真实位移使系统总位能取最小值，0P δ∏=0ia ∂∏=∂,其中i a 为位置参数。

方程系数对称正定。

解的收敛性和极值性的条件：一阶变分为0，二阶变分大于0。

1.14.什么是最小余能原理?它是如何导出的?场函数是什么? 它事先应满足什么条件? 对场函数的试探函数有什么要求? 最小余能原理：在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能应力中，真实的应力使系统的总余能取驻值。

推导过程：由几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式，即虚应力原理，0ui ij iji VsdV T u dS δσεδ-=⎰⎰ij ijkl kl C εσ=代入得0ui ij ijkl kl i V s C dV T u dS δσσδ-=⎰⎰1()()2ij ijkl kl ijkl ij kl mn C C V δσσδσσδσ==0c δ∴∏=其中12ui c ijkl ij kl i V S C dV T u dS σσ∏=-⎰⎰由泛函知场函数为应力。

事先满足应力边界条件。

场函数的试探函数的要求：完备性和协调性。

练习题1.3某问题的微分方程是22220c Q x xφφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内边界条件是=φφ（在1Γ上）q nφ∂=∂（在2Γ上）其中c 和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。

解：由x y n n n x yφφφ∂∂∂=+∂∂∂（x n ，y n 为边界外法线的方向余弦）有： 222222222222()()()()()(x y x x y y x x vL d v d x y v v v n d d v n d d x x x y y y v vv n d n d d x x x v vv n d n d d y y yv d v n n v x y x x φφφφφφφφφφφφφφφφφφφΩΩΓΩΓΩΓΓΩΓΓΩΩ∂∂Ω=+Ω∂∂∂∂∂∂∂∂=Γ-Ω+Γ-Ω∂∂∂∂∂∂∂∂∂=Γ-Γ-Ω∂∂∂∂∂∂+Γ-Γ-Ω∂∂∂∂∂∂∂∂=+Ω+-+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)()..(,)y y v n n d y y L v d b t v φφφΓΩ∂-Γ∂∂=Ω+⎰⎰假设φ已事先满足1Γ强制边界条件，则问题的迦辽金提法如下：22222()()0c Q d q d x y n φφφδφφδφΩΓ∂∂∂+++Ω--Γ=∂∂∂⎰⎰由上述有2221()2x d n d d x x x φφφδφδφδΩΓΩ∂∂∂Ω=Γ-Ω∂∂∂⎰⎰⎰2221()2y d n d d yyyφφφδφδφδΩΓΩ∂∂∂Ω=Γ-Ω∂∂∂⎰⎰⎰带入化简得：()0δφ∏=，其中222111()()()222c Q d q d x y φφφφφφΩΓ⎡⎤∂∂∏=+--Ω-Γ⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰1.4在习题1.3给出的微分方程中，如令c=0，Q=2，并令在全部边界上0φ=，则表示求解杆件自由扭转的应力函数问题，截面的扭矩=2T dxdy φ⎰⎰。