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第十六章 量子力学基础

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量子力学基础

量子力学基础

量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。

它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。

这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。

2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。

不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。

3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。

它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。

根据波函数，可以得出粒子的概率分布。

4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。

物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。

5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。

它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。

量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。

它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。

大学物理完整ch16量子力学基础-

大学物理完整ch16量子力学基础-
2 、里兹组合原则
其他元素的光谱也可用两光谱项之差表示其波数，即：
~T (m )T (n )
前项参数的 m 值对应着谱线系。后项参数n 的值对应着各谱线系中的光谱系。
3 、卢瑟福原子核式模型 原子中的全部正电荷和几乎全部质量都集中
在原子中央一个很小的体积内，称为原子核，原 子中的电子在核的周围绕核作圆周运动。
波尔理论的缺陷在于没有完全摆脱经典物 理的束缚。一方面他把微观粒子看作经典力学 的质点。另一方面，又人为地加上一些与经典 不相容的量子化条件来限定稳定状态的轨道。
1929诺贝尔物理学奖
L.V.德布罗意 电子波动性的理论
研究
1937诺贝尔物理学奖
C.J.戴维孙 通过实验发现晶体
对电子的衍射作用
普朗克提出的量子假设不仅成功地解决了黑 体辐射的“紫外灾难”的难题，而且开创了物理 学研究的新局面，为量子力学的诞生奠定了基础。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现物理方面的贡
献，特别是阐明光 电效应的定律
16-2 光的量子性 一、光子理论
爱因斯坦的光子理论（光子假设）： 光是以光速运动的光量子流（简称光子流），
mT b
b2.891 8 03mK— 维恩常数
m 当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度

峰值波长
最大值向短波方向移动。
1918诺贝尔物理学奖
M.V.普朗克 研究辐射的量子理 论，发现基本量子 ，提出能量量子化 的假设
二、普朗克量子假设
瑞利和金斯公式：
MB

2ckT 4
按瑞利和金斯公式计算所得的曲线在长波区与
2、 波函数的统计解释
粒子运动状态的波函数的模的平方代表着微 观粒子在空间某点出现的概率密度（空间某点单 位体积内发现粒子的概率）。

大学物理理论：量子力学基础

大学物理理论：量子力学基础

大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。

2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。

解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。

2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。

通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。

3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。

通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。

3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。

这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。

4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。

它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。

4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。

这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。

5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。

它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。

5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。

6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。

介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。

6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。

结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。

16-量子物理基础-1

16-量子物理基础-1

约99%
黑体辐射的特点 ：
黑体模型
• 温度
黑体热辐射
• 与同温度其它物体的热辐射相比，黑体热辐射本
领最强
6
2. 测量黑体辐射的实验装置
s小孔 L1
T
平行光管
空腔 测腔内电磁场能量分布 棱镜
L2 会聚透镜
c
热电偶
7
3. 实验公式:
MB (10-7 × W / m2 ·m)
1). 斯特藩——玻耳兹曼定律: 总辐射能(辐出度)
e0
(,T
)
C1
5
eC2
/ T
量按频率的分布类似于麦克斯韦速度分布律。
●1900年瑞利从能量按自由度均分定理出发,得出黑体腔
内，单位体积，单位波长间隔的辐射能(即单色辐出度)
M(λ,T)
瑞利 — 金斯公式
e0
(,T
)
C3T
4
紫 外 灾
普朗克公式(1900年) 难
e0 (,T )
1
5
2πhc2 ehc kT 1
1
普朗克 (Plank)
玻尔(Bohr)
爱因斯坦 (Einstein)
德布罗意
薛定谔
海森伯 2
16.1 黑体辐射 普朗克量子假设
一、热辐射的基本概念
1. 热辐射 : 由温度决定的物体的电磁辐射。 如: 炉火 ❖ 物体辐射电磁波的同时也吸收电磁波。
入射
反射
吸收
透射
辐射
❖ 辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化，
此时物体的热辐射称为平衡热辐射。
3
2. 单色辐出度 —- 在一定温度T 下，物体单位表面积
在单位时间内辐射的波长在λ~ λ +dλ 范围

