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直角三角形的射影定理教案

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第一讲 相似三角形的判定及有关性质3.4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间：教学目标知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。

情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；教学过程二、教学引入点和线段的正射影简称为射影（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D.(1)图中有几条线段? (答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);ACCD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CADA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CADA AB AC = (5)由上可得到哪些等积式?CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。

，CD ⊥AB 于D 。

求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。

CD ⊥AB∠B+∠DCB=90º , ∠ACD+∠DCB=90ºA B A B所以∠B=∠ACD ，故 △CBD ∽△ACD所以 BD AD CD BDCD CD AD •=∴=2 在RT △ACB 与RT △BDC 中，B ∠Θ为公共角，BCD ∆∴∽AB BD BC ACBC BC BD BCA *,,2==∴∆即 同理，由BC D ∆∽A BC ∆，AB AD AC *2=用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.证明：()()ABBD CB ABAD AC mc m h m mc m c m mn h m c n DB AD CD mnh n m h n h m h n a h m b c b a •=•==+-=-•==-=•==+=+++∴+=+==+2222222222222222222222,,,同理：得又即：得Θ二、当堂训练1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。

，，82==DB AD 求的长。

和BC AC CD , 解：ACB ∠Θ是半圆上的圆周角，ο90=∠∴ACB ,即ΔABC 是直角三角形。

又射影定理可得.5480108;5220102;4,1682222==⨯=•===⨯=•===⨯=•=BC AB BD BC AC AD AB AC CD BD AD CD ，解得，解得解得2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD •=2。

求证：ΔABC 是直角三角形。

证明： 在ΔCDA 和ΔBDC 中， BCD CAD BDCCDA DBCD CD AD DBAD CD BDC CDA ABCD D AB C ∠=∠∴∆∆∴=∴•==∠=∠∴⊥∴ω::90,2ΘΘο又上的射影为在点AA B为直角三角形。

中在ABC ACB ACD BCD ACD BCD ACD CAD ACD ∆∴=∠=∠+∠∴=∠+∠∴=∠+∠∆οοοΘ909090三、课堂小结与反思四、课后检测1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是(C )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：32．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是(C )A. 41B. 31C. 21 D.2 3．下列命题中，正确的有(B )①两个直角三角形是相似三角形；②等边三角形都是相似三角形；③锐角三角形都是相似三角形；④两个等腰直角三角形是相似三角形．A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( C )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28cmD ．1.3 cm5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。

试说明：(1)AB ·AC=AD ·BC ；(2)AD 3=BC ·BE ·CF 。

解：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC =21AB ·AC=21BC ·AD ∴AB ·AC=BC ·AD 。

(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2=BE ·AB ．同理CD 2=CF ·AC ，∴BD 2·CD 2=BE ·AB ·CF ·AC ． *又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC 图1—4—2∴AD 2=BD ·DC ，∴*式化为AD 4=BE ·CF ·AB ·AC ，即AD 3=BE ·CF ·AB ·AC ·AD 1 由(1)知AB ·AC=BC ·AD ，代入上式得AD 3=BE ·CF ·BC ．应用射影定理证明比例线段6．如图1—4—3，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF 。

求证：GD 2=GF ·GH 。

证明：∵∠H=∠BCE ，∠B=∠B ，CE ⊥BH ，∴△BCE ∽△BHG∴∠BGH=∠BEC=90°，∴HG ⊥BC∵BD ⊥AC ，在Rt △BCD 中，由射影定理得，GD 2=BG ·CG ①∵∠GFC=∠EFH ，∴△FCG ∽△FHE ，∴∠FGC=∠FEH ，∴∠FGC=∠BGH∴△FCG ∽△BHG ，∴GHCG BG FG = ∴BG ·GC=GH ·FG ． ②由①②得，GD 2=GH ·FG ．7．如图1—4—4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：AE ·AB=AF ·AC 。

