高考“五味”——感受江苏数学新高考江苏省常州高级中学

2019年江苏高考满分作文五味提纲适用地区：江苏全省题目要求：根据以下材料，选择一个角度，拟一个题目，写一篇不少于800字的文章；除了诗歌，你可以选择自己的风格。

万物皆有其性，水淡，盐好。

水还是水，盐还是盐。

甜、酸、辣、咸，五味和谐，相互共存，多种口味。

所以，事情还是一样，人也是一样。

看着这个话题，突然想到澡堂，各种各样的人脱光衣服进池子，明知自己是裸体的。

蒸池众生平等，共存共生。

擦完热毛巾，他们在沙发上休息，街上各种意见。

虽然起床后，我可能穿着漂亮的衣服，也可能穿着寒酸的衣服，各有各的生活，但此刻却是在同一个屋檐下，酸的，甜的，苦的，咸的，好吃的。

随便说说味道。

冬天洗澡的大老板手腕上戴着一块金表，沉甸甸的，褪下交给服务员。

他暂时把它放在服务员的手腕上，把抽屉或盒子放在里面。

这不安全。

如果服务员戴上，几十万的手表也不会飞走。

跑步者对戴金表的成功人士也有一丝酸溜溜的嫉妒，现在他们很享受这种嫉妒。

在戴表的短暂时间里，服务员也是精神抖擞，神清气爽。

虽然半小时后物归原主，但此刻手表是服务员的手表，服务员是戴金表的服务员。

提着茶瓶给客人添茶，金表一路闪烁。

不时抬起手腕看看时间。

最默契的应该是有人问几点。

他看起来理直气壮，盯着看了一会儿，稍微犹豫了一下，告诉你几点了，你根本不会被允许犹豫。

这酸和甜虽短暂，却也一晌贪欢。

跑步是苦日子，擦毛巾，添茶倒水，靠茶钱维持生计。

许多老人爱洗澡，这驱散了他们的睡意。

但是，他们应付不了每天交浴票，自己带茶。

大厅巨大的入口一波三折，一个每一分钱都要花的老洗澡者，自然让跑步很头疼。

总是吵架，满满的辣味。

有一个老人直到打烊才起床，他似乎知道自己错了。

他不用跑毛巾把子擦，独自躺在角落里，甚至拿个大苹果啃。

他知道持久战的魔力。

拐弯抹角或唱反调，老人都不为所动。

当他到了可以为所欲为的年龄时，他似乎充耳不闻。

有好几个老人都是这样洗轻澡的。

人情世故不是对火视而不见，而是他们舍不得钱或者有其他困难。

从试题讲评中体会数学之美1刘丽嫔江苏省常州高级中学 213003数学习题课是高三数学教学的常态课型，几乎贯穿了高三教学的始终．有不少高三教师通过大量的习题讲解和训练来上习题课，往往老师教得累，学生也学得累，而且学生会感觉到枯燥无味，学习效果大打折扣．如果教师能够精选典型的例题，深入剖析，把其中可能的转化方向、蕴含数学思想方法讲透彻，可能会起到以一当十的效果．如果更进一步，教师能引导学生通过师生、生生之间的交流，让学生在不同的转化方向中，进一步体会其中的数学之美，这在很大程度上会增强学生的数学审美能力，促进学生的情感体验，增强学生的学习兴趣．数学的美，只要教师在习题课的教学中留心挖掘，往往俯拾皆是．而数学的美，尤以数学的简洁之美为主．正如爱因斯坦曾指出：“美在本质上终究是简单性”．笔者以下面的习题为例，先让学生经过深入思考、充分交流、适时展示，教师再归纳总结，让学生学习方法的同时也感受到数学之美（注：下面的几种解法都是来自于学生）．题目：设函数2()|21|f x x x =+-，若1a b <<-，且()()f a f b =，则ab a b ++的取值范围为__________.分析角度1：所求的ab a b ++的取值范围中，a b 、两个量都是变量，考虑起来比较难，尝试转化为一个变量更简单．若令()()=f a f b t =，用t 同时表示,a b ，最终转化成求关于t 的函数的值域问题．解法1： 设()()=f a f b t =，由图可知，()0,2t ∈．由()=f a t ，221a a t +-=，则2210a a t +--=，所以1a =-注意到1a <-，则1a =-由()=f b t 得，221b b t --+=，1b =- 注意到1b <-，则1b =-. 因此 1本文是常州市教育科学“十三五”立项课题《基于苏教版高中数学教材的数学审美教学的实践研究》（编号：CJK —L2018056）的阶段性成果.图11ab a b ++，又()0,2t ∈，则()1,1ab a b ++∈-．点评1：本解法的关键步骤是结合函数图象利用变量t 的无理表达式分别表示了a b 、，同时给出了自变量t 的取值范围，转化成求关于t 的函数值域问题. 把两个有关联的变量,a b 的表达式转化成关于一个变量t 的函数，体现了“减元”的思想，而这种思想源自于对方程思想的熟练运用．而“减元”的思想正是体现了数学的简洁美，即化陌生为熟悉的同时也化复杂为简单．分析角度2：由()()f a f b =，可得()2222a b a b +++=，得2212a b a b ++=-，代入ab a b ++中，()222=+1-122b a a b ab a b ab -+++=-，结合图象可得b a -的范围． 解法2：由()()f a f b =，得222121a a b b +-=--+，且31a b -<<<-，则()2222a b a b +++=， 得2212a b a b ++=-， 所以()222=+1-122b a a b ab a b ab -+++=-， 因为31a b -<<<-，所以02b a <-<， 因为()()21-1-12b a --∈，． 