量子力学基础

量子力学基础

量子力学基础
1 量子力学
量子力学是20世纪初在物理学中提出的理论，它是研究微观物理
现象的科学理论。

它可以描述元子、原子和分子的一般特性，还可以
用于解释多种物质的晶体结构及其他物理性质。

它的基本概念是微观世界中的物理量不再遵循经典物理学。

量子
力学认为，物质的基本特性不再是经典物理学中的连续性和可压缩性，而是量子概念体现的离散性和不可分割性。

2 基本原理
量子力学的基本原理是基本物质粒子是和弦性，也就是物质具有
波和粒子双重性，不同物质之间及物质量之间都有联系，这种联系实
际上在量子力学中被形象描述为薛定谔方程。

此外，量子力学还涉及光子、原子、电子和晶体之间的相互作用，以及晶体结构的形成。

例如，量子理论可以用来解释晶体中的空间结构，特性的微观原因，以及晶体的光学性质，磁性，热力学性质等。

3 应用
量子力学存在了很长时间，但是真正开始发挥作用一直到20世纪
初才开始，因为它为研究微观物理现象提供了一种新的和不同的视角，甚至可以被用来解释一些在经典物理学无法解释的现象。

现在，量子力学的基本理论已经被广泛应用于化学、物理学、凝聚态物理学、核物理学和天体物理学。

量子力学的基本原理也被用于一些新的和先进的技术，比如超导电子学、量子计算机等。

16-1-2 波函数及其统计诠释

16-1-2 波函数及其统计诠释

5. 波函数满足态叠加原理。 ——量子力学理论的一个基本假设
如果波函数 1 (r , t ) , 2 (r , t ), …都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
(r ,t ) c1 1 (r ,t ) c2 2 (r ,t ) ci i (r ,t )
二、在量子力学中波函数的统计意义 1、经典物理学中的波函数 力学： 电磁学：
y( x, t ) A cos(t kx)
E (r , t ) E0 cos(k r t ) B(r , t ) B0 cos(k r t )
在经典物理学中，从波动现象中得到波函数， 波函数表达出某一个具体的物理量随时间的变化 规律，以及该物理量随空间位置的变化规律。 波函数是具有物理意义的。
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 出现在 dV 内概率：
dW Ψ (r , t ) dV
2
dV=dx dy dz
( x, y, z, t ) dxdydz 或 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
2

则在t 时刻、在空间（x,y,z）附近的单位体积内粒子 出现的概率，即概率密度，为
( x , y , z , t ) ( x, y , z , t )

2
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
1882～1970
他的相关作品: 《晶体点阵动力学》（1915年） 《爱因斯坦相对论》（1920年） 《固态原子理论》（1923年） 《原子动力学问题》（1926年） 《原子物理学》（1935年） 《晶格动力学》（1954年） 《物理学实验与理论》（1943年） 《我们一代的物理学》（1956年） 《物理学与政治学》（1962年）

量子力学基础知识

量子力学基础知识

量子力学基础知识一、引言量子力学是研究微观领域的物质与能量相互作用的理论框架。

自从其诞生以来，量子力学一直在推动科学的发展，并给人们对宇宙的认识带来了巨大的变革。

本文将介绍量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本原理、波粒二象性以及量子力学的测量等内容。