证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BAD+∠B=90°又∵DE ⊥AB ，∴∠BAD+∠EDA=90°．∴∠B=∠EDA ，又∠BAD=∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE(两角相等的两个三角形相似)．∴AEAD AD AB =，即AD 2=AB ·AE 同理可证：AD 2=AF ·AC ，∴AE ·AB=AF ·AC ． 综合·拓展练 综合运用，拓展知能8．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，若43AB AC =，则=CDBD ( C ) A. 43 B. 34 C. 916 D. 169 9．如图1—4—5，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道( B )条线段的长，就可以求其他线段的长。

A ．1B ．2C ．3D ．410．如图1—4—6，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC=45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H 。

求证：FG 2=AF ·DF+BG ·CG+AH ·BH 。

证明：因为EF 2=AF ·FD ，EG 2=BG ·CG ，所以FG 2=(EF+EG)2=EF 2+2EF ·EG+EG 2=AF ·FD+BG ·CG+2EF ·EG ．因为∠ABC=45°，所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2而EF=AHsin45°22=AH ， EG=BHsin45°=22BH ． 2EF 2=AH 2，2EG 2=BH 2所以2EF ·EG=AH ·BH ．所以FG 2=AF ·FD+BG ·CG+AH ·BH ．11．△ABC 中，若角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，试用余弦定理证明以下射影公式。

(1)c=acosB+bcosA ；(2)a=bcosC+ccosB ；(3)b=ccosA+acosC 。

证明：（1）由余弦定理得ac2b c a B cos 222-+= bc2a c b A cos 222-+= Acos b B cos a c c c2a c b b c a c2a c b c 2b c a bc 2a c b b ac 2b c a a A cos b B cos a 222222222222222222+=∴=-++-+=-++-+=-+⨯+-+⨯=+∴ 同理可证：a=bcosC+ccosB ；b=ccosA+acosC12．在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD ：BD=2：3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2：3B ．4：9C ．6：3D ．不确定13．Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，AD=4，sin ∠ACD=54，则BC=_______________，CD=________________。

答案解析C解析：如图D —1—23，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB由射影定理得：CD 2=AD ·BD ，即CD BD AD CD = 又∵∠ADC=∠BDC=90° ∴△ACD ∽△CBD ．又∵AD ：BD=2：3令AD=2x ，BD=3x(x>0)x 6CD ,x 6CD 22=∴=∴易知△ACD 与△CBD 的相似比为36x6x 2CD AD == 即相似比为3:613.415，3解析：54ACD sin ,4AD ,ACD Rt =∠=∆中由5AC AC AD ACD sin ==∠知由射影定理知AB AD AC 2⋅=∴425AD AC AB 2==∴494425AD AB BD =-=-=由射影定理知9494BD AD CD 2=⨯=⋅=3CD =∴又42549AB BD BC 2⨯=⋅= ∴415BC = 四、预习提纲1、圆周角定理及证明2、圆心角定理及证明3、圆心角定理的推论。

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高二《直角三角形的射影定理》说课稿

高二《直角三角形的射影定理》说课稿

高二《直角三角形的射影定理》说课稿高二《直角三角形的射影定理》说课稿学习目标分析本节课的《课程标准》要求：（1）直角三角形射影定理的应用（2）直角三角形的射影定理的逆定理教材分析选修4-1的是高考的考点是比较重要的知识点．按照教科书所描述的逻辑连续性．实际的需要使直角三角形的射影定理具有某种实在感。

新课程中强调了直角三角形的定理应用．它的内容是比较详细，，体现了数形结合思想．学情分析在学习本节之前，学生对直角三角形的射影定理的的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。

另一方面学生对方程解的问题会默认为在正射影的概念集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

基于以上分析，本节课的学习目标如下：（1）．理解直角三角形的射影定理．（2）．理解直角三角形射影定理的逆定理重点、难点分析学生在正射影的基础上理解直角三角形的射影定理像x2=-1这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，负数不能开平方是学生固有的思维模式，而射影定理的引入会引起学生认知上的冲突、心理上的排斥。

引入是学生学习中的难点。

教法与学法分析结合以上分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，直角三角形的射影定理；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中。

