雅礼中学届高考数学文科模拟卷(一)

注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A.9 B.12 C.15 D.182.已知集合{}2|680,{|13}Mx xx N x x =−+<=<≤，则M N ∩=（ ）A.{|23}x x ≤≤B.{|23}x x <≤C.{|24}x x <≤D.{|13}x x <≤3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和抛物线()220y px p =>相交于A ､B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =.则抛物线和椭圆的标准方程分别为（ ）. A.28y x =；22194x y += B.28y x =；2213618x y +=C.24y x =；22194x y += D.24y x =；2213618x y +=5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=（ ）1−1+6.人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI ”视频，“AI ”视频占有率为0.001.某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI ”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI ”.已知某个视频被鉴定为“AI ”，则该视频是“AI ”合成的可能性为（ ） A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆C ：22197x y +=，P 是直线l ：43200x y −+=上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M ､N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（ ）A.43 B.43− C.34 D.34− 8.已知61log 4a =，41log 3b =，()1e 1ec =+，则（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（ ）A.若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥B.若a α⊥，a b ∥，则b α⊥C.若a α∥，b α⊂，则a b ∥D.若a α∥，b α⊥，则a b ⊥10.已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω=+−+>，下列判断正确的是（ ） A.若()()120f x f x ==，且12min π2x x −=，则2ω= B.1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C.1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,242411.若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（ ） A.0x <且1y <−B.11122x y − +的最小值为9C.x y +的最小值为3−D.1112222x y x y−+ +⋅<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数13i z =−，其中i 为虚数单位，则2i z +=__________. 13.已知数列{}n a 满足()*3213223n n a a a a n n ++++=−∈N ，则n a =__________.14.设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.α0.1 0.05 0.01 x α2.7063.8416.63516.（本小题满分15分） 已知函数()ln 1xf x x =+. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当1x ≥时，()()1f x a x −≤，求a 的取值范围. 17.（本小题满分15分）如图，已知在正三棱柱111ABC A B C −中，12AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.（1）过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度； （2）求平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值. 18.（本小题满分17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12 ∽，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭圆1C 与2C 的相似比.已知椭圆1C ：2212x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>相似.（1）求椭圆2C 的离心率；（2）若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为椭圆2C 上异于其左､右顶点1A ，2A 的一点.①当λ=时，过点P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②当λ=时，若直线1PA 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与椭圆1C 交于M ，N 两点，求DE MN +的值.19.（本小题满分17分） 设n 次多项式()121210()0nn n n n n P t a t a ta t a t a a −−=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式22()21P x x =−. （1）若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d +++，求实数a ，b ，c ，d 的值；（2）对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x −−=⋅−成立？ （3）已知函数3()861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.一､二､雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）答案选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBCBDCDABDBDABD1.C 【解析】高三年级被抽到的男生人数为12003004005363615120012−−×=×=.故选：C.2.B 【解析】因为{}2|680{|24}Mx xx xx =−+<=<<，{|13}Nx x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B3.C 【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因为积水深9寸，所以水面半径为()1146102×+=寸， 则盆中水的体积为()221π9610610588π3××++×=立方寸， 所以平地降雨量等于2588π3π14=×寸. 故选：C.4.B 【解析】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F，故2A Bp x x == 根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =. 所以椭圆过点()2,4A ， 因此222224161c a a b a b c=+= =+ ，解得223618a b = = ，则椭圆的标准方程为2213618x y +=.故选：B.5.D 【解析】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则HC AB ∥， 而135ABC ∠= ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，在等腰梯形ABCH 中，121cos 451CH =+××=+ ，所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=×∠=+ .