二、量子力学的起源量子力学起源于20世纪20年代，由一系列学者的贡献构建而成。

其中，德国物理学家普朗克的能量量子化假设和波尔的量子化条件为量子力学的产生奠定了基础。

普朗克假设能量的辐射是离散的，而非连续的，基于这一假设，波尔提出了电子只能存在于特定的能级上，并且在能级间跃迁时会放出或吸收能量。

这些基本思想为量子力学的建立提供了理论依据。

三、量子力学的基本原理1. 状态和波函数在量子力学中，一个粒子的状态可以由波函数来描述。

波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布情况。

根据波函数的不同形式，可以分为定态波函数和非定态波函数。

定态波函数描述的是粒子在确定能级的状态，而非定态波函数描述的是粒子在多个能级之间的叠加态。

2. 波粒二象性量子力学中最重要的原理之一是波粒二象性。

根据波粒二象性，物质既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

对于微观粒子，如电子、光子等，它们的波动特性可以通过波函数来描述，而粒子性则体现在其具有一定的质量和动量。

3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的又一基本原理。

它指出，在同一时刻，无法准确测量一个粒子的多个性质，如位置和动量，或者能量和时间。

这是因为在测量的过程中，会对被测量粒子产生扰动，从而导致测量结果的不准确性。

四、量子力学的测量在量子力学中，粒子的测量是通过测量算符来实现的。

测量算符对应于一个可观测量，如位置、动量、能量等。

在测量的过程中，波函数会坍缩到一个特定的本征态上，这个本征态对应于特定的测量结果。

五、应用与展望量子力学在科学技术领域有着广泛的应用。

其中，量子计算、量子通信和量子物质等领域备受关注。

量子力学基础通用课件

量子力学基础通用课件
历史发展
量子力学的起源可以追溯到20世纪初，由普朗克、爱因斯坦、玻尔等科学家的 开创性工作奠定基石。随后，薛定谔、海森堡、狄拉克等科学家进一步完善了 量子力学理论体系。
量子力学的基本概念和原理
基本概念
波函数、量子态、测量、算符等 是量子力学的基本概念，用于描 述微观粒子的状态和性质。
基本原理
叠加原理、测不准原理、量子纠 缠等是量子力学的基本原理，反 映了微观世界的奇特性质和规律 。
应用领域
量子计算和量子信息在密码学、 化学模拟、优化问题、机器学习 等领域具有广泛的应用前景。
05
现代量子力学研究的前沿问题
量子纠缠和量子通信
量子纠缠的研究现状和意义
详细介绍量子纠缠的概念、性质，以及其在量子信息传输、量子 密码学等领域的应用。
基于纠缠态的量子通信协议
如BB84协议、E91协议等，并分析它们的优缺点。
应用总结
量子力学在多个领域有着广泛应用，如原子能级与光谱、半导体器件、超导与磁性材料、量子计算与 量子信息等。通过本课件的学习，学生应能了解这些应用背后的量子力学原理，以及量子力学在解决 实际问题时的优势与局限。
对未来量子力学研究和发展的展望
理论研究展望
随着实验技术的进步，未来量子力学研 究将更加注重高精度、高效率的数值模 拟与解析计算，以解决复杂多体问题、 拓扑物态、量子引力等前沿课题。此外 ，与相对论、宇宙学等其他理论的交叉 研究也将成为热点。
THANKS
感谢观看
对于包含多个电子的原子，需要考虑电子之间的相互作用和自旋等效应。多电子原子的量子力学处理更为复杂， 需要采用近似方法和数值计算等手段进行求解。
04
量子力学的应用和实验验证
量子隧穿效应

第十六章量子力学基础

第十六章量子力学基础

第十六章 量子力学基础一、 基本要求1、 了解波函数的概念及其统计意义 ，理解微观粒子的波动性2、了解一维定态的薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件，以及量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱、一维谐振子等微观物理问题的方法 。

3、了解量子力学对氢原子问题处理的基本方法，理解描述氢原子量子态的三个量子数（m l n ,,）的函义和能级公式。

了解核外电子概率分布的函数形式和意义。

二、 基本内容本章重点：建立量子物理的基本概念，了解微观粒子运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、一维定态的薛定谔方程及其应用。

本章难点：波函数及其核外电子概率分布的意义。

（一）波函数及其统计意义：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数),(t rψ 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。

（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数),(t rψ 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。

量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。

微观粒子的概率波的波函数是：),,,(),(t z y x t r ψψ=概率密度： 波函数模的平方2|),(|t r ψ代表时刻t ，在r 处附近空间单位体积中粒子出现的几率。