所以()1,1ab a b ++∈-.点评2：以上是学生2的分析和解答，解答过程中数学语言简洁精炼．对于条件“函数2()|21|f x x x =+-，若1a b <<-，()()f a f b =”，学生从代数角度把条件简单化，得到()2222a b a b +++=，再发现它与ab a b ++中都包含a b +，然后把a b +消去，就可以将ab a b ++转化为b a -的表达式．这种解法实质上就是把求含双变量的问题转化为求整体元“b a -”的表达式的范围．这种解法的 “整体元”思想也正体现了数学的简洁之美，表明学生能从宏观上去把握问题的实质，即回到函数的思想解决问题，具体为视“整体元”为自变量，求关于“整体元”的函数的值域问题．图2分析角度3：需要求a b a b ++的取值范围，又由()()f a f b =，可得()2222a b a b +++= ，观察上式是关于a b 、的二元二次方程，且22a b 、系数之比是1:1，因此可以把上式配成圆的方程，再利用三角换元，把a b 、都用θ表示，就可以把ab a b ++用θ表示，转化成三角问题解决．解法3：由()()f a f b =，得222121a a b b +-=--+，即()()22114a b +++=．令2cos 1a θ=-，2sin 1b θ=-，其中[)0,2θπ∈．注意到1a b <<-，则sin 0cos sin θθθ<⎧⎨<⎩，即54πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 因此，ab a b ++()()=2cos 12sin 12cos 12sin 1θθθθ--+-+-2sin 21θ=-. 因为5222πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以()sin 20,1θ∈．因此，()1,1ab a b ++∈-． 点评3： 这种解法体现出对数学问题的两次转化，把代数问题转化成几何问题，再把几何问题转化成三角问题，最后也实现了与解法1类似的“减元”，这种“减元”思想的获得基于学生对数学对象之间相互联系的熟练把握. 学生能从代数的方程()2222a b a b +++=联想到圆的方程，再利用圆的参数方程转化成三角函数问题，最终还是运用函数的思想，转化成求一个三角函数的值域. 这种解法蕴含的“减元”思想也体现了数学的简洁之美，但这种“减元”的转化方式不同于解法1，需要学生有很强的观察力，也需要学生能在数学对象之间灵活地进行转化．另外，这种转化也同时体现出了数学对象的统一之美，例如本解法中将方程对应到圆，圆上的点对应于三角坐标等等．分析角度4：学生3的解法3很好，可以用线性代换的方法把圆的方程变得更为简单，即圆心在原点处的圆的方程，具体如下列解法．解法4：由()()f a f b =，得222121a a b b +-=--+，且31a b -<<<-．则()2222a b a b +++=，即()()22114a b +++=， 令1,1a m b n +=+=，则224m n +=，且-20m n <<<． 图3设2cos ,2sin m n θθ==，则54θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．因此，()()=11114sin cos 12sin21ab a b a b mn θθθ++++-=-=-=-. 又5222πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()2sin21-1,1ab a b θ++=-∈．点评4：解法4本质上与解法3相同，只不过是利用了线性代换，把圆的方程变为更加简单，从而目标式也更为简单.这需要学生有很强的求简意识，能运用代换思想解决问题.数学的习题讲评中不需要一味追求讲评的量，而要对有价值的问题深度研究，从少量的试题讲评中，讲透讲到位．讲评过程中要以学生为主体、尊重学生，充分调动学生的积极性，以学生对题目的真实感受为出发点，让学生从解题过程中体会到探索数学的乐趣，让学生在讲评过程中畅所欲言，碰撞思维的火花．让学生自身体会到数学的简单美，沉浸在创造数学美的愉悦中．数学的美抽象、严谨、含蓄，教师需要在讲评过程中引导学生挖掘解法中的各种美学因素，并因势利导，进一步促进学生思维深化，培养学生感受数学美，鉴赏数学美，创造数学美的能力！张奠宙教授曾说过，数学美，乃是探究之美，这对于学习数学的人来说都是深有感触的，一道数学问题的探究、交流、讨论，各抒己见，在迷茫中豁然开朗，就是数学的直观魅力所在1！本文从一道题的不同的解法可以看出，从怎样的切入点去思考问题，转化问题，解决问题，会形成不同的解决方案，从这些方案中的比较中，引导学生体验数学的简洁之美，这种简洁之美正如张奠宙教授所说，它源于探究，源于师生之间、生生之间的思维的碰撞！ 数学教师在数学教学中充分挖掘数学的美育教育，不仅能让学生得到美的享受，还可以逐步培养学生的审美情趣，唤起学生对美的追求2．1 张朗明 由“数学之美”引发的对数学课堂教学的思考 《基础教育论坛》2016.012 石冬菊 试论如何在数学教学中培养学生的美感 《艺术教学》2016年5月第16期。