故选：D6.C 【解析】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI ”为事件B ，则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，由贝叶斯公式得：()0.0010.980.0240.0010.980.9990.04P A B ×==×+×， 故选：C.7.D 【解析】由椭圆C ：22197x y +=可知：3,a b ==，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=， 当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，因为O 到直线43200x y −+=的距离为4d =， 所以直线l ：43200x y −+=为圆的切线， 因为直线43l k =，1l OP k k ⋅=−，所以34OP k =−.故选：D.8.A 【解析】由61log 4a =，得到146a =，又41log 3b =，所以134b =， 所以112124(6)216a ==，112123(4)256b ==，又256216>， 所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，令1(1)(1)xy x x =+>，则1ln ln(1)y x x=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x ′=−+++， 得到112211(1)[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)xxx y x x x x x x x x x x +′=−+++=−++++，令()(1)ln(1)h x x x x =−++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x ′=−+−=−+<在区间(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)ln(1)h x x x x =−++在区间(1,)+∞上单调递减，又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =−++=−=−<，当(1,)x ∈+∞时，12(1)0(1)xx x x +>+，得到12(1)[(1)ln(1)]0(1)xx y x x x x x +′=−++<+在区间(1,)+∞上恒成立， 所以1(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，又e 3<，所以()113e1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>， 故选：A.9.BD 【解析】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误. 对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l α⊂，所以a l ⊥， 又a b ∥，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确. 对于C ，若a α∥，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ∩=， 因为a α∥，m αβ∩=，a β⊂，所以a m ∥， 又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.故选：BD10.BD 【解析】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω=−+−+=−+>， 对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误； 对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cos π13633f x x f=−+∴=−+=−=， 所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x=−+，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x=−++=+，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈2π2π24π33x ωω++ ，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零， 所以19π2π21π4π232ω+< ，解得53592424ω< ，故D 正确.故选：BD. 11.ABD 【解析】对于A ，由1221x y ++=，可得112120,2120y x x y ++=−>=−>， 所以0x <且10y +<，即1y <−，故A 正确；对于B ，()11111112222225222222x y x y y x x y x y −−+ ⋅⋅ +=++=++59≥+=， 当且仅当222222y x x y ⋅⋅=，即2log 3x y ==−时，等号成立，所以11122xy − +的最小值为9，故B 正确；对于C ，因为1221x y ++=≥12≤，即121224x y ++−≤=， 所以3x y +≤−，当且仅当122x y +=，即11x y =+=−，即1,2x y =−=−时，等号成立， 所以x y +的最大值为3−，故C 错误；对于D ，因为1212x y +=−，则()112212242x y y ++=−=−⋅，所以()111112222212232222x y x yy x y y y−+++ +⋅=+=+−=−⋅<，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】由复数13i z =−，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=. 13.11,1,23, 2.n n n n −=× 【解析】因为()*32132,123nn a a a a n n n ++++=−∈N ， 当1n =时，11321a =−=， 当2n 时，1312132231n n a a a a n −−++++=−− ，所以113323n n n n a n−−=−=×，所以123n na n −=×， 当1n =时，123n n a n −=×不成立，所以11,1,23, 2.n n n a n n −= =×14.y = 【解析】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===， 设OC m =，由角平分线定理可得：3OBABOCAC==，则3OB m =； 在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OA m mOCA AC CO am a+−∠===； 在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+−⋅∠，即222916242m m m a m a a =+−×××，解得m a =.故cos cos 2m COA OCA a ∠=∠=，tan COA ∠， 所以Γ的渐近线方程是y =.故答案为：y =.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）22×列联表为 性别 运动达标情况 合计运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计6040100 零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，22100(2035540)505.556 3.841,604025759χ××−×==≈>×××根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05. （2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人， 按分层随机抽样的方法从中抽取6人， 则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为114226C C 8C 15P ==. 16.【解析】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +−=+′，所以切线斜率为()112f ′=， 故切线方程为1(1)2y x −=−，即1122y x =−. （2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x −≤等价于()2ln 1x a x −≤，令()()21ln g x a x x =−−，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x −≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x−=−=′，当0a ≤时，()0g x ′≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x ′=，得1x =>，x ∈ 时，()0g x ′≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意； 当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax −≥，则()0g x ′≥， 所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意. 