因此2|),(|t rψ也被称为概率密度。

即某一时刻出现在某点附近在体积元dV 中的粒子的概率为：或τψd t r ⋅2|),(| 波函数必须满足标准化条件：单值、连续、有限。

波函数必须满足归一化条件：zy x t z y x d d d ),,,(2ψ),,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x ψψρ*=1d )()(=⎰*τψψVt r t r ,,（二）薛定谔方程： 1、含时薛定谔方程：量子力学中微观粒子的状态用波函数来描述，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程。

16周量子力学基础

16周量子力学基础

11
m
rn n r1 (n 1,2,3,)
1 e 2 无穷远处 第 n 轨道电子总能量 En mvn 2 4π 0 rn 势能零点
2 v2 e2 1 e 2 由m mv 2 rn 4 0 rn 2 8 0 rn2
2
所以有：
me En 2 2 2 8 0 rn 8 0 n h
假设二 电子以速度 v在半径为 的圆周上绕核运 动时，只有电子的角动量 L 等于 h 2π 的整数倍的那些 轨道是稳定的 .
r
h 量子化条件 L mvr n 2π
n 1,2,3,
主量子数
假设三 当原子从高能量 Ei 的定态跃迁到低能量 E f 的定态时，要发射频率为 的光子.

频率条件
一、放射性衰变

射线：电子

射线：氦核
4 2
He e
（+反中微子）
（+中微子）
0 1

射线：正电子 0 e
1
射线：光子流
放射性衰变规律：严格遵循：电荷数、质量数、能量、 动量守恒 衰变能：衰变前后能量的变化，用 Q 表示
衰变 1、
226 88
Ra
222 86
Rn He Q
四
氢原子玻尔理论的意义和困难
（1）正确地指出原子能级的存在（原子能量量子化）；
（2）正确地指出定态和角动量量子化的概念；
（3）正确的解释了氢原子及类氢离子光谱； （4）无法解释比氢原子更复杂的原子； （5）把微观粒子的运动视为有确定的轨道是不正确的；
（6）是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把
h Ei E f
（3）氢原子轨道半径和能量

量子力学基础

量子力学基础

量子力学基础引言量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它揭示了物质和辐射在原子尺度上的基本规律。

本文将简要介绍量子力学的基本原理和概念。

波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

这一现象最早由德布罗意提出，他假设所有物质都具有波粒二象性，并提出了著名的德布罗意波长公式：λ = h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。

不确定性原理另一个重要的概念是海森堡提出的不确定性原理，它指出我们无法同时精确测量一个粒子的位置和动量。

这个原理可以用数学公式表示为：Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。

薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的演化。

对于非相对论性量子系统，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中ψ是波函数，H是哈密顿算符，它包含了系统的所有信息。

量子态和波函数在量子力学中，一个系统的状态由波函数ψ描述。

波函数是一个复数函数，其模方|ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率密度。

波函数的归一化条件是∫|ψ|^2dV=1，确保总概率为1。

量子力学的应用量子力学在许多领域都有应用，包括原子物理、分子化学、凝聚态物理、核物理等。

例如，量子力学解释了原子的稳定性、化学反应的机制、半导体的工作原理等。

此外，量子力学还推动了新兴技术的发展，如量子计算、量子通信等。

总结总之，量子力学是一门深奥而美丽的学科，它改变了我们对自然界的认识。

虽然量子力学的概念可能难以直观理解，但它为我们提供了一种强大的工具来探索和理解微观世界的奥秘。

量子力学的基础知识

量子力学的基础知识

量子力学的基础知识量子力学是物理学的一个分支，它旨在研究细小、基本的属性微观世界。

它是现代物理学的基础，也是其他学科的基础。

量子力学的基础知识主要包括波动粒子双重性、原子与多原子体的结构与能级、原子核的结构、分子的结构与条件引力、量子化中所运用的一些基本原理、量子热力学和量子力学应用。