2019年江苏高考满分作文五味翻看2019年江苏高考满分作文，让我感触颇深。

有的时候，有些人总会给你一个无言的鼓励，那份温暖就像一颗蜜糖，只需品尝一口便会觉得甜到心里；而有的时候，有些事情也是如此，即使做错了，别人给予的也许是批评、教导甚至是指责，但它却能够成为我们前进路上的动力，支持我们走下去，正所谓忠言逆耳利于行！回想昨日的书山题海，我不禁打了一个寒颤。

学习和比赛，仿佛两条平行线，终究没有交集。

我曾经以为生命中最重要的东西就是学习，但当我踏入社会，接触这个五彩缤纷的大千世界时，才发现自己太过天真。

父母都说我不务正业，他们都没有支持我去完成自己的梦想，每次问到，他们都会敷衍过去，而我却仍然固执地在奔跑着，希望着……好多时候，我都想放弃，想要把自己关在一个小屋子里，每天在父母的催促声中勉强度日。

然而，当我走出房间后，才发现生活处处充满着美好，处处都有温暖。

对面楼道中，我常常看见奶奶笑呵呵地向我走来，伸出干枯的手，为我递上一杯热水；偶尔下雨天，奶奶撑着伞迎在门口，雨点落在她的肩膀上，为我挡风遮雨。

这种平淡的生活，似乎是在嘲讽我的无能，但我不得不承认，在我意志消沉时，只有奶奶还在陪伴着我。

不禁忆起母亲的一句话：考得不好，不要紧，只要知错能改，父母就一定会支持你。

这句话虽然很朴实，但却令我终身难忘。

有时候，母亲的严厉也并非是坏事。

比如她曾经在我偷偷吃零食后用她的方式阻止我，只是因为怕我长胖。

听完这句话，顿时觉得心中的委屈和怒火全都烟消云散了。

母亲曾对我说：“真正的努力，是拼尽全力之后的不辜负自己。

”回想起过往的一幕幕，或许是我之前做的不够好，因此导致她失望，但我明白，她是爱我的。

即使我曾犯了错误，也是值得被原谅的，因为我们都是这个世界的匆匆过客，时间从不会停留，错了就得改，对了就要赞，可即使这样，也要记住尊重。

曾经的我只顾埋头奋斗，其余的一概不管。

而现在我明白了，错了可以及时修正，对了要懂得赞赏，父母也都是这样的。

“民以食为天”。

食物是人类生存的根本，美味的食物则是人类基于美好生活的一种更高追求。

人们也经常将与食物、烹饪与其他事物进行关联，“治大国如烹小鲜”“人生百味”皆是如此。

食材、烹饪方式、香辛料、制作的时间，一切的一切都会影响我们最后品尝时的感觉。

而每个人对于相同的食物也会有不同的评判，正如经历相同的事却会做出不同选择的我们。

对于食物的偏好，味觉的偏好也可能正巧说明我们是个怎样的人。

酸甜苦辣咸这是五种常见的味道，最受欢迎的是哪一种呢？认为酸是最受欢迎的人恐怕不多，但你不得不承认在吃面食、饺子等等的时候你不会拒绝来点山西陈醋，我觉得这与那些直率行动力强的人十分类似，不过更多的人会通过这个味道想起领自己难过的事情。

苦可能是最不受欢迎的一个，但带着苦味的食材通常是清热去火，带有对人体有益的一些物质，正如一些不善与人相处的学霸们，至于平时大部分人会将困难当做苦的一种。

咸味算是一种基础，没人讨厌没人喜欢的类型，它的存在往往被人忽视却最为重要，是人群中的大多数，“咸”与“闲”音同，象征生活中的平淡甚至有着无聊的情绪。

甜和辣的人气应该很高，就像我们大多也会喜欢圆滑会说话还有活泼外向的人，很多情况下代表着快乐和刺激的事情。

每个人喜好的口味是不同的，交际圈是不同的，对事物的感知是不同的，但总是会存在着着微妙的平衡。

除了咸以外的味道几乎是无法完全独立存在的，就像去掉了人群中不起眼的大多数人剩下的也无法组成所谓的社会，没有平淡的衬托也就失去了那些衡量的标准。

食材之所以最终能够变成怎样的食物，正如人能够变成怎样的人一样，离不开时间、花费的心思，还有它的调味。

调味这里可以看做是一种态度、对自我情绪的调节。

味道与人生一样，没有唯一的答案和评判标准。

一把黄豆，你可以选择发酵成酱油，黄豆酱；也可以做成豆浆、豆腐、素肉；还可以简单粗暴的过油炸熟加上盐和辣椒一样美味。

豆制品能做什么菜我就不写了吧？光豆腐就有若干做法。

同样，假设你是个出生贫苦的人吧，你可以从小帮父母干活勤工俭学，也可以愤世嫉俗抱怨上天不公，还可以选择歪门邪道偷鸡摸狗，当然你也可以选择博取他人同情靠人接济生活。

江苏省常州市高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里2．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．–1D ．13．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(12)eB ．(0,2eC ．(11,1)e+D ．1,12()e+ 4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．25．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ） A ．18- B ．18C ．2-D ．26．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．7．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2C D8．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3-B ．2C ．3D ．2-9．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）A ．52B ．322C ．3D ．210．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13-B ．13C ．12-D ．1211．二项式22()nx x+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．36012．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022江苏数学高考教学体会与感悟
2022年江苏高考数学是一个令人兴奋且又有挑战性的学科，其重点
针对普通高中毕业生学习思想方法和数学知识应用技能，加强对现代
社会认识、分析、解决现实问题能力的培养。