综上所述，12a ≥. 17.【解析】（1）由正三棱柱111ABC A B C −中，12AA AB ==，又因为点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点，可得AF AE ==如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，过点E 作BC 的平行线交1CC 于N ，则四边形AFPE 为所求截面，又由1123MC PC MPME MN EN ===，所以1142,33PC B P ==.（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2AB =，可得()())0,0,0,0,1,2,A F E，则())0,1,2,AF AE ==，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,20,n AEy z n AF y z ⋅=++= ⋅=+=取1z =，则2,y x =−，所以2,1n=−， 取BC 的中点D ，连接AD .因为ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，因为1BC BB B ∩=，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又由3,02D，可得3,02AD = ， 所以平面11BCC B的一个法向量为)m =，设平面AEF 与平面11BCC B 所成角为α，则5coscos ,8m n m n m n α⋅===， 所以平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值为58. 18.【解析】（1）对于椭圆1C ：2212x y +=，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b，焦距为，=，所以b a =，则椭圆2C的离心率e （2，解得2a b = = 2C ：22142x y +=， 设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x −=−，即1010y k x y k x =+−，记010t y k x =−，则1PB 的方程为1y k x t =+， 将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()22211214220k x k tx t +++−=， 因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()222114421220k t k t ∆=−+−=，即221210k t −+=，将010t y k x =−代入上式，整理得()222010*******x k x y k y −−+−=， 同理可得()222020*******x k x y k y −−+−=， 所以12,k k 为关于k 的方程()22200002210x k x y k y −−+−=的两根， 所以2122012y k k x −=−. 又点()00,P x y在椭圆22:14x C +上，所以2200122y x =−， 所以212201211222x k k x −−==−−，为定值.，解得1a b = =，所以椭圆2C ：2221x y +=， 其左､右顶点分别为()11,0A −，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左､右焦点，设()33,P x y ，易知直线1PA ､2PA 的斜率均存在且不为0，所以1223233333111PA PA y y y k k x x x =⋅=+−−， 因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以332221x y +=，即232312x y −=−，所以123223112PA PA y k k x ==−−.设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k−，所以直线1PA 的方程为()1y k x =+. 由()22112y k x x y =+ +=，得()2222124220k x k x k +++−=， 设()44,D x y ，()55,E x y ，则2425412k x x k−+=+，22452212k x x k −=+， 所以5DE x =−==同理可得221121122k MN k+−== +−，所以D E NM =+=19.【解析】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=−=−−()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=−−−=−，因此()3343P x x x =−，即32343ax bx cx d x x +++=−，则4,0,3a b d c ====−， （2）()()()112n n n P x x P xP x +−=⋅−成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++−=⋅. 首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=−， ()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ−=−=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ−++，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +−=⋅−. 所以对于正整数3n 时，有()()()122n n n P x x P x P x −−=⋅−成立. （3）函数()3861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x −=在区间()1,1−上有3个不同的实根， 令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===， 则123π5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ++=++=−+，。

2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{2}B ．{5}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，3，4}1．（5分）已知全集U ={l ,2，3，4，5}，集合A ={1，2，4}，B ={2，3}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ）A ．3B ．4C ．-3D ．-42．（5分）复数25i 3+4i的虚部为（ ）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD +OF =OEC ．|OA −OC |=22|DH |D ．OA 在OD 上的投影向量为22e （其中e 为与OD 同向的单位向量）3．（5分）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中|OA |=1给出下列结论，其中正确的结论为（ ）→→→→→→→→√→→→√→→→A ．67B ．57C ．914D ．11144．（5分）从属于区间[2，8]的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）A ．[83，113)∪(4，143)B ．[113，4)∪[143，173)C ．[113，143)∪(5，173)D ．[143，5)∪[173，203)5．（5分）已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)在[π3，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．2a =3b B ．a 3b 2=1C ．a 2=b 3D ．a 3=b 26．（5分）在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“Log ”、“（”、“a ”、“，”、“b ”、“）”6个键．某同学使用该计算器计算log a b （a >1，b >1）时，误按下“Log ”、“（”、“b ”、“，”、“a ”、“）”这6键，所得到的值是正确结果的49倍，则（ ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

