当前位置：文档之家 › 贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品

贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案word精品

  • 格式：docx
  • 大小：117.16 KB
  • 文档页数：20

加 I —W)W j04/(l -疔36840 (1 ) ,011.6习题讲解一、1,3,5,6,10,11,12,15 1.1记样本为X. p(x 0.1) Cs *0.1 2 *0.960.1488 p(x 0.2) C ；*0.22*0.86 0.2936 后验分布: 0.1 x 0.2 x 0.1488*0.70.1488*0.7 0.2936*0.3 0.2936*0.30.1488*0.7 0.2936*0.30.5418 0.4582苴它1o<e<iJ n1 m x 0p(x| ) [2(1® aG<e<i其它1 d°C ； 3(1)5*2(1 )d1112 3(1 )6d12( X)i …氏 设辱心…血 是栗ri 泊松分布praj 的 个样本swe 匚此样木的似然函数为匕现収仙也［分•仃Ga(fiL Q 粹为泊松分巾均们A 的址验匕们•即―oo < a v +c©的后验分布为192/ 7 6 86 192—87参故久的百验分布为兀(几斗)板I A)^(Z)'X /J+M jA服从伽玛分布Go辽対+桟申一八r-1 1.11由题意设x 表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,)P(X )亠 0 X 0, 其它 因为抽取3个样本，即X (x 1,x 2, x 3)，所以样本联合分布为丄 p(X) 3,0, X i ，X 2,X 3其它又因为 192/ 0, 所以，利用样本信息得 h(X, ) p(X )() 1 ~3 192 ~4 192 (~7 (8,0 X i ,X 2,X 3 )于是 m(X) 8 h(X,)d192 , rdp(x\A) = —Xi—, -OC < XIX/ < +OCh(X,) m(X)21p(x )— ,0 x0,即(x) ( n)1/0,即得证。

1.151样本的似然函数：p(x )1e服从伽马分布Ga n, nx-0.00024,20000.0.000121.12样本联合分布为:(X)6 867~0, (x) p(x )()1/1max 0,%丄，人因此的后验分布的核为1/n 1,仍表现为Pareto 分布密度函数的核参数的后验分布 (x) p(x )()n 1( nx)enX in— i 1en nxe1,2,3,5,6,7,8,10,11,12 2乙11)讥刈8)二&(1一&)\兀(&) = 1p 何0)兀(0)= &(1—胖 〜尿(2,4)E(&|X )"E =±W2)讽申)=，(1 — &)叫兀(&) = 1二 诃x) * p(x 0)兀(8)=护(1 一 0)10 〜%(4,11)i ・44E(& x) = 3¥ = -------- =——E 11 + 4 152.2解：由题意，变量t 服从指数分布： p(t )由伽玛分布性质知:0.2nt i 20 3.8 76，所以 ni 1由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布0.04, 0.2又已知n=20,t 3.8(|t) P (T| )( )neti1en 1e (t i)即后验分布为Ga( n,t i ) Ga(20.04,76.2)E T() n t i20.0476.20.2631服从倒伽玛分布IGa(n,t i ) IGa(20.04,76.2)样本联合分布p(T )neti且~Ga(,)〒0 , E()0.2 Var (n20.04, t ii 176.2t-E T ( ) E |T (1) ---------- 4.002n 1n 12.8 由 x ~ Ga( , ), ~ IGa(,)可以得出(1}e(1) 的后验分布为:(3)样本分布函数为:的后验期望估计的后验方差为11 162.5 n 36.2.7的先验分布为：()/ 1, 0, 令1 max 0必丄,X -可得后验分布为：(x)(n) 1 n/0,后验方差为： Var( x)E( x)十, n 1 (n) 122(n 1) (n 2)(xpn -2n -2X1 xe 2 ,x 0(x)p(x 1)e^即为倒伽玛分布IGa(-,2所以的后验分布为IGa(n2 )的核。

(2)后验均值为E(x)x2 _____n1 2后验方差为Var( x))22eD 2(-2)2.3可以算出 的后验分布为Ga(11,4),0 0n 1则的后验期望估计为：1 11 10 0nX1 12 2n_ 22.10 解：已知 x~ N( ,1), ~ N(3,1) 设的后验分布为N （仆-i ） 可得：2 2x0 ____________ 1 2 2 0所以 的后验分布为:即为 2IGa(]p(xP (X i1(2 ) 2 (n/2)x)p(xx) p(x(x)即: nnX i21)eX i 2i 1~2~[亠(2)可得MD nXii 122n~2nX ii 12）的核。