首先，要牢固掌握数学基础知识，扎实学习课本知识。

在数学的学习中，老师的讲解与认真练习是相辅相成的。

不仅在老师讲解的基础上，还要多多联系、多多思考，从中培养解题思路，例如将归纳抽象思维
方法应用到数学模型解题中。

其次，要在合理计时前提下，针对历年高考数学试题，积累解题过程。

做题要分类清楚，聚类练习，例如聚焦考点、有难度的题等，力求熟
练运用解题方法，甚至自主创造新的解题方法，不断熟能生巧，以期
锻炼自身的技能。

最后，要注重教学有序进行。

根据江苏高考的时间表，做好严格的科
学规划，注重遵循学生的学习节奏，要在融会贯通中进行，不断突出
重点。

学习基础知识时，尽量分块学习，回顾知识学习；在深入练习中，要注重合理计时训练，掌握正确的解题技巧和方法，最终取得良
好的成绩。

总之，2022年江苏的高考数学需要学生充分认真细致，通过理论联系
实际、融会贯通来学习，不断练习，熟能生巧，去迎接未来考试挑战。

江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测数学试卷 2023.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．1BC ．2D ． 2．已知全集U =R ，集合{||1|1}Ax x =−<，{|1B x x =<或4}x ≥，则() U A B = （▲） A ．{|12}x x <<B ．{|04}x x <<C ．{|12}x x <≤D ． {|04}x x <≤3．在空间直角坐标系O xyz −中，已知异面直线1l ，2l 的方向向量分别为(1,1,2)=−−a ，(1,1,2)=b ，则1l ，2l 所成角的余弦值为（▲）A ．23B C ．23−D ．A ．2a <−B ．2a −≤C ．62a −<<−D ．62a −−≤≤5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（▲）A ．若⊥m n ，//αn ，则α⊥mB ．若//βm ，βα⊥，则α⊥mC ．若⊥m n ，β⊥n ，βα⊥，则α⊥mD ．若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m6．设0a >，已知2()n ax x+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则2221(2)ax x++中2x 的系数为（▲） A ．0 B ．2C ．4D ． 87．已知在直角三角形ABC 中，1CA CB ==，以斜边AB 的中点O 为圆心，AB 为直径，在点C 的另一侧作半圆弧AB ，M 为半圆弧上的动点，则CA CM ⋅的取值范围为（▲）A ．B ．[]0,1C ．30,2D ．8．将一个半径为6的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（▲）A1B．1) C．1)− D．1)−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知一组样本数据1x ，2x ， ，n x 为不全相等的n 个正数，其中4n ≥，若由211,2),,(kk y x k n =−=⋅⋅⋅生成一组新的数据1y ，2y ， ，n y ，则这组新数据与原数据的（▲）可能相等． A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差10． 若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（▲）A ．14ab ≤B ．114a b+≥ CD ．2212a b +≥12．已知函数及其导函数的定义域均为R ，若函数，1(2)2y x f x =−+都为偶函数，令()()g x f x ′=，则下列结论正确的有（▲）A ．()f x 的图象关于1x =对称B ．()g x 的图象关于点1(2,)2对称 C ．(1)1g = D ．1001()2475k g k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数31log ,0,()1,0,3x x x f x x −>= ≤则函数()(())1h x f f x =−的所有零点构成的集合为 ▲ ．14．某校在新学期开设了“遇见GGB ”，“数学与生活”，“微积分初步”，“无限的世界”和“数学阅读与写作”5门数学类校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明一定选报“遇见GGB ”课程，则两位同学不同的选课方案有 ▲ 种.（用数字作答）15．设随机变量~(,)X B n p ，记(1)k kn k k n p C p p −=−，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅.在研究k p 的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若(1)n p +为正整数，当(1)kn p =+时，1k k p p −=，此时这两项概率均为最大值；若(1)n p +不为正整数，则当且仅当k 取(1)n p +的整数部分时，k p 取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 ▲ 的概率最大． 