雅礼中学2024届高三一模数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,4,6,8U =，集合{}{}2320,4,Mxx x N x x a a M =−+===∈∣∣，则()U M N ∪=（）A.{}6B.{}4,6,8C.{}1,2,4,8D.{}1,2,4,6,82.设复数z 满足1i 1zz+=−−，则z =（ ）A.iC.13.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n ∥αD.若m ∥,m n α⊥，则n α⊥4.已知向量()234πlog 3,sin ,log 8,3abm=，若a b ⊥，则m =（）A.−B.C.D.5.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-10 1 2 3 5 ()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()x f x ka b=+ B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b =+ D.()2(1)f x k x b=−+6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以12,A A 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.12,A A 互斥B.()157P B A =∣C.()217P A B =D.()1321P B =7.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T −+=有实数解，那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i −+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.5028.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左､右焦点分别是12,F F ，点()11,P x y 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M ，MO =，若C 上一点T 满足125FT F T ⋅=，则T 到C 的两条渐近线距离之和为（ ）A. B. C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>满足：π2π2,063f f==，则（）A.曲线()y f x =关于直线7π6x =对称B.函数π3y f x=−是奇函数C.函数()y f x =在π7π,66单调递减D.函数()y f x =的值域为[]2,2−11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC −容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1D.如果在这个容器中放入4三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在二项式()6112x x x −+的展开式中，常数项为__________. 13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时__________，圆锥的体积最大，最大值为__________.14.对于任意两个正实数,a b ，定义aa b b λ⊗=⋅，其中常数λ ∈.若0u v ≥>，且u v ⊗与v u ⊗都是集合,2nxx n=∈Z 的元素，则u v ⊗=__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数()3f x x ax a =−+.（1）若1x =是函数()f x 的极值点，求()f x 在()()1,1f −−处的切线方程.（2）若0a >，求()f x 在区间[]0,2上最大值.16.（15分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，11,90AB AD AA DAB ∠====，111cos ,,2AA AB AA AD <>=<>=，点M 为BD 中点. （1）证明：1B M ∥平面11AC D ；（2）求二面角1B AA D −−的正弦值.17.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.18.（17分）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2 − 在椭圆上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点()1,0−与椭圆交于,M N 两点，椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线BN 的斜率为1k ，直线AM 的斜率为2k ，求证：221212k k k k +⋅为定值.19.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数.设正整数a 共有k 个正约数，即为()12112,,,,k k k a a a a a a a −<<< .（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21321,,,k k a a a a a a −−−− 构成等比数列，求正整数a ； （3）记12231k k A a a a a a a −=+++ ，求证：2A a <.雅礼中学2024届高三一模数学参考答案1.A 【解析】由题知{}{}(){}U 1,2,4,8,6M N M N ==∴∪= .2.C 【解析】由1i 1zz+=−−解得1i1i ,11i 1iz z ++=∴==−+−+. 3.B 【解析】若m ∥,n α∥α，则,m n 相交或平行或异面，故A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 错误；若m ∥α，m n ⊥，则n ∥α或n α⊂或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选：B .4.C 【解析】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即234πlog 3log 8sin03m ×+=，所以2log 80−=，所以m =故选C.5.A 【解析】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f −=−=，偶函数满足此性质，可排除B,D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C.故选：A.6.C 【解析】因为每次只取一球，故12,A A 是互斥的事件，故A 正确；由题意得()113P A =，()()()()()211225152413,,37373721P A P B A P B P A B P A B ===+=×+×=∣，故B ，D 均正确；因为()22483721P A B =×=，故C 错误.故选C.7.D 【解析】由题意得：210031003410030S T −× ，其中()110031003502100310032a a S a +==，()110031003502100310032b b T b +=，代入上式得：250250240a b − ，要方程()201,2,3,,1003i i x a x b i −+== 无实数解，则240i i a b −<，显然第502个方程有解.设方程2110x a x b −+=与方程2100310030x a x b −+=的判别式分别为11003Δ,Δ，则()()()22221100311100310031100311003ΔΔ444a b a b a a b b +=−+−=+−+ ()()()221100350225025025025022428240,22a a ab b a b +−×=−=− 等号成立的条件是11003a a =，所以11003Δ0,Δ0<<至多一个成立，同理可证：21002Δ0,Δ0<<至多一个成立，501503Δ0,Δ0<< 至多一个成立，且502Δ0 ，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D. 8.A 【解析】设半焦距为c ，延长2F M 交1PF 于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，2F M PM ⊥，所以2NPF 是等腰三角形，所以2PN PF =∣，且M 是2NF 的中点.