[(2 1 t1)2 H nnxFxi *1}e[(n 21)~2 ~2nx2i 1nX i 2nxi_1 ~2因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的, 原因是它不对称。

而由公式得nx ii 1n 2 2由已知得：x 24 33 ,33 3 3 —21 3, 13 11 3即为[2.02,3.98].后验均值为:变换:2 Xi1~~2 ~2 ~21 0所以 的95%的可信区间为: [3 0.5 1.96,30.5 1.96]2.11 已知 x~ N 0,IGa可得 2的后验分布为IGa后验方差为: Var2 i 1~2-22 Xi~ Gan 2, 2 Xi令:2 0.10.9可得2的0.9可信上限为2 0.12.12 的先验分布为：(/ 0,1 1 1 max 0,为丄,x n1n 1n U、10,11,12,133.10解：依题意1exp0.01该元件在时间200之前失效的概率:3.11解：依题意 p X i可得后验分布为: (x)n) n10,可信上限为 u则u 1 带入有: n)1d20.01 exp0.010.013expi1ei1xX」X inmx i1m xx _____1 x x!,x 200 p m x dx 0200 0.01dx 0.999950.0133.12解：超参数和的似然函数为333 i -X iX!3!g5!7203f In从而有: 3f In 30.38759968 3.13证明：泊松分布的期望和方差分别为 2利用软件计算, 可得 1.033599, E X —g-利用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程 -2X S 2 XS 2 X四、1,4,8,9,10,11,12,15,164.41 状态集 5,6,7,8,9,10 ,行动集 5,6,7,8,9,10 2收益函数4.8f25fta + 750(9 — a) a<&250fla>0印a 2 a 3 a 4a5a 625 24 23 22 21 20 1 25 30 29 28 27 26 2 25 30 35 34 33 32 3 Q25 30 35 40 39 38 4 25 30 35 40 45 44525 30 35 40 45 50 63根据定义可知， 最优 行动是 a r ，即采摘 4按折中准则 J ：H ma xQ,a1min Q , aH 1 25H 2 24 6H a 23 12H 4 22 18H 5 21 24H 6 20 30收益矩阵每天摘5朵鲜花 当05朵鲜花-时，选择 6 1时，选择a 6,每天摘10朵鲜花.Q ,a5a,a 6a,510卅布沟均殂4 4的泊松付布11刊0G2)・1.OOO状离集H-{0丄2一」习冇功集人工12}损光曲取为012j45c7 £9:o1111a JT(F) JTGO 0500闻100012S&15W175020002^002750Jdw00.01S3 I B 500a2505007501000125015001750:ooo2250□CO275010J733 1 11100050&0250500750100C12S015flC rso20002150150020.1465 1 B15OT IW050?Q■?Q5M巧。