16．在平面直角坐标系xOy 中，若过点P 且同时与曲线e x y =，曲线2ln y x =+都相切的直线有两条，则点P 的坐标为 ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） 已知函数2()log (4)x f x x a =−+（a ∈R 且0a ≥）．20．（本题满分12分）已知函数2()ln (21)f x ax x a x =−+−，其中a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，若不等式e()02f x +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分12分）某校为了增强学生的安全意识，组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开22．（本题满分12分）江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测数学试卷答案与评分标准 2023.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8． D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．BC 10． ABD 11．ACD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．{0,27} 14．36 15．17 16．1e (,e 1e 1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()0f x f x 对定义域内每一个元素x 恒成立．即22o ()()log (4)l g (4)x x a x a x f x f x222log [(4)(4)]log [1(44)]0x x x x a a a a ，则21(44)1x x a a ，即440x x a a ． ……………………4分又因为0a ≥，所以440x x a ，故0a ． ……………………5分（2）因为 22log 4x x f x a ，所以2222()log log 414x x x xf x a a ． 由214()()log 14x x a f x f x a ≤，得到14024xx a a≤， ……………………6分又0a ≥，故只需要14242x x a a ≤，即(42)241x x a ≤对任意1(,1]2x 恒成立．因为1(,1]2x ，所以420x ，故243242412x x xa ≤对任意的1(,1]2x 恒成立． ……………………8分因为3242x y在1(,1]2为减函数，所以min 232427x，故72a ≤． 综上所述，072a ≤≤． ……………………10分 18．解：（1）在ABC △中，60A ，2AB ，4AC ，(01)AE AC，222BE AE ABAC AB222221684AC AC AB AB ． ……………………3分因为01 ，所以当14时，则2BE取最小值3， 当1 时，则2BE取最大值12，则223||12BE BE ≤，因此||BE 的取值范围为； …………………6分（2）因为()||||AB ACAD AB AC且2AB ，4AC ，所以42AD AB AC ． 又AE AC，所以24AD AB AE． 因为B ，E ，D 三点共线，所以124，即11124 ． …………………9分因此，111134222≥，当且仅当14 即12时等号成立， 故1的最小值为32． …………………12分 19．解：（1）由题设，BCD △为等边三角形，则AB =2BD =4， 又四边形ABCD 为梯形，AB //DC ，则60ABD ， 在ABD △中，4,2AB BD ，所以2222cos AD AB BD AB BD ABD ，即22242242cos6012AD ，则AD ， …………………1分 所以222AD BD AB ，即AD ⊥BD ， …………………2分 面PBD ⊥面ABCD ，面PBD ∩面ABCD =BD ，AD 面ABCD ，则AD ⊥面PBD ，又PB 面PBD ，故PB ⊥AD ． …………………4分 （2）若O 为BD 中点，PB =PD ，则PO ⊥BD ，面PBD ⊥面ABCD ，面PBD ∩面ABCD =BD ，PO 面PBD ，则PO ⊥面ABCD ， 连接OC ，则OC ⊥BD ，且OC 面ABCD ，故PO OC ，综上，PO ，BD ，OC 两两垂直，以O 为原点，,,OB OC OP为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系． …………………6分所以 1,A ， 1,0,0B，C ， 1,0,0D ，由三棱锥P BCD13BCD S OP ，即112232 3OP ． …………………7分 则 0,0,3P，则0,3F，所以1,3BF， 2,0,0DB，BC ， 1,0,3BP，若 ,,m x y z是面BDF 的一个法向量，则20320m BF x y z mDB x，取6y，则z0,6,m ．