教学设计流程（一）复习三角形相似的判定的方法有几种，让学生自己来回答，为后面在直角三角形相似做好基础。

复习三角形的相似目的是为后面的学习坐下铺垫，让学生轻松的找到相似三角形。

（二）新授课布置任务，小组探究1. 点的射影的定义2. 线的射影的定义学生自己看书，小组汇报，上黑板板演交流，画出图形。

3. 1. CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，在这个图形中，由于线段AD与CD,BD与CD，BC与AC等互相垂直，因此可以从射影的角度来考察他们的关系，你能发现这些线段之间的某些关系吗？学生再次交流5分钟小组汇报得出射影定理(1)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的．(2)符号表示：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则(1)AC2＝；(2)BC2＝；(3)CD2＝ .设计意图是直角三角形的射影定理应用于，直角三角形以及斜边上的高。

最新人教版高中数学选修4《直角三角形的射影定理》教案

最新人教版高中数学选修4《直角三角形的射影定理》教案

课题：直角三角形的射影定理教材：人教版普通高中课程标准实验教科书选修4-1 P20-P22一、教学目标【知识技能】：理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用这些知识解决问题的能力。

【数学思想】：通过观察、实验、类比、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和归纳总结梳理能力。

【解决问题】：学生亲自经历探索直角三角形的射影定理的过程，体会解决问题策略的多样性。

【情感态度】：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。

二、教学重点、难点【重点】：理解并掌握直角三角形的射影定理，应用定理解决问题。

【难点】：勾股定理与射影定理的互推三、教学方法与手段本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上与态度上的跨越；在学法上突出学生的“探索发现”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去探索、去归纳、去梳理总结。

四、教学过程AB CD AC BC=师：如何找出成比例的关系呢？生：由相似三角形的对应边BDABAD AB由于这些式子反映了直角边AD DB。

是直角三角形。

师：那么下面我们来探究一下课本……师：例设计说明本节课的设计，以建构主义理论为基础，以问题为载体，以学生的自主探索、合作交流为主要的学习方式。

在教学过程中，最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题。

教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、多角度思考的促进者，使师生成为“数学学习的共同体”。

一、教材分析射影定理是上一节“相似三角形的性质”的延续和深化，它建立了直角三角形中边与射影的关系，揭示了直角三角形内在的美，在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具。

作为高考选做题之一，对于射影定理的考查在各省市的模拟试题中时有出现。

二、创设情境，把学生置于问题的建模过程本节课以美术班学生习以为常的“物体的投影”为情境引出课题，激起学生强烈的好奇心和求知欲。

初中射影定理的教案

初中射影定理的教案

初中射影定理的教案教学目标：1. 理解射影定理的概念和意义。

2. 学会运用射影定理进行图形计算。

3. 掌握射影定理与勾股定理的关系。

教学重点：1. 射影定理的定义和证明。

2. 射影定理的应用。

教学难点：1. 射影定理的证明。

2. 射影定理在复杂图形中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 直角三角形教具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的定义和性质。

2. 提问：直角三角形中，斜边上的高有什么特殊性质？二、射影定理的定义和证明（15分钟）1. 介绍射影定理的定义：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

2. 证明射影定理：a. 引导学生画出直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，CD为高。

b. 引导学生观察并证明：AD² = BD × DC，AB² = BD × BC，AC² = CD × BC。

c. 引导学生理解并证明：AD² + CD² = BD × BC。

三、射影定理的应用（15分钟）1. 提问：射影定理如何应用于实际问题？a. 示例1：已知直角三角形ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，求斜边BC的长度。

b. 示例2：已知直角三角形ABC中，AB = 10cm，∠A = 30°，求斜边BC的长度。

2. 引导学生练习应用射影定理解决实际问题。

四、射影定理与勾股定理的关系（10分钟）1. 引导学生理解射影定理与勾股定理的关系。

a. 证明：AB² = BD × BC，AC² = CD × BC。

b. 得出：AB² + AC² = BD × BC + CD × BC = BC²。

2. 提问：射影定理与勾股定理有何联系？五、课堂小结（5分钟）1. 总结射影定理的概念、证明和应用。

人教版高中数学选修4-1：1.4《直角三角形的射影定理》教案

人教版高中数学选修4-1：1.4《直角三角形的射影定理》教案

D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求 证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五 课堂小结 （引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六 课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。