1WQ1250UOT V50和i：X>0JS54 1 n2W0150010005C0025050075C IDQO1250U0Q I'502MB斗0.1554 1 D 25002(X101500LOOC050fl7501000125015001750J0.15AJ I B30002500200015Q0looo500025050075Q IQOO125015QO五0.104： 1 BJ5005000MOO2MH)150010005000230500"冗125070.0535 1 li4000350030002S0C20001500LOK50003505M7501000S0.029S 1 li 450040003500 3 DM)2S0020M ISM1000sw02SC sod也90.D132 1 B50C045004OM350030M2J00200015001W05005汉500100.MS3 I B5MD50M4JK4W35M3M025M2W01SD01CM50Q Q25011lunif L 1360005500500045004W03500300025002D JO150010005000 120.0006 1/13Z(^} = 1998.17 7^) = 152 04 Z(^) = 1080 3(5 Z(ff4> 759.57 Z(ff5>=5S4 80T(a f) = 5S6.56 ^)=645.54 Z^) = &12.67 码)=102446 = 1258.57瓦15C2.<50 ^.)-1750.60 Z(a]3) = 2000 05minZ^ )-1(^)购买，件(4))-3000 £(巧)=2节& £0J =21了3 = 1846 £(®)=1竹7 £(%J = I3砧Z(f7T)=1212 £(^) = 1115 Z(^) = 1077 衣①』二|旧6 死订)二1173 Z(«12) = 13O8L a131500购买8件.4.9对于行动a1，其收益函数为100,0 0.1Q 30,0.1 0.250,0.2 1对于行动a2，其收益函数为40,0从而可得在a 1和a 2处的损失函数:0,0 0.1L ,a 110,0.1 0.2 90,0.2160,0 0.1L ,8220,0.1 1服从Be 2,14—0.1L 82 0 60p d 27.06 元/吨故米用第一种收费方法对工厂有利##附R 软件计算定积分程序： in t<-fu nctio n(x){210*x*(1-x)X3};in tegrate(i nt,0.1,0.2)$value*10+i ntegrate(i nt,0.2,1)$value*90; [1] 18.86049in tegrate(i nt,0,0.1)$value*60; [1] 27.05742 4.1018 20 12 25当 6时，Q ,a 1L , a 1L , a 2 30 5当 6时，Q ,a 1 L , a 1 5 30L ,a 2服从0,10上的均匀分布 101 L a 1 5 30 d 4610 61L a 230 5 d 910最优行动是a 1.4 15* 1）由Jfi 倉可idB 叫）=5p （^）=lC»^0.5^（-l ）v0.S=4.5V Q （勺｝、0（还）「用期星段代决策隅选择打动坷L a 10.2 0.110p1 ,0290p d 18.86 元/吨Q , a 2 ，则在a 〒Ha 2处的损失函数为Q , a 2 ，则在a^^a 2处的损失函数为Q ）由題总知效用矩阵为6 5"2 10] q 0.5 2 1 9.05•・・ j(q) = 2U(a 2) = 10x0.5+1x0.5 = 5.5•・• %) < %令 闪此用期型效用决策应选择行动a,(3) 弟效用质数为CJ =2+5tZ•・.[7（q ）=12 ■C ；（^） = 52x0.5+7x0.5-29.5•.• CZ （坷）v C7 （口2） 因此用新期卑效用准刖件决策.应选样行功冬从（2） （3）的结果可以看出.曲种效用下咸选择狗行动相I 』・也说明了在先 黔分布不变的情况下，收益嗨数0（O.d ）的:江性变儿4（P,d ）+<r （r>0）不仝 「（变先斡期里准则下的最优行动•4.16 K 由题童可知需整交纳的 Xj4C0 - 0.25% = 1 <元可御K 收益絶阵为399 400'^ 0.998 3990 & 0 002■ 」 ▲其中坷代衣参'川火灾W 4a.代衣不参二火丈作心4代衣火灾不艾生.①代农讥灾发生 1.按W 经效用川汽.决策'采用期望收益准则的决徭相制可得 °（坷）=3如0（a J = 400K 0.998 + 0x 0.002 = 399.2•「0（5）< 0（彳） 所以应选择行动色即不摩 火冗化；：2. 由效用曲我17（加）=十400 _ 20知可得新的效用矩丙为 7521^05«7(399)-8.2666£7(400) = 32 W^(C)=00(q) = 8JS43x 0 998+Ox 0.002 = 8.2677 H为力⑷)丈所厘应选择行动幼即不参：」：茁-•L r(4C0 x 0.99 8 + 0 0.002} = L_(399.2) = S 2701 >丙0.998L r(400>+0.002i7<0) =8.2677斫以遑效用篩氓为上凸的「即为眾守型效用曲线五、2,3,7,11,18,21,225.2⑵(3)杵9的h -验分布为托(0 x) WJ Ji j 验风险为R(d\x)=訂(9心(0 卜)"=加 3 |.T)z/e 一 J/(0 - ")用(& 卜)朋一丄开(° *)曲=|.Y)rfy - c^Tl{e |x)rfy H-rrf-l=e cd E(e c0 \x)-cE (& |.v) \ cd 一 1对d 求导得并令JI 为0紂-ce^E(e^\x)^c = 0二尹二E (尹［G所以贝叶斯估计的丧达式为/ ln£(e rf |x)心二Je-2n c nxIn e 2 n d c - 1 nx In _ ---------2n 2c 2 cc2n附：用R 软件作图程序：y<-fu nctio n(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1}; plot(y,xlim=c(-20,20),type=T,lty=1);lin es(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type=T,lty=2); lin es(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type=T,lty=3); leg. names<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2");⑷由x ~ N ,1可得p x样本的似然函数为：p X后验分布In E e cx则d B -----------------------------clege nd(locator(1),leg. names,lty=c(1,2,3));5.3可以求得的贝叶斯估计为x2 3lnc,C2e3.5.71x __e根据定理5.2 :在加权平方损失函数后验分布:的贝叶斯估计为:通过计算可得:町几俐寸=j^(l-血塚+ L 颐(叫门处=血匚反杖|工)川& -(1-加)匸JT(& |工则= <0^+(1- < 5)二血十(1 -的厂严(牛巴C 穿勺= <w+(l- -/J)「薛上所述,蒯从;：1 9 ffi讣为:£Q(O)|T]加+(1-加严帆S_/J) 5.11类似地，x n时,若>1,a B x 若0< 1, a B x 1.5.18(1)支付矩阵100 75 W100 150损失矩阵25 0L0 50a1与a2下的先验期望损失为E L ,a1 先验EVPI 15元.⑵从0,1,2到a1,a2上的任一个映射⑶、(4)17.5,E L ,a2 15，故a?是最优行动,x都是该冋题的决策函数.的后验分布为Be1x,n 1时,的贝叶斯估计为a B 0时，若>1,a B x若0< 1,考虑后验风险Rax 02a d 10< 当an 11 n 01,上式中括号内前两项积分都是有限的0 时,R a x2d 2a n 2d n 2d 0达到最小值,即a B x,而第三个积分是趋于无穷大的0；,从而x~b 2,,边缘概率m x p x i i,可得:i 1m 0 0.87475,m 1 0.1205,m 2 0.00475,后验分布为:计算，可得表格:a2,x 0xa i,x 1,2后验EVPI E x E |x L , x 13.89*0.87475 13.7975*0.1205 9.21*0.00475 13.8566 EVSI 先验EVPI E x E |x L , x 15 13.8566 1.1434 元ENGS EVSI C 2 1.1434 0.2 0.9434 元5.21b2 -(1) 0 —- 6m2 mi~ N 10,42, E 10, m1 m2,最优行动为a2t g m2 5, 4, 10, 0 6D。