…………9分 若 111,,n x y z是面PBC 的一个法向量，则1111300n BP x z n BC x ，取11z，则113,x yn ，…………11分所以5cos ,13m n m n m n， 则锐二面角D BF C 的余弦值为513. …………………12分20．解：（1）因为2()ln (21)f x ax x a x ，0x ，所以1(21)(1)()221ax x f x ax a x x． ……………………2分 当0a ≤时，()0f x 恒成立，则()f x 在(0,) 上单调递减； …………………3分 当0a 时，由()0f x ，得102x a ，由()0f x ，得12x a， 则()f x 在1(0,2a 上单调递减，在1(,)2a上单调递增， 综上，当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,) ，无单调增区间； 当0a 时，()f x 的单调减区间为1(0,)2a ，单调增区间为1(,)2a． ………… 5分 （2）当0a 时，由（1）可知()f x 在1(0,)2a 上单调递减，在1(,)2a上单调递增， 故()f x 的最小值为211111(()ln (21)ln(2)122224f a a a a a a a a．……6分 因为不等式e ()02f x ≥对(0,)x 恒成立，所以1eln(2)1042a a ≥． ……8分设1e ()ln 122g x x x，则211()02g x x x恒成立，故()g x 在(0,) 上单调递增． 因为1(0e g ，所以1e ln(2)1042a a≥即1(2)()e g a g ≥，故12e a ≥，即12ea ≥． 综上，a 的取值范围是1[,)2e． ……………………12分 21．解：（1）学生甲前三次答题得分之和为4分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率，设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件A ，所以123222()C (1)339P A . ……………………2分（2）（i ）学生甲第1次答题得2分、1分的概率分别为21,33， 所以 112125333E X . ……………………3分甲第2次答题得4分、2分、1分的概率分别为22121,,33333，所以 22212123333339421E X . ……………………4分甲第3次答题得8分、4分、2分、1分的概率分别为22222233333311,331,,3 ，所以 3111781222222101333333334322E X.……………………5分 （ii ）由（i ）知， 213143E X E X ， 323143E X E X ，当2i ≥时，甲第1i 次答题所得分数1i X 的期望为 1i E X ，则第i 次答对题所得分数12()i E X ，答错题所得分数为1，其概率分别为21,33，于是甲第i 次答题所得分数i X 的期望为112141213333i i i E X E X E X ，即 *141,N ,233i i E X E X i i ≥. ……………………7分（iii ）由（i ）知 153E X ，由（ii ）知 *141,N ,233i i E X E X i i ≥，因此 11[1]43i i E X E X ，即数列 1i E X 以83为首项，43为公比的等比数列，则 184331i i E X，即 1432i E X i. ……………………10分由 i E X 10，得211043i，整理得41132i，而561111,224433， 22．解：（1）当2a 时， 因此i ≥6，所以i 的最小值是6. ……………………12分1ln 2f x x x x， f x 的定义域为 0, ． 因此， 22222111121()2x x x x f x x x x x． ……………………2分 令()0f x ，解得01x ，令()0f x ，解得1x ，所以 f x 在 0,1上单调递增，在1, 上单调递减，故 max 3f x ． ……………………4分（2）因为 1ln f x x ax x ，则 222111(0)ax x f x a x x x x ，当1a 时，则 0f x ，故()f x 在(0,) 上单调递增，又(1)10f a，1ln 02f a ，且()f x 图象不间断，所以存在唯一的0x，使 00f x ． ……………………6分 因为1()ln (1)(0)g x x x a x x x，则21()ln g x x a x ，令 21()ln 0h x x a x x，则312()0h x x x ，所以()h x 在(0,) 上单调递增，即()g x 在(0,) 上单调递增．又(1)10g a，1ln 02g a ，且()g x 图象不间断，所以存在m，使()0g m ，则当0x m 时，()0g m ；当x >m 时，()0g m ； 所以()g x 在(0,)m 单调递减，在(,)m 上单调递增，所以m 为()g x 的极小值点，故1x m ． ……………………8分 由()0g m 可得1211ln 0x a x，故1211ln a x x ， 所以 11111ln f x x ax x1111121111ln (ln )(1)ln x x x x x x x ，又1x，所以 1111ln 0f x x x ， 又因为 00f x ，且()f x 在(0,) 上单调递增，所以01x x . …………………12分。