根据双曲线的定义可知122PF PF a −=，即12NF a =，由于O 是12F F 的中点，所以MO 是12NF F的中位线，所以11||2MO NF a ===，所以1cb ，所以双曲线C 的方程为2212x y −=.所以())12,F F ，双曲线C的渐近线方程为0x ±=，设(),,T u v T 到两渐近线的距离之和为S，则S(2221235FT F T u u vu v ⋅=++=+−=，得228u v +=，又T 在22:12x C y −=上，则2212u v −=，即2222u v −=，解得226,2u v ==，所以u >S =，即距离之和为.故选A .9.AD 12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25，平均数是()121622242531333545927++++++++÷=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899×−+−+−+−+−++++= ，由40%9 3.6×=，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是()1861622242531333577++++++÷=，方差是222222217432181131455919167777777749 ×−+−+−+−+++=，由40%7 2.8×=，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故,A D 正确，,B C 错误.故选：AD.10.ABD 【解析】()π2sin 3f x x ω=+，所以函数()y f x =的值域为[]2,2−，故D 正确；因为2π03f=，所以112πππ,33k k Z ω+=∈，所以1131,2k k Z ω−=∈，因为π26f=，所以22πππ2π,632k k Z ω+=+∈，所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k −=+，即1281k k =+，所以{}1,13,25,37ω∈ ，因为()227π7ππ3π2sin 1212sin 14π26632f k k=++=+=−，所以曲线()y f x =关于直线7π6x =对称，故A 正确；因为()()()()()2222πππ2sin 1212sin 1214π2sin 121333f x k x k x k k x−=+−+=+−=+即ππ33f x fx−=−−−，所以函数π3y f x=−是奇函数，故B 正确；取13ω=，则最小正周期2π2π7πππ1366T ω<−，故C 错误.故选：ABD 11.ACD 【解析】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ∩=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ， 所以PB AE ⊥，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于4AD CD AC ===，2221cos ,23CD AD AC ADC CD AD ∠+−==⋅πcos cos sin 2ADB ADC ADC ∠∠∠=+=−所以222222cos 22216AB BD AD BD AD ADB ∠ =+−⋅=+−××=AB ABE 的周长最小值为4B +错误； C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF上，过点O 作ON PM ⊥于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM ==，同理PM =，则13MF BM==PF =OF ON R ==，故OP PF OF R =−=−，因为PNO PFM ∼ ，所以ON OP FM PM ==，解得R C =正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG −，由C选项可知，其高为，由C 选项可知，PF P ABC −的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z，则,QS SF r=，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P HIJ −中，,3QZ r QP r ==，正四面体P ABC −高为34r r +=，解得D r =正确.故选：ACD.12.-160 【解析】()6661111222x x x x x x x x −+=+−+ ，因为612x x + 的通项公式为()66621661C (2)C 206,kkkk k kk T x x k k x −−−+ =∈N ，所以在612x x x + 中，当621k −=−时，不满足；在612x x +中，当620k −=时，3k =，则常数项为3346C 2160T ==，故答案为-160.π【解析】设圆锥的底面半径r ，母线为l ，高为h ， 设母线与底面所成的角为π02αα<<，则cos (0cos 1)r lαα=<<，则2cos r α=，则h ==，则圆锥的体积为22118πr π(2cos )333V h α=⋅⋅=⋅⋅令cos (01)x x α=<<，则()83V x =，令()46f x x x =−，求导得()()353246223f x x x xx ′=−=−，令()0f x ′=，则x =所以当x ∈ 时，()()0,f x f x ′>单调递增，当x∈时，()(0,f x f x ′<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，也是最大值.此时()83V x =最大，max πV V =，即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值cos α=.π. 14.3/1.52【解析】解：由u v ⊗与v u ⊗都是集合,2n x x n =∈Z 的元素， 不妨设121211,,,,22u v u v n v u n n n v u λλ⊗=⋅=⊗=⋅=∈Z 因为0u v ≥>，所以01v u<≤，由已知λ ∈ ，所以()210,12v n u λ=⋅∈，则()20,2n ∈， 又2n ∈Z ，所以21n =，即12v uλ=，所以2u v λ =∈ ，所以)()222,2,4u u v v ∈∈，则()212111,222u u n v v λ⋅=×=∈，即()12,4n ∈， 因为1n ∈Z ，所以13n =，则11322n =，即32u v ⊗=. 四､解答题（本题共6小题，共70分）15.解：（1）()23f x x a =−′，又1x =是函数()f x 的极值点，()130f a =′∴−=，即3a =()()3233,33f x x x f x x ∴=′=−+−()()15,10f f −=′∴−=()f x 在()()1,1f −−处的切线方程为()501y x −=+，即5y =，所以()f x 在()()1,1f −−处的切线方程是5y =（2）()23f x x a =−′，令()0f x ′=，得x =，()f x ∴在 单调递减，在∞ + 单调递增而()()0,28f a f a==−①当8a a ≥−，即4a ≥时，max ()f x a=②当08a a <<−，即04a <<时，max ()8f x a =−综上，当4a ≥时，max ()f x a =；当04a <<时，max ()8f x a=−16.解：（1）因为1cos ,AA AB = 145A AB ∠= ， 因为11cos ,2AA AD = ，所以160A AD ∠= ， 以A 为原点建立如图所示的坐标系，所以()111111111311,,,,,,,1,,,0,1,022222222B M A C D ++ ，所以()11111111,0,,1,1,0,1,,2222B M A C C D =−==−−−，设面11AC D 的法向量为()111,,m x y z =，所以111110111022x y x y z += −−=，令11x =，所以()1,1,1m −− ，因为110,B M m B M ⋅= 不在面11AC D 内，所以1B M ∥平面11AC D ；（2）()1,0,0B ，所以()1,0,0AB = ，设面1BAA 的法向量()222,,n x y z =，因为111,22AA =，所以2222011022x x y z = ++=，令21y =，则()0,1,1n =− ，设面1AA D 的法向量()333,,o x y z = ，因为()0,1,0AD =，所以3333110220y z y ++= = ，令31x =，所以(1,0,o =，所以cos n o n o θ⋅== ，所以二面角1B AA D −−.17.