首先，量子力学的最基本原理是波动粒子双重性。

根据普朗克定律，宇宙中所有物理实体都可以作为同时具有粒子和波动性质的双重性体来描述，即物质既具有粒子性质也具有波动性质。

粒子性质表现为它们可以被视为有形的小粒子，具有线性和有效质量。

而波动性质表现为它们可以被视为一种振幅，可以按照一定的波动模式移动。

紧接着，原子与多原子体的结构与能级是量子力学的另一个基本知识点。

原子与多原子体通常由多个电子组成，每个电子都在其单独的能量状态中运动。

它们的不同的能量状态由电子的总角动量和总角动量的分量来描述。

由于电子的角动量和角动量分量差异，不同的原子和分子会在不同的能量状态之间跃迁，从而产生一系列的光辐射，从而产生一系列的化学作用。

随后，原子核的结构是量子力学研究的另一个重要方面。

核子通常由多个中子和多个质子组成，这些中子和质子受到强大的内部核力的作用，由此产生了一个复杂的核子结构。

这种结构决定了原子核的稳定性，决定了其在环境中的变化，以及原子核可能会产生哪些核反应。

此外，分子的结构与条件引力也是量子力学的基本知识点之一。

分子由多个原子组成，这些原子之间存在着一种叫做条件引力的相互作用，这种作用使得它们可以形成分子结构。

对于一个给定的分子，它的结构由条件引力的强弱来确定，其稳定性也由当时的条件引力来决定。

条件引力也为分子谱研究提供了基础，通过研究条件引力的本质，可以计算出分子的振动能以及分子的吸收光谱。

另外，量子化中所使用的一些基本原理也是量子力学的基础知识。

量子化是描述微观系统的最基本和有效的方法之一，它将粒子和波动性质都考虑在内，并通过求解基本方程式来描述物理系统的行为。

大学物理量子物理课件

大学物理量子物理课件

2
c
sin
2
θ
2
其= 中 λc h= / m0c 0.0024 nm（电子的康普顿波长）
∆λλ=λλ −
0=
2
c
sin
2
θ
2
= λc h= / m0c 0.0024 nm
结论： 1. 波长的改变量 ∆λ 与散射角θ有关，散
射角θ 越大， ∆λ 也越大。
2. 波长的改变量∆λ与入射光的波长无关。
问题：为什么在可见光的散射实验中我们没有看到 康普顿效应呢？用x射线是否能看到？
通有电流的电炉丝
热辐射频谱分布曲线 λ
总结：(热辐射的特点) (1) 连续； (2) 频谱分布随温度变化； (3) 温度越高,辐射越强； (4) 物体的辐射本领与温度、材料有关； 辐射本领越大，吸收本领也越大.
通有电流的灯丝 不同温度的铆钉
二、黑体和黑体辐射的基本规律
1. 黑体（绝对黑体） 能完全吸收各种频率的电磁波而无反射的物体,称为黑体。
§16.1 热辐射 普朗克能量子假设
主要内容：
1. 热辐射现象 2. 黑体辐射的规律 3. 普朗克公式和能量量子化假设
一、热辐射 物体内的分子、原子受到热激 发而发射电磁辐射的现象。
物体辐射总能量及能量按波长 分布都决定于温度
例如：加热铁块
（人头部热辐射像）
800K 1000K 1200K 1400K
I 越强 , 到阴极的光子越多, 则逸出的光电子越多.
光电子最大初动能和光频率 ν 成线性关系.
光频率ν > A/h 时，电子吸收一个光子即可克服逸出功 A 逸出 ( ν o= A/h) .
电子吸收一个光子即可逸出，不需要长时间的能量积累.
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2m ⎛ A⎞ ⎜ E − ⎟ Ψ ( x, y, z ) = 0 ℏ2 ⎝ r⎠
16-6
如果可以将氢原子看作无限深势阱， 电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为 10-10 m，
试求电子处于基态和第一激发态的能量。
解：根据无限深势阱的能量表达式，可以将电子的能级写为： En = n 2
π 2 ℏ2 , n = 1, 2,3, ⋯ 2 me a 2
�
�
�
�
� 2 � 2 Ψ ( ri , t ) AΨ ( ri ,t ) 所以， 波函数允许包含一个任意的常数因子。 这与经典物理中的波也是不同的。 = 2 � � 2 Ψ ( rj , t ) AΨ ( rj , t )
16-2 概述概率波波函数的物理意义。
答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 的模的平方： Ψ ( r , t ) 表示在空间某处粒子被 发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。
ℏ2 2 A ∇ + 2m r
ˆ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 式中 A 是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式： H