江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2132．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．124．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2109．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．310．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．23512．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市（新版）2024高考数学苏教版考试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（）．A．①、②都正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①、②都不正确第(2)题函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如：，．若在的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列，下列说法正确的是（）A．的区间数列的通项B．的取整数列的通项C．的取整数列的通项D．若，则数列的前n项和第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（）A．B．C．D．第(5)题如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．第(7)题函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(8)题设，，则等于（）A．B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（）A．不论何时，与都不可能垂直B．存在某个位置，使得平面C．直线与平面所成角存在最大值D．四面体的外接球的表面积的最小值为第(2)题等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则最小C．D．第(3)题已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．椭圆的标准方程为B．椭圆上存在点，使得C ．是椭圆上一点，若，则D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线被圆截得的弦的中点为M，若，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为_________，的最大值为_________.第(2)题在的内角，，的对边分别为，，，已知，则的值为_______.第(3)题若实数x，y满足约束条件，则的最大值是____________；最小值是_______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，，，，，，，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自，两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中．第(2)题已知双曲线的焦距为4，点在上．(1)求双曲线的方程；(2)设双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且不过的直线与交于点，若为直线斜率的等差中项，求到直线的距离的取值范围．第(3)题为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，,，,频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在之间的工人有6位．（Ⅰ）求；（Ⅱ）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？第(4)题已知函数(1)求不等式的解集M；(2)若t为M中最小的正整数，a，b，，且，求证∶.第(5)题已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.。