（1）记事件“第i 次摸到红球”为()1,2,3,,10i A i = ，则第2次摸到红球的事件为2A ，于是由全概率公式，得()()()()()21211217237710310910P A P A P A A P A P A A =+=×+×=∣∣. （2）由已知得()371123310A 7A 24P P A A A ===，()21710P P A ==，()()()21273212110A 107102A 71573P A A P P A A P A ===×=×=∣， ()()()12343121271552478P A A A P P A A A P A A ===×=∣. （3）（2）可得1234P P P P =，即()()()()123121312P AA A P A P A A P A A A =∣∣， 可猜想：()()()()P ABC P A P BA P C AB =∣∣，证明如下：由条件概率及()()0,0P A P AB >>，得()()()()()(),P AB P ABC P B A P C AB P A P AB ==∣∣，所以()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB =⋅⋅=∣∣. 18.（1）解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2 − 在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a =−=−=，又点31,2− 在该椭圆上，所以221914a b+=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，由于该直线斜率不为0，可设:1MN L x my =−， 联立方程1x my =−和22143x y +=，得()2234690m y my +−−=，Δ0>恒成立，根据韦达定理可知，()1212121222693,,34342m y y y y my y y y m m −+=⋅=⋅=−+++，211221,22y y k k x x ==−+，()()()()1212212111212122233,21y x y my k my y y k x y my y my y y −−−===+++()()221212121211221122331023,.332y y y k k k k k k k k k k y y y −+−+∴==∴=+=⋅−++ 19.解：（1）当4k =时正整数a 的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为8的所有正约数，即8a =.（2）由题意可知112231,,,k k k a a a a a a a a a −−====， 因为4k ≥，依题意可知3212112kk k k a a a a a a a a −−−−−=−−，所以3222123a a a a a a a a a a a −−=−−，化简可得()()2232231a a a a −=−，所以232321a a a a a −= − ，因为*3N a ∈，所以*3221N a a a a −∈−，因此可知3a 是完全平方数.由于2a 是整数a 的最小非1因子，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以21321,,,k k a a a a a a −−−− 为212222221,,,k k a a a a a −−−−− ，所以()12,4k a a k −= .（3）证明：由题意知()1211,,,,,1k k i k i a a a a a a a a a i k −+−===≤≤ ， 所以22212112k k k k a a a A a a a a a a −−−=+++ ，因为121121************,,k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a a a −−−−−≤=−≤=− ，所以22221211212112111k k k k k kk k a a a A a a a a a a a a a a a a a −−−−−− =+++=+++22122311111111k k a a a a a a a a a ≤−+−++=− ，因为11,k a a a ==所以1111ka a −<，所以22111k A a a a a ≤−< ，即2A a <.。

新高考2023届高三仿真卷（一）数学(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·吕梁模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |log 2x <2}，则A ∩B 等于()A ．(－1,4)B ．(－1,3)C ．(0,3)D ．(0,4)2．(2022·长春模拟)已知复数z 的共轭复数z ＝2＋i3－i ，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2022·合肥模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则说法不正确的是()A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立春的晷长与立秋的晷长相同D ．立冬的晷长为一丈五寸4．(2022·重庆调研)函数y ＝ln cos x －π2<x ()5．(2022·邯郸模拟)(2－x 2展开式中的常数项为()A ．－15B ．－13C ．13D ．156．(2022·郑州模拟)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，EF ＝2，△BCF ，△ADE 都是等边三角形，则五面体ABCDEF 的体积为()A.4113B.20113C.8113D ．4117．(2022·荆州模拟)甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中．则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是()A.730B.715C.760D.1208．(2022·成都模拟)已知双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作斜率为3的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，则△AF 1B 的内切圆半径为()A.a 2B.a 6C.63a D.66a 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．(2022·洛阳模拟)已知m >n ，且m ＋n >1，则()A ．2m >2nB ．m 2>n 2C ．m 2－m <n 2－nD ．ln|m |＋ln|n |>010．(2022·淄博模拟)某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中()A ．众数可为3B ．中位数可为2C ．极差可为2D ．最大点数可为511．(2022·高邮模拟)已知函数f (x )＝sin(3x ＋φ－π2<φx ＝π8对称，那么()A ．函数fB ．函数f (x )在－π24，5π24上单调递增C ．若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为π3D ．函数f (x )的图象向右平移3π8个单位长度得到函数y ＝－cos 3x 的图象12．(2022·徐州模拟)已知函数f (x )＝x e x ，则()A ．曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝xB ．函数f (x )的极小值为－eC ．当23e 2≤a <12e时，f (x )<a (x －1)仅有一个整数解D ．当2e<a ≤3e 22时，f (x )<a (x －1)仅有一个整数解三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2022·淮安模拟)a ，b 满足a ＝(1,2)，|b |＝10，a ·b ＝522，则cos 〈a ，b 〉＝________.14．(2022·蚌埠模拟)国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市(区)包括上海市3个区、江苏省3个市、浙江省2个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共8个市，则帮扶方案中上海市3个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为________．(用数字作答)15．(2022·济宁模拟)已知点A 是焦点为F 的抛物线Γ：y 2＝4x 上的动点，且不与坐标原点O 重合，线段OA 的垂直平分线交x 轴于点B .