偏导数与全微分习题

第一节偏导数与全微分一、单项选择题()()()()()00001.lim 11.0 . . .222.,,. . . .3.,x y A B C D z z z f x y x y x y A B C D f x y →→=-+∞∂∂=∂∂函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的充分条件必要条件充要条件无关条件关于函数()()()()()()()()()222222, 00, 0.,0,0 .0,00.0,00 .,0,04.,1tan x y xy x y x y x y A f x y B f C f D f x y f x y xy x ⎧⎫+≠⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭===+-下列表述错误的是在点处连续在点处不可微设函数则()()()()22221,0.0 .1 .2 .5.3,.6 .6 .3 .36.sin ,.2sin .cos y f A B C D z z x y y A y B xy C x D x z z x y x y xA xy yB x x y =∂==∂∂=+=∂++不存在设函数则设二元函数则()2222222.2sin .sin 7.1.1 .2 . .C xy x y D x y yz z z x y A B C x y D x y ++⎛⎫∂∂⎛⎫=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭++设二元函数则()()()()()20,1228.,|.0 .1 .2 .1,9.,,.2 .2 .2 .221x yz z xy e x A B C D f x y f xy x y x y x A B x C y D x y ∂=+=∂-∂-=+=∂+设函数则已知则()()()()()()()()331,12222220.ln ,|1. .33. .22 0,11.,0, z x y dz A dx dy B dx dy C dx dy D dx dy x y x y z f x y x y =+=++++++≠==+设则设()()()()()()()()()()0,(,)0,0;0,00,0,,,0,0 ,0,0.1 .2 .3 .412.,,lim x y x y f x y f f f x y f x y f x y A B C D f x y a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭''''则下列四个结论中，①在处连续②，存在；③在处连续；④在处可微.正确结论的个数为设在点处有偏导数，则()()()()()()()()()02222,,.0 .2, ., .,13.=ln ,32,232.ln 32+ .ln 332h x x y f a h b f a h b hA B f a b C f a b D f a b x z z u v u v x y y x x x x A x y B x y x y y y →+--=∂==-=∂--设函数而则()()()()()()2222222232+ 322.ln 32+ .ln 32+3232x y x y yx x x x C x y D x y y x y y y x y y ------二、填空题()()()()()()()2221021.,ln ,1,1 .22.,4,, .23.,lim , .ln 34., .5.3, y x y x y x y y x f x y y f y f x y e xye f x y x y f x y f x y x y z x dz z x y dz --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+==+==--===+=设则已知函数则函数设则设则设函数则()()()()()()()()2221,1320 .6.,sin ,, .7., .8.1,| .9.2,sin ,,| .110.x y y t t f x y xy df x y z z f x y e y z z xy y du u x y xy x t y e dt f x z f xy yf x y x ===⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭∂=+=∂=++===''=++设则设可微，则已知则设则设连续，2, .z x y∂=∂∂则2211., .12.ln = .x yz z e x yz z x y ∂==∂∂∂=∂∂设则设则二、计算题()()()2222220022222ln 1.,0,,2.arcsin .413.lim sin 4.sin ,,,.5.ln 6.,x y xxy y f x y x y x f x y x x y z x y x y z z z z x y ye x x x y z z z x y x yz z y x y→→⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭+=+++∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂=∂∂设求求函数计算极限设函数求设求已知求()()()()()()()2222327.,.8.2sin 2323,,,.9.,,sin ,10.,,,00.11.,,,,.12.x x y x xy z z e dz z z x y z x y x z f x y x ydz z f x e x dxu f x y z y y x z z x e y e xz du dxy z z z z x f xy f x y y x y +=∂∂+-=+-=+∂∂====-=-=∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂∂⎝⎭设求设确定了函数求求设有连续偏导数和分别由方程和所确定，求设具有连续的二阶偏导数，求设()()()()()()()()()222222,cos ,sin ,,,.13.0+0.10;210,11,z z z u v uv u x y v x y x yz z f u z f x y f u f u uf f f u ∂∂=-==∂∂∂∂=+=∂∂'''+='==而求设函数在，∞内具有二阶导数，且满足等式验证若求函数的表达式.四、证明题()()()()()()()()()2221.,,.2.,,,0,.3.,,0.4.1ln ,x f f f x y x y x y x y x yz z z x y xy xf z y z xf z y z x z y f z x y z z z z z x y F x y x y z xy y x x yy z z xf x y x f x x x ϕϕϕ∂∂-+=-+=+∂∂∂∂''=++≠-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂⎛⎫∂∂++=+=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫=+- ⎪∂⎝⎭证明设是的函数且证明：设函数由方程所确定，证明：设其中是任意的二次可微函数，求证：()22221.z y x y y ∂-=+∂。

第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

1．求当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时，函数23z x y =的全微分及全增量的值。

【解】⑴求全微分【解法一】由偏导数入手由23z x y =得32x z xy =，223y z x y =，所以3(2,1)22(1)4x z -=⨯⨯-=-，22(2,1)32(1)12y z -=⨯⨯-=，于是得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分为40.0212(0.01)0.20dz =-⨯+⨯-=-。

【解法二】由微分入手对23z x y =在等号两边求微分，得32223dz xy dx x y dy =+， 代入2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-，得32222(1)0.0232(1)(0.01)dz =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-0.20=-。

⑵求全增量由全增量公式(,)(,)z z x x y y z x y ∆=+∆+∆-得函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全增量为(2.02, 1.01)(2,1)z z z ∆=---23232.02)( 1.01)(2)(1)=---(4.0804( 1.030301)4(1)=⨯--⨯- 4.20404020044=-+0.2040402004=-0.20404-2．求下列各函数的全微分： ⑴ln(xyz e x y =++）；【解法一】先求偏导数，得1xyx z ye x y =++，1xyy z xe x y=++， 于是得 x y dz z dx z dy =+11()()xyxy ye dx xe dy x y x y=+++++。

【解法二】直接微分，得1()(xydz e ydx xdy dx dy x y=++++） 整理得 11()()xyxy dz ye dx xe dy x y x y=+++++ ⑵sin(z xy =）；【解法一】先求偏导数，得cos()x z xy y =⋅，cos()y z xy x =⋅，于是得 x y dz z dx z dy =+cos()cos()y xy dx x xy dy =+cos()()xy ydx xdy =+。