中，得： ⎜ −
ℏ2 2 A ⎞ ∇ + ⎟ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) r⎠ ⎝ 2m ⎛
整理得： ∇ 2 Ψ ( x, y, z ) +
将有关数据代入上式，得： En = 37.6n 2 eV
(
)
基态： n = 1
E1 = 37.6 eV
第一激发态： n = 2
E1 = 150 eV
16-7
如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为 10-14
m，试求质子和中子处于基态的能量。
解：将质子和中子的质量( m p = 1.673 ×10−27 kg 、 m n = 1.675 ×10−27 kg )以及有关数据代入无限深势阱的 能量表达式 En = n 2
4
子的概率不等于零，不存在什么禁区。
（2）按经典力学的规律，在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大，停留的时间为最短，而在最大位移处(x = ±A)，振子的速度为零，停留的时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得出在平衡位置粒子出 现的概率最小，而在最大位移处粒子出现的概率最大。
（3）经典谐振子零点的能量为零。而量子状态下的谐振子的零点能为： E0 =
Hn ( ξ )
式中 An 是常量，可用归一化条件
µω x 表示， µ 是谐振子的质量。 ℏ
在第一激发态， n = 1 ，波函数为： ψ 1 ( ξ ) = 2 A1ξ e
1 − ξ2 2
对概率密度取极值：
1 − ξ2 2 d d ψ1 (ξ ) = 2 A1ξ e 2 dξ dξ： ξ = ±1 ,
1 ℏω 2
（4）一维揩振子的能量只能取一系列分立值： En = ⎜ n +
⎛ ⎝
1⎞ ⎟ ℏω 而经典的谐振子的能量是连续的。 2⎠
16-10
求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。
1 − ξ2 2
解：一维线性谐振子波函数的一般形式为：ψ n ( ξ ) = An e 确定，在此与我们的题目无关。变量 ξ 由式： ξ = α x =
即得： x = ±
ℏ µω
16-11
试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。
解：处于基态的氢原子波函数为：ψ 100 ( r ) =
1
π a3
e
−
r a
式中 a 就是玻尔半径 a0 。半径 r 的平均值可以表示为：
5
r =∫
2π
0
∫ ∫
0
π
∞
0
ψ 100 r 3 sin θ d ϕd θ dr =
如果粒子的波函数为 Ψ ( r ,θ ,ϕ ) ，试求：(1)在 r → r + dr 的球壳内找到粒子的概率；(2)在 (θ ,ϕ )
方向上、在 d Ω = sin θ dθ d ϕ 立体角内找到粒子的概率。
解(1)在 r → r + dr 的球壳内找到粒子的概率： ⎡
⎢ ∫0 ⎣
π
(∫
2π
0
2 2 Ψ ( r , θ , ϕ ) d ϕ sin θ d θ ⎤ ⎥ r dr ⎦
(2)
在势阱范围内、并使式(1)得到满足的 m 值只能是 0、1、2.因为当为 0 和 1 时，x = 0 和 a ，波函数 及其概率密度都等于零， 对应于概率密度极小值。 所以能满足概率密度极大值的只能是 m = 1， 此时 x =
a 。 2
当粒子处于状态: ψ 2 ( x ) =
2 2π x sin a a
即： −
ℏ2 2 ∇ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 2m 2 mE Ψ ( x, y, z ) = 0 ℏ2
或： ∇ 2 Ψ ( x, y, z ) +
(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为： E =
p2 p2 A +U (r) = + 2m 2m r
2
ˆ =− 哈密顿量应写为： H
)
(
)
(
)
16-5
试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。
解：(1)自由粒子的动能为
ℏ2 2 ℏ2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ p2 ，写成算符为： − ∇ =− ⎜ 2+ 2+ 2⎟ 2m 2m ⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠ 2m
ˆ Ψ ( x, y, z ) = EΨ ( x, y, z ) 因为在这种情况下， 粒子的动能就是粒子的总能量 E， 所以定态薛定谔方程为： H