合集下载

贝叶斯统计-习题答案)

贝叶斯统计-习题答案)

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

【贝叶斯统计答案】第二章+第三章

【贝叶斯统计答案】第二章+第三章

二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,122.2 解： 由题意，变量t 服从指数分布：()t p t e λλλ-=样本联合分布()itn p Te λλλ-∑=且1~(,),0()Ga e ααβλβλαβλλα--=>Γ ，()0.2E λ= ()1Var λ= 由伽玛分布性质知：20.20.04,0.21αβαβαβ⎧=⎪⎪⇒==⎨⎪=⎪⎩ 又已知 n=20, 3.8t =120 3.876nii t==⨯=∑，所以120.04,76.2ni i n t αβ=+=+=∑由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布()11()()()t t n n i i t p T e e eλλββλααπλλπλλλλ--+∑∑--+-∝∝= 即后验分布为(,)(20.04,76.2)iGa n t Ga αβ++=∑|20.04()0.26376.2T i n E t λαλβ+===+∑1θλ-=服从倒伽玛分布(,)(20.04,76.2)i IGa n t IGa αβ++=∑||1()() 4.0021iT T t E E n λλβθλα-+===+-∑2.3可以算出θ的后验分布为(11,4)Ga ，θ的后验期望估计的后验方差为1116. 2.5只有个别人算错了，答案是36n ≥. 2.6大家差不多都做对了.2.7θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩令{}101max ,,,n x x θθ=可得后验分布为：1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩则θ的后验期望估计为：1()()1n E x n αθθα+=+-，后验方差为：212()()(1)(2)n Var x n n αθθαα+=+-+-.2.8由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ可以得出211221()2(),0()2nn xp x x e x n θθθ--=>Γ(1)(),0()e βααθβπθθθα--+=>Γ （1）θ的后验分布为：2(1)22()()()x nx p x eβαθπθθπθθ+--++∝∝即为倒伽玛分布(,)22nxIGa αβ++的核。

第一章_贝叶斯课后答案

第一章_贝叶斯课后答案

第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ==22628()0.20.80.2936P A C θ==从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+==从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=> 1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝= 所以 (,1)x G a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=∙=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 12202()36xm x d x θθθ=∙=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X N θ∴25(,)10X N θ∴2(176.53)5()p x θθ--= 由题意可知2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝∙∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ 其中为已知 又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222222251()()1252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x x N σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙00111n n n ααααθθθθθ++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

贝叶斯统计习题答案

贝叶斯统计习题答案

贝叶斯统计习题答案第⼀章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从⽽有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=?+??=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==?+??=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为⼀卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语⾔求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从⽽有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从⽽有)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1714631636315338533810<<-==-=--=--=----==--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语⾔求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<==<<=+<<-==+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=??θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝?∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ix e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=?=-?因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2）由题意可知./(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{221221121212121 2122111<<∝===<<==<<<==?∏∏?∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x n ni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=?=?因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中⼈的⾼度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ∴2由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------∝?∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222222251()()11252()1122525eσθθθσσσ+----+?--+∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++⼜由于21112525σ≤+ 所以θ的后验标准差⼀定⼩于151.11 解：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(7687787321321321433213213321>?====≥=>=====<<=∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ从⽽有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从⽽有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?00111n n n ααααθθθθθ++++∝?∝因此θ的后验分布仍是Pareto 分布。