若AF →＝2CF →，则|AB |－|AC |＝________.16．(2022·哈尔滨模拟)已知m >0，若对任意的x ∈[1，＋∞)，不等式2mx －1－1m log 4x ≥0恒成立，则m 的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2022·秦皇岛模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝36，且a 8是a 5与a 13的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n .18．(12分)(2022·兰州模拟)重楼，中药名，具有清热解毒、消肿止痛、凉肝定惊之功效，具有极高的药用价值．近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生重楼资源已经满足不了市场的需求，巨大的经济价值提升了家种重楼的热度，某机构统计了近几年某地家种重楼年产量y (单位：吨)，统计数据如表所示．年份2016201720182019202020212022年份代码x 1234567年产量y /吨130180320390460550630(1)根据表中的统计数据，求出y 关于x 的经验回归方程；(2)根据(1)中所求方程预测2024年该地家种重楼的年产量．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!＝错误!，a ^＝y －b ^x .19．(12分)(2022·深圳模拟)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＋a ＝b (3sin C ＋cos C )．(1)求B ；(2)若a ＝2，求c 的取值范围．20．(12分)(2022·新余模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ，E 是PA 的中点．(1)求证：平面PAB ⊥平面BCE ；(2)若BC ＝62AB ，求平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值．21．(12分)(2022·长沙模拟)已知离心率为12的椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P PF 1F 2的周长为6，且F 1为抛物线C 2：y 2＝－2px (p >0)的焦点．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)过椭圆C 1的左顶点Q 的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，点O 为原点，射线OA ，OB 分别交椭圆于C ，D 两点，△OCD 的面积为S 1，△OAB 的面积为S 2.则是否存在直线l 使得S 2＝133S 1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )＝e x －ax －a ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调区间；(2)当a＝1时，令g(x)＝2f(x)x2.①证明：当x>0时，g(x)>1；②若数列{x n}(n∈N*)满足x1＝13，1e n x＋＝g(x n)，证明：2n(e n x－1)<1.参考答案1．C 2.D3.C4.A5.B6.B7．A[由题知，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为12×12＝14，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球；第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为35×13＋25×23＝715，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为760.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为760.故所求概率为760＋760＝730.]8．C[如图，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，得F 2(2a ,0)，则|AF 2|2＝(x 1－2a )2＋y 21＝(x 1－2a )2＋x 21－a2＝2x 21－22ax 1＋a 2＝(2x 1－a )2，所以|AF 2|＝2x 1－a .(*)又∠AF 2M ＝60°，则|AF 2|cos 60°＝|F 2M |＝x 1－2a ，即x 1＝12|AF 2|＋2a ，代入(*)式得|AF 2|2|＋2a ，即|AF 2|＝(2＋2)a ，同理|BF 2|＝(2－2)a ，则|AB |＝4a ，1AF B S △＝12|F 1F 2|·|AB |sin 60°＝26a 2，故△AF 1B 的内切圆半径r 满足12(|F 1A |＋|F 1B |＋|AB |)r ＝1AF B S △，又|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＋4a ＝8a ，所以12×12a ×r ＝26a 2，解得r ＝63a .]9．AB 10．AC[如果五次都为3，满足题意，众数为3，符合题意，故A 正确；若中位数为2，则出现2,2,2,4,5这组情况方差最小，但此时方差大于1，不符合题意，故B 错误；2,3,3,3,4这种情况下方差为0.4，极差为2，故C 正确；若最大点数为5，当方差最小时，该组数为2,2,3,3,5，该组数的方差大于1，故D 错误．]11．AC [因为f (x )＝sin(3x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，所以3×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，得φ＝π8＋k π，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝π8，所以f (x )＝x对于A ，f ＝sin 3＋π8＝sin 3x ，所以fA 正确；对于B ，当x ∈－π24，5π24时，3x ＋π8∈0，3π4，函数f (x )在－π24，5π24上不是单调函数，故B 不正确；对于C ，因为f (x )max ＝1，f (x )min ＝－1，又因为|f (x 1)－f (x 2)|＝2，所以|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即2π3×12＝π3，故C 正确；对于D ，函数f (x )的图象向右平移3π8个单位长度得到y ＝sin 3＋π8＝sin(3x －π)＝－sin 3x ，故D 不正确．]12．AC[f ′(x )＝(x ＋1)e x ，则切线的斜率为k ＝f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，故A 正确；f (x )＝x e x 在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x ＝－1时，f (x )有极小值，即f (－1)＝－e －1，故B 不正确；由于f (x )＝x e x 在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x ＝－1时，f (x )有最小值，即f (－1)＝－e －1.当x <－1时，x e x <0，则函数f (x )的图象在x 轴下方；当x >－1时，f (0)＝0，则函数f (x )存在一个零点x ＝0，故f (x )＝x e x 的图象如图所示，函数f (x )＝x e x 在直线y ＝a (x －1)下方的横坐标为整数的点只有一个，点A (－1，－e －1)，B (－2，－2e －2)，其中k P A ＝e －12＝12e ，k PB ＝2e －23＝23e 2，则k PB ≤a <k P A ，即23e 2≤a <12e，故C 正确，D 不正确．]13.1214.720015.32解析方法一由题意，不妨设A (x 0，y 0)，x 0>0，B (x B ,0)，D 为OA 的中点，则y 20＝4x 0，线段OA 的中点依题意得k OA ·k DB ＝－1，所以y0x 0·y 02x 02－x B ＝－1，所以y 20x 0(x 0－2x B )＝－1，所以4x 0x 0(x 0－2x B )＝－1，得x B ＝2＋12x 0，故|AB |＝|OB |＝12x 0＋2.因为AF →＝2CF →，所以C 为线段AF 的中点，又F (1,0)，所以|AC |＝12|AF |＝x 0＋12，所以|AB |－|AC |＝32.方法二由题意得F (1,0)，C 为线段AF 的中点，不妨设A (x 0，y 0)，x 0>0，则设线段OA 的垂直平分线为y＋y 02，令y ＝0，得x B ＝y 202x 0＋x 02，又y 20＝4x 0，所以x B ＝2＋x 02，则|AB |＝|OB |＝2＋x02.