第十六章 量子力学基础
16-1 试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。
答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 Ψ ( r , t ) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动 性，就是德布罗意波，也称为概率波。它与经典物理中的波有如下区别：
�
（1）描述微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。这与经典 物理中的波是不同的。
�
�
2
波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。（3）波函数允许包含 一个任意的常数因子（即： Ψ ( r , t ) 与 AΨ ( r , t ) 描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数
�
�
1
� � Ψ1 ( r , t ) 、 Ψ 2 ( r , t ) ⋯ 都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能
=−
⎛ ⎞ e2 1 e 2 me e 2 me e 4 me e 4 =− =− = 2⎜ − ⎟ = 2E1 2 2 2 2 2 ⎜ ⎟ 4πε 0 a0 4πε 0 4πε 0 ℏ ( 4πε 0 ) ℏ ⎝ 2 ( 4πε 0 ) ℏ ⎠
其中： E1 = −
me e4
2 ( 4πε 0 ) ℏ2
时，发现粒子的概率密度为: ψ 2 ( x )
2
=
2 2 2π x . sin a a
对上式求极值:
2 d d ⎡2 2π x ⎤ 4π x a ψ 2 ( x ) = ⎢ sin2 = 0 解得： sin = 0 故得： x = m dx dx ⎣ a a ⎥ a 4 ⎦
在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的 m 是 1 和 3，即： x =
的量子态。（5）波函数必定是复数。
16-3 如果粒子的波函数为 Ψ ( x, y, z ) ，试求出在 x → x + dx 、 y → y + dy 、 z → z + dz 范围内找到粒 子的概率的表达式。
解：在题意所述范围内找到粒子的概率为： Ψ ( x , y , z ) dxdydz
2
16-4
)
(2)在 (θ , ϕ ) 方向上、在 d Ω = sin θ dθ d ϕ 立体角内找到粒子的概率为：
∫
∞
0
( Ψ ( r,θ ,ϕ )
2
∞ ∞ 2 2 r 2 sin θ dθ d ϕ dr = ⎡ Ψ ( r , θ , ϕ ) r 2 dr ⎤ sin θd θd ϕ = ⎡ Ψ (r , θ , ϕ ) r 2 dr ⎤ dΩ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
氢原子基态能量。
所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的 2 倍。
6
a 3a 和x= 4 4
15-9 试比较一维线性谐振子与经典的弹簧振子的区别
答：（1）按照经典力学的结论，一维谐振子的能量如式 E =
1 2 1 kA = µω 2 A 2 所表示，如果在势能曲线 2 2
的纵轴上取与振子能量相应的 E 点， 过 E 点作 x 轴的平行线，交势能曲 线上 M、N 两点，如图所示。M 和 N 所对应的横坐标的绝对值就是振子 的最大位移，振子只能处于 x ≤ A 的范围内， x > A x 的区域则是经 典禁区，振子是不可能进入这个区域的。而在量子力学中，由于隧道效 应，粒子可以到达经典禁区，也就是说，在所谓“经典禁区”内发现粒
�
（2）微观粒子的波函数 Ψ ( r , t ) 的模的平方： Ψ ( r , t ) 表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概 率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。这与经典物理中的波也是不同的。
�
�
2
（3）在经典物理学中，波函数 Ψ ( r , t ) 和 AΨ ( r , t ) (A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态； 而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的 概率分布的相对大小是相同的。也就是说，对于空间任意两点 r i 和 r j 下面的关系必定成立：