又|AC |＝x 0＋12，所以|AB |－|AC |＝2＋x 02－x 0＋12＝32.16.1eln 2解析2mx －1－1m log 4x ≥0变形为2mx －1－12mlog 2x ≥0，即2mx ≥1mlog 2x ，mx ·2mx ≥log 2x ·2log 2x ，设f (t )＝t ·2t (t >0)，f ′(t )＝2t ＋t ·2t ln 2>0，则f (t )是增函数，由f (mx )≥f (log 2x )恒成立得mx ≥log 2x ，即m ≥log 2x x，设g (x )＝log 2x x(x ≥1)，g ′(x )＝1－ln x x 2ln 2，当1<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1eln 2，所以m ≥1eln 2，即m 的最小值是1eln 2.17．解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题可知d >0，因为a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝4a 5＝36，所以a 5＝9，又a 8是a 5与a 13的等比中项，所以a 28＝a 5a 13，即(a 5＋3d )2＝a 5(a 5＋8d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n…＝n 2n ＋1.18．解(1)由表格数据，得x ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y ＝130＋180＋320＋390＋460＋550＋6307＝380，错误!i y i ＝1×130＋2×180＋3×320＋4×390＋5×460＋6×550＋7×630＝13020，错误!2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140，则b ^＝13020－7×4×380140－7×16＝238028＝85，所以a ^＝y －b ^x ＝380－85×4＝40，所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝85x ＋40.(2)由题可知，2024年的年份代码为9，即x ＝9，将x ＝9代入回归方程，得y ^＝85×9＋40＝805，所以预测2024年该地家种重楼的年产量为805吨．19．解(1)由c ＋a ＝b (3sin C ＋cos C )及正弦定理得sin C ＋sin A ＝3sin B sin C ＋sin B cos C ，所以sin C ＝3sin B sin C ＋sin B ·cos C －sin(B ＋C )＝3sin B sin C －cos B sin C ，因为0<C <π2，所以sin C ≠0，所以3sin B －cos B ＝1，从而＝12.因为0<B <π2，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，所以c ＝2sin C sin A ＝2sin (A ＋B )sin A ＝sin A ＋3cos A sin A＝1＋3cos A sin A ＝1＋3tan A.因为△ABC 是锐角三角形，A <π2，C ＝2π3－A <π2，解得π6<A <π2.因为y ＝tan x所以tan A >33.从而0<3tan A<3，所以1<c <4，即c 的取值范围是(1,4)．20．(1)证明因为PB ＝AB ，E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ，同理可得PA ⊥CE ，因为BE ∩CE ＝E ，BE ，CE ⊂平面BCE ，所以PA ⊥平面BCE .因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BCE .(2)解设AB ＝2，因为BC ＝62AB ，所以BC ＝6，又BE ＝CE ＝3，所以BE 2＋CE 2＝BC 2，所以BE ⊥CE .如图，以点E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，则E (0,0,0)，A (0,0，－1)，B (3，0,0)，C (0，3，0)，所以AB →＝(3，0,1)，AC →＝(0，3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，1·AB →＝0，1·AC →＝0，＋z ＝0，＋z ＝0，令x ＝3，可得z ＝－3，y ＝3，所以平面ABC 的一个法向量为n 1＝(3，3，－3)．易知CE ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝315×1＝55，所以平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值为255.21．解(1)＋2c ＝6，＝12，＝b 2＋c 2，＝2，＝3，＝1，∴椭圆C1的方程为x24＋y23＝1，F1(－1,0)，∴抛物线C2的方程为y2＝－4x.(2)由题意得，直线l的斜率不为0，Q(－2,0)，设直线l的方程为x＝my－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝my－2，2＝－4x，得y2＋4my－8＝0，∴y1＋y2＝－4m，y1y2＝－8，∵S2＝133S1，∴S2S1＝12|OA|·|OB|sin∠AOB12|OC|·|OD|sin∠COD＝|OA|·|OB||OC|·|OD|＝|y1y3||y2y4|＝|y1y2y3y4|＝133，∵y21＝－4x1，∴直线OA的斜率为y1x1＝－4y1，即直线OA的方程为y＝－4y1x，＝－4y1x，＋y23＝1，得y23＝3×643y21＋64，同理可得y24＝3×643y22＋64，y23·y24＝3×643y21＋64×3×643y22＋64＝32×6429y21y22＋3×64(y21＋y22)＋642＝32×6429×64＋3×64×[(－4m)2＋16]＋642＝32×6448m 2＋121，＝|y 1y 2|2|y 3y 4|2＝121＋48m 29＝13232，解得m ＝±1，∴存在直线l ，方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0.22．(1)解函数f (x )＝e x －ax －a 的定义域为R ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝e x －a >0，解得x >ln a ，令f ′(x )＝e x －a <0，解得x <ln a ，即f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)证明当a ＝1时，g (x )＝2(e x －x －1)x2，①当x >0时，2(e x －x －1)x 2>1⇔e x >1＋x ＋x 22⇔12x 2＋x ＋1ex <1，令F (x )＝12x 2＋x ＋1ex －1，x >0，则F ′(x )＝－12x 2e x<0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减，F (x )<F (0)＝1e0－1＝0，因此12x 2＋x ＋1e x<1成立，所以当x >0时，g (x )>1.②由①可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>1，由x 1＝13得2e x ＝g (x 1)>1，即x 2>0，由1e n x ＋＝g (x n )，可得x n >0，而113e 1=e 1x --，又e ＝e －278<0，即13e <32，则113e 1=e 1x --<12，由于2n (e n x －1)<1⇔e nx －，只需证1e n x ＋－1<12(e n x －1)⇔g (x n )－1<1e 2n x －12，又当x >0时，g (x )－1<12e x －12⇔(x 2－4)e x ＋x 2＋4x ＋4＝(x －2)·(x ＋2)e x ＋(x ＋2)2>0⇔(x －2)e x x ＋2＋1>0，令h (x )＝(x －2)e x x ＋2＋1，x >0，h ′(x )＝x 2e x (x ＋2)2>0恒成立，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )>h (0)＝0，则当x >0时，恒有(x －2)e x x ＋2＋1>0，而x n >0，即g (x n )－1<1e 2n x －12成立，不等式1e n x ＋－1<12(e n x －1)成立，因此1en x ＋－1<12(e n x －1)<122(1e n x -－1)<…<12n (1e x －1)<12n ＋1成立，即e n x －